revisão AV2

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Departamento 
de Engenharia 
Elétrica
ANÁLISE MATEMÁTICA 
PARA ENGENHARIA III
Professor Valério Oscar de Albuquerque
Curso Engenharia Elétrica
REVISÃO AV2
Unidade
Unidade III - TRANSFORMADA DE LAPLACE
Carga horária: 4 Aulas
Conteúdo:
Unidade III - TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.1 - Conceitos Básicos
3.2 - Propriedades da Transformada de Laplace
3.3 - Derivação e Integração de Transformadas
3.4 - Transformada Inversa
3.5 - Tabela da Transformada de Laplace
3.6 - Aplicações
Unidade
Unidade III - TRANSFORMADA DE LAPLACE
Carga horária: 4 Aulas
Bibliografia para esta aula:
BIDURIN, Cláudio; GIOFUSO, Valéria. Cálculo diferencial e integral III (Livro
Proprietário). Rio de Janeiro: SESES, 2016. Disponível em:
http://repositorio.savaestacio.com.br/site/index.html#/objeto/detalhes/8D546F
59-9F7D- 421C-B726-D7CDE91084A2> Cap. 4;
Boyce, William E., DiPrima, Richard C.. Equações diferenciais elementares e
problemas de valores de contorno; tradução e revisão técnica Valéria de
Magalhães Iorio. - 10. ed. - [Reimpr.]. - Rio de Janeiro : LTC, 2017. Disponível
em:https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2833-
0/cfi/6/10!/4/10@0:42.6 Cap. 6;
http://repositorio.savaestacio.com.br/site/index.html#/objeto/detalhes/8D546F59-9F7D- 421C-B726-D7CDE91084A2
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2833-0/cfi/6/10!/4/10@0:42.6 
3.1 - Conceitos Básicos
 Noções básicas
 A Transformada de Laplace
• Entre as ferramentas muito úteis para a resolução de
equações diferenciais estão as transformadas integrais.
Uma transformada integral é uma relação da forma
Onde: K(s, t) é uma função dada, chamada de núcleo da
transformação, e os limites de integração α e β também
são dados. É possível que α = –∞ ou β = ∞ ou ambos.
• Existem diversas transformadas integrais úteis em
matemática aplicada, mas vamos considerar, neste item,
apenas a transformada de Laplace.
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.1 - Conceitos Básicos
 Noções básicas
 A Transformada de Laplace
• A Transformada de Laplace foi desenvolvida pelo
matemático francês Pierre Simon Laplace (1749-1827).
• Definida da forma, suponha que f(t) é uma função definida
para t ≥ 0 e que f satisfaz certas condições que serão
especificadas mais adiante. Então a transformada de
Laplace de f, que denotaremos por £{f(t)} ou por F(s), é
definida pela equação
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.1 - Conceitos Básicos
 Noções básicas
 A Transformada de Laplace
• A transformada de Laplace usa o núcleo K(s, t) = e−st.
Como as soluções das equações diferenciais lineares com
coeficientes constantes se baseiam na função
exponencial, a transformada de Laplace é particularmente
útil para essas equações. A ideia geral quando se usa a
transformada de Laplace para resolver uma equação
diferencial é a seguinte:
o Use a relação anterior para transformar um problema de
valor inicial para uma função desconhecida f no
domínio dos t em um problema mais simples (de fato,
um problema algébrico) para F, no domínio dos s.
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.1 - Conceitos Básicos
 Noções básicas
 A Transformada de Laplace
o Resolva esse problema algébrico para encontrar F.
o Recupere a função desejada f de sua transformada F.
Esta última etapa é conhecida como “inverter a
transformada”.
• Em geral, o parâmetro s pode ser complexo (s = σ + jω), e
todo o poder da transformada de Laplace só se torna
disponível quando F(s) é considerada uma função de
variável complexa. No entanto, para os problemas
discutidos aqui, basta considerar apenas valores reais de
s. A transformada de Laplace F de uma função f vai existir
se f satisfizer determinadas condições, como as
enunciadas no teorema a seguir.
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.1 - Conceitos Básicos
 Noções básicas
 A Transformada de Laplace
• Teorema 3.2 - Suponha que:
1. f é seccionalmente contínua no intervalo 0 ≤ t ≤ A para
qualquer A positivo;
2. |f(t)| ≤ Keat quando t ≥ M. Nessa desigualdade, K, a e M
são constantes reais, com K e M necessariamente
positivas. Então a transformada de Laplace
£{f(t)} = F(s), definida pela Eq. anterior, existe para s > a.
Demonstração: Para estabelecer esse teorema, vamos
mostrar que a integral na Eq. anterior converge para s > a.
Separando a integral imprópria em duas partes, temos:
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.1 - Conceitos Básicos
 Noções básicas
 A Transformada de Laplace
• Teorema 3.2:
A primeira integral à direita do sinal de igualdade na Eq.
acima existe pela hipótese (1) do teorema; então a
existência de F(s) depende da convergência da segunda
integral. Pela hipótese (2), temos, para t ≥ M,
|𝒆−𝒔𝒕𝒇(𝒕)| ≤ 𝒌𝒆−𝒔𝒕𝒆𝒂𝒕 = 𝒌𝒆(𝒂−𝒔)𝒕
Logo, pelo Teorema 3.1, F(s) existe se 𝑴
∞
𝒆 𝒂−𝒔 𝒕dt
convergir. Pelo Exemplo 3, com (a – s) no lugar de c,
vemos que esta última integral converge quando
(a – s) < 0, o que estabelece o Teorema 3.2.
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.1 - Conceitos Básicos
 Noções básicas
 A Transformada de Laplace
• Exemplo 6: Seja f(t) = 1, t ≥ 0. Então, como no Exemplo 3.
Solução:
Sabe-se que
Logo,
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.1 - Conceitos Básicos
 Noções básicas
 A Transformada de Laplace
• Exemplo 7: Seja
em que k é constante. Em contextos de engenharia, f(t)
representa muitas vezes um impulso unitário, talvez uma
força ou tensão.
Solução: Note que f é uma função seccionalmente contínua
Observe que £{f(t)} não depende de k, o valor da função no ponto
de descontinuidade. Mesmo que f(t) não esteja definida nesse
ponto, a transformada de Laplace de f permanece a mesma. Logo,
existem muitas funções, diferindo de valor em um único ponto,
que têm a mesma transformada de Laplace.
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.1 - Conceitos Básicos
 Noções básicas
 A Transformada de Laplace
• Exemplo 8: Seja f(t) = sen at, t ≥ 0.
Solução:
Sabe-se que
Logo,
Como
Integrando por partes, temos
Uma segunda integração por partes fornece
Portanto, resolvendo para F(s), temos
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.1 - Conceitos Básicos
 Noções básicas
 A Transformada de Laplace
• Vamos supor que f1 e f2 são duas funções cujas
transformadas de Laplace existem para s > a1 e s > a2,
respectivamente. Então, para s maior do que o máximo de
a1 e a2,
Logo
A equação afirma que a transformada de Laplace é um
operador linear, e, mais tarde, faremos uso frequente
dessa propriedade. A soma na Eq. pode ser prontamente
estendida para um número arbitrário de parcelas.
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.1 - Conceitos Básicos
 Noções básicas
 A Transformada de Laplace
• Exemplo 9: Encontre a transformada de Laplace de
f(t) = 5e–2t– 3sen 4t, t ≥ 0.
Solução:
Sabe-se que
Logo, £{f (t)} = 5£{e–2t} – 3£{sen 4t}.
Como nos exemplos anteriores
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.2 - Propriedades da Transformada de Laplace
 Definição
 Dada uma função integrável f(t), tal que f:[0,∞) R, a
transformada de Laplace, {f (t )} , é dada por
Para todo s ≥ 0 de maneira que a integral tenha convergência
e com s = σ + iω uma variável do plano complexo.
 Por motivos de conveniência e concordância com a literatura
específica das transformadas de Laplace, utilizaremos a
variável t como argumento da função original e a variável s
para a função transformada. Ainda, a função original será
sempre representada por letras minúsculas, f(t), g(t), h(t),
enquanto que a função transformada será representada por
maiúsculas, F(s), G(s), H(s).
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.2 - Propriedades da Transformada de Laplace
 Definição
 Exemplo 1 - Encontrar a transformada de Laplace para a
função f(t)=1.
Solução:
Aplicando a definição, temos:
Aplicando agora as propriedades de integrais impróprias,
temos:
𝒇 𝒕 = 𝑭 𝒔 = lim
𝑩→∞
 
𝟎
𝑩
𝒆−𝒔𝒕 . 𝟏 𝒅𝒕 = lim
𝑩→∞
−𝒆−𝒔𝒕
𝒔
𝑩
𝟎
= lim
𝑩→∞
−𝒆−𝒔𝑩
𝒔
+
−𝒆−𝒔𝟎
𝒔
=
−𝒆−𝒔∞
𝒔
+
−𝒆−𝒔𝟎
𝒔
=
−𝟎
𝒔
+
𝟏
𝒔
=
𝟏
𝒔
= 𝑭(𝑺)
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.2 - Propriedades da Transformada de Laplace
 Propriedades
 Propriedade da Linearidade:Se a transformada de Laplace de f(t) é F(s) , para s > a1 e a
transformada de Laplace de g(t) é G(s) , para s > a2, então
considerando duas constantes a e b, temos:
 Propriedade do Deslocamento:
Se a transformada de Laplace de f(t) é F(s), para s > a e
considerando uma constante a, então a transformada da
função:
Será igual a G(s) = F(s - a) para s > a + α.
TRANSFORMADA DE LAPLACE
ft  gt  ft  gt  Fs  Gs 
s > max{a
1
,a
2
} 
gt  etft 
3.2 - Propriedades da Transformada de Laplace
 Condições de Existência
 Para a transformada de Laplace de f(t) é F(s) é necessário que:
I. A função f(t) seja contínua em cada intervalo entre dois
pontos quaisquer de descontinuidade, caso existam;
Note que a função possui diversos pontos de continuidade,
mas entre cada dois pontos a função é contínua.
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.2 - Propriedades da Transformada de Laplace
 Condições de Existência
II. A função f(t) seja de ordem exponencial, ou seja, deve
existir uma constante a, com a pertencente aos reais de
modo que exista lim
𝒕→∞
𝒆−𝒂𝒕;
III. O domínio de F(s) de f(t) será s > a.
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.2 - Propriedades da Transformada de Laplace
 Condições de Existência
 A verificação da validade das condições de existência da
transformada de Laplace parte do conceito de função de
ordem exponencial e da propriedade da soma de integrais
definidas. Vejamos:
Nota-se claramente que a primeira integral está sendo
calculada em um intervalo contínuo então o seu valor
existirá sem problemas. Contudo, na segunda integral não
necessariamente, mas supondo que a função que está
sendo integrada seja de ordem exponencial, valendo a
relação , para todo t > T.
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.2 - Propriedades da Transformada de Laplace
 Condições de Existência
|𝑰𝟐| = 
𝑻
∞
|𝒆−𝒔𝒕𝒇 𝒕 |𝒅𝒕 <𝑴 
𝟎
𝑻
𝒆−𝒔𝒕𝒆𝒄𝒕𝒅𝒕
= 𝑴 
𝑻
∞
𝒆− 𝒔−𝒄 𝒕𝒅𝒕 = 𝑴
𝒆− 𝒔−𝒄 𝑻
𝒔 − 𝒄
• Assim, para s > c, como existe a convergência de I2, a
transformada também apresentada convergência,
existindo, portanto, a transformada de Laplace para a
função. Mas é importante atentar para o fato de que o
resultado só é válido se a função for de ordem exponencial
e se s > c.
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.2 - Propriedades da Transformada de Laplace
 Propriedades
 Aplicar a definição e as propriedades da transformada de
Laplace é possível obter a transformadas para um conjunto
bem amplo de funções, o que será útil nos casos de
aplicações, visto que executando as transformadas a priori,
podemos gerar uma tabela de resultados que podem ser
consultados a posteriori.
• A função constante f(t)=k.
Anteriormente já vimos o desenvolvimento da
transformada de Laplace para a função f(t)=1, mas como
será a transformada para uma função genérica f(t)=k?
A definição será da forma:
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.2 - Propriedades da Transformada de Laplace
 Propriedades
• A função constante f(t)=k.
Uma vez que a função f(t) = k é constante em t, então
podemos resolver a integral por substituição, fazendo a
substituição u = -st e, com isso, 𝒅𝒕 =
−𝟏
𝒔
𝒅𝒖. Então
𝒇 𝒕 = 𝒌 = 𝑭 𝒔 = 𝒌 lim
𝑩→∞
 
𝟎
𝑩−𝟏
𝒔
𝒆𝒖 𝒅𝒖
=
−𝒌
𝒔
 
𝟎
𝑩
𝒆𝒖𝒅𝒖 =
−𝒌
𝒔
lim
𝑩→∞
𝒆−𝒔𝒕
𝑩
𝟎
=
−𝒌
𝒔
lim
𝑩→∞
𝒆−𝒔𝑩 −𝒆−𝒔𝟎 =
−𝒌
𝒔
𝟎 − 𝟏 =
𝒌
𝒔
= 𝑭(𝑺)
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.2 - Propriedades da Transformada de Laplace
 Propriedades
• A função constante f(t)=k.
Uma vez que a função f(t) = k é constante em t, então
podemos resolver a integral por substituição, fazendo a
substituição u = -st e, com isso, 𝒅𝒕 =
−𝟏
𝒔
𝒅𝒖. Então
𝒇 𝒕 = 𝒌 = 𝑭 𝒔 = 𝒌 lim
𝑩→∞
 
𝟎
𝑩−𝟏
𝒔
𝒆𝒖 𝒅𝒖
=
−𝒌
𝒔
 
𝟎
𝑩
𝒆𝒖𝒅𝒖 =
−𝒌
𝒔
lim
𝑩→∞
𝒆−𝒔𝒕
𝑩
𝟎
Aplicando os limites de integração, lembrando que e-st ∞
quando t = 0 e que e-st =1 quando t = 0, quando s > 0,
temos
=
−𝒌
𝒔
lim
𝑩→∞
𝒆−𝒔𝑩 −𝒆−𝒔𝟎 =
−𝒌
𝒔
𝟎 − 𝟏 =
𝒌
𝒔
= 𝑭(𝑺)
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.2 - Propriedades da Transformada de Laplace
 Propriedades
• A função constante f(t)=t.
Solução:
Pela definição, temos:
Para a resolução da integral devemos usar a técnica de
integração por partes, onde:
Fazendo u = t, du = dt, dv = e-st dt e 𝒗 =
−𝟏
𝒔
𝒆−𝒔𝒕 temos,
{𝒕} = 
𝟎
∞
𝒆−𝒔𝒕𝒕𝒅𝒕 =
−𝒕
𝒔
𝒆−𝒔𝒕
∞
𝟎
− 
𝟎
∞−𝟏
𝒔
𝒆−𝒔𝒕𝒅𝒕
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.2 - Propriedades da Transformada de Laplace
 Propriedades
• A função constante f(t)=t.
Solução:
𝒕 = 
𝟎
∞
𝒆−𝒔𝒕𝒅𝒕 =
−𝒕
𝒔
𝒆−𝒔𝒕 −
𝟏
𝒔𝟐
𝒆−𝒔𝒕
∞
𝟎
Substituindo os limites de integração e lembrando que
lim
𝑩→∞
𝑩𝒆−𝒔𝑩 = 𝟎 e lim
𝑩→∞
𝒆−𝒔𝑩 = 𝟎 logo,
𝒕 = 𝟎
∞
𝒆−𝒔𝒕𝒅𝒕 = −
𝟎
𝒔
𝒆−𝒔𝟎 +
𝟏
𝒔𝟐
𝒆−𝒔𝟎 = 𝟎 +
𝟏
𝒔𝟐
=
𝟏
𝒔𝟐
Portanto, a transformada de Laplace, F(s) (em maiúsculo e
em função de s) para a função f(t) = t (em minúsculo e em
função de t), será: 𝒕 = 𝐅 𝐬 =
𝟏
𝒔𝟐
Se desenvolvermos a transformada de 𝐅 𝐬 = 𝒕 =
𝒏!
𝒔𝒏+𝟏
Laplace, teremos:
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.2 - Propriedades da Transformada de Laplace
 Propriedades
• Então, para uma função do tipo: f(t) = at2, a transformada
de Laplace será:
Solução:
Sabe-se que 𝐅 𝐬 = 𝒕 =
𝒏!
𝒔𝒏+𝟏
Logo,
𝐅 𝐬 = 𝒂𝒕𝟐 = 𝒂
𝟐!
𝒔𝟐+𝟏
=
𝟐𝒂
𝒔𝟑
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.2 - Propriedades da Transformada de Laplace
 Propriedades
• No caso em que temos somas de funções, quantas forem
elas, aplicamos a transformada de Laplace em cada função
(f(t) + g(t)), multiplicadas pelos fatores a e b. A
transformada de Laplace, que neste caso é chamada de
transformada linear, pode ser escrita na forma:
Ou ainda
TRANSFORMADA DE LAPLACE
    
F s  G s  af t }  b{g t   a.estf t dt  b.estg t dt 
 0 0 
3.2 - Propriedades da Transformada de Laplace
 Propriedades
• A função original é da forma exponencial, ou f(t) = eat.
Podemos desenvolver a transformada de Laplace fazendo:
Resolvendo a integral por substituição, fazendo
u = –(s – a) t, então:
𝒆𝒂𝒕 = 
𝟎
∞
𝒆−(𝒔−𝒂)𝒕𝒅𝒕
= 
𝟎
∞ 𝟏
−(𝒔 − 𝒂)
𝒆𝒖𝒅𝒖 =
𝟏
−(𝒔 − 𝒂)
 
𝟎
∞
𝒆𝒖𝒅𝒖 =
𝟏
−(𝒔 − 𝒂)
𝒆−(𝒔−𝒂)𝒕
∞
𝟎
=
𝟏
−(𝒔 − 𝒂)
(𝒆−(𝒔−𝒂)∞− 𝒆− 𝒔−𝒂 𝟎) =
𝟏
− 𝒔 − 𝒂
(𝟎 − 𝟏) ∴ 𝑭(𝒔) =
𝟏
𝒔 − 𝒂
TRANSFORMADA DE LAPLACE
  
F s  f t   eat   est eat dt  est atdt  e
satdt 
 0 0 0 
3.2 - Propriedades da Transformada de Laplace
 Propriedades
• A função original como uma função trigonométrica do tipo
f(t) = sen(at). Podemos desenvolver a transformada de
Laplace fazendo:
Resolvendo a integral por partes, fazendo u = sen(at),
du = acos(at)dt e dv = e-stdt, então:
 𝒆−𝒔𝒕𝒅𝒕 =
−𝟏
𝒔
𝒆−𝒔𝒕 e substituindo em
 
𝟎
∞
𝒆−𝒔𝒕 𝒔𝒆𝒏(𝒂𝒕) 𝒅𝒕 =
−𝒆−𝒔𝒕 𝒔𝒆𝒏𝒂𝒕
𝒔
∞
𝟎
+ 
𝟎
∞
𝒆−𝒔𝒕𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒕)𝒅𝒕
lim
𝑩→∞
𝒆−𝒔𝑩𝒔𝒆𝒏(𝒂𝑩) = 𝟎 então
−𝒆−𝒔𝒕 𝒔𝒆𝒏𝒂𝒕
𝒔
∞
𝟎
= 𝟎
TRANSFORMADA DE LAPLACE

F s  f t   sen at   est sen at dt 
 0 
3.2 - Propriedades da Transformada de Laplace
 Propriedades
Resolvendo a integral por partes, fazendo u = cos(at),
du = -asen(at)dt e dv = e-stdt, então:
𝒗 = 𝒆−𝒔𝒕𝒅𝒕 =
−𝟏
𝒔
𝒆−𝒔𝒕 e substituindo em
 
𝟎
∞
𝒆−𝒔𝒕 𝒔𝒆𝒏(𝒂𝒕) 𝒅𝒕 =
𝒂
𝒔
−𝟏
𝒔
𝒆−𝒔𝒕 𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒕)
∞
𝟎
+ 
𝟎
∞−𝒂
𝒔
𝒆−𝒔𝒕𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒕)𝒅𝒕
Como
lim
𝑩→∞
𝒆−𝒔𝑩𝒄𝒐𝒔(𝒂𝑩) = 𝟎
Então
 
𝟎
∞
𝒆−𝒔𝒕 𝒔𝒆𝒏(𝒂𝒕) 𝒅𝒕 =
𝒂
𝒔𝟐
−
𝒂𝟐
𝒔𝟐
 
𝟎
∞
𝒆−𝒔𝒕 𝒔𝒆𝒏(𝒂𝒕) 𝒅𝒕
 
𝟎
∞
𝒆−𝒔𝒕 𝒔𝒆𝒏(𝒂𝒕) 𝒅𝒕 +
𝒂𝟐
𝒔
 
𝟎
∞
𝒆−𝒔𝒕 𝒔𝒆𝒏(𝒂𝒕) 𝒅𝒕 =
𝒂
𝒔𝟐
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.2 - Propriedades da Transformada de Laplace
 Propriedades
Ou na forma
𝒂𝟐
𝒔𝟐 + 𝟏
+ 
𝟎
∞
𝒆−𝒔𝒕 𝒔𝒆𝒏(𝒂𝒕) 𝒅𝒕 =𝒂
𝒔𝟐
 
𝟎
∞
𝒆−𝒔𝒕 𝒔𝒆𝒏(𝒂𝒕) 𝒅𝒕 +
𝒂𝟐
𝒔
 
𝟎
∞
𝒆−𝒔𝒕 𝒔𝒆𝒏(𝒂𝒕) 𝒅𝒕 =
𝒂
𝒔𝟐
Isolando a integral e fazendo
𝒂
𝒔𝟐
+ 𝟏 =
𝒂𝟐+𝒔𝟐
𝒔𝟐
teremos
 
𝟎
∞
𝒆−𝒔𝒕 𝒔𝒆𝒏(𝒂𝒕) 𝒅𝒕 =
𝒂𝒔𝟐
𝒔𝟐(𝒔𝟐 + 𝒂𝟐)
=
𝒂
𝒔𝟐 + 𝒂𝟐
Ou ainda
𝑭 𝒔 = 𝒔𝒆𝒏 𝒂𝒕 = 
𝟎
∞
𝒆−𝒔𝒕 𝒔𝒆𝒏(𝒂𝒕) 𝒅𝒕 =
𝒂
𝒔𝟐 + 𝒂𝟐
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.2 - Propriedades da Transformada de Laplace
 Propriedades
O desenvolvimento para a função f(t) = cos(at) é similar à
f(t) = sen(at) e sendo assim
𝑭 𝒔 = 𝒄𝒐𝒔 𝒂𝒕 = 
𝟎
∞
𝒆−𝒔𝒕 𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒕) 𝒅𝒕 =
𝒔
𝒔𝟐 + 𝒂𝟐
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.2 - Propriedades da Transformada de Laplace
 Exemplos
 Exemplo 2 - Seja a função quadrática dada por:
Encontre a transformada de Laplace para este caso.
Solução:
Ou ainda
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.2 - Propriedades da Transformada de Laplace
 Exemplos
Exemplo 2 - Solução:
Mas, como já sabemos a forma geral para a função polinomial,
então podemos desenvolver a transformada de Laplace com
os resultados já obtidos, ou seja
Lembrando que
Teremos
𝐅 𝐬 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + −𝟒 = 𝟑
𝟐!
𝒔𝟐+𝟏
+ 𝟐
𝟏!
𝒔𝟏+𝟏
−
𝟒
𝒔
TRANSFORMADA DE LAPLACE
F s  3x 2  2x  4  3x 2  2x  4
3.2 - Propriedades da Transformada de Laplace
 Exemplos
 Exemplo 3 – Qual a transformada de Laplace para a função.
f(t) = sen (3t)
Solução:
𝑭 𝒔 = 𝒔𝒆𝒏 𝒂𝒕 = 
𝟎
∞
𝒆−𝒔𝒕 𝒔𝒆𝒏(𝒂𝒕) 𝒅𝒕 =
𝒂
𝒔𝟐 + 𝒂𝟐
Então
𝑭 𝒔 = 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒕 = 
𝟎
∞
𝒆−𝒔𝒕 𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒕) 𝒅𝒕 =
𝟑
𝒔𝟐 + 𝟗
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.2 - Propriedades da Transformada de Laplace
 Exemplos
 Exemplo 4 – Qual a transformada de Laplace para a função.
f(t) = cos (4t)
Solução:
𝑭 𝒔 = 𝒄𝒐𝒔 𝒂𝒕 = 
𝟎
∞
𝒆−𝒔𝒕 𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒕) 𝒅𝒕 =
𝒔
𝒔𝟐 + 𝒂𝟐
Então
𝑭 𝒔 = 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒕 = 
𝟎
∞
𝒆−𝒔𝒕 𝒄𝒐𝒔(𝟒𝒕) 𝒅𝒕 =
𝒔
𝒔𝟐 + 𝟏𝟔
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.2 - Propriedades da Transformada de Laplace
 Exemplos
 Exemplo 5 – Para a função com duas sentenças dada por:
f(t) =
Calcule a sua transformada de Laplace.
Solução:
Sabe-se que
Como a primeira das duas integrais é igual a zero, então será
necessário resolver apenas a segunda derivada, resultando
em:
𝑭 𝒔 = 𝒇(𝒕) = 𝟑 𝟓
∞
𝒆−𝒔𝒕𝒅𝒕 =
𝟑𝒆−𝒔𝒕
𝒔
∞
𝟓
= 𝟎 +
𝟑𝒆−𝟓𝒔
𝒔
=
𝟑𝒆−𝟓𝒔
𝒔
TRANSFORMADA DE LAPLACE
0 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟓
3 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 ≥ 𝟓
3.3 - Derivação e Integração de Transformadas
 Derivada da transformada e transformada da derivada
 Suponhamos uma função f(t) integrável, tal que f:[0,∞) R, e
a transformada de Laplace L{f(t)}. Considerando a derivada de
primeira ordem de f(t) como sendo f’(t) então, pela definição
da transformada de Laplace, temos:
Resolvendo a integral por parte, temos u = e(-st) e dv = f' (t).
Assim, du = – s e-st e v = f(t). Substituindo na regra da integral
por partes, temos
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.3 - Derivação e Integração de Transformadas
 Derivada da transformada e transformada da derivada
O primeiro termo pode ser resolvido utilizando limite, da
forma:
O segundo termos, se você observar bem, é exatamente a
transformada da função f(t). Assim, o resultado fica reduzido
a:
Ou da forma
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.3 - Derivação e Integração de Transformadas
 Derivada da transformada e transformada da derivada
Fazendo agora para a derivada de segunda ordem, temos:
Resolvendo a integral por parte, temos u = e-st e dv = f'' (t).
Assim, du = –se-st e v = f'(t). Substituindo na regra da integral
por partes, temos:
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.3 - Derivação e Integração de Transformadas
 Derivada da transformada e transformada da derivada
O primeiro termo pode ser resolvido utilizando limite, da
forma:
Novamente no segundo termo temos uma transformada, mas
neste caso da função f’(t). Assim, o resultado fica reduzido a:
Substituindo a transformada da derivada de primeira ordem,
temos finalmente que:
E portanto
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.3 - Derivação e Integração de Transformadas
 Derivada da transformada e transformada da derivada
Fazendo agora para a derivada de terceira ordem, temos:
Resolvendo a integral por parte, temos u = e-st e dv = f''' (t).
Assim, du = –se-st e v = f''t). Substituindo na regra da integral
por partes, temos:
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.3 - Derivação e Integração de Transformadas
 Derivada da transformada e transformada da derivada
O primeiro termo pode ser resolvido utilizando limite, da
forma:
Novamente no segundo termo temos uma transformada, mas
neste caso da função f’(t). Assim, o resultado fica reduzido a:
Substituindo a transformada da derivada de primeira ordem,
temos finalmente que:
E portanto
Ou então, da forma:
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.3 - Derivação e Integração de Transformadas
 Derivada da transformada e transformada da derivada
O primeiro termo pode ser resolvido utilizando limite, da
forma:
Novamente no segundo termo temos uma transformada, mas
neste caso da função f’(t). Assim, o resultado fica reduzido a:
Substituindo a transformada da derivada de primeira ordem,
temos finalmente que:
E portanto
Ou então, da forma:
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.3 - Derivação e Integração de Transformadas
 Derivada da transformada e transformada da derivada
Pode-se generalizar o que ocorre com a transformada de
Laplace de uma derivada de ordem n, gerando a seguinte
propriedade:
 Transformadas de Derivadas
• Sejam as funções f(t), f‘(t), f‘‘(t), f‘‘‘(t), ..., f(n-1)(t) contínuas
em [0, ¥) e todas de ordem exponencial e a função f(n)(t)
contínua por partes em [0, ¥), então a transformada de
qualquer derivada será igual a:
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.3 - Derivação e Integração de Transformadas
 Derivada da transformada e transformada da derivada
 Transformadas de Derivadas
Da mesma maneira que temos uma transformada de uma
derivada, podemos ter também a derivada de uma
transformada. Tomando a transformada de uma função f(t) e
calculando a sua derivada em relação a s, temos:
𝒅𝑭(𝒔)
𝒅𝒔
=
𝒅
𝒅𝒔
 𝟎
∞
𝒆−𝒔𝒕𝒇 𝒕 𝒅𝒕
= 
𝟎
∞ 𝒅
𝒅𝒔
[𝒆−𝒔𝒕𝒇 𝒕 ]𝒅𝒕 = − 
𝟎
∞
𝒆−𝒔𝒕𝒕𝒇 𝒕 ]𝒅𝒕 = {𝒕𝒇 𝒕 }
Logo, temos
𝒕𝒇 𝒕 =
𝒅
𝒅𝒔
𝒇 𝒕
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.3 - Derivação e Integração de Transformadas
 Derivada da transformada e transformada da derivada
 Transformada de funções do tipo tnf(t):
𝒕𝒏𝒇 𝒕 = −𝟏 𝒏
𝒅𝒏
𝒅𝒔𝒏
𝑭(𝒔)
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.4 - Transformada Inversa
 Derivada da transformada e transformada da derivada
 Esquema de utilização da transformada de Laplace - possível
notar que a transformada será capaz de reduzir uma EDO em
uma equação algébrica, facilitando a sua resolução, mas a
partir dessa resolução, temos que transformar de novo, fazer
a volta da transformação, a inversa da transformação para
associar a solução da equação algébrica à solução da EDO.
 O cálculo da transformada para algumas funções típicas é
claro que a inversa da transformada, L-1, deve retornar para a
função original.
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.4 - Transformada Inversa
 Derivada da transformada e transformada da derivada
• Caso 1 - Para f(t)=k temos que
𝒇 𝒕 = 𝒌 =
𝒌
𝒔
A inversa da transformada será
𝒌
𝒔
−𝟏
= 𝒌
• Caso 2 - Para f(t)=ktn temos que
𝒇 𝒕 = 𝒌𝒕𝒏 =
𝒌𝒏!
𝒔𝒏+𝟏
A inversa da transformada será
𝒌𝒏!
𝒔𝒏+𝟏
−𝟏
= 𝒌𝒕𝒏
• Caso 3 - Para f(t)=eat temos que
𝒇 𝒕 = 𝒆𝒂𝒕 =
𝟏
𝒔 − 𝒂
A inversa da transformada será 𝒇 𝒕 =
𝟏
𝒔 −𝒂
−𝟏
= 𝒆𝒂𝒕
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.4 - Transformada Inversa
 Derivada da transformada e transformada da derivada
• Caso 4 - Para f(t)=sen(kt) temos que
𝒇 𝒕 = 𝒔𝒆𝒏(𝒌𝒕) =
𝒌
𝒔𝟐 + 𝒌𝟐
A inversa da transformada será
𝒌
𝒔𝟐+𝒌𝟐
−𝟏
= 𝒔𝒆𝒏(𝒌𝒕)
Caso 5 - Para f(t)=cos(kt) temos que
𝒇 𝒕 = 𝒄𝒐𝒔(𝒌𝒕) =
𝒔
𝒔𝟐 + 𝒌𝟐
A inversa da transformada será
𝒔
𝒔𝟐+𝒌𝟐
−𝟏
= 𝒄𝒐𝒔(𝒌𝒕)
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.4 - Transformada Inversa
 Derivada da transformada e transformada da derivada
• Exemplos1 - Calcular a transformada inversa da função 𝑭(𝒔) =
𝟏𝟐
𝒔𝟔
Solução
𝑭 𝒔 =
𝟏𝟐
𝒔𝟔
= 𝟏𝟐
𝟏
𝒔𝟔
Sabe-se 𝒇 𝒕 = 𝒌𝒕𝒏 =
𝒌𝒏!
𝒔𝒏+𝟏
𝑭 𝒔 = 𝟏𝟐
𝟏
𝒔𝟓+𝟏
=
𝟏𝟐
𝟓!
𝟓!
𝒔𝟓+𝟏
∴
𝟏𝟐
𝒔𝟔
−𝟏
=
𝟏𝟐
𝟓!
𝒕𝟓 =
𝟏𝟐
𝟏𝟐𝟎
𝒕𝟓 = 𝟎, 𝟏𝒕𝟓
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.4 - Transformada Inversa
 Derivada da transformada e transformada da derivada
• Exemplos
2 - Calcular a transformada inversa da função 𝑭(𝒔) =
𝟑
𝒔𝟐+𝟏𝟔
Solução
𝑭 𝒔 =
𝟑
𝒔𝟐 + 𝟏𝟔
= 𝟑
𝟏
𝒔𝟐 + 𝟏𝟔
= 𝟑
𝟏
𝒔𝟐 + 𝟒𝟐
= 𝟑
𝟒
𝟒
𝟏
𝒔𝟐 + 𝟒𝟐
Sabe-se 𝒇 𝒕 = 𝒔𝒆𝒏(𝒌𝒕) =
𝒌
𝒔𝟐+𝒌𝟐
𝒇(𝒕) =
𝟑
𝟒
𝟒
𝒔𝟐+𝟒𝟐
=
𝟑
𝟒
𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒕 = 𝟎, 𝟕𝟓 𝒔𝒆𝒏(𝟒𝒕)
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.4 - Transformada Inversa
 Derivada da transformada e transformada da derivada
• Exemplos
3 - Calcular a transformada inversa da função 𝑭(𝒔) =
−𝟒+𝟓𝒔
𝒔𝟐+𝟗
Solução
𝑭 𝒔 =
−𝟒 + 𝟓𝒔
𝒔𝟐 + 𝟗
=
−𝟒
𝒔𝟐 + 𝟑𝟐
+
𝟓𝒔
𝒔𝟐 + 𝟑𝟐
=
−𝟒
𝟑
𝟑
𝒔𝟐 + 𝟑𝟐
+ 𝟓
𝒔
𝒔𝟐 + 𝟑𝟐
Sabe-se 𝒇 𝒕 = 𝒔𝒆𝒏(𝒌𝒕) =
𝒌
𝒔𝟐+𝒌𝟐
𝒇 𝒕 = 𝒄𝒐𝒔(𝒌𝒕) =
𝒔
𝒔𝟐 + 𝒌𝟐
f(t)= −
𝟒
𝟑
𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒕 + 𝟓𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 = 𝟓𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 − 𝟏, 𝟑𝟑𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒕)
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.4 - Transformada Inversa
 As funções da transformada
de Laplace
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.4 - Transformada Inversa
 As funções da transformada
de Laplace
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.4 - Transformada Inversa
 As funções da transformada
de Laplace
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.6 - Aplicações
 As equações diferenciais são resolvidas com a ajuda das
transformadas de Laplace
• Exemplos 4 - Determine a solução da equação diferencial
de segunda ordem, dados os valores iniciais, y(0)=0 e
y'(0)=2, sendo y“ + y‘ - 2y = 4t.
Solução
Sabe-se: 2.
44.
45.
Com os valores da tabela temos de (45), (44), (2) e
lembrando que f(y) = F(s), que é transformada de interesse,
podemos escrever:
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.6 - Aplicações
 As equações diferenciais são resolvidas com a ajuda das
transformadas de Laplace
• Exemplos 4 - Solução
Agrupando os termos em F(s), temos:
Isolando F(s) na expressão, fatorando o denominador e
separando a expressão em frações parciais, temos:
Tirando o mínimo múltiplo comum e agrupando os termos
em s3, s2, s e constantes, temos:
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.6 - Aplicações
 As equações diferenciais são resolvidas com a ajuda das
transformadas de Laplace
• Exemplos 4 - Solução
Fazendo a associação entre os numeradores da expressão,
o sistema linear a ser resolvido será:
A + C + D = 0
A + B - C + 2D = 2
B - 2A = 0
- 2B = 4
Assim determinando B=-2 e fazendo as devidas
substituições chegamos aos valores de A= -1, C=-1 e D = 2.
Com isso, a transformada de Laplace passa a ser vista
como:𝑭 𝒔 =
−𝟏
𝒔
−
𝟐
𝒔𝟐
−
𝟏
𝒔+𝟐
+
𝟐
𝒔−𝟏
𝐋𝐨𝐠𝐨
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.6 - Aplicações
 As equações diferenciais são resolvidas com a ajuda das
transformadas de Laplace
• Exemplos 5 - A equação diferencial em que y é uma função
de t (f(t)) y'' + 4y = t e está sujeita às condições iniciais
y(0) = 2 e y'(0) = 3.
Solução
Da tabela de transformadas de Laplace, 2 e 45, e ainda
lembrando que f(y) = F(s), então:
2.
45.
Ou ainda, Ou seja,
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.6 - Aplicações
 As equações diferenciais são resolvidas com a ajuda das
transformadas de Laplace
• Exemplos 5 - Solução
Então: 𝑭 𝒔 =
𝟑
(𝒔𝟐+𝟒)
+
𝟐𝒔
(𝒔𝟐+𝟒)
+
𝟏
𝒔𝟐(𝒔𝟐+𝟒)
O último termo deve ser dividido em duas frações na forma
de frações par ciais, obtendo:
𝟏
𝒔𝟐(𝒔𝟐 + 𝟒)
=
𝑨
𝒔𝟐
+
𝑩
(𝒔𝟐+𝟒)
=
𝒔𝟐 𝑨 + 𝑩 + 𝟒𝑨
𝒔𝟐(𝒔𝟐 + 𝟒)
Resolvendo o sistema linear em A e B, temos A = 1/4 e
B = -1/4.
𝑭 𝒔 = 𝟑
𝟏
(𝒔𝟐+𝟒)
+
𝟐𝒔
(𝒔𝟐+𝟒)
+
𝟏
𝟒
𝟏
𝒔𝟐
−
𝟏
𝟒
𝟏
(𝒔𝟐+𝟒)
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.6 - Aplicações
 As equações diferenciais são resolvidas com a ajuda das
transformadas de Laplace
• Exemplos 5 - Solução
Fazendo a operação entre o primeiro e o último termo da
expressão e manipulando algebricamente o resultado para
poder ser comparado à transformada de Laplace da tabela
no. 6 e ainda utilizando as de no. 7 e 2, temos:
6. 7.
𝑭 𝒔 =
𝟏𝟏
𝟒
𝟐
𝟐
𝟏
(𝒔𝟐+ 𝟐𝟐)
+ 𝟐(
𝒔
(𝒔𝟐+ 𝟐𝟐)
) +
𝟏
𝟒
𝟏
𝒔𝟐
Ou seja
𝒇 𝒕 =
𝟏𝟏
𝟖
𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 +
𝒕
𝟒
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.6 - Aplicações
 As equações diferenciais são resolvidas com a ajuda das
transformadas de Laplace
• Exemplos 5 - [Adaptado de Simmons e Krantz] Determine a
solução da equação diferencial abaixo sujeita às seguintes
condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 3.
Solução
Da tabela de transformadas de Laplace, 36, 44 e 45, e ainda
lembrando que f(y) = F(s), então:
36. 𝒆𝒂𝒕𝒔𝒆𝒏 𝒌𝒕 =
𝒌
(𝒔−𝒂)𝟐+𝒌𝟐
44
45.
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.6 - Aplicações
 As equações diferenciais são resolvidas com a ajuda das
transformadas de Laplace
• Exemplos 5 - Solução
Da tabela de transformadas de Laplace, 36, 44 e 45, e ainda
lembrando que f(y) = F(s), então:
𝒔𝟐𝑭 𝒔 − 𝒔𝒇 𝟎 − 𝒇′ 𝟎 + 𝟐 𝒔𝑭 𝒔 − 𝒇 𝟎 + 𝟓𝑭 𝒔 = 𝟑(
𝟏
(𝒔−𝟏)𝟐+𝟏
)
Isolando F(s), a expressão é escrita como:
𝑭 𝒔 𝒔𝟐 + 𝟐𝒔 + 𝟓 = 𝟑
𝟏
𝒔𝟐+𝟐𝒔+𝟐
+ 𝟑
E ainda, 𝑭 𝒔 =
𝟑
𝟏
𝒔𝟐+𝟐𝒔+𝟐
𝒔𝟐+𝟐𝒔+𝟓
+
𝟑
𝒔𝟐+𝟐𝒔+𝟓
=
𝟑
𝒔𝟐+𝟐𝒔+𝟓 (𝒔𝟐+𝟐𝒔+𝟐)
+
𝟑
𝒔𝟐+𝟐𝒔+𝟓
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.6 - Aplicações
 As equações diferenciais são resolvidas com a ajuda das
transformadas de Laplace
• Exemplos 5 - Solução
O primeiro termo da expressão deve ser escrito como
frações parciais na forma:
𝟑
𝒔𝟐 + 𝟐𝒔 + 𝟓 (𝒔𝟐+𝟐𝒔 + 𝟐)
=
𝟏
𝒔𝟐 + 𝟐𝒔 + 𝟐
−
𝟏
𝒔𝟐 + 𝟐𝒔 + 𝟓
Adaptada novamente à expressão de F(s) F(s), temos:
𝑭 𝒔 =
𝟏
𝒔𝟐 + 𝟐𝒔 + 𝟐
−
𝟏
𝒔𝟐 + 𝟐𝒔 + 𝟓
+
𝟑
𝒔𝟐 + 𝟐𝒔 + 𝟓
Ou da forma
𝑭 𝒔 =
𝟏
𝒔𝟐 + 𝟐𝒔 + 𝟐
+
𝟐
𝒔𝟐 + 𝟐𝒔 + 𝟓
TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.6 - Aplicações
 As equações diferenciais são resolvidas com a ajuda das
transformadas de Laplace
• Exemplos 5 - Solução
Escrevendo os dois denominadores na forma de produtos
notáveis, temos:
𝑭 𝒔 =
𝟏
(𝒔 − −𝟏) 𝟐 + 𝟏
+
𝟐
(𝒔 − −𝟏) 𝟐 + 𝟐𝟐
Recorrendo mais uma vez a transformada 36 da tabela, a
função f(t) passa a ser:
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Unidade
Unidade IV - SÉRIE DE FOURIER
Carga horária: 4 Aulas
Conteúdo:
4.1- Conceito e Definição de Séries
4.2 - Séries Periódicas e Séries Trigonométricas
4.3 -Séries pares e ímpares
4.4 - Apresentação da Série de Fourier
Unidade
Unidade IV - SÉRIE DE FOURIER
Carga horária: 4 Aulas
Bibliografia para esta aula:
BIDURIN, Cláudio; GIOFUSO, Valéria. Cálculo diferencial e integral III (Livro
Proprietário). Rio de Janeiro: SESES, 2016. Disponível em:
http://repositorio.savaestacio.com.br/site/index.html#/objeto/detalhes/8D546F
59-9F7D- 421C-B726-D7CDE91084A2> Cap. 5;
Boyce, William E., DiPrima, Richard C.. Equações diferenciais elementares e
problemas de valores de contorno; tradução e revisão técnica Valéria de
Magalhães Iorio. - 10. ed. - [Reimpr.]. - Rio de Janeiro : LTC, 2017. Disponível
em:<https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2833-
0/cfi/6/10!/4/10@0:42.6 > Cap. 10;
http://repositorio.savaestacio.com.br/site/index.html#/objeto/detalhes/8D546F59-9F7D- 421C-B726-D7CDE91084A2
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2833-0/cfi/6/10!/4/10@0:42.6 
4.1- Conceito e Definição de Séries
 Introdução
 Análise de Fourier (também chamada de Análise Harmônica),
que diz respeito à representação de sinais como uma soma
(ou melhor dizendo, uma combinação linear) de sinais básicos
como senos e cossenos, ou exponenciais complexas;
 A Análise de Fourier permite decompor um sinal nas suas
componentes em frequência (harmônicos) e tem muitas
aplicações no Processamento de sinal, no Processamento de
imagem, na Física em várias aplicações, na Probabilidade e
Estatística assim como em muitas outras áreas;
SÉRIE DE FOURIER
Série de Fourier (sinal 
periódico da onda 
quadrada)
4.1- Conceitoe Definição de Séries
 Introdução
 Antes de Fourier três físicos já tinham feito estudos
preliminares em séries infinitas para resolverem problemas
diversos da Física: suíço Leonhard Euler (1707-1783), o
francês Jean Le Rond d'Alembert (1717-1783) e o holandês
Daniel Bernoulli (1700-1782);
 No ano de 1822, na França, foi publicado um trabalho sobre a
Teoria Analítica do Calor de Jean Baptiste Joseph Fourier
(1768-1830). Este trabalho marcou definitivamente a presença
de Fourier na Matemática e na Física e a sua transformada, a
série de Fourier.
SÉRIE DE FOURIER
4.1- Conceito e Definição de Séries
 Séries infinitas
 Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica de
termos que variam em função de uma razão aditiva, enquanto
que a progressão geométrica (PG) é uma sequência de termos
que variam em função de uma razão multiplicativa.
Exemplo: a sequência (4, 7, 10, 13, 16, ...) é uma P.A.;
a sequência (2,4,8,16, 32, 64, 128, 256...) é uma PG.
 Considerando uma sequência numérica, é natural supor que a
mesma será convergente se possuir um limite L, ou seja,
supondo uma sequência {an} então 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞
𝒂𝒏 = 𝑳. Sempre que
houver um limitante para a sequência a mesma é dita ser
convergente, caso contrário, se o limite for igual a infinito, a
sequência é divergente.
SÉRIE DE FOURIER
4.1- Conceito e Definição de Séries
 Séries infinitas
 Exemplo 1 - Verifique se a sequência harmônica 𝒂𝒏 =
𝟏
𝒏
é ou
não convergente.
Solução
Calculando o limite, temos: 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂𝒏 = 𝑳
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝟏
𝒏
=
𝟏
∞
= 𝟎
Assim, a sequência harmônica é convergente e o seu limite
L = 0.
SÉRIE DE FOURIER
4.1- Conceito e Definição de Séries
 Séries infinitas
 Exemplo 2 - Verifique se a sequência harmônica 𝒂𝒏 =
𝒏
𝒏+𝟏
é
ou não convergente.
Solução
Calculando o limite, temos: 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂𝒏 = 𝑳
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒏
𝒏 + 𝟏
= 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒏
𝒏
𝒏 + 𝟏
𝒏
= 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝟏
𝟏 +
𝟏
𝒏
=
𝟏
𝟏 +
𝟏
∞
=
𝟏
𝟏 + 𝟎
= 𝟏
Assim, a sequência harmônica é convergente e o seu limite
L = 1.
Nota: Se uma série infinita possuir um limite diferente de
infinito será uma série convergente, senão será divergente.
SÉRIE DE FOURIER
4.1- Conceito e Definição de Séries
 Séries infinitas
 Exemplo 3 - Verifique se a sequência harmônica 𝒂𝒏 = 𝟐𝒏 é
ou não convergente.
Solução
Calculando o limite, temos: 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂𝒏 = 𝑳
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝟐𝒏 = 𝟐𝒏 = 𝟐.∞ = ∞
Assim, a sequência harmônica é divergente.
SÉRIE DE FOURIER
4.1- Conceito e Definição de Séries
 Séries infinitas
 Se tivermos a seguinte série infinita 𝑺 = 𝒏=𝟏
∞ 𝟏
𝒏
Note que estamos somando infinitamente termos que
convergem para zero, mas o valor da soma não para de
crescer, por menores que fiquem as parcelas, o que significa
que o valor de S converge para infinito, ou seja, a série
harmônica é divergente, apesar da sequência ser
convergente.
SÉRIE DE FOURIER
4.1- Conceito e Definição de Séries
 Séries infinitas
 Exemplo 4 - Avaliar se a série abaixo é convergente ou
não: 𝑺 = 𝒏=𝟎
∞ 𝟏
𝒏!
.
Solução
Os termos da série são parcelas da conhecida expansão em
série de Taylor, e em particular a série retratada resulta no
número de Euler. Assim, como a soma será diferente de
infinito, a série é convergente.
Nota: A soma de infinitas parcelas resultantes de um termo
geral, que forma a série, e que essa soma pode resultar em
um valor limitante, sendo a série convergente, como é o caso
da série de Fourier.
SÉRIE DE FOURIER
4.2 - Séries Periódicas e Séries Trigonométricas
 Séries Trigonométricas
 Os resultados obtidos por Fourier estão associados a funções
periódicas o que significa que todo o processo matemático
das séries envolve uma combinação de funções reais que
possam descrever ciclos e períodos;
 As funções trigonométricas são uma família de funções que
possuem um comportamento cíclico, em especial as funções
seno e cosseno.
SÉRIE DE FOURIER
4.2 - Séries Periódicas e Séries Trigonométricas
 Séries Trigonométricas
 O comportamento periódico (das funções seno e cosseno) e
podem, sem sombra de dúvidas, representar os resultados
obtidos por Fourier. Note também que tanto a função seno
quanto a função cosseno possuem um período, igual a 2π;
 Partindo das funções seno e cosseno, podemos agora pensar
o seguinte: qualquer parametrização dessas funções gera um
comportamento periódico constante? O que você acha, sim
ou não? Infelizmente a resposta é não. Nem toda
parametrização das funções gera um comportamento
periódico constante, mas muitos possibilidades atendem ao
critério.
SÉRIE DE FOURIER
4.2 - Séries Periódicas e Séries Trigonométricas
 Séries Trigonométricas
 Vamos verificar o comportamento da função f(x)=sen(2x) e da
função f(x)=cos (3x);
 Notamos que ambas possuem um comportamento periódico
constante, cada uma com um período específico. Assim, a
mudança no argumento da função, de forma linear, mudou
apenas o valor do período, mas não sua constância ao longo
do domínio.
SÉRIE DE FOURIER
4.2 - Séries Periódicas e Séries Trigonométricas
 Séries Trigonométricas
 Vamos verificar o comportamento da função f(x)=3.sen(2x) e
f(x)=4.cos(3x);
 Notamos que o comportamento é mantido, periodicidade
constante, mas conforme mudamos o coeficiente, muda
também o valor do período, formando ciclos mais abertos ou
mais fechados, períodos mais longos ou mais curtos.
SÉRIE DE FOURIER
4.2 - Séries Periódicas e Séries Trigonométricas
 Séries Trigonométricas
 Vamos verificar o comportamento da função f(x) = sen(x2) e a
função 𝐟 𝐱 = 𝐜𝐨𝐬 (
𝟏
𝐱
);
Nota: apenas argumentos ou coeficientes lineares produzem
configurações com períodos constantes.
SÉRIE DE FOURIER
4.2 - Séries Periódicas e Séries Trigonométricas
 Séries Trigonométricas
 Vamos verificar o comportamento de uma combinação aditiva,
senos somados a cossenos da função f(x)=sen(x)+cos (x);
Nota: o comportamento continuou cíclico, mas com uma
diferença, o período é uma intermediário entre os anteriores.
SÉRIE DE FOURIER
4.2 - Séries Periódicas e Séries Trigonométricas
 Séries Trigonométricas
 Vamos verificar as funções seno, cosseno e a soma das duas
de maneira simultânea;
Nota: as três funções possuem diferentes períodos e ainda
que a função da soma representada pela linha cheia corta o
eixo horizontal em pontos onde o valor do seno é igual ao
valor do cosseno, mas com sinais contrários.
SÉRIE DE FOURIER
4.2 - Séries Periódicas e Séries Trigonométricas
 Séries Trigonométricas
 Vamos verificar as funções seno e cosseno com coeficientes
lineares e argumentos lineares, as somas também serão
cíclicas;
SÉRIE DE FOURIER
4.2 - Séries Periódicas e Séries Trigonométricas
 Séries Trigonométricas
 Relembrando, vimos que a resultado obtido por Fourier
sugeria que era possível representar uma função qualquer por
uma série infinita de funções periódicas, trigonométricas.
Podemos interpretar esse resultado da seguinte forma:
Ou de forma mais resumida:
Nota: O grande problema é, dada uma situação qualquer,
encontrar os coeficientes ai e bi.
SÉRIE DE FOURIER
4.3 -Séries pares e ímpares
 Introdução
 Funções pares e funções ímpares estão associadas a simetria
do domínio e também ao comportamento simétrico, ou não da
função;
 Exemplo 5 – Trace o gráfico da função f(x)=ax
Nota: uma reta do tipo f(x)=ax, o resultado é uma função
simétrica em relação a origem, mas não é simétrica em
relação ao eixo horizontal.
SÉRIE DE FOURIER
4.3 -Séries pares e ímpares
 Introdução
 Exemplo 6 – Trace o gráfico da função f(x)=ax2
Nota: uma reta do tipo f(x)=ax2, o resultado não é uma função
simétrica em relação ao eixo horizontal.
SÉRIE DE FOURIER
4.3 -Séries pares e ímpares
 Introdução
 Função Par: Seja uma função f(x) cujo domínio seja um
conjunto simétrico. Assim, f(x) é uma função par se, e
somente se, f(– x) = f(x), para todo x pertencente ao domínio;
Exemplo: função cosseno é uma função par. Função Ímpar: Seja uma função f(x) cujo domínio seja um
conjunto simétrico. Assim, f(x) é uma função ímpar se, e
somente se, f(– x) = – f (x), para todo x pertencente ao
domínio.
Exemplo: a função seno é uma função ímpar.
SÉRIE DE FOURIER
4.3 -Séries pares e ímpares
 Propriedade
1. A soma (diferença) e o produto (quociente) de duas funções
pares são pares.
2. A soma (diferença) de duas funções ímpares é ímpar; o
produto (quociente) de duas funções ímpares é par.
3. A soma (diferença) de uma função ímpar e uma função par
não é par nem ímpar; o produto (quociente) de tais funções é
ímpar.
Nota: Assim, tanto a função e
serão Pares.
 Além dos aspectos relacionados com a simetria da função,
temos outros dois resultados, que apesar de serem bem
intuitivos, são de grande ajuda para se trabalhar com a série
de Fourier.
SÉRIE DE FOURIER
4.3 -Séries pares e ímpares
 Propriedade
 Resultado 1 - Considere uma função f(x) par variando no
intervalo de –x a x, conforme indicado na figura abaixo.
Considere ainda a área sob f(x) no intervalo de –x a 0 e a área
sob f(x) no intervalo 0 a x, destacadas na figura. Note que,
pela simetria, as áreas são iguais e com isso podemos afirmar
que se uma função f(x) for par, vale a seguinte relação:
SÉRIE DE FOURIER
4.3 -Séries pares e ímpares
 Propriedade
 Resultado 2 - Considere uma função f(x) ímpar variando no
intervalo de –x a x, conforme indicado na figura abaixo.
Considere ainda a área sob f(x) no intervalo de –x a 0 e a área
sob f(x) no intervalo 0 a x, destacadas na figura. Note que,
pela simetria, as áreas são iguais, mas com sinal contrário e
com isso podemos afirmar que se uma função f(x) for ímpar,
vale a seguinte relação:
SÉRIE DE FOURIER
4.3 -Séries pares e ímpares
 Propriedade
Nota: Como a série de Fourier é formada por senos (funções
ímpares) e cossenos (funções pares), mas que também será
formada por funções do tipo seno ao quadrado e cosseno ao
quadrado, que são funções pares e tais resultados abreviará a
manipulação das integrais necessárias para a caracterização
das séries de Fourier;
SÉRIE DE FOURIER
4.3 -Séries pares e ímpares
 Valor médio
 Valor médio de uma função.
Supondo uma função f(x) contínua em um intervalo (0,x),
sabemos que a integral definida de f(x) no intervalo equivale a
área S sob a curva, ou seja:
𝑴 =
 𝟎
𝒙
𝒇 𝒙 𝒅𝒙
𝒙
O valor médio de uma função também pode ser representado
com o uso dos sinais de maior e menor, da forma <f(x)>.
SÉRIE DE FOURIER
4.3 -Séries pares e ímpares
 Valor médio
 Valor médio M se f(x) for uma função periódica como o seno e
o cosseno:
• Observando as funções seno e cosseno, de 0 a 2π,
notamos que em ambas a área S será uma soma de áreas
contendo partes positivas e partes negativas, e devido à
simetria das curvas, a área positiva será igual a área
negativa, o que faz com que M seja igual a zero;
• O mesmo comportamento ocorre se tomarmos funções
que combinam o produto de senos e cossenos:
SÉRIE DE FOURIER
4.3 -Séries pares e ímpares
 Valor médio
 Valor médio M se f(x) for uma função periódica como o seno e
o cosseno:
• Função f(x)=sen(2x).sen(3x)
• Função f(x)=sen(2x).cos(3x)
• Função f(x)=sen(2x).cos(3x)
SÉRIE DE FOURIER
4.3 -Séries pares e ímpares
 Valor médio
 Valor médio M se f(x) for uma função periódica como o seno e
o cosseno:
• E sobre funções do tipo f(x)=sen2(x) e f(x)=cos2(x)? O que
ocorrerá com a área entre 0 e 2π?
Note que neste caso a área S ainda será uma soma de
áreas, mas todas positivas.
SÉRIE DE FOURIER
4.3 -Séries pares e ímpares
 Valor médio
 Calculo a integral definida do seno ao quadrado inicialmente:
 𝟎
𝟐𝝅
𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟎
𝟐𝝅 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝒅𝒙
𝟐
= 𝟎
𝟐𝝅 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 +𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝒅𝒙
𝟐
= 
𝟎
𝟐𝝅 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙
𝟐
= 
𝟎
𝟐𝝅 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 −𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙
𝟐
= 
𝟎
𝟐𝝅 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙
𝟐
𝒅𝒙 −
𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙
𝟐
𝒅𝒙
Da relação 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝟏 e 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙)
 𝟎
𝟐𝝅
𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟎
𝟐𝝅 𝟏
𝟐
𝒅𝒙 − 𝟎
𝟐𝝅 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙)𝒅𝒙
𝟐
SÉRIE DE FOURIER
4.3 -Séries pares e ímpares
 Valor médio
 Calculo a integral definida do seno ao quadrado inicialmente:
Utilizando uma substituição simples, u=2x,
 
𝟎
𝟐𝝅
𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝒅𝒙 =
𝒙
𝟐
−
𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙)
𝟒
𝟐𝝅
𝟎
=
𝟐𝝅
𝟐
−
𝒔𝒆𝒏(𝟒𝝅)
𝟒
-
𝟎
𝟐
−
𝒔𝒆𝒏(𝟎)
𝟒
= 𝝅
Logo 𝟎
𝟐𝝅
𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = 𝝅 e 𝟎
𝟐𝝅
𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = 𝝅
Substituindo no cálculo do valor médio M, temos:
𝑴 =
 𝟎
𝟐𝝅
𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝒅𝒙
𝟐𝝅
=
𝝅
𝟐𝝅
=
𝟏
𝟐
𝑴 =
 𝟎
𝟐𝝅
𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙
𝟐𝝅
=
𝝅
𝟐𝝅
=
𝟏
𝟐
SÉRIE DE FOURIER
4.3 -Séries pares e ímpares
 Valor médio
 Valores para a média M (para cada um dos períodos de
tamanho 2π):
SÉRIE DE FOURIER
4.4 - Apresentação da Série de Fourier
 Série de Fourier
 A série de Fourier é na verdade uma expansão gerando uma
soma de senos e cossenos da forma
Ou de forma mais resumida:
Os valores dos coeficientes ai associados aos senos os
valores bi associados ao cosseno é multiplicar toda a série
pela função correspondente ao coeficiente que se deseja
calcular.
SÉRIE DE FOURIER
4.4 - Apresentação da Série de Fourier
 Série de Fourier
 Determinar o valor do coeficiente a₁ que está associado a
função sen(x). Assim, multiplicamos a série de Fourier por
sen(x), obtendo o seguinte resultado:
 Por uma questão de conveniência, denotaremos o valor médio
com a notação <>:
SÉRIE DE FOURIER
4.4 - Apresentação da Série de Fourier
 Série de Fourier
 os valores médios para os funções do tipo sen(x),
sen(x).sen(ix) serão iguais a zero, bem como para as funções
do tipo sen(x).cos(ix).
 Da tabela podemos observar que a média da função sen2 (x)
será igual a meio.
Substituindo, temos:
< 𝐟 𝐱 𝐬𝐞𝐧(𝐱) > =
𝟏
𝟐
𝒂𝟏 → 𝒂𝟏 = 𝟐 < 𝐟 𝐱 𝐬𝐞𝐧(𝐱) >
Como os resultados da tabela valem para o seno e também
para o cosseno, podemos generalizar o resultado anterior da
seguinte forma
𝒂𝒊 = 𝟐 < 𝐟 𝐱 𝐬𝐞𝐧(𝐢. 𝐱) >
𝒃𝒊 = 𝟐 < 𝐟 𝐱 𝐜𝐨𝐬(𝐢. 𝐱) >
SÉRIE DE FOURIER
4.4 - Apresentação da Série de Fourier
 Série de Fourier
 Neste caso, tomando a média da série, sem a multiplicação de
qualquer função pela série, todos os termos serão mantidos
como estão, senos e cossenos, e em todos os casos o valor
médio será igual a zero. Assim: 𝒂𝟎 =< 𝐟 𝐱 >
 Resumindo, temos o coeficiente
𝒂𝟎 =< 𝐟 𝐱 >
𝒂𝒊 = 𝟐 < 𝐟 𝐱 𝐬𝐞𝐧(𝐢. 𝐱) >
𝒃𝒊 = 𝟐 < 𝐟 𝐱 𝐜𝐨𝐬(𝐢. 𝐱) >
Nota:
• Basta termos a função f(x) de interesse e determinar os
valores médios para cada um dos coeficientes;
• A série de Fourier é infinita e portanto não temos condições
de calcular todos os coeficientes, mas apenas parte deles.
SÉRIE DE FOURIER
4.4 - Apresentação da Série de Fourier
 Série de Fourier
 Exemplo 7 – A função abaixo é um exemplo de onda
quadrada, que pode ser representada pela figura
𝒇 𝒙 =
𝟏, 𝒂𝝅 ≤ 𝒙 < (𝒂 + 𝟏)𝝅
𝟎, (𝒂 + 𝟏)𝝅 ≤ 𝒙 < (𝒂 + 𝟐)𝝅
Para a = 0, 2 , 4, 6 ....
Nota: A série de Fourier em uma caso clássico, muito frequente em
circuitos de chaveamento digitais, a onda quadrada. Ela tem esse nome
por estar associada ao conceito de dígitos binários, representando a
ausência ou presença de um determinado sinal, por exemplo. Desta
forma, é uma função não contínua que apresenta apenas dois resultados.
SÉRIE DE FOURIER
4.4 - Apresentação da Série de Fourier
 Série de Fourier
 Exemplo 7 – Solução
Considerar que a função f(x) possui apenas dois valores, 0 ou
1, em função do domínio. Os cálculos para o primeiro período
apenas, de 0 a 2π, pois para os demais os resultados serão os
mesmos.
Como a₀ é simplesmente a média da função f(x), e ela assume
apenas dois valores, 0 e 1, é imediato deduzir que a₀ = 0,5.
Observando os valores de bᵢ, temos que todos estão
associados a cossenos, que no intervalo de 0 a 2π terão valor
médio iguala zero, como visto anteriormente. Assim todos os
coeficientes bᵢ são eliminados da série.
SÉRIE DE FOURIER
4.4 - Apresentação da Série de Fourier
 Série de Fourier
 Exemplo 7 – Solução
Para calcular o valor de a₁, lembramos que
𝒂𝟏= 𝟐 < 𝐟 𝐱 𝐬𝐞𝐧(𝐱) >. Para f(x)=0 temos que < 𝐟(𝐱)𝐬𝐞𝐧(𝐱) >
será igual a zero. Para f(x)=1, temos que a média será igual a:
𝑴 =
 𝟎
𝟐𝝅
𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙
𝝅
=
−𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝝅
𝟐𝝅
𝟎
=
𝟐
𝝅
Assim, temos para f(x)=0 média zero e para f(x)=1 média 2/π,
então é natural que a média final de f(x).sen(x) seja igual a 1/π.
𝒂𝟏= 𝟐 < 𝐟 𝐱 𝐬𝐞𝐧(𝐱) > = 𝟐
𝟏
𝝅
=
𝟐
𝝅
SÉRIE DE FOURIER
4.4 - Apresentação da Série de Fourier
 Série de Fourier
 Exemplo 7 – Solução
Vamos agora calcular o valor de a2 , lembramos que
𝒂𝟐= 𝟐 < 𝐟 𝐱 𝐬𝐞𝐧(𝟐𝐱) > . Observando novamente a figura do
seno, colocada no início do capítulo, é notável observar que
no intervalo de 0 a π, onde f(x)=1, a função sen(2x) tem um
comportamento ímpar, o que nos leva a concluir que o valor
médio será igual a zero. Como para f(x)=0 o valor médio
também será zero, concluímos que a2 = 2.0 = 0.
o gráfico das função sen(4x) ou sen(6x) esse comportamento
será mantido. Assim, para todo aᵢ, com i par, o coeficiente será
igual a zero.
SÉRIE DE FOURIER
4.4 - Apresentação da Série de Fourier
 Série de Fourier
 Exemplo 7 – Solução
Para calcular o valor de a3, lembramos que
𝒂𝟑= 𝟐 < 𝐟 𝐱 𝐬𝐞𝐧(𝟑𝐱) >. Para f(x)=0 temos que < 𝐟(𝐱)𝐬𝐞𝐧(𝟑𝐱) >
será igual a zero. Para f(x)=1, temos que a média será igual a:
𝑴 =
 𝟎
𝟐𝝅
𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙
𝝅
=
−
𝟏
𝟑𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)
𝝅
𝟐𝝅
𝟎
=
𝟐
𝟑𝝅
Assim, temos para f(x)=0 média zero e média igual a 2/3π,
então é natural que a média final de f(x).sen(3x) seja igual a
1/3π:
𝒂𝟑= 𝟐 < 𝐟 𝐱 𝐬𝐞𝐧(𝟑𝐱) > = 𝟐
𝟏
𝟑𝝅
=
𝟐
𝟑𝝅
SÉRIE DE FOURIER
4.4 - Apresentação da Série de Fourier
 Série de Fourier
 Exemplo 7 – Solução
Para calcular o valor de a5, lembramos que
𝒂𝟓= 𝟐 < 𝐟 𝐱 𝐬𝐞𝐧(𝟓𝐱) >. Para f(x)=0 temos que < 𝐟(𝐱)𝐬𝐞𝐧(𝟓𝐱) >
será igual a zero. Para f(x)=1, temos que a média será igual a:
𝑴 =
 𝟎
𝟐𝝅
𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒙 𝒅𝒙
𝝅
=
−
𝟏
𝟓
𝒄𝒐𝒔(𝟓𝒙)
𝝅
𝟐𝝅
𝟎
=
𝟐
𝟓𝝅
Assim, temos para f(x)=0 média zero e média igual a 2/5π,
então é natural que a média final de f(x).sen(3x) seja igual a
1/5π:
𝒂𝟑= 𝟐 < 𝐟 𝐱 𝐬𝐞𝐧(𝟓𝐱) > = 𝟐
𝟏
𝟓𝝅
=
𝟐
𝟓𝝅
SÉRIE DE FOURIER
4.4 - Apresentação da Série de Fourier
 Série de Fourier
 Exemplo 7 – Solução
Pode-se generalizar:
𝒂𝒊 =
𝟐
𝒊𝝅
Assim, finalmente temos a série de Fourier:
SÉRIE DE FOURIER
4.4 - Apresentação da Série de Fourier
 Série de Fourier
 Exemplo 7 – Solução
Pode-se representar a série definindo a quantidade de termos
a serem utilizados, mas com o cuidado de lembrar que quanto
maior o número de termos mais próxima da função original.
• Gráfico da série de Fourier com 3 termos
• Gráfico da série de Fourier com 6 termos
SÉRIE DE FOURIER
4.4 - Apresentação da Série de Fourier
 Série de Fourier
 Exemplo 8 – Expandir a função f(x)=2x2 em termos da série de
Fourier, para –π ≤ x ≤ π.
Solução: Calculando o parâmetro a0:
𝒂𝟎 =
 −𝝅
𝝅
𝟐 𝒙𝟐 𝒅𝒙
𝟐𝝅
=
𝟐
𝟑 𝒙
𝟑 𝝅
−𝝅
𝟐𝝅
= 𝟐
𝟐
𝟑 𝒙
𝟑 𝝅
𝟎
𝟐𝝅
= 𝟐
𝟐
𝟑 𝝅
𝟑
𝟐𝝅
=
𝟐𝝅𝟐
𝟑
Calculando o parâmetro a1:
𝒂𝟏 =
 −𝝅
𝝅
𝟐 𝒙𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒅𝒙
𝟐𝝅
=
𝟎
𝟐𝝅
= 𝟎
 
−𝝅
𝝅
𝟐 𝒙𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒅𝒙 = −𝟐 𝒙𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝟒𝒙𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝟒𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝝅
−𝝅
 −𝝅
𝝅
𝟐 𝒙𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒅𝒙 = −𝟐 𝒙𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝟒𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝝅
−𝝅
= 𝟐 𝝅𝟐𝒄𝒐𝒔 𝝅 +
𝟒𝒄𝒐𝒔 𝝅 + 𝟐 𝝅𝟐𝒄𝒐𝒔 𝝅 − 𝟒𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝝅𝟐 − 𝟒 − 𝟐 𝝅𝟐 + 𝟒 = 𝟎
SÉRIE DE FOURIER
Função seno é impar, 
logo área igual a 
zero.
4.4 - Apresentação da Série de Fourier
 Série de Fourier
 Exemplo 8 –Solução
Devido às propriedades do seno e cosseno em termos de
funções pares e ímpares, o mesmo resultado ocorrerá com
todos os termos sen(kx) da série de Fourier. Desta forma,
temos que todos os ai serão iguais a zero. Neste caso
dizemos que a série de Fourier será uma série de cossenos
apenas.
Calculando o parâmetro b1:
𝒃𝟏 =
 −𝝅
𝝅
𝟐 𝒙𝟐𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒅𝒙
𝟐𝝅
 
−𝝅
𝝅
𝟐 𝒙𝟐𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟐 𝒙𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝟒𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙 − 𝟒𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝝅
−𝝅
=
SÉRIE DE FOURIER
4.4 - Apresentação da Série de Fourier
 Série de Fourier
 Exemplo 8 –Solução
Novamente, devido às características da função seno, temos
que todos os termos dependente de sen(x) serão iguais a
zero, reduzindo o cálculo da integral apenas em termos do
cosseno. Ainda, pelo fato do cosseno ser uma função ímpar,
podemos nos limitar a calcular a integral de zero a π, e depois
multiplicar o resultado final por 2. Calculando o parâmetro b1:
 
−𝝅
𝝅
𝟐 𝒙𝟐𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟐 𝟒𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝝅
𝟎
= 𝟐 𝟒𝝅𝒄𝒐𝒔 𝝅 + 𝟒. 𝟎𝒄𝒐𝒔 𝟎 = 𝟐 −𝟒𝝅 − 𝟎 = −𝟖𝝅
𝒃𝟏 =
 −𝝅
𝝅
𝟐 𝒙𝟐𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒅𝒙
𝟐𝝅
= 𝟐
−𝟖𝝅
𝟐𝝅
= −𝟖
SÉRIE DE FOURIER
4.4 - Apresentação da Série de Fourier
 Série de Fourier
 Exemplo 8 –Solução
Calculando o parâmetro b2:
𝒃𝟐 =
 −𝝅
𝝅
𝟐 𝒙𝟐𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙)𝒅𝒙
𝟐𝝅
= 𝟐
𝟐𝝅
𝟐𝝅
= 𝟐
 
−𝝅
𝝅
𝟐 𝒙𝟐𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙)𝒅𝒙 =
𝟐 𝒙𝟐𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙
𝟐
+
𝟒 𝒙𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙)
𝟒
−
𝟒𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙
𝟖
De maneira análoga ao caso anterior, a integral será reduzida
a:
 
−𝝅
𝝅
𝟐 𝒙𝟐𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙)𝒅𝒙 = 𝟐 𝒙𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙)
𝝅
𝟎
= 𝟐 𝝅𝒄𝒐𝒔(𝟐𝝅) − 𝟎𝒄𝒐𝒔(𝟐. 𝟎)
= 𝟐 𝝅 − 𝟎 = 𝟐𝝅
SÉRIE DE FOURIER
Função seno é impar, 
logo área igual a 
zero.
4.4 - Apresentação da Série de Fourier
 Série de Fourier
 Exemplo 8 –Solução
Calculando o parâmetro b3:
𝒃𝟑 =
 −𝝅
𝝅
𝟐 𝒙𝟐𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)𝒅𝒙
𝟐𝝅
= 𝟐
𝟖
𝟗𝝅
𝟐𝝅
=
𝟖
𝟗
 
−𝝅
𝝅
𝟐 𝒙𝟐𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)𝒅𝒙 =
𝟐 𝒙𝟐𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙
𝟑
+
𝟒 𝒙𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)
𝟗
−
𝟒𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙
𝟐𝟕
De maneira análoga ao caso anterior, a integral será reduzida
a:
 
−𝝅
𝝅
𝟐 𝒙𝟐𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)𝒅𝒙 = 𝟐
𝟒𝒙𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)
𝟗
𝝅
𝟎
= 𝟐
𝟒𝝅𝒄𝒐𝒔(𝟑𝝅)
𝟗
−
𝟒. 𝟎𝒄𝒐𝒔(𝟑. 𝟎)
𝟗
= 𝟐
𝟒𝝅
𝟗
−
𝟎
𝟗
=
𝟖𝝅
𝟗
SÉRIE DE FOURIER
Função seno é impar, 
logo área igual a 
zero.
4.4 - Apresentação da Série de Fourier
 Série de Fourier
 Exemplo 8 –Solução
Calculando o parâmetro b3:
𝒃𝟒 =
 −𝝅
𝝅
𝟐 𝒙𝟐𝒄𝒐𝒔(𝟒𝒙)𝒅𝒙
𝟐𝝅
= 𝟐
𝝅
𝟐
𝟐𝝅
=
𝟏
𝟐
 
−𝝅
𝝅
𝟐 𝒙𝟐𝒄𝒐𝒔(𝟒𝒙)𝒅𝒙 =
𝟐 𝒙𝟐𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙
𝟒
+
𝟒 𝒙𝒄𝒐𝒔(𝟒𝒙)
𝟖
−
𝟒𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙
𝟔𝟒
De maneira análoga ao caso anterior, a integral será reduzida
a:
 
−𝝅
𝝅
𝟐 𝒙𝟐𝒄𝒐𝒔(𝟒𝒙)𝒅𝒙 = 𝟐
𝒙𝒄𝒐𝒔(𝟒𝒙)
𝟒
𝝅
𝟎
= 𝟐
𝟒𝝅𝒄𝒐𝒔(𝟒𝝅)
𝟒
−
𝟒. 𝟎𝒄𝒐𝒔(𝟒. 𝟎)
𝟒
= 𝟐
𝝅
𝟒
−
𝟎
𝟒
=
𝝅
𝟐
SÉRIE DE FOURIER
Função seno é impar, 
logo área igual a 
zero.
4.4 - Apresentação da Série de Fourier
 Série de Fourier
 Exemplo 8 –Solução
Colocando os quatro parâmetros calculados e reescrevendo
de uma forma conveniente:
𝒂𝟎 =
𝟐𝝅𝟐
𝟑
𝒃𝟏 = −𝟖 = −
𝟖
𝟏
= −
𝟖
𝟏𝟐
𝒃𝟐 = 𝟐 =
𝟒
𝟐
=
𝟖
𝟐𝟐
𝒃𝟑 =
𝟖
𝟗
=
𝟖
𝟑𝟐
𝒃𝟒 =
𝟏
𝟐
=
𝟖
𝟏𝟔
=
𝟖
𝟒𝟐
SÉRIE DE FOURIER
4.4 - Apresentação da Série de Fourier
 Série de Fourier
 Exemplo 8 –Solução
Para os coeficientes de índices ímpares, os coeficientes serão
da forma −
𝟖
𝒊𝟐
e para os índices pares,
𝟖
𝒊𝟐
Finalizando o exemplo 8, temos a seguinte série de Fourier:
𝒇 𝒙 =
𝟐𝝅𝟐
𝟑
−
𝟖
𝟏𝟐
𝒄𝒐𝒔 𝒙 +
𝟖
𝟐𝟐
𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 −
𝟖
𝟑𝟐
𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 +
𝟖
𝟒𝟐
𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙 − ⋯
SÉRIE DE FOURIER
4.4 - Apresentação da Série de Fourier
 Série de Fourier
 Exemplo 8 –Solução
O comportamento da expansão em relação ao gráfico original
da função, considerando 9 termos da série.
Note que a série, representada pela linha pontilhada consegue
fazer exatamente o mesmo traçado da função f(x)=2x2.
SÉRIE DE FOURIER
Dúvidas