Matematica Basica - Adiçao, Subtraçao, Multiplicaçao e Divisao

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Matemática Básica
1. Adição
A adição é o ato de juntar elementos, uma das quatro operações básicas da aritmética. A adição está ligada a ideia de acrescentar. Toda vez que unimos novos elementos ou valores, estamos adicionando.
Matemática utiliza-se a símbolo + para representar uma adição.
Termos da adição
Cada elemento somado é chamado parcela. Uma adição pode ter pelo menos duas parcelas e até infinitas.
Exemplo: Ao juntar 300 gramas de arroz com 200 gramas de feijão, temos um prato com 500 gramas.
As parcelas são 300 e 200 e ao resultado, chamamos total ou soma. No exemplo, o resultado 500 é o total ou, a soma.
Conta de somar: cálculo da adição
Também conhecida como conta de mais ou, conta de somar, é um procedimento que nos ajuda a calcular. Este algoritmo da adição é muito útil, principalmente para adições com muitas parcelas ou valores grandes.
Ao efetuar uma adição, escrevem-se as parcelas umas sobre as outras, como uma “pilha” de parcelas e abaixo é feito um traço.
Realizamos a adição somando os algarismos com mesma ordem, começando pelas unidades. Após seguimos somando os algarismos, ordem por ordem.
Exemplo: 23 + 15 = 38
Ao escrever os números, estes devem ser organizados colocando ordens iguais em uma mesma coluna. Unidades sobre unidades, dezenas sobre dezenas e assim por diante.
Adição com reserva ou reagrupamento
A Adição com reserva ou reagrupamento também é conhecida como: "vai um”, "vai dois" .... Ao somar os algarismos em uma ordem, caso o resultado seja maior que 9, devemos acrescentar esta quantidade à ordem seguinte.
Lembre-se que não podemos escrever mais de um algarismo por ordem.
Exemplo: 459 + 232 =
Na ordem das unidades temos 9 + 2 = 11. O número 11 pode ser escrito como 1 dezena + 1 unidade:
11 = 10 + 1
Esta dezena deve ser adicionada à coluna das dezenas.
Na coluna das dezenas temos +1 dezena que será acrescentada ao 5 e ao 3. Como 1 + 5 + 3 = 9, não é necessário acrescentar uma centena e assim, seguimos o cálculo.
Este procedimento deve ser repetido em qualquer ordem caso a soma seja maior que 9. Ao completar uma ordem seguinte, devemos sempre acrescentá-la na coluna correta.
Propriedades da adição
A operação de adição com números naturais possui cinco propriedades e, no conjunto dos números inteiros há uma. Estas propriedades definem a adição e ajudam a calcular.
Propriedade Associativa
Podemos associar as parcelas de modo a facilitar o cálculo.
Exemplo: 8 + 6 + 2 + 3= 19
Podemos associar as parcelas da seguinte forma:
8 + 2 + 6 + 3 = 19
10 + 9 = 19
Propriedade Comutativa
A ordem das parcelas não altera a soma.
12 + 3 = 15, assim como, 3 + 12 = 15.
Elemento neutro
O elemento neutro da adição é o zero, pois não altera o resultado.
Exemplos: 5 + 0 = 5
4 + 0 + 5 = 9
0 + 37 = 37
Fechamento
A propriedade do fechamento define que ao somar dois ou mais números naturais, o resultado será sempre um número natural.
Exemplo: 1 457 + 2 354 = 3 811
Lembre-se que o conjunto dos números naturais começa com o zero e vai ao infinito, avançando a cada uma unidade.
N = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}
Propriedade do elemento oposto ou simétrico
No conjunto dos números inteiros há a propriedade do elemento oposto ou simétrico, em que um número é oposto ou simétrico quando seu sinal é trocado. Ex.: O oposto ou simétrico de 2 é -2.
Ao somar números simétricos, o resultado é sempre zero.
Exemplos: 3 + (-3) = 0
-17 + 17 = 0
256 + (-256) = 0
Regra de sinais na adição (adição de números inteiros)
O conjunto dos números inteiros compreendem os números negativos e positivos. Também, o conjunto dos inteiros é infinito, tanto no sentido negativo quanto no positivo da reta.
