Equações a diferenças e a transformada z

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DESCRIÇÃO
Amostragem de sinais temporais. Sinais contínuos e discretos. Sistemas lineares discretos.
Equações a diferenças. Convolução de sinais discretos. Transformada Z. Propriedades úteis da
Transformada Z unilateral. Transformada Z inversa. Método das frações parciais e método da
divisão direta. Funções de transferência no domínio Z e mapeamento de polos e zeros no plano
Z.
PROPÓSITO
Compreender os conceitos de equações a diferenças, convolução e Transformada Z, visando a
análise e a aplicação no controle de sistemas lineares discretos.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar conceitos relacionados à teoria de amostragem de sinais temporais de sistemas
dinâmicos
MÓDULO 2
Reconhecer sistemas lineares discretos e aplicar equações a diferenças em análise de
sistemas lineares discretos
MÓDULO 3
Definir a Transformada Z de sinais temporais discretos
MÓDULO 4
Formular modelos de sistemas dinâmicos, a serem analisados e controlados, através de
funções de transferência no domínio Z
MÓDULO 1
 Identificar conceitos relacionados à teoria de amostragem de sinais temporais de
sistemas dinâmicos
INTRODUÇÃO
Nas décadas de 30 a 50, várias técnicas ligadas à teoria de sistemas de controle foram
desenvolvidas, a maioria delas no domínio da frequência. Contudo, na década de 60 os
sistemas reais ficaram mais complexos, e essas técnicas tornaram-se limitadas considerando
os problemas que surgiram.
A corrida espacial e a Guerra Fria também motivaram o desenvolvimento de novas técnicas
capazes de tratar problemas mais complexos, cujos sistemas envolvidos possuíam várias
entradas e saídas. Na Figura 1 é ilustrada uma cena da missão Apollo 12 em novembro de
1969.
 Figura 1 – Astronauta na lua. Fonte: NASA
O surgimento e desenvolvimento dos computadores com maiores capacidades de
armazenamento e de processamento possibilitou o desenvolvimento de novas técnicas de
controle de sistemas dinâmicos no domínio do tempo.
Em diversas áreas da Engenharia, como a de Sistemas de Controle, sinais de grandezas físicas
que variam continuamente no tempo necessitam ser amostrados, ou seja, medidos em
intervalos de tempo constantes, denominados de Período de Amostragem.
Neste contexto, os sinais, ao serem amostrados, são convertidos de um domínio temporal
contínuo para um domínio discreto.
Neste módulo serão apresentados conceitos de sinais discretos e de amostragem.
AMOSTRAGEM DE SINAIS TEMPORAIS
VOCÊ SABE O QUE SIGNIFICA O TERMO AMOSTRAGEM?
 RESPOSTA
Amostrar um sinal significa, na prática, converter um sinal de uma função que varia
continuamente no tempo para um domínio temporal discreto. Ao amostrar um sinal, é gerada
uma sequência numérica com os valores correspondentes aos da função temporal contínua,
em intervalos de tempo constantes.
 Figura 2 - Sinais temporais de uma função. (a) Contínuo
Na Figura 2 (a) é apresentado como exemplo o gráfico de um sinal temporal contínuo de um
sistema dinâmico.
 Figura 2 – Sinais temporais de uma função. (b) Discreto
Na Figura 2 (b), vemos o correspondente sinal temporal discreto, obtido por meio da
amostragem do sinal contínuo com o mesmo intervalo de tempo entre duas amostras
consecutivas.
O intervalo de tempo constante que distancia duas amostras consecutivas do sinal discreto e,
consequentemente, da sequência numérica obtida é denominado de Período de Amostragem
TS.
javascript:void(0)
A denominação TS, comumente utilizada em livros nacionais, decorre da expressão inglesa
sampling period, que significa período de amostragem.
Como você já deve ter notado, o sinal discreto resultante do processo de amostragem é uma
sequência numérica. O sinal discreto ilustrado na Figura 2 (b) é definido pela seguinte
sequência x(n):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É possível perceber que o período de Amostragem TS de um intervalo de tempo It de uma
sequência discreta com Na amostras é definido por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para facilitar a compreensão, na Figura 3 é apresentado um sinal contínuo e o seu
correspondente discreto. Esse simples exemplo gráfico serve para facilitar a nossa
compreensão da relação apresentada em (1).
É possível notar que o Período de Amostragem Ts = 2s, é igual ao intervalo de tempo It = 6s
dividido por 3, que corresponde ao número de amostras subtraído de uma unidade (Na - 1 = 3).
 Figura 3 - Sinal contínuo e o seu correspondente discreto.
x(n)  =  [1, 0000  1, 1161  0, 8790  0, 4684  0, 1153   0, 0024  0, 1865  0, 5746  0, 9632  . . .  ]
TS =             (1)
It
Na−1
QUAL É O MOTIVO DE ADOÇÃO DE UM PERÍODO DE
AMOSTRAGEM FIXO, OU SEJA, QUE NÃO VARIA ENTRE
DUAS AMOSTRAS CONSECUTIVAS?
 RESPOSTA
Na verdade, existem outras possibilidades de amostragem de um sinal contínuo, em que o
período de amostragem não é constante e periódico, como tratado. A amostragem também
pode ser aleatória, isto é, quando os instantes de amostragem são aleatórios.
A amostragem pode ainda possuir múltiplas taxas de amostragens. São os casos em que o
sistema de controle possui diferentes laços com constantes de tempo distintas. Nesses casos,
pode-se optar por amostrar os sinais com frequências diferentes, considerando o que é mais
adequado para cada laço.
Por questões didáticas e por ser a forma tratada na maioria das aplicações de controle, neste
tema, será considerada apenas a amostragem periódica, em que os instantes de amostragem
são igualmente espaçados.
