Lista 2 - 43econ1

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA 
CENTRO DE CIÊNCIAS DA ADMINISTRAÇÃO 
E SÓCIO-ECONÔMICAS – ESAG 
II LISTA ECONOMETRIA I 
 
1) Quando a nossa FRP assume a seguinte forma: Yi = β2Xi + ui, damos o nome de Regressão 
pela origem. 
a) Deduza os estimadores de MQO para esse caso na forma de somas brutas (não desvios). 
Comente o modelo de Regressão que passa pela origem. 
b) Nesse caso, o que acontece se você forçar ∑ 𝑢 = 0? Explique e demonstre. 
 
2) A seguir são dados 3 conjuntos de dados para a estimação de 3 modelos (Dica: fica muito 
mais fácil se você usar a abordagem de alteração de escala e unidade de medida). 
Y1 X1 Y2 X2 Y3 X3 
4 1 10 5 12 1 
7 3 17.5 15 21 3 
9 7 22.5 35 27 7 
10 10 25 50 30 10 
12 18 30 90 36 18 
13 21 32.5 105 39 21 
15 25 37.5 125 45 25 
20 36 50 180 60 36 
𝑌1̂ = 𝛼0̂ + 𝛼1̂𝑋1 
 𝑌2̂ = 𝛽0̂ + 𝛽2̂𝑋2 
 𝑌3̂ = 𝛿0̂ + 𝛿3̂𝑋3 
 Sabe-se que: 
 𝛼0̂ = 5.1284 ; 𝑣𝑎𝑟(𝛼0̂) =0.3070379; 𝛼1̂ = 0.4047 ; 𝑣𝑎𝑟(𝛼1̂)= 0.000863184 
a) Encontre 𝛽0̂ ; 𝛽2̂; 𝑣𝑎𝑟(𝛽0)̂; 𝑣𝑎𝑟(𝛽2̂) Mostre seus cálculos 
b) Encontre 𝛿0̂; 𝛿3̂; 𝑣𝑎𝑟(𝛿0̂); 𝑣𝑎𝑟(𝛿3)̂ Mostre seus cálculos 
 
3) (Baseada na ANPEC) Um pesquisador estima o seguinte modelo de regressão simples: 
iii eXY ++= 10  . Outro pesquisador estima o mesmo modelo, mas com escalas diferentes 
para iY e iX . O segundo modelo é: 
***
1
*
0
*
iii eXY ++=  , em que: ii YwY 1
* = , ii XwX 2
* = e 
1w e 2w são constantes maiores que zero. Assinale as alternativas a seguir como Verdadeiras 
(V) ou Falsas (F) e justifique. Questões sem justificativa ou com a justificativa errada não 
serão consideradas. 
(F) Os estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários de 0 e 1 são iguais aos de 
*
0 e 
*
1 . 
(V) Se 2*̂ é a variância estimada de *ie e 
2̂ é a variância estimada de ie , então 
22
1
2* ˆˆ  w= . 
(F) As variâncias dos estimadores dos parâmetros do primeiro modelo são maiores do que as 
variâncias dos estimadores do segundo modelo. 
(V) Os coeficientes de determinação são iguais nos dois modelos. 
(V) A transformação de escala de ( iY , iX ) para (
*
iY ,
*
iX ) não afeta as propriedades dos estimadores 
de Mínimos Quadrados Ordinários dos parâmetros. 
 
4) Demonstre que num modelo (de MQO) com intercepto e 3 variáveis (Y, X2 e X3): 
∑ û = 0 ∑ ûX2 = 0 ∑ ûX3 = 0 ∑ û
2 = ∑ y2 − β̂2 ∑ yx2 − β̂3 ∑ yx3 
 
5) Imagine que um pesquisador, ao tabelar seus dados acabou, por engano, multiplicando todos 
os valores da variável Y por 8 e todos os valores da variável X por 4. Demonstre como esse 
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erro irá afetar o coeficiente de inclinação e o coeficiente de intercepto quando a estimação for 
feita por MQO. Caso o pesquisador só perceba o erro depois de estimar os coeficientes, como 
fazer para corrigir o problema? (responda com base nas transformações de escala e unidade de medida) 
 
6) Diga quais são as formas funcionais mais comuns usadas nos modelos de econometria e 
depois escolha 3 (três) delas para demonstrar como se obtém a inclinação e a elasticidade. 
 
7) Seja o seguinte modelo: 𝑊 = 𝐴𝑃𝑏𝑌𝑐𝐶𝑑𝑒𝑢 
onde W = quantidade demandada, P = preço de mercado, Y = renda per capita, C = preço de 
bens complementares, u = termo aleatório, e = base do logaritmo neperiano. 
a) Qual a importância e a interpretação deste tipo de modelo econométrico? 
b) Deduza as inclinações do coeficiente de renda e preço. Deduza também as elasticidades renda e 
preço da demanda. 
 