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
Para somar números inteiros, respeitam-se algumas regras de sinais.
Sinais iguais: Se as parcelas possuem mesmo sinal, deve-se somar e repetir o sinal.
Exemplos: 7 + 2 = 9
-14 - 3 = -17
Sinais diferentes: Se as parcelas possuem sinais diferentes, deve-se subtrair e manter o sinal do número com o maior valor absoluto.
Exemplos: - 21 + 12 = 21 - 12 = -9 (pois o sinal negativo está no 21)
15 - 17 = 17 - 15 = -2 (pois o sinal negativo está no 17)
Exercício de adição
Resolva as seguintes adições utilizando o algoritmo da adição.
a) 561 + 1364 =
b) 2641 + 3471 =
2. Subtração
Subtração é uma operação básica da Matemática. É a operação inversa da adição. Subtrair é retirar uma quantidade ou porção, de algo, ou coleção. Ao separar uma parte de um todo, estamos subtraindo.
A subtração é tão antiga quanto a própria contagem, pois conhecer o quanto resta após separar ou retirar uma quantidade, sempre foi uma necessidade. Quanto resta? Quanto sobra? Qual a diferença? Quanto falta? Qual o menor? Qual o maior? Quanto tem a mais? São algumas perguntas respondidas pelas subtrações.
Operação de subtração
Na linguagem matemática, o símbolo para subtração é um traço (-) e lemos como: menos. O resto ou diferença, vem depois do resultado.
“Das 80 laranjas que o feirante tinha, ele vendeu 70, restando 10 laranjas.”
Escrevemos assim: 80 - 70 = 10
Termos da subtração
Minuendo e subtraendo
São termos da subtração o minuendo e o subtraendo. Minuendo é a parte original, inteira, e o subtraendo é a porção que se retira.
Exemplo: Havia 6 maçãs e Joana comeu 2. Sobraram quantas maçãs?
O 6 é o minuendo, pois é a quantidade inicial de maçãs e, o 2 é o subtraendo, pois é a quantidade de maçãs que Joana comeu.
Resto ou diferença
Resto ou diferença é o resultado da subtração, é o que sobra e que fica à direita do sinal de igualdade. No exemplo, o resto é o 4, pois ao comer 2 maçãs, sobraram 4.
Conta de menos: o algoritmo da subtração
O algoritmo da subtração é um facilitador. Uma sequência de passos para encurtar os cálculos, registrar e orientar o raciocínio durante a conta de subtração.
Como fazer conta de subtração:
O cálculo é feito da direita (coluna das unidades) para à esquerda e os termos da subtração ficam organizados assim:
· O número maior, o minuendo, fica na primeira linha.
· O número menor, o subtraendo, fica na segunda linha.
· O resto, fica abaixo do traço da conta.
· Os números devem estar organizados em colunas, pelas suas ordens. Unidade embaixo de unidade, dezena embaixo de dezena.
· O símbolo da subtração, fica à esquerda.
Pedir emprestado: subtração com reserva
Subtração com reserva é quando o minuendo é menor que o subtraendo, não sendo possível realizar a conta com os números naturais. Nesse caso, é preciso "pedir emprestado".
Retira-se da ordem maior, vizinha à esquerda, o valor que será acrescido à ordem que estamos subtraindo.
Exemplo: Na ordem das unidades, o 5 é menor que o 8, sendo preciso pedir emprestado.
Para continuar a conta, retira-se uma dezena do 3 e soma-se ao cinco.
O 3 passa a valer 2, e o 5 passa a valer 15, pois fizemos uma dezena mais 5. Assim, podemos prosseguir a conta.
Propriedades da subtração
As propriedades da adição não se aplicam na subtração de números naturais, pois:
Comutativa
Comutar é trocar a ordem.
30 - 20 difere de 20 - 30, por isso a comutativa não se aplica à subtração.
Elemento Neutro
Embora um valor menos zero não altere o resultado, o contrário é falso.
4 - 0 = 4, mas,
0 - 4 = -4
Fechamento
A propriedade do fechamento diz que o resultado de uma subtração de números naturais, resulta sempre em um número natural. Isso não acontece sempre, por isso essa propriedade não se aplica a subtração.
4 - 5 = -1
Quatro menos cinco é igual a menos um (-1), que não é um número natural.
Associativa
Não podemos associar três ou mais parcelas na subtração.
(120 - 60) - 30 = 60 - 30 = 30
Ao fazermos: 120 - (60 - 30) = 120 - 30 = 90
Exercícios
Questão 1: Hoje é a estreia do filme Os Super-Heróis Fabulosos. Há um mês os fãs já comentavam e esperavam ansiosos pela estreia. Carlos está na fila do cinema com seu pai para comprar os ingressos. Antes de entrarem na fila, ele perguntou ao atendente do guichê quantas cadeiras ainda estavam vazias. O atendente lhe disse que restavam 23 lugares para completar a sala de exibição que ao total, oferecia 157 lugares.
Quantosingressos já foram vendidos?
Questão 2: Sr. Arnoldo aproveita o calor do verão para vender sorvetes. No entanto, hoje o tempo piorou e choveu bastante, diminuindo a temperatura. Se ontem Sr., Arnoldo vendeu 241 sorvetes e, hoje, vendeu 128, quantos sorvetes ele vendeu a mais ontem?
Questão 3: Júlio e Sophia estão indo com seus pais visitar seus avôs que moram em outra cidade. A distância entre suas casas é de 487 km. Ao fazer uma parada para o almoço, o pai das crianças verificou a distância que já percorreram, 386 km. Quantos quilômetros faltam para eles completarem a viagem?
3. Multiplicação
A multiplicação é uma das operações matemáticas básicas. Ela é uma evolução natural da adição, pois é definida de modo que represente a soma de determinado número de conjuntos que possuem a mesma quantidade de elementos.
Por exemplo: é usual comprar muitos exemplares de um mesmo produto em supermercados. Caso compre oito produtos que custem R$ 2,00, o total a ser pago será de R$ 16,00, pois somamos o valor R$ 2,00 oito vezes. Sendo assim:
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 16
Essa soma pode ser representada pelo símbolo “x” ou “·”. No exemplo anterior:
2x8 = 2·8 = 16
Dessa maneira, somamos oito conjuntos de 2 reais cada. Nesse exemplo, os números 2 e 8 recebem o nome de fatores e essa operação deve ser lida da seguinte maneira: duas vezes oito é igual a dezesseis.
Em outras palavras, multiplicação é uma maneira que facilita a soma de números iguais. A imagem a seguir contém todos os resultados das multiplicações que envolvem os fatores de 1 a 10.
Propriedades da multiplicação
As 5 propriedades da multiplicação são: comutativa, distributiva, associativa, elemento neutro e elemento inverso.
Usamos essas propriedades para facilitar os cálculos. Regra geral, podem ser usadas com números reais e complexos. Ou seja: naturais, inteiros, cálculo algébrico (quando aparecem letras), racionais e irracionais.
Propriedade comutativa
A propriedade comutativa define que não importa a ordem dos valores que você está multiplicando. Pode trocar a ordem que o resultado é o mesmo.
e 
Sendo a e b números reais quaisquer, a comutativa garante que
Propriedade distributiva
A propriedade distributiva é utilizada quando um número está multiplicando uma adição ou subtração. Basta multiplicar separado cada termo e, somar ou subtrair o resultado.
Podemos escrever, assim
Nós distribuímos a multiplicação do 2, para o 8 e para o 3. Com letras é a mesma coisa
Uma dica importante é colocar em evidência. Esse é um procedimento, uma ferramenta matemática muito importante. É o caminho inverso da distribuição. Quando você distribui, é o caminho de ida e quando você coloca em evidência, faz o caminho de volta. Realmente, você volta ao ponto em que estava e isso pode parecer desnecessário, mas, não é. Na verdade, é fundamental.
Acompanhe o exemplo: A letra  aparece duas vezes, antes e depois da adição, multiplicando o  e o.
Nesse caso, você pode colocar o  sozinho do lado de fora de um parêntese e, dentro, somar ou subtrair os termos que sobraram.
Propriedade associativa
A propriedade associativa nos diz que se você está multiplicando três ou mais números, é possível associar os fatores de maneiras diferentes e mais convenientes.
Exemplo: 
Nós podemos fazer
Ou, assim
Elemento neutro
O número 1 é chamado de elemento neutro da multiplicação não é à toa. Veja os seguintes exemplos:
Em uma multiplicação, o número 1 não altera o resultado, ele é neutro. É importante notar que o -1 não é o elemento neutro. Um número multiplicado por -1 é igual ao seu oposto.
Elemento inverso
O inverso de um número  qualquer, é o valor que multiplicado a ele, resulta em 1.
Para encontrar o inverso de um número, você vai usar uma fração. Basta colocar o 1 no numerador e o número que está invertendo no denominador.
O inverso de  é
Exercícios
Questão 1: O produto de dois números naturais a e b é igual a 345. . Qual o valor do produto b x a? Qual o nome da propriedade da multiplicação utilizada?
Questão 2: Cálculo mental. Use uma propriedade que lhe ajude a realizar mentalmente estas expressões.
a) 
b) 
Questão 3: (Unicamp - SP) Na expressão, as letras a, b e c só podem assumir os valores 0, 1 e 2.
a) Qual é o valor de m para a = 1, b = 1 e c = 2?
b) Qual é o maior valor possível para m?
c) Determine a, b e c de modo que m = -4.
Questão 4: Nas seguintes equações, identifique qual propriedade foi utilizada.
a) 
b) 
c) 
d) 
4. Divisão
A divisão é operação matemática utilizada para descobrir como separar uma quantidade em partes, ou seja, “fracionar” algo.
Geralmente, o símbolo utilizado para a operação é, mas também podemos encontrar casos em que : e / são utilizados como sinal de divisão.
Por exemplo, podemos indicar uma divisão simples da seguinte forma:
31 = 3
4 : 2 = 2
5 / 5 = 1
Os termos da divisão
Os nomes dos termos de uma divisão são: dividendo, divisor, quociente e resto. Veja no exemplo a seguir.
Sendo assim, podemos escrever a conta de divisão da seguinte forma:
dividendodivisor = quociente
142 = 7
Observe que na divisão de 14 por 2 obtemos uma divisão exata, pois não existe resto.
A divisão exata é a operação inversa da multiplicação, pois a multiplicação de quociente e divisor tem como resultado o dividendo.
quociente x divisor = dividendo
7 x 2 = 14
Se uma divisão apresentar resto então ela é classificada como não exata. Por exemplo, a divisão de 37 por 15 não é exata, já que tem resto diferente de 0.
Dessa forma, podemos relacionar os termos da divisão assim:
quociente x divisor + resto = dividendo
2 x 15 + 7 = 37
Como fazer conta de dividir
Confira alguns exemplos de divisão e as regras para efetuar essa operação matemática.
Divisão de números inteiros
As regras para dividir números inteiros são:
1º: organize a operação identificando o dividendo e o divisor;
2º: encontre um número que multiplicado pelo divisor seja igual ou próximo ao dividendo;
3º caso o número seja menor que o dividendo subtraia um pelo outro e continue a divisão com o resto até que não haja mais nenhum número para continuar a divisão.
Exemplo: 2248
Como chegamos ao resto 0, temos uma divisão exata. Observe que 224 é divisível por 8, pois 28 x 8 = 224.
Divisão com números decimais (divisão com vírgula)
Quando a divisão não é exata, podemos continuar realizando a operação com o resto, mas obteremos um quociente decimal.
Para isso, adicionamos um 0 ao resto para continuar a divisão e devemos colocar uma vírgula no quociente para prosseguir a operação.
Exemplo: 315
Portanto, 31 : 5 é uma divisão com quociente decimal.
Na divisão em que o dividendo e o divisor são decimais devemos iniciar eliminando a