AMOSTRADOR E BLOQUEADOR
Em algumas aplicações de Sistemas de Controle, os sinais de grandezas físicas, que variam
continuamente no tempo, necessitam ser amostrados e convertidos em lógica digital para
serem processados por um microprocessador ou um computador digital.
Os sinais são medidos em intervalos de tempo constantes, denominados de Período de
Amostragem, e necessitam que os seus valores se mantenham estáveis, durante esses
intervalos, para serem processados.
Ao serem amostrados, os sinais são convertidos de um domínio temporal contínuo para um
domínio discreto, e os seus valores devem permanecer estáveis até o próximo instante de
tempo. Essas duas tarefas são executadas pelo amostrador e pelo bloqueador,
respectivamente.
Amostrador
O amostrador funciona como uma chave eletrônica que se abre e fecha em intervalos
constantes definidos do TS, armazenando o valor numérico da grandeza continua no instante
considerado.

Bloqueador
O bloqueador é o componente que interpola os valores numéricos entre dois intervalos de
tempo do período de amostragem TS.
Em outras palavras, o bloqueador é um circuito que estabelece uma função temporal entre
duas amostras de uma sequência discreta, ou seja, pode ser percebido como um componente
que constrói um sinal contínuo a partir de um sinal discreto.
O bloqueador é também denominado na literatura como Segurador (do inglês Hold).
Basicamente, são classificados como de ordem zero, um e dois. Essa classificação está
associada à ordem do polinômio que o caracteriza.
Na Figura 4, são ilustradas as ações desses dois componentes. O sinal temporal contínuo é
discretizado pelo amostrador e, em seguida, é gerado um sinal contínuo por partes, pelo
bloqueador de ordem zero, em intervalos iguais ao período de amostragem TS.
 Figura 4 – Processamento de um sinal temporal.
EXEMPLO
Obter a sequência numérica g(n) por meio da amostragem da função f(t) = 2t+3, que
corresponde a um sinal de controle de um sistema de suspensão veicular, no intervalo de
tempo de 0 a 10 segundos, com período de amostragem TS = 1s.
Solução
O gráfico da função f(t) é uma reta com inclinação positiva, como pode ser observado na Figura
5:
 Figura 5 – Gráfico da f(t) = 2t + 3
Neste caso, é possível obter os valores da sequência de duas maneiras distintas, a primeira por
meio da substituição dos valores de tempo discreto e, a segunda, por avaliação gráfica.
Os valores da função em intervalos constantes, relativos ao períodode amostragem TS = 1s,
são apresentados na tabela a seguir:
Tabela 1 – Valores discretos da função f(t) = 2t + 3
Tempo Valor correspondente de f(t)
0 f(0) = 2(0)+3 = 3s
1 f(1) = 2(1)+3 = 5s
2 f(2) = 2(2)+3 = 7s
3 f(3) = 2(3)+3 = 9s
Tempo Valor correspondente de f(t)
4 f(4) = 2(4)+3 = 11s
5 f(5) = 2(5)+3 = 13s
6 f(6) = 2(6)+3 = 15s
7 f(7) = 2(7)+3 = 17s
8 f(8) = 2(8)+3 = 19s
9 f(9) = 2(9)+3 = 21s
10 f(10) = 2(10)+3 = 23s
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Os valores apresentados na segunda coluna foram obtidos por meio de substituição algébrica
dos valores de t na função f(t)=2(t)+3.
A sequência desejada é igual a g(n) = [3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23].
Como citado, é possível obter os valores por meio de observação gráfica.
Utilizando o gráfico apresentado na Figura 5, é possível identificar os elementos da sequência
g(n). A Figura 6, apresentada a seguir, ilustra os valores da sequência, que estão enfatizados na
cor vermelha.
 Figura 6
É possível perceber, visualmente, que os valores da sequência desejada são iguais aos obtidos
algebricamente, ou seja, g(n) = [3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23].
 ATENÇÃO
Nesse exemplo, como o gráfico da função f(x) é uma reta, é possível notar que uma quantidade
maior ou menor de pontos amostrados na reta não comprometeria completamente a avaliação
sobre o comportamento da função temporal. Contudo, essa afirmação não pode ser
generalizada.
A escolha do período de amostragem é um importante passo em processamento digital de
sinais e em problemas de análise e síntese de controle.
O exemplo trabalhado na seção Teoria na Prática, ajudará a consolidar essa afirmação.
TEORIA NA PRÁTICA
Representar o gráfico de um sinal temporal discreto, obtido por meio da amostragem de 50
valores de amplitude do sinal de tensão de um equipamento de comunicações, definido pela
função g(x) = sen(x), igualmente espaçadas, no intervalo de 0 a 4π rad. Analisar o que acontece
quando a quantidade de amostras é reduzida para 20 e depois para 5.
Ã
RESOLUÇÃO
Do gráfico da função g(x) = sen(x), apresentado na Figura 4, é possível perceber que o
intervalo definido contém dois períodos da função senoidal.
 Figura 7 – Sinal contínuo
Ao amostrar o sinal senoidal contínuo, em cinquenta amostras, o resultado obtido é:
 Figura 8 – Sinal discreto
É possível perceber que o comportamento da função discreta é semelhante à contínua.
Nesse caso, o número de amostras foi suficiente para compreendermos o comportamento da
função.
Diante disso, se o número de amostras utilizadas for reduzido para vinte, o resultado obtido
ainda será capaz de reproduzir o comportamento da função senoidal, mas com menor
exatidão. Isto pode ser observado na Figura 9.
 Figura 9
Entretanto, se forem amostrados apenas cinco valores do sinal senoidal contínuo, igualmente
espaçados, o resultado gráfico não mais será capaz de reproduzir o comportamento da
função contínua de maneira satisfatória. Na Figura 10, é mostrado o resultado dessa opção.
O comportamento neste caso se assemelha a uma reta.
 Figura 10
Veja, a seguir, mais informações sobre Amostragem de um sinal senoidal:
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Reconhecer sistemas lineares discretos e aplicar equações a diferenças em análise de
sistemas lineares discretos
INTRODUÇÃO: SEQUÊNCIAS BÁSICAS
Em diversas aplicações de engenharia, ao amostrar um sinal contínuo, é gerada uma sequência
numérica com os valores correspondentes aos da função temporal contínua, em intervalos de
tempo constantes.
Uma sequência discreta é função discreta que assume valores numéricos para cada valor de n.
É definida como um conjunto de números da seguinte forma:
x ≜ {x(n)} = {x(1),x(2),…}
As sequências, a seguir, são alguns exemplos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x1(n) = [0    2    4    6]
x2(n) = [1357]
g(n) = [−4   − 12    − 20    − 28]
y(n) = [1    5    9    14]
Algumas operações algébricas podem ser realizadas com as sequências. Por exemplo, é
possível somar sequências. A sequência y(n) foi obtida a partir da soma de x1 (n) com x2 (n).
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma sequência pode ser obtida por meio da multiplicação de uma sequência por um escalar.
Por exemplo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A seguir, vejamos algumas sequências básicas que são amplamente utilizadas.
FUNÇÃO AMOSTRA UNITÁRIA
A função amostra unitária δ(n), também é denominada impulso discreto, matematicamente é
definida como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
y(n) = x1(n) + x2(n)
y(n) = [0  2  4  6] + [1  3  5  7]
y(n) = [(0 + 1)  (2 + 3)  (4 + 5)  (6 + 7)]
y(n) = [1  5  9  13]
g(n) = −4 × x2(n) = [−4 − 12 − 20 − 28]
δ(n)={
0    para  n ≠ 0
1    para  n = 0
 Figura 11 – Amostra Unitária
Assim como outras funções matemáticas, um impulso também pode ser defasado no tempo.
Um impulso deslocado de k unidades para a direita é escrito da seguinte maneira: δ(n-k).
Por exemplo, na Figura 12 são apresentados dois impulsos deslocados: δ(n+2) e δ(n-5).
 Figura 12 – Exemplos de amostras unitárias deslocadas: δ(n+2) e δ(n-5)
A função δ(n) possui significativa importância. Utilizando o recurso da defasagem e
multiplicando-a por constantes adequadas, é possível representar os elementos que definem
as demais sequências, ou seja, a função δ(n) possibilita a definição matemática de outras
sequências.
Uma sequência qualquer x(n) pode então ser escrita como:
x(n)=
∞
∑
k=−∞
x(k)δ(n − k)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO
A função degrau unitário u(n) é definida matematicamente como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na Figura 13 é apresentado o gráfico da função degrau unitário no intervalo n = [-2, 5].
 Figura 13 – Função Degrau Unitário
SISTEMAS LINEARES DISCRETOS
Um sistema linear discreto é um sistema dinâmico cujos sinais temporais variam apenas em
instantes de tempo discretos, múltiplos do período de amostragem, ou seja, em kTs, em que k =
0, 1, 2, …
Um sistema em malha fechada controlado por um computador é um exemplo de um sistema
de controle que opera com sinais discretos. Uma maneira de interpretar um sistema linear
u(n)={
0    para  n < 0
1    para  n ≥ 0
discreto é defini-lo como sendo uma transformação linear sobre uma sequência para gerar uma
outra.
Neste caso, a sequência u(n) é a entrada do sistema discreto e a sequência y(n) é a resposta
desse sistema à excitação da entrada u(n). A figura a seguir ilustra essa operação:
 Figura 14 – Sistema Discreto
 ATENÇÃO
A resposta de um sistema discreto a uma entrada do tipo impulso unitário δ(n) é denominada
de resposta ao impulso h(n). Esta resposta é importante na análise de sistemas de controle,
pois serve para simularmos a resposta do sistema a outra entrada.
EQUAÇÕES A DIFERENÇAS
A dinâmica de um sistema dinâmico linear no domínio do tempo discreto, com entrada u(n) e
saída y(n), pode ser representada por uma equação a diferenças.
Um modelo discreto com equações à diferença é o autorregressivo (AR), definido da seguinte
maneira (AGUIRRE, 2007):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Outro modelo utilizado é o autorregressivo com entrada exógena (ARX). Neste modelo,
constam também termos relacionados a uma entrada u(n) (AGUIRRE, 2007):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
y(n) = a1y(n − 1) + a2y(n − 2) + ⋯ + amyy(n − my)
y(n) = a1y(n − 1) + a2y(n − 2) + ⋯ + amyy(n − my) + b1u(n − 1) + ⋯ + bmuu(n − mu)
 DICA
A solução dessa equação pode ser calculada de duas maneiras, por meio da recursividade ou
pela aplicação da Transformada Z.
Por exemplo, considere que a saída de um sistema dinâmicoseja representada pela seguinte
equação a diferenças:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que a entrada x(n) do sistema é um degrau unitário e y(-1)=4.
A equação a diferenças pode ser escrita isolando a saída y(n) no lado esquerdo da igualdade,
da seguinte forma:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os valores correspondentes à saída y(n) podem ser calculados recursivamente.
Então, por exemplo:
PARA N = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PARA N = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PARA N = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
y(n) − 0, 5y(n − 1) = x(n)
y(n) = x(n) + 0, 5y(n − 1)
y(0) = x(0) + 0, 5y(0 − 1)
y(0) = 1 + 2 = 3
y(1) = x(1) + 0, 5y(1 − 1)
y(1) = 1 + 1, 5 = 2, 5
y(2) = x(2) + 0, 5y(2 − 1)
y(2) = 1 + 1, 25 = 2, 25
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
PARA N = 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É possível perceber que para cada valor de n obtem-se um valor correspondente a y(n) e que
esse valor depende do sinal de entrada u(n) no instante de tempo n. Assim, podemos concluir
que o sistema linear discreto realiza uma transformação linear sobre uma sequência para gerar
uma outra. A partir da sequência numérica u(n) obtém-se, por meio de uma transformação
linear, a sequência y(n).
CONVOLUÇÃO DE SINAIS DISCRETOS
No estudo de sistemas dinâmicos, a operação matemática denominada de convolução é uma
importante ferramenta, pois é por meio dela que obtemos a resposta temporal de um sistema
dinâmico a dada excitação na sua entrada.
A saída de um sistema linear discreto é resultado de uma Convolução Discreta do sinal de
entrada com a resposta do sistema ao impulso.
A Convolução no domínio discreto é definida da seguinte forma:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O número de elementos da convolução de duas sequências de tamanhos N e M é dado por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ilustraremos, nos exemplos a seguir, três maneiras de calcular a convolução discreta de duas
sequências:
DEFINIÇÃO APRESENTADA
Para o cálculo da convolução por meio da definição apresentada, considere duas sequências:
y(3) = x(3) + 0, 5y(3 − 1)
(3) = 1 + 1, 125 = 2, 125
y(n)= u(n)*h(n)  =
∞
∑
k=−∞
u(k)h(n − k)
Nr = N + M − 1
x1(n) = [3    4]
javascript:void(0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A figura, a seguir, apresenta a convolução dessas duas sequências à medida que o tempo
evolui.
 Figura 15 – Convolução de duas sequências
Na convolução discreta, uma sequência permanece fixa e a outra é invertida para serem
realizados os produtos dos elementos. Neste exemplo, a sequência x2 (n) foi invertida e se
desloca a cada instante de tempo para que os seus elementos sejam multiplicados pelos
elementos da sequência x1 (n), e os resultados dos produtos são somados.
Por exemplo:
para n = 0:
Para n = 1:
Para n = 2:
Os elementos da sequência resultante da convolução y(n), a partir da definição apresentada,
são dados por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x2(n) = [1    2]
y(0) = 1 × 3 = 3
y(1) = (1 × 4) + (2 × 3) = 10
y(2) = (2 × 4) = 8
y(n) = [3   10   8]
PRODUTO DE 
POLINÔMIOS
A segunda maneira de calcular os elementos da convolução é por meio dos produtos dos
polinômios, cujos coeficientes correspondem aos elementos das sequências x1 (n) e x2 (n).
Temos que:
Logo, para encontrarmos o resultado da convolução, basta multiplicarmos os dois polinômios.
Então:
Pela propriedade distributiva:
Somando os termos de mesma potência, chega-se a:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual os coeficientes correspondem aos mesmos elementos obtidos pela abordagem
anterior.
REPRESENTAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA 
COMO SENDO A SOMA DE IMPULSOS UNITÁRIOS
DESLOCADOS
Na terceira abordagem alternativa, para o cálculo da convolução, é necessário utilizar as
seguintes propriedades:
a) A convolução de uma sequência x(n) com o impulso unitário resulta na própria sequência
x(n).
b) A convolução de uma sequência x(n) com o impluso unitário deslocado de k unidades para a
direita resulta na própria sequência x(n) deslocada de k unidades para a direita.
x1(n) = 3x + 4
x2(n) = x + 2
h(n) = x1(n)x2(n) = (3x + 4)(x + 2)
h(n) = 3x(x + 2) + 4(x + 2)
h(n) = (3x2 + 6x) + (4x + 8)
h(n) = 3x2 + 10x + 8
x(n) * δ(n) = x(n)
x(n) * δ(n − k) = x(n − k)
c) A convolução de uma sequência x(n) com o impluso unitário deslocado de k unidades para a
direita resulta na própria sequência x(n) deslocada de k unidades para a direita.
Para compreendermos as três propriedades citadas, basta calcularmos a convolução de uma
sequência qualquer com outra com apenas um elemento igual à unidade.
Calcule novamente os dois exemplos anteriores alterando uma das sequências, por exemplo,
fazendo: x2 (n)=[1]. O resultado encontrado deverá ser igual a x1 (n). Após, recalcule utilizando
x2 (n)=[0 0 1] e verifique o que acontece.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
Suponha que o sinal de controle de um controlador discreto de um sistema de controle de
temperatura de um forno elétrico seja obtido por meio da convolução das seguintes
sequências:
x1 (n) = [0 2 4 6 8]
x2 (n) = [1 3 5 7]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Neste exemplo, deseja-se calcular os elementos da sequência resultante, h(n), a partir da
representação de uma das sequências como sendo a soma de impulsos unitários deslocados.
Como os números de elemento das sequências x1 (n) e x2 (n) são respectivamente N = 4 e M =
5, logo, o número de elementos de h(n) será igual a:
Inicialmente, escreveremos a segunda sequência x2 (n) como sendo a soma de impulsos
deslocados:
x(n) * δ(n + k) = x(n + k)
Nr = N + M − 1
Nr = 4 + 5 − 1
Nr = 8
x2(n) = δ(n) + 3δ(n − 1) + 5δ(n − 2) + 7δ(n − 3)
Temos que:
Em seguida, calcularemos os elementos de cada termo da soma acima:
Para obter o resultado da convolução, basta somar os resultados acima:
Cabe a você, para fins de comparação, calcular a convolução por meio da aplicação do
conceito e por multiplicação de polinômios.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Veja, a seguir, mais informações sobre Convolução utilizando representação com amostras
unitárias:
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
h(n) = x1(n) * x2(n) =
h(n) = x1(n) + 3x1(n − 1) + 5x1(n − 2) + 7x1(n − 3) =
x1(n) = [0 2 4 6 8]
3x1(n − 1) = 3 × [0 0 2 4 6 8] = [0 0 6 1 2 1 8 2 4]
5x1(n − 2) = 5 × [0 0 0 2 4 6 8] = [0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0]
7x1(n − 3) = 7 × [0 0 0 0 2 4 6 8] = [0 0 0 0 1 4 2 8 4 2 5 6]
h(n) = [0  2  10  28  60  82  82  56]
MÓDULO 3
 Definir a Transformada Z de sinais temporais discretos
INTRODUÇÃO
As técnicas de transformação matemática costumam ser amplamente utilizadas por
matemáticos e engenheiros em aplicações de processamento de sinais, bem como em sistema
de controle.
Em análise de sistemas lineares contínuos, utilizamos frequentemente uma ferramenta
matemática denominada Transformada de Laplace. Ela possibilita a obtenção da Função de
Transferência de um sistema linear contínuo a partir da equação diferencial que descreve a
dinâmica desse sistema.
A Transformada Z desempenha a mesma função que a Transformada de Laplace, mas para
sistemas lineares discretos. Neste módulo, será apresentada a definição da Transformada Z e
de suas propriedades, além da relação entre ambas transformadas citadas.
TRANSFORMADA Z
DEFINIÇÃO
Para uma sequência x(n), existente para valores de n positivos (n≥0), a Transformada Z
unilateral é definidacomo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
X(z)= Z[x(n)]=
∞
∑
n=0
x(n)z−n
A Transformada Z é uma série de potência em z-1.
A região do plano Z para a qual a série converge é denominada região de convergência.
Por exemplo, considere a sequência discreta x(n)=[0 2 4 6 0 0…], cujos valores são nulos a partir
da quinta amostra. Considere ainda, que a sequência foi obtida por meio da amostragem de um
sinal contínuo, em instantes de tempo igualmente espaçados, ou seja, em instantes múltiplos
do período de amostragem [0 TS 2TS 3TS ... ]:
A Transformada Z dessa sequência é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores da sequência discreta:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que pode ser escrita como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Tratando agora de um caso genérico, considere uma sequência definida da seguinte forma:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa sequência pode ser escrita como:
X(z)= Z[x(n)]=
∞
∑
n=0
x(n)z−n
X(z)= x(0)z0 + x(Ts)z−1 + x(2 Ts)z−2 + x(3 Ts)z−3 + ⋯
X(z)= 0 + 2z−1 + 4z−2 + 6z−3 + 0 + ⋯
X(z)= 0 + + +2z
4
z2
6
z3
X(z)=
2z2+4z+6
z3
x(n)={
an ,   para  n ≥ 0
0   ,   para  n < 0
x(n) = [1 a a2 a3  ⋯]
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Aplicando a definição da Transformada Z unilateral:
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A condição garante que a série convergirá para:
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Considerando que para a = 1, a sequência x(n) se torna igual à função discreta degrau unitário.
Logo, a Transformada Z da função degrau unitário u(n) é definida como:
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O quadro a seguir apresenta as transformadas X(z) de algumas outras funções:
Função x(t) X(z)
1
t
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X(z)= Z[x(n)]=
∞
∑
n=0
x(n)z−n =
∞
∑
n=0
anz−n =
∞
∑
n=0
(az−1)n
∣∣az−1 ∣∣ < 1
X(z)= =1
1−az−1
z
z−a
X(z) = z
z−1
δ(t)
δ(t − kT) z−k
e− at z
z−e− aT
Tz
(z−1)2
sen(ωt) zsen(ωT)
z2−2 zcos(ωT)+1
cos(ωt) z(z−cos(ωT))
z2−2 zcos(ωT)+1
PROPRIEDADES ÚTEIS DA TRANSFORMADA Z
UNILATERAL
As propriedades da Transformada Z são úteis para a solução de alguns problemas, pois podem
facilitar os cálculos. Vejamos algumas propriedades que serão utilizadas neste estudo:
LINEARIDADE
A Transforma Z é um operador linear por atender ao princípio da superposição. Assim, para
duas sequências discretas f(n) e g(n), com respectivas transformadas F(z) e G(z), e seja a
sequência h(n) definida por:
com k1 e k2 constantes.
Logo:
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MULTIPLICAÇÃO POR AN
Dada certa sequência x(n), cuja transformada , logo:
em que a é uma constante.
Essa propriedade pode ser demonstrada da seguinte maneira:
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PROPRIEDADE DO DESLOCAMENTO
Na definição desta propriedade, consideraremos duas possibilidades de deslocamento, para a
direita e para a esquerda.
Define-se x(n) como sendo uma sequência cuja transformada é Z[x(n)]=X(z).
h(n)=k1f(n) + k2g(n)
H(z) = Z[h(n)] = Z[k1f(n) + k2g(n)] = k1Z[f(n)] + k2Z[g(n)] = k1F(z) + k2G(z)
Z[x(n)] = X(z)
Z[anx(n)]= X(a−1z)
Z[anx(n)]=
∞
∑
n=0
anx(n)z−n =
∞
∑
n=0
x(n)(a−1z)−n = X(a−1z)
DESLOCAMENTO À DIREITA
O deslocamento de k unidades da sequência x(n) para a direita, corresponde a:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para deduzir a propriedade, é realizada uma troca de variável. Fazendo: m = n - k e substituindo
no somatório:
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A mudança no limite de integração do somatório, em que a soma de m = -k até ∞ foi substituída
pela soma de m = 0 até ∞, pode ser realizada por considerar que x(m) uma sequência causal,
ou seja, não definida para m < 0.
Logo, podemos concluir que a propriedade de deslocamento à direita é definida por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esta propriedade é bastante utilizada e nos fornece um resultado útil. Como foi definido:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, ao aplicarmos o deslocamento:
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DESLOCAMENTO À ESQUERDA
Para um deslocamento de k unidades para a esquerda, pela definição de Transformada Z,
temos:
Z[x(n − k)]=
∞
∑
n=0
x(n − k)z−n
Z[x(n − k)]=
∞
∑
n=0
x(n − k)z−n =
∞
∑
m=−k
x(m)z−m−k = z−k
∞
∑
m=0
x(m)z−m = z−kX(z)
Z[x(n − k)] = z−kX(z)
Z[anu(n)]= zz−a
Z[an−1u(n − 1)] = z−1 =zz−a
1
z−a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De forma semelhante ao procedimento realizado no item anterior, realizaremos uma mudança
de variável, da seguinte maneira: 
m = n + k
Logo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa maneira, a propriedade de deslocamento à esquerda é definida por:
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TRANSFORMADA Z INVERSA
Existe mais de uma forma de calcular uma expressão para x(n) e obter os valores numéricos
dos elementos de uma sequência, a partir de X(z).
Apresentaremos duas maneiras distintas de se obter esses resultados:
Método da Divisão Direta
Método das Frações Parciais
MÉTODO DA DIVISÃO DIRETA
Este método consiste em dividir o polinômio do numerador pelo denominador da função X(z).
O método destina-se à obtenção dos termos da sequência numérica.
Z[x(n + k)]=
∞
∑
n=0
x(n + k)z−n
Z[x(n + k)]= Z[x(m)]=
∞
∑
m=k
x(m)z−m+k = zk[
∞
∑
m=0
x(m)z−m −
k−1
∑
p=0
x(p)z−p]
Z[x(n + k)]= zkX(z)−
k−1
∑
p=0
x(p)z−p
A partir da divisão dos polinômios do numerador e do denominador, obtém-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A obtenção dos termos da sequência é direta e corresponde ao coeficiente do polinômio
resultante da divisão.
A explicação é decorrente da própria definição da Transformada Z, que pode ser decomposta
em uma série, da seguinte maneira:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por comparação direta entre as expressões, é possível perceber que os coeficientes
correspondem aos termos da sequência.
EXEMPLO
Determine os cinco primeiros termos da sequência cuja Transformada Z é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por meio da divisão dos polinômios, é possível obter os cinco primeiros termos da sequência,
que são os coeficientes do polinômio resultante, apresentados a seguir:
[1 5 25 125 625]
X(z)= = C0 + C1z
−1 + C2z
−2 + ⋯
N ( z )
D ( z )
X(z)=
∞
∑
n=0
x(n)z−n = x(0)+x(1)z−1 + x(2)z−2 + ⋯
X(z) = z
z−5
MÉTODO DAS FRAÇÕES PARCIAIS
O Método das Frações Parciais consiste em decompor a função X(z) em frações parciais e, em
seguida, aplicar a transformada Z inversa em cada fração.
1° CASO: BIPRÓPRIA
Sendo X(z) uma função biprópria, ou seja, com a ordem do denominador igual a do numerador,
e sendo as raízes do seu denominador todas distintas, podemos decompor a função X(z) como
a soma de frações parciais do tipo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As raízes do polinômio do denominador D(z) são os polos pk da Função de Transferência X(z).
Considerando a seguinte transformada inversa:
 Atenção!Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos calcular a transformada inversa de X(z), que será dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o cálculo dos coeficientes Ri, denominados de resíduos, utiliza-se a seguinte fórmula:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2° CASO: ESTRITAMENTE PRÓPRIA
X(z)= =
N
∑
k=1
= + + ⋯ +
N(z)
D(z)
Rkz
z−pk
R1z
z−p1
R2z
z−p2
RNz
z−pN
Z−1[ ]= Rpn u(n)Rz
z−p
|z| > p
x(n) = R1pn1 + R2p
n
2 + R3p
n
3 + ⋯ + Rp
n
N
Ri = X(z)∣∣z=pi
z−pi
z
Sendo X(z) uma função estritamente própria, ou melhor, com a ordem do denominador maior
do que a do numerador, e sendo as raízes do seu denominador todas distintas, podemos
decompor a função X(z) como a soma de frações parciais do tipo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As raízes do polinômio do denominador D(z) são os polos pk da Função de Transferência X(z).
Considerando a seguinte transformada inversa:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com |z|>p.
Podemos calcular a transformada inversa de X(z), que será dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o cálculo dos resíduos Ri, utiliza-se a seguinte fórmula:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É importante notar que uma Função de Transferência biprópria (1º caso) pode ser
transformada em uma estritamente própria (2º caso), por meio de uma divisão polinomial.
EXEMPLO
Determine a Transformada Z inversa da função de transferência discreta de um motor elétrico:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
X(z)= =
N
∑
k=1
= + + ⋯ +
N(z)
D(z)
Rk
z−pk
R1
z−p1
R2
z−p2
RN
z−pN
Z−1[ ]= Rpn−1 un − 1Rz−p
x(n)= R1p
n−1
1 u(n − 1)+R2p
n−1
2 u(n − 1)+R3p
n−1
3 u(n − 1)+ ⋯ + RNp
n−1
N u(n − 1)
Ri = (z − pi)X(z)|z=pi
X(z)= =
P(z)
Q(z)
4z−6
z2+5z+6
SOLUÇÃO:
É possível observar que X(z) é uma função estritamente própria, isto é, com a ordem do
denominador (igual a 2) é maior do que a do numerador (igual a 1), e como as raízes do
denominador são todas distintas, podemos decompor a função X(z) como a soma de frações
parciais do tipo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O primeiro passo é calcular as raízes do denominador.
Pela fórmula de Bhaskara, temos:
Para o cálculo dos resíduos Ri, utiliza-se a seguinte fórmula:
Então:
E
Considerando a seguinte transformada inversa:
com |z|>p.
Podemos calcular a transformada inversa de X(z), que será dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja, a seguir, mais informações sobre Cálculo da Transformada Z inversa:
X(z)= = +4z−6
z2+5z+6
R1
z−p1
R2
z−p2
p1=−2
p2=−3
Ri = (z − pi)X(z)|z=pi
R1 = (z − p1)X(z)|z=p1   =  (z + 2)X(z)|z=−2  = −14
R2 = (z − p2)X(z)|z=p2   = (z + 3)X(z)|z=−3  = −18
Z−1[ ]= Rpn−1 u(n − 1)R
z−p
x(n)= R1p
n−1
1 u(n − 1)+R2p
n−1
2 u(n − 1)
x(n)= −14(−2)
n−1
u(n − 1)+18(−3)
n−1
u(n − 1)
TEORIA NA PRÁTICA
Suponha que a Função de Transferência original do motor fosse:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Note que, neste caso, X(z) é biprópria, que pode ser tratada como apresentado no Caso 1.
No entanto, é possível dividir os polinômios do numerador pelo do denominador, o que leva a:
RESOLUÇÃO
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o segundo termo da soma é a Função de Transferência já tratada no Exemplo 1, basta
somar a função impulso δ(n) à expressão encontrada para x(n), porque a transformada Z de
δ(n) é igual a 1.
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
X(z)=
z2+9z
z2+5z+6
X(z)= = 1 +z
2+9z
z2+5z+6
4z−6
z2+5z+6
MÓDULO 4
 Formular modelos de sistemas dinâmicos, a serem analisados e controlados, através de
funções de transferência no domínio Z
INTRODUÇÃO
Assim como é definido o Plano S para a Transformada de Laplace, para a Transformada Z é
definido o Plano Z e a variável complexa Z. A operação que leva uma variável complexa do
Plano S para o Plano Z é denominada de mapeamento. Existe uma relação entre esses
domínios e veremos agora como relacioná-los.
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA NO DOMÍNIO Z
A Função de Transferência de um sistema é um modelo matemático que serve para expressar
a equação que relaciona a variável de saída à de entrada.
A Função de Transferência no domínio Z, de um sistema linear e invariante no tempo, é definida
como sendo a relação entre a Transformada Z da saída pela da entrada, considerando todas as
condições iniciais nulas. Logo,
As Funções de Transferência podem ser obtidas basicamente de duas maneiras:
Modelagem
A forma mais comum, denominada de modelagem, consiste em obter a Função de
Transferência a partir das leis da física que regulam a dinâmica do sistema.

G(z)=
Y(z)
U(z)
Identificação de Sistemas
A segunda abordagem é experimental, sendo chamada de Identificação de Sistemas. Consiste
em calcular o modelo por meio de procedimentos numéricos utilizando os sinais medidos das
entradas e saídas do sistema.
Considere um sistema discreto com entrada u(k) e saída y(k). Suponha que a lei que regula a
dinâmica desse sistema possa ser escrita por uma equação a diferenças definida da seguinte
forma:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
em que k = {1,2,3,…}.
Aplicando Transformada Z em ambos os lados da equação e considerando condições iniciais
nulas:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Colocando Y(z) e U(z) em evidência:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a Função de Transferência é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
POLOS E ZEROS
Os polos de uma Função de Transferência são as raízes do polinômio do denominador e os
zeros são as raízes do numerador.
y(k) + a1y(k − 1) + a2y(k − 2) + ⋯ + any(k − n) 
= b0u(k) + b1u(k − 1) + ⋯ + bnu(k − n)
Y(z) + a1z−1Y(z) + ⋯ + anz−nY(z) = b0U(z) + b1z−1U(z) + ⋯ + bnz−nU(z)
(1 + a1z−1 + ⋯ + anz−n)Y(z) = (b0 + b1z−1 + ⋯ + bnz−n)U(z)
G(z)= =
Y(z)
U(z)
b0+b1z
−1+⋯+bnz
−n
1+a1z−1+⋯+anz−n
 ATENÇÃO
Os polos correspondem aos valores de Z para os quais o valor da Função de Transferência
tende para o infinito. Os zeros são os valores de Z para os quais a Função de Transferência se
anula.
MAPEAMENTO DE POLOS E ZEROS
A ação de mapear dois domínios significa relacionar um conjunto de dados a outro, ou seja,
certa variável a outra.
O mapeamento entre os planos S e Z é feito por meio da relação matemática entre as duas
variáveis, S e Z.
A relação matemática entre os planos S e Z é dada pela seguinte expressão:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual T é o período de amostragem.
 SAIBA MAIS
Para cada ponto no Plano S existe um correspondente ponto no Plano Z. Portanto, dizemos que
cada ponto no Plano S mapeia um ponto no Plano Z.
Considerando que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
z = esT
s = σ + jω
z = esT = eσT+jωT = eσTejωT = eσT cos(ωT) + jeσT sen(ωT)
A expressão obtida acima possibilita o mapeamento de pontos (números complexos)
localizados no Plano S para o Plano Z.
Por exemplo, considerando a origem do Plano S:
Substituindo na expressão obtida:
Como
e
Assim
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos concluir que um ponto localizado na origem do Plano S mapeará um ponto em z = 1,
como ilustrado na Figura 16. O círculo apresentado nesta figura, no Plano Z, possui raio
unitário.
 Figura 16 – Mapeamento de um pontodo Plano S para o Plano Z
No Plano S, o lugar geométrico definido pelos pontos em que o valor de (σ = 0) corresponde ao
eixo imaginário e pode ser escrito da seguinte forma:
Para esses valores, o mapeamento pode ser calculado da seguinte forma:
s = σ + jω = 0 + j0
cos(ωT) = cos(0) = 1
sen(ωT) = sen(0) = 0
z = eσT cos(ωT) + jeσT sen(ωT) = e0 = 1
s = σ + jω = 0 + jω = jω
z = eσTejωT = e0ejωT = 1ejωT
E o módulo de Z é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Tal resultado corresponde a um círculo de raio unitário. A figura, a seguir, ilustra esse resultado,
ou seja, o mapeamento de pontos sobre o eixo imaginário do Plano S corresponde a pontos
sobre o círculo de raio unitário no Plano Z.
 Figura 17 – Mapeamento de pontos sobre o eixo imaginário para o círculo unitário
Ao analisarmos o mapeamento, os pontos originários do eixo imaginário do Plano S, surge a
seguinte questão: como fica o mapeamento de pontos localizados à esquerda e à direita do
eixo imaginário? Em outras palavras, deseja-se agora analisar o mapeamento dos pontos
localizados nos semiplanos esquerdo e direito do Plano S.
Os pontos localizados no semiplano esquerdo são os que possuem parte real negativa e que
matematicamente são definidos como:
com σ > 0.
Como consequência, os correspondentes módulo e ângulo são dados por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o módulo é menor que a unidade, concluímos que pontos localizados no semiplano S
esquerdo são mapeados dentro do círculo de raio unitário no Plano Z, conforme ilustrado
abaixo.
|z| = 1
s = −σ + jω
∣∣z∣∣ = e−σT < 1   e   ∠z = ωT
 Figura 18 – Mapeamento de pontos do semiplano esquerdo para o interior do círculo
unitário
Resta apenas a análise de pontos originários do semiplano direito S.
Igualmente ao caso anterior, podemos definir que os pontos localizados no semiplano direito
são os que possuem parte real positiva e que matematicamente são definidos como:
com σ > 0.
Como consequência, os correspondentes módulo e ângulo são dados por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como, neste caso, o módulo é maior que a unidade, constatamos que pontos localizados no
semiplano S direito são mapeados fora do círculo de raio unitário no Plano Z, conforme ilustra a
Figura 19.
 Figura 19 - Mapeamento de pontos do semiplano direito para o exterior do círculo unitário
s = σ + jω
∣∣z∣∣ = eσT > 1   e   ∠z = ωT
TEORIA NA PRÁTICA
Obter a Função de Transferência discreta de um sistema de controle de velocidade de uma
máquina de manufatura de um produto dado pela seguinte equação de diferenças:
em que k = {1,2,3,…}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Aplicando Transformada Z em ambos os lados da equação e considerando condições iniciais
nulas:
Colocando Y(z) e U(z) em evidência:
Logo, a Função de Transferência é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja, a seguir, mais informações sobre Obtenção de uma Função de Transferência Discreta.
MÃO NA MASSA
y(k) + 4y(k − 1) + 3y(k − 2) = u(k) + 5u(k − 1) + 4u(k − 2)
Y(z) + 4z−1Y(z) + 3z−2Y(z) = U(z) + 5z−1U(z) + 4U(z)
(1 + 4z−1 + 3z−2)Y(z) = (1 + 5z−1 + 4z−2)U(z)
G(z) = = =Y(z)
U(z)
1+5z−1+4z−2
1+4z−1+3z−2
z2+5z+4
z2+4z+3
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao longo dos quatro módulos, descrevemos os conceitos ligados às equações de diferenças e
à representação de sistemas lineares discretos. Vimos o conceito de convolução de sinais
discretos e a sua importância no cálculo da resposta temporal de sistemas dinâmicos.
Abordamos a definição de Transformada Z e algumas propriedades úteis da Transformada Z
unilateral, além de métodos para o cálculo da Transformada Z e da Transformada Z Inversa.
Por fim, definimos as funções de transferência no domínio Z e explicamos o conceito de
mapeamento de polos e zeros no plano Z.
Dito isso, acreditamos que, ao chegar ao fim deste estudo, você tenha assimilado os conceitos
relacionados aos sistemas lineares discretos.
 PODCAST
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
AGUIRRE, Luís Antônio. Introdução à Identificação de Sistemas. Editora UFMG. 2007
EXAME. 38 fotos que contam a história do homem na lua. Publicado em 6 de out. 2015
FRANKLIN, Gene. POWELL, David. EMAMI-NAEINI, Abbas. Sistemas de Controle para
Engenharia. Bookman.
NISE, Norman S. Engenharia de Sistemas de Controle. 7 ed. RJ: LTC, 2017
KLUEVER, Craig A. Sistemas Dinâmicos - Modelagem, Simulação e Controle. RJ: LTC, 2017
OPPENHEIM, Alan. WILLSKYM, Alan. NAWAB, Hamid. Sinais e Sistemas. Prentice-Hall, 2010.
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno. SP: Pearson, 2011
PENEDO, Sergio Ricardo Master. Servoacionamento - Arquitetura e Aplicações. SP: Saraiva,
2014
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, pesquise:
Curso de Processamento Digital de Sinais – LNCC. Youtube.
Curso de Sinais e Sistemas – UFBA. Youtube.
CONTEUDISTA
Marcelo de Araújo Oliveira
 CURRÍCULO LATTES
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