8) A partir dos dados a seguir, estime os coeficientes de regressão parcial, os valores de R² e F. 
Interprete os resultados. Depois, explique o que aconteceria caso você usasse (erroneamente) a 
fórmula do modelo de regressão linear simples para estimar os parâmetros. 
�̅� = 6.742 ; �̅�2 = 12.9 ; �̅�3 = 14.7 ; 𝑛 = 10 
∑(𝑌 − �̅�)2 = 210.25 ; ∑(𝑋2 − �̅�2)
2 = 86.9 ; ∑(𝑋3 − �̅�3)
2 = 1498.1 
∑(𝑌 − �̅�)(𝑋2 − �̅�2) = 102.62 ; ∑(𝑌 − �̅�)(𝑋3 − �̅�3) = 145.69 ; ∑(𝑋2 − �̅�2)(𝑋3 − �̅�3) = −76.3 
 
9) É dado uma amostra com 5 observações: 
Admite-se que as variáveis estão relacionadas de acordo com o modelo matricial 
Y=Xβ+u, onde os us são erros independentes, de média zero, variância constante e 
distribuição normal. 
Um pesquisador ao analisar os dados, resolve, primeiro, estimar um modelo de 
regressão simples de Y contra X2. Os resultados obtidos pelo pesquisador são 
apresentados a seguir: 
 
Modelo 1: MQO, usando as observações 1-5 
Variável dependente: Y 
 
 Coeficiente Erro Padrão razão-t p-valor 
Const 0.8 0.382971 2.0889 0.12791 
X2 1.4 0.11547 12.1244 0.00121 *** 
Média var. dependente 5.000000 D.P. var. dependente 2.236068 
Soma resíd. quadrados 0.400000 E.P. da regressão 0.365148 
R-quadrado 0.980000 R-quadrado ajustado 0.973333 
F(1, 3) 147.0000 P-valor(F) 0.001208 
 
 Não satisfeito, o pesquisador decide adicionar no modelo a variável X3 e estimar o modelo de regressão 
múltipla de Y em função de X2 e X3. 
a) Determine as estimativas dos parâmetros da regressão linear do modelo de regressão múltipla, 
teste, ao nível de significância de 5%, a significância individual dos parâmetros de inclinação; 
apresente os cálculos e interprete os resultados. 
b) Elabore a tabela ANOVA, faça o teste F e calcule o coeficiente de determinação da regressão 
múltipla; apresente os cálculos e interprete os resultados. 
Y X2 X3 
2 1 0 
4 2 1 
5 3 0 
6 4 1 
8 5 1 
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c) Teste se a inclusão da variável X3 no modelo foi estatisticamente significativa e interprete o 
resultado 
10) Sabendo que: 𝐹 =
𝑆𝐸𝑄/(𝑘−1)
𝑆𝑄𝑅/(𝑛−𝑘)
, deduza uma equação para F em termos de R² e explique. 
 
11) Com base na saída de computador abaixo, monte a tabela ANOVA. 
Modelo 1: Estimativas OLS usando as 64 observações 1-64 
Variável dependente: CM 
 
Variável Coeficiente Erro Padrão estatística-t p-valor 
Const 263.642 11.5932 22.7411 <0.00001 
FLR -2.23159 0.209947 -10.6293 <0.00001 
PGNP -0.00564659 0.00200326 -2.8187 0.00649 
 
 Média da variável dependente = 141.5 
 Desvio padrão da variável dependente = 75.9781 
 Soma dos resíduos quadrados = 106316 Erro padrão dos resíduos = 41.7478 
 R2 não-ajustado = 0.70767 R2 ajustado = 0.69808 
 
12) Usando os dados abaixo, faça os testes para verificar se a inclusão da variável explicativa X3 no 
modelo trouxe uma contribuição marginal significativa. Explique o resultado. 
Modelo 1: Estimativas OLS usando as 526 
observações 1-526 
Variável dependente: Y 
Variável Coeficiente Erro 
Padrão 
estatística-
t 
p-valor 
const -0.904852 0.684968 -1.3210 0.18707 
X2 0.541359 0.053248 10.1667 <0.00001 
Média da variável dependente = 5.8961 
Desvio padrão da variável dependente = 3.69309 
Soma dos resíduos quadrados = 5980.68 
Erro padrão dos resíduos = 3.37839 
R2 não-ajustado = 0.16476 
R2 ajustado = 0.16316 
Modelo 2: Estimativas OLS usando as 526 
observações 1-526 
Variável dependente: Y 
Variável Coeficiente Erro 
Padrão 
estatística-
t 
p-valor 
Const -3.39054 0.766566 -4.4230 0.00001 
X2 0.644272 0.0538061 11.9740 <0.00001 
X3 0.0700954 0.0109776 6.3853 <0.00001 
Média da variável dependente = 5.8961 
Desvio padrão da variável dependente = 3.69309 
Soma dos resíduos quadrados = 5548.16 
Erro padrão dos resíduos = 3.25704 
R2 não-ajustado = 0.22516 
R2 ajustado = 0.22220 
 
 
13) Imagine que uma firma de Advocacia, especializada em contratos pré-nupciais e separação 
litigiosa, quer analisar as “puladas de cerca” de uma pessoa em um dado ano para poder 
aplicar um fator de correção nas indenizações por separações por traição. Com base na saída 
de computador abaixo para dados de cross-section hipotéticos:Modelo 1: Estimativas MQO usando as 601 observações 1-601 
Variável dependente: número de casos extra-conjugais por ano (“puladas de cerca”) 
 
 VARIÁVEL COEFICIENTE ERRO PADRÃO ESTAT. T P-VALOR 
 
 constante 1.53484 0.547681 2.802 0.00524 *** 
 idade(em anos) -0.0449423 0.0226134 -1.987 0.04733 ** 
 anos de casamento 0.168890 0.0377022 4.480 <0.00001 *** 
 
 Média da variável dependente = 1.45591 Desvio padrão da variável dependente = 3.29876 
 Soma dos resíduos quadrados = 6259.81 Erro padrão dos resíduos = 3.23541 
 R² não-ajustado = 0.04124 
a) Complete o quadro acima com as informações que estão faltando e interprete os resultados. Depois, 
com base nos dados, elabore a tabela ANOVA. 
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b) Com base nos resultados, diga se a omissão da variável idade traria uma perda marginal 
estatisticamente significativa para o modelo. 
 
14) Hipoteticamente, imagine que uma firma de advocacia, especializada em contratos pré-nupciais e 
separação litigiosa, quer analisar as “puladas de cerca” de uma pessoa em um dado ano. Os 
modelos abaixo mostram dados de cross-section hipotéticos e relacionam “número de Puladas de 
cerca” (Y) em relação aos Anos de Casamento (X2) e Idade da pessoa (X3). Verifique se a 
inclusão da variável X3 no modelo trouxe um ganho marginal significativo. Explique o resultado. 
Modelo 1: MQO, usando as observações 1-601 
Variável dependente: Y 
 Coeficiente Erro 
Padrão 
razão-t p-valor 
Const 0,55122 0,235111 2,3445 0,01938 
X2 0,110629 0,0237664 4,6548 <0,00001 
 
Média var. dependente 1,455907 
Soma resíd. Quadrados 6301,152 
R-quadrado 0,034910 
 
Modelo 2: MQO, usando as observações 1-601 
Variável dependente: Y 
 Coeficiente Erro 
Padrão 
razão-t p-valor 
const 1,53484 0,547681 2,8024 0,00524 
X3 -0,0449423 0,0226134 -1,9874 0,04733 
X2 0,16889 0,0377022 4,4796 <0,00001 
 
Média var. dependente 1,455907 
Soma resíd. quadrados 6259,806 
R-quadrado 0,041242 
 
 
15) Os modelos abaixo apresentam as relações entre Demanda de moeda e Taxa de juros no Canadá 
do primeiro trimestre de 1979 ao quarto trimestre de 1988. Utilize o teste Chow e diga se houve 
quebra estrutural no quarto trimestre de 1983. Diga quais são as hipóteses adotadas no teste 
Chow e as limitações do teste. 
Modelo 1: Estimativas OLS usando as 40 observações 1979:1-1988:4 
Variável dependente: M1 
 
Variável Coeficiente Erro Padrão estatística-t p-valor 
Const 39082.9 2300.36 16.9900 <0.00001 
R -887.079 192.847 -4.5999 0.00005 
 
 Média da variável dependente = 28871.5 
 Desvio padrão da variável dependente = 4697.08 
 Soma dos resíduos quadrados = 552691000 Erro padrão dos resíduos = 3813.72 
 R2 não-ajustado = 0.35766 
 
Modelo 2: Estimativas OLS usando as 20 observações 
1979:1-1983:4 
Variável dependente: M1 
 
Variável Coeficiente Erro 
Padrão 
estatística-
t 
p-valor 
Const 26657.5 1602.88 16.6310 <0.00001 
R -114.938 115.967 -0.9911 0.33476 
 
Média da variável dependente = 25113.6 
Desvio padrão da variável dependente = 1688.69 
Soma dos resíduos quadrados = 51377700 
Erro padrão dos resíduos = 1689.47 
R2 não-ajustado = 0.05175 
Modelo 3: Estimativas OLS usando as 20 observações 
1984:1-1988:4 
Variável dependente: M1 
 
Variável Coeficiente Erro 
Padrão 
estatística-
t 
p-valor 
const 42999.6 5842.07 7.3603 <0.00001 
R -1081.35 604.083 -1.7901 0.09028 
 
Média da variável dependente = 32629.5 
Desvio padrão da variável dependente = 3564.28 
Soma dos resíduos quadrados = 204902000 
Erro padrão dos resíduos = 3373.93 
R2 não-ajustado = 0.15112 
 
16) Considere que o seguinte modelo de regressão linear é o correto: 
 𝑌𝑖 = 𝛽1̂ + 𝛽2̂𝑋2𝑖 + 𝛽3̂𝑋3𝑖 + 𝑢�̂�, com i = 1,...,n. 
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Suponha que os Xsi são não estocásticos e que as Hipóteses do Modelo Clássico de Regressão Linear se aplicam 
a esse modelo. Sabe-se, no entanto, que existe uma leve correlação entre as variáveis X2 e X3. Imagine que seu 
programa econométrico pare de fazer regressões múltiplas, fazendo apenas regressões simples com 2 variáveis 
por vez. Quais os procedimentos você usaria para estimar os valores de 𝛽2̂ (livre da influência 𝛽3̂) da 
regressão múltipla de MQO usando apenas regressões simples? 
 
17) Considere os modelos (a), (b) e (c) de Regressão Linear e as estimativas de Mínimos Quadrados 
Ordinários (MQO): 
(𝑎) 𝑌𝑖 = �̂�2𝑋2𝑖 + �̂�𝑖 
(𝑏) 𝑌𝑖 = 𝜃1 + 𝜃2𝑋2𝑖 + �̂�𝑖 
(𝑐)𝑌𝑖 = �̂�1 + �̂�2𝑋2𝑖 + �̂�3𝑋3𝑖 + �̂�𝑖 
Considere também que as variáveis (Y, X2 e X3) são as mesmas nos modelos, todos os modelos têm o 
mesmo número de observações e existe variabilidade nas variáveis Y, X2 e X3. 
Imagine que o modelo correto, que representa os verdadeiros parâmetros populacionais, é o modelo de 
regressão linear simples (b), demonstre se os coeficientes �̂�2 e �̂�2 são (ou não) estimadores não-
tendenciosos (não viesados) do verdadeiro parâmetro populacional e explique as hipóteses utilizadas 
diretamente na sua demonstração. 
 
18) Para o modelo de regressão múltipla do tipo 𝑌𝑖 = �̂�1 + �̂�2𝑋2𝑖 + �̂�3𝑋3𝑖 + �̂�𝑖, considere o seguinte 
conjunto de dados: 
Y 24.75 21 9 15 5.25 
X2 -3 -1.5 0 1.5 3 
X3 -1 -3.5 -4 -7.5 -9 
a) Calcule os coeficientes �̂�1, �̂�2 𝑒 �̂�3, e interprete os resultados. 
b) Elabore a tabela ANOVA, calcule e interprete o R² 
c) Faça os testes de significância individual (para �̂�2 𝑒 �̂�3) e o teste de significância conjunta. 
d) Para esse mesmo banco de dados, um pesquisador resolveu estimar um modelo alternativo fazendo: 
𝑌𝑖 = �̂�1 + �̂�3𝑋𝑖
∗ + �̂�𝑖 onde 𝑋𝑖
∗ = (2𝑋2𝑖 + 𝑋3𝑖) 
os resultados do modelo alternativo são apresentados no Quadro 1 a seguir. 
 Comparando o modelo alternativo com o modelo que você estimou na letra (a) é possível 
elaborar um Teste envolvendo modelos restritos e irrestritos. Discuta que tipo de teste é 
possível realizar e posteriormente realize esse teste e interprete-o com um nível de significância 
de 5%. 
 
 
18) ENAD 2012: 
 MQO, usando as observações 1-5 
Variável dependente: Y 
 
 Coeficiente Erro Padrão razão-t p-valor 
Const −8.47826 2.60257 -3.2576 0.04722 ** 
X* −4.69565 0.498106 -9.4270 0.00253 *** 
 
Média var. dependente 15.00000 D.P. var. dependente 8.095137 
Soma resíd. quadrados 8.559783 E.P. da regressão 1.689160 
F(1, 3) 88.86857 P-valor(F) 0.002529 
 
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19) O processo de globalização mudou radicalmente a forma como as empresas e os indivíduos 
tomam suas decisões. Os processos de produção e os produtos precisam ser aprimorados de 
tempos em tempos. Na indústria, a maneira com a qual o capital e o trabalho são alocados para 
a produção podem ser decisivos no processo de tomada de decisões empresariais. O modelo de 
produção mais conhecido é o Cobb-Douglas 𝑌 = 𝛽1𝑋2
𝛽2𝑋3
𝛽3 𝑒𝑢 com Y = produto, X2 = 
trabalho e X3 = capital. Utilizando MQO e, supondo que todas as hipóteses são atendidas, foi 
estimado o seguinte modelo (obs: ln_ indica a utilização da variável na escala logarítmica): 
Modelo 1: MQO, usando as observações 2003:1-2014:4 (T = 48) 
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Variável dependente: ln_Producao 
 
 Coeficiente Erro Padrão razão-t 
Const 0.5 0.139673 1.3 
ln_Capital 0.315072 0.03 9.0 
ln_Trabalho 0.75 0.04 20.2390 
 
Média var. dependente 11.0 Soma resíduos quadrados 0.05 
R-quadrado 0.96a) Com relação à forma funcional, explique em detalhes o modelo estimado e deduza (demonstre) 
como ficam as equações de inclinação e as elasticidades do trabalho e capital. 
b) Complete o quadro acima com as informações que estão faltando e depois, com base nos dados, 
elabore a tabela ANOVA. 
c) Explique o modelo proposto, explique e analise os resultados, analise e desenvolva os testes de 
significância individual e conjunta (use um α=5%). 
d) Explique, em detalhes, como você faria para testar a hipótese de retornos constantes de escala 
no modelo. 
 
20. (Baseado em ANPEC) Um econometrista estimou o seguinte modelo de regressão para explicar a 
renda de 526 indivíduos: 
ln(𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎) = 0,510 − 0,310𝑔ê𝑛𝑒𝑟𝑜 + 0,080𝑒𝑑𝑢𝑐 + 0,030𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟 − 0,001𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟2 + 𝑢 
 (0,099) (0,036) (0,03) (0,005) (0,0001) 
R2=0,441 
em que gênero é uma variável dummy (=1 se mulher, =0 se homem), educ é o número de anos gastos com 
educação, exper é a experiência profissional do individuo, medido em anos. Os erros padrões dos 
coeficientes estão entre parênteses. Com base nesses resultados, justifique/demonstre TODAS as 
afirmativas a seguir e classifique-as como Verdadeira (V) ou Falsa (F): 
 
i( ) Mantendo tudo o mais constante, o efeito de um ano a mais de experiência profissional na renda de um 
indivíduo é de, em média, 3%. 
ii( ) Mantendo tudo o mais constante, o efeito de um ano a mais de escolaridade na renda de um indivíduo 
é, em média, de 0,08 unidades monetárias. 
iii( ) De acordo com o modelo estimado, a hipótese de que a variável gênero não traz uma contribuição 
marginal estatisticamente significativa não é rejeitada ao nível de significância de 5%. 
iv( ) Em uma regressão do resíduo u em função de educação e gênero, o R2 será zero. 
v( ) Neste modelo, a elasticidade educação-renda é dada por 0,080 (
𝑋
𝑌
). 
vi( ) Se você converter a experiência profissional de anos para décadas, ou seja, se você dividir a série de 
experiência profissional por 10, os coeficientes das variáveis gênero e educ não sofrerão alteração, mas os 
coeficientes de exper e exper² serão alterados na proporção de 1/10 e ficarão, respectivamente: 0,003 e 
0,0001. 
vii( ) O valor do teste F de significância conjunta desse modelo é de aproximadamente 103. 
viii( ) Ao incluir uma variável adicional no modelo, por exemplo a idade, se o R² aumentar para 0,541, 
isso significa que, em uma regressão simples ln(𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎) = �̂�1 + �̂�2𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 + �̂� o r² deve ser de 0,1. 
ix( ) Quando comparamos modelos com a mesma variável dependente, mas com número diferente de 
variáveis independentes, é importante analisar o valor do R² ajustado pois o simples fato de adicionar 
variáveis independentes no modelo tende a aumenta naturalmente a Soma dos Quadrados Totais. 
x( ) Uma forma de calcular o R² de um modelo de regressão múltipla é através da soma dos seus 
respectivos coeficientes de determinação de regressão simples, tal que, nesse exemplo: R²=r212+r213+r214 
 
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21. Um modelo de regressão linear múltipla do tipo 𝑌𝑡 = �̂�1 + �̂�2𝑋2𝑡 + �̂�3𝑋3𝑡 + �̂�𝑡 foi utilizado para 
analisar a relação entre os Poluição por CO2 (Y) em função do Número de Veículos (X2) e 
Produção industrial (X3) ao longo de 10 meses. Um pesquisador conseguiu obter os seguintes 
resultados: 
∑ 𝑌 = 380; ∑ 𝑋2 = 100; ∑ 𝑋3 = 180; ∑ 𝑦
2 = 3982; ∑ 𝑥2
2 = 348; ∑ 𝑥3
2 = 1000; 
∑ 𝑦𝑥2 = 1135; ∑ 𝑦𝑥3 = 1876; ∑ 𝑥2 𝑥3 = 544; 
a) Estime os parâmetros do modelo e interprete os resultados. Cuidado com os detalhes. 
b) Faça a Tabela ANOVA, o teste F e o R². Interprete o F e o R². 
c) Calcule os erros padrão dos coeficientes 𝜷�̂� e 𝜷�̂� do modelo e faça o teste t para um α = 5% 
interpretando-os. 
d) É possível dizer que a variável Produção industrial trouxe uma contribuição Marginal Estatisticamente 
significativa ao modelo? Justifique e teste. 
 
22. Considere que a estimação da função Custo Marginal de Produção de Curto Prazo envolve a 
utilização da função de regressão polinomial de segundo grau, representada genericamente por: 
𝑪𝑴𝒈𝒊 = 𝜷�̂� + 𝜷�̂�𝑸𝒊 + 𝜷�̂�𝑸𝒊
𝟐 + �̂�𝒊 (1.1) 
Essa função é capaz de captar primeiro a queda e depois o aumento dos Custos Marginais (CMg) à 
medida que aumenta a quantidade produzida (Q). 
Os dados da Tabela 1 abaixo referem-se ao Custo Marginal da produção de um Bem Z e o nível de 
produção do Bem Z. 
Um aluno inexperiente da primeira fase do curso de economia estimou o seguinte 
modelo 𝑪𝑴𝒈 = 𝜶�̂� + 𝜶�̂�𝑸𝒊 + �̂�𝒊 (1.2) 
usando MQO e obteve os resultados apresentados no QUADRO 1 a seguir. 
Imagine que as hipóteses do modelo clássico de regressão linear se aplicam a esse 
problema. 
 
Com base nas informações apresentadas, responda: 
 
Dado o modelo de regressão múltipla apresentado em (1.1): 
a) Estime os parâmetros do modelo e interprete os resultados no ponto médio. 
b) Calcule os erros padrão dos coeficientes 𝜷�̂� e 𝜷�̂� do modelo e faça o teste t para 
um α = 5%. 
c) Faça a Tabela ANOVA, o teste F e o R². Interprete. 
d) Qual o Custo Marginal Esperado quando a produção for de 15 unidades do Bem Z e qual é a quantidade 
produzida que gera o menor custo marginal? (os valores podem ser fracionados) 
e) Analisando os modelos 1.1 e 1.2, faça o teste (com α = 5%) para verificar se a inclusão de Q² trouxe 
uma contribuição marginal estatisticamente significativa. Justifique seu procedimento. 
f) Demonstre e explique o que aconteceria e como seriam transformados os estimadores de 𝜷𝟐 e 𝜷𝟑 caso a 
produção sofra uma transformação de escala e passe a ser calculada em dúzias (por exemplo, 6 unidades = 
1/2 dúzia). Depois, apresente os valores de 𝜷∗𝟐 e 𝜷
∗
𝟑. 
 
23. Considere uma função de produção do tipo Cobb-Douglas 𝑄 = 𝐴𝐾𝛽2𝐿𝛽3 𝑒𝑢 
onde Q = quantidade, K = capial, L = trabalho, u = termo aleatório, e = base do logaritmo 
neperiano. 
a) Explique, em detalhes, como você faria para testar, conjuntamente, se esse modelo apresenta 
retornos constantes de escala e se a elasticidade capital e trabalho são iguais. 
b) Derive e interprete a inclinação e a elasticidade do capital e do trabalho nesse modelo. 
 
Tabela 1 
Custo Marginal 
(CMg) 
Produção 
(Q) 
60 1 
55 2 
49 3 
45 5 
40 7 
47 8 
54 10 
58 13 
60 14 
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24. Para uma amostra com 43925 indivíduos, um pesquisador estimou os modelos numerados de 1 a 4 
apresentados no quadro a seguir onde Y = ln dos gastos com veículo próprio; X2= ln da Renda; X3 
= ln dos gastos com transporte público: 
Modelo 1: MQO, usando as observações 1-43925 
Variável dependente: Y 
 
 Coeficiente Erro 
Padrão 
razão-t p-valor 
Const −8,59735 0,103582 −83,00 <0,0001 *** 
X2 1,60152 0,0139913 114,5 <0,0001 *** 
 
Média var. 
dependente 
 3,181605 D.P. var. 
dependente 
 
2,826389 
Soma resíd. 
Quadrados 
 270264,9 E.P. da 
regressão 
 
2,480555 
R-quadrado 0,229764 R-quadrado 
ajustado 
 
0,229746 
 
Modelo 2: MQO, usando as observações 1-43925 
Variável dependente: Y 
 
 Coeficiente Erro 
Padrão 
razão-t p-valor 
Const 4,04166 0,0171700 235,4 <0,0001 *** 
X3 −0,426979 0,00573258 −74,48 <0,0001 *** 
 
Média var. 
dependente 
 3,181605 D.P. var. 
dependente 
 
2,826389 
Soma resíd. 
quadrados 
 311537,1 E.P. da 
regressão 
 
2,663231 
R-quadrado 0,112141 R-quadrado 
ajustado 
 
0,112121 
 
Modelo 3: MQO, usando as observações 1-43925 
Variável dependente: X2 
 
 Coeficiente Erro 
Padrão 
razão-t p-valor 
const 7,36431 0,00545347 1350, <0,0001 *** 
X3 −0,00469618 0,00182076 −2,579 0,0099 *** 
 
Média var. dependente 7,354854 
Soma resíd.Quadrados 31427,96 
R-quadrado 0,000151 
 
Modelo 4: MQO, usando as observações 1-43925 
Variável dependente: X3 
 
 Coeficiente Erro 
Padrão 
razão-t p-valor 
Const 2,25144 0,0925586 24,32 <0,0001 *** 
X2 −0,0322463 0,0125023 −2,579 0,0099 *** 
 
Média var. dependente 2,014276 
Soma resíd. quadrados 215800,1 
R-quadrado 0,000151 
 
 
 
a) Estime os parâmetros �̂�1, �̂�2 e �̂�3 do modelo (c) e interprete. 
b)Teste a significância (individual e conjunta) de �̂�2 e �̂�3. Teste também se a inclusão da variável X3 trouxe 
uma contribuição marginal estatisticamente significativa. (Use sempre α = 5%) 
 
25. O processo de globalização vem mudando significativamente a forma como indivíduos, empresas e 
governos interagem. Os produtores e consumidores não mais se restringem a espaços geográficos e a 
concorrência agora é mundial. Esse processo mudou a forma como as empresas competem e cooperam nos 
mercados e, para se manterem sempre competitivos é necessária a busca constante por eficiência. Nesse sentido, 
conhecer bem os custos de produção tornam-se fundamentais para organizar e gerenciar os processos 
produtivos. Considere que a estimação da função Custo Marginal de Produção de Curto Prazo envolve a 
utilização da função de regressão múltipla, representada genericamente por: 
𝑪𝑴𝒈𝒊 = 𝜷�̂� + 𝜷�̂�𝑸𝒊 + 𝜷�̂�𝑸𝒊
𝟐 + 𝜷�̂�𝑲𝒊 + 𝜷�̂�𝑳𝒊 + �̂�𝒊 
que relaciona os Custos Marginais (CMg) em reais R$ em função da Quantidade Produzida (Q) em unidades, a 
quantidade de Capital (K) em número de máquinas utilizadas e a quantidade de trabalho (L) em número de 
funcionários utilizados. 
Um econometrista estimou o modelo de regressão para analisar os CMg de 500 empresas de mesmo porte e os 
resultados foram: 
CMg = 350 − 2𝑄 + 0.05𝑄
2 + 1.5𝐾 + 0.3𝐿 + 𝑢 
 (50) (0.4) (0.01) (0.5) (0.03) R2=0.8 
Os erros padrões dos coeficientes estão entre parênteses. Com base nesses resultados, assumindo que as 
Hipóteses do MCLR são válidas e em um contexto de ceteris paribus, justifique/demonstre TODAS as 
afirmativas a seguir e classifique-as como Verdadeira (V) ou Falsa (F): 
 
i( ) O efeito de uma máquina a mais sobre o CMg é de, em média, 1.5%. 
ii( ) O efeito de dez trabalhadores a mais no CMg é de, em média, 3 reais. 
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iii( ) De acordo com o modelo estimado, a hipótese de que a variável capital não traz uma contribuição 
marginal estatisticamente significativa não é rejeitada ao nível de significância de 5%. 
iv( ) Em uma regressão do resíduo u em função de capital e trabalho, o R2 será zero. 
v( ) Neste modelo, a elasticidade CMg-Capital é dada por 1.5 (
𝐾
𝐶𝑀𝑔
). 
vi( ) Se você converter a quantidade produzida de unidades para dúzias, ou seja, se você dividir a 
quantidade produzida por 12, os coeficientes das variáveis capital e trabalho não sofrerão alteração, mas os 
coeficientes de Q e Q² serão alterados na proporção de 1x12 e ficarão, respectivamente: 24 e 0.6. 
vii( ) O valor do teste F de significância conjunta desse modelo é de aproximadamente 495. 
viii( ) Ao incluir uma variável nova no modelo, por exemplo custo da matéria prima (CMP), se o R² 
aumentar para 0.85, significa que em uma regressão simples CMg = �̂�1 + �̂�2𝐶𝑀𝑃 + �̂� o r² deve ser de 0.05. 
ix( ) Quando comparamos modelos com a mesma variável dependente, mas com número diferente de 
variáveis independentes, é importante analisar o valor do R² ajustado pois o simples fato de adicionar 
variáveis independentes no modelo tende a aumenta naturalmente a Soma dos Quadrados Totais. 
x( ) Em média, a quantidade produzida que minimiza o CMg é de 40 unidades. 
xi( ) Em média, cada unidade produzida a mais diminui o CMg em 2 reais. 
xii ( ) Caso o modelo tente ser estimado na sua forma log-log: 𝒍𝒏𝑪𝑴𝒈𝒊 = 𝜶�̂� + 𝜶𝟐𝒍�̂�𝑸𝒊 + 𝜶�̂�𝒍𝒏𝑸𝒊
𝟐 +
𝜶𝟒𝒍�̂�𝑲𝒊 + 𝜶�̂�𝒍𝒏𝑳𝒊 + �̂�𝒊 os coeficientes 𝜶𝒔 estimados por MQO já fornecerão as elasticidades. 
 
26. Considere os modelos (a) e (b) de Regressão Linear e as estimativas de Mínimos Quadrados 
Ordinários (MQO): (𝑎) 𝑌𝑖 = �̂�2𝑋𝑖 + �̂�𝑖; (𝑏) 𝑌𝑖 = 𝜃1 + 𝜃2𝑋𝑖 + �̂�𝑖; 
Considere também que as variáveis (Y, X) são as mesmas nos modelos, todos os modelos têm o mesmo 
número de observações e existe variabilidade nas variáveis Y, X. 
Explique, demonstre e desenhe quais são as implicações (em termos de viés e eficiência) ao utilizar 
erroneamente as fórmulas de regressão do modelo (a) para estimar o modelo (b) e vice-versa. 
 ( ) não sei responder (essa alternativa anula a sua resposta nessa questão e lhe dá automaticamente 0,2 ponto) 
 
27. Um econometrista estimou o seguinte modelo de regressão para explicar a renda (medida pelo 
salário/hora) de 1000 indivíduos: 
ln(𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎) = 2 − 0,2𝑔ê𝑛𝑒𝑟𝑜 + 0,05𝑒𝑑𝑢𝑐 + 0,090𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 − 0,001𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒2 + 0,02𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜𝐸𝑚𝑝𝑟𝑒𝑔𝑜 + 𝑢 
 (0,04) (0,1) (0,02) (0,005) (0,0001) (0,01) R2=0,6 
em que gênero é uma variável dummy (=1 se mulher, =0 se homem), educ é o número de anos gastos com 
educação, idade é a idade do individuo, medido em anos, TempoEmprego é o tempo de emprego do 
individuo na empresa, medido em anos. Os erros padrões dos coeficientes estão entre parênteses. 
Assumindo que as Hipóteses do MCLR são válidas e em um contexto de ceteris paribus, com base nesses 
resultados, justifique/demonstre TODAS as afirmativas a seguir e classifique-as como Verdadeira (V) ou 
Falsa (F): 
 
i( ) O efeito de um ano a mais de idade na renda de um indivíduo é de, em média, 3%. 
ii( ) O efeito de um ano a mais de escolaridade na renda de um indivíduo é, em média, de 0,05 unidades 
monetárias. 
iii( ) De acordo com o modelo estimado, a hipótese de que a variável gênero não traz uma contribuição 
marginal estatisticamente significativa não é rejeitada ao nível de significância de 5%. 
iv( ) Em média, a idade associada ao maior retorno salarial é de 45 anos. 
v( ) A elasticidade educação-renda de uma pessoa com 15 anos de educação e 60 R$/h de renda é 
aproximadamente 1,25%. 
vi( ) O valor do teste F de contribuição marginal da variável educ é de 0,025 e isso faz com que ela não 
seja considerada estatisticamente significativa ao nível de significância de 5%. 
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vii( ) O valor do teste F de significância conjunta desse modelo é de aproximadamente 248. 
viii( ) Ao incluir uma variável adicional no modelo, por exemplo a experiência, se o R² aumentar para 0,8, 
isso significa que, em uma regressão simples ln(𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎) = �̂�1 + �̂�2𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖ê𝑛𝑐𝑖𝑎 + �̂� o r² deve ser de 0,2. 
ix( ) De acordo com os resultados do modelo, a renda das mulheres é, em média, aproximadamente 20% 
menor do que a renda dos homens. 
x( ) Todos os coeficientes estimados no modelo são individualmente estatisticamente significativos ao 
nível de significância de 5%. 
( ) não sei responder (essa alternativa anula toda a sua resposta nessa questão e lhe dá automaticamente 0,3 ponto) 
 
28. Um economista foi encarregado de analisar as importações brasileiras anuais ao longo dos anos 1988-
2017 (incluindo os extremos). O economista estimou 2 modelos: 
𝑌�̂� = −859,92 + 0,6470𝑋2𝑡 − 23,195𝑋3𝑡 𝑅
2 = 0,95 (modelo 1) 
𝑌�̂� = −261,09 + 0,2452𝑋2𝑡 𝑅
2 = 0,85 (modelo 2) 
onde Yt= gastos do Brasil com importações de bens, em bilhões de $; X2t = renda pessoal disponível, em 
bilhões de $; X3t = variável de tendência. 
a) Calcule o erro padrão do coeficiente da variável X3t . 
( ) não sei responder (essa alternativaanula toda a sua resposta nessa questão e lhe dá automaticamente 0,1 ponto) 
b) Considere as seguintes alteração de escala para o modelo 1: a variável Y é dividida por 100; a variável 
X2 é multiplicada por 10; a variável X3 é dividida por 10. Recalcule os coeficientes do modelo 1 com 
base nos conceitos de alteração de escala e unidade de medida. 
( ) não sei responder (essa alternativa anula toda a sua resposta nessa questão e lhe dá automaticamente 0,1 ponto) 
 
c) Explique, em detalhes, como você faria para analisar comparativamente o poder de explicação dos modelos 1 e 
2. Nesses casos, comparar apenas o R² é uma boa estratégia? Apresente seus cálculos e interpretação. 
( ) não sei responder (essa alternativa anula toda a sua resposta nessa questão e lhe dá automaticamente 0,1 ponto) 
 
29. Um modelo de regressão linear múltipla do tipo 𝑌𝑡 = �̂�1 + �̂�2𝑋2𝑡 + �̂�3𝑋3𝑡 + �̂�𝑡 foi utilizado para 
analisar a relação entre o Preço da ação do Banco do Brasil (Y) em função do Preço médio das 
ações do Setor Bancário (X2) e o Preço médio das ações da Bolsa de Valores (X3) ao longo de 
20 períodos. Considerando que as Hipóteses do MCLR são válidas, um pesquisador conseguiu 
obter os seguintes resultados: 
∑ 𝑌 = 256,9; ∑ 𝑋2 = 7,18; ∑ 𝑋3 = 10,74; ∑ 𝑦
2 = 44.0855; ∑ 𝑥2
2 = 1,02238; ∑ 𝑥3
2 = 2,10842; 
∑ 𝑦𝑥2 = 6,2657; ∑ 𝑦𝑥3 = 6,7959; ∑ 𝑥2 𝑥3 = 0,60314; 
e) Estime os parâmetros do modelo e interprete os resultados. Cuidado com os detalhes. 
( ) não sei responder (essa alternativa anula toda a sua resposta nessa questão e lhe dá automaticamente 0,1 ponto) 
f) Faça a Tabela ANOVA, o teste F e o R². Interprete o F e o R². 
( ) não sei responder (essa alternativa anula toda a sua resposta nessa questão e lhe dá automaticamente 0,1 ponto) 
g) Calcule os erros padrão dos coeficientes 𝜷�̂� e 𝜷�̂� do modelo e faça o teste t para um α = 5% 
interpretando-os. 
( ) não sei responder (essa alternativa anula toda a sua resposta nessa questão e lhe dá automaticamente 0,1 ponto) 
Distribuição F com α=5% 
Gl graus de liberdade no numerador 
denom. 1 2 3 4 5 
1 161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 
2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 
3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 
4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 
Distribuição t com α=5% 
 
Gl Valor 
critico 
1 12,71 
2 4,30 
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5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 
10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 
15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 
20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 
21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 
22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 
23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 
24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 
25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 
26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 
27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 
28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 
29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 
30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 
35 4,12 3,27 2,87 2,64 2,49 
40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 
45 4,06 3,20 2,81 2,58 2,42 
50 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 
100 3,94 3,09 2,70 2,46 2,31 
 
3 3,18 
4 2,77 
5 2,57 
10 2,22 
15 2,13 
16 2,12 
17 2,11 
18 2,10 
19 2,09 
20 2,08 
25 2,06 
30 2,04 
40 2,02 
50 2,00 
60 2,00 
80 1,99 
100 1,98 
120 1,98 
 
Não havendo o grau de liberdade exato, utilize o mais próximo. 
 
 
Obs: Abaixo a Tabela de Distribuição F 
Distribuição F com α=5% 
Gl graus de liberdade no numerador 
denom. 1 2 3 4 5 
1 161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 
2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 
3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 
4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 
5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 
10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 
15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 
20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 
21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 
22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 
23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 
24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 
25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 
26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 
27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 
28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 
29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 
30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 
35 4,12 3,27 2,87 2,64 2,49 
40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 
45 4,06 3,20 2,81 2,58 2,42 
50 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 
100 3,94 3,09 2,70 2,46 2,31 
 
Distribuição F com α=1% 
gl graus de liberdade no numerador 
denom. 1 2 3 4 5 
1 4052,2 4999,3 5403,5 5624,3 5764,0 
2 98,50 99,00 99,16 99,25 99,30 
3 34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 
4 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 
5 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 
10 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 
15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 
20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 
21 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 
22 7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 
23 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 
24 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 
25 7,77 5,57 4,68 4,18 3,85 
26 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 
27 7,68 5,49 4,60 4,11 3,78 
28 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 
29 7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 
30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 
35 7,42 5,27 4,40 3,91 3,59 
40 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 
45 7,23 5,11 4,25 3,77 3,45 
50 7,17 5,06 4,20 3,72 3,41 
100 6,90 4,82 3,98 3,51 3,21 
Para resolver a essa lista, se necessário, a tabela de distribuição t e F podem ser consultadas diretamente no 
Gujarati.