CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II_AV1_Funções de várias variáveis_Thiago Leonel_mat 20181301247 _ Passei Direto

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 TAREFA AV1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II –
 
 
 Aluno: Thiago Leonel Farias. Matrícula: 20181301247 
Pro f.: Luciana Antunes Rios. 
 
 
 Funções de várias variáveis 
 
 1ª questão – A temperatura T de uma localidade do Hemisfério Norte 
 depende da longitude x, da latitude y e do tempo t , de modo que podemos 
 escrever = f( T x,y,t ). O tempo é medido em horas a partir do princípio de 
janeiro. 
 
 (a) Qual o significado das derivadas parciais ∂ T, ∂ T e ?∂ T 
 ∂ x ∂ y ∂ t 
 
 A taxa de variação da temperatura quando varia a longitude, com 
 latitude e tempo fixados; a taxa de variação quando varia apenas a 
 latitude; a taxa de mudança quando varia apenas o tempo. 
 
 (b) Honolulu tem longitude de 158° W e latitude de 21° N. Suponha que às 9 
 horas em 1º de janeiro esteja ventando do noroeste uma brisa quente, de 
 forma que a oeste e a sul o ar esteja quente e a norte e leste o ar esteja frio. 
 Você esperaria f x(158,21,9), f y(158,21,9) e (158,21,9) serem positivos ou f t
 negativos? Explique. 
 
 Positiva, negativa, positiva. Pois de acordo com o exposto, no que se diz 
 o vento e as coordenadas, a parábola voltada para cima. 
 
 
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 2ª questão – Suponha que em uma certa região do espaço o potencial 
 elétrico V seja dado por V= (x,y,z) = (5x)² − 3xy + xyz. 
 (a) Qual o domínio da função V ? 
 
 D={ f(V)=(x,y,z) ϵ R³/ (5x)² 3xy + xyz > – 0} 
 
 (b) Determine a taxa de variação do potencial em (3,4,5) na direção do P 
 vetor i + j + k. 
 
 V(x,y,z) = 5x² – 3xy + xyz 
 
 dV = 10x-3y+yz 
dx 
 
 dV = - 3x + xz 
dy 
 
 dV = xy 
dz 
 
 dV(p) = (10*3) – (3*4) + (4*5) = 38 
 dx 
 dV(p) = - (3*3) + (3*5) = 6 
 dy 
 dV(p) = 3*4= 12 
 dz 
 
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 V(P) = (38; 6; 12) 
 
 
 
 V = i + j - k 
 
V=( 1;1; −1) 
 
 |V|= √1²+1²+( 1)² = √ 3- 
 
 
 V( P)x V 
 |V| 
 (38; 6; 12)x (1; 1 ; -1) 
 √ 3 
 (38*1) + (6*1) + (12* -1) = 32 
 √ 3 √ 3 
 
 (c) Em que direção e sentido varia mais rapidamente em V P ? 
 
 Ele vai variar mais rapidamente na direção do vetor V(P) 
 V(P)=(38;6;12) 
 
 
 3ª questão – Uma caixa de papelão sem tampa deve ter um volume de 
 32.000 cm3 . Determine as dimensões da caixa que minimizem a quantidade 
 de papelão utilizado. 
 
 X= Base, y= Altura, A= Área, V= Volume = x²y 
 
 V= 32.000cm³ 
 
 x²y= 32.000 
 
 
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 y= 32.000 
 
 x² 
 
 
 A= x²+ 4xy 
 A= x² + 4x * 32.000 
 x² 
 A(x)= x² + 128.000 
 x 
 
 A’(x) = 2x – 128.000 
 
 x² 
 
 A’(x) = 2x³ – 128.000 
 
 x² 
 
 A’(x)= 2x³ - 128.000 = 0 
 2x³ = 128.000 
 x³ = 64.000 
 
 x = 40 
 
 
 y= 32000 y= 32000 y= 32 000 y = 20 
 
 x² 40*40 1.600 
 
 
 
 x= Base = 40cm, y = altura = 20cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Referências: 
 [1] J. Stewart. Cálculo Volume 2, 6aEdição, PauloPioneira/ Thomson Le- 
arning. 
 [2] H. L. Guidorizzi. Um Curso de Cálculo, Volume 2, 5aEdição, 2002, Rio de 
Janeiro. 
 [3] G. B. Thomas. Cálculo, Volume 2, 10aEdição, Addison- 
Wesley/Pearson,2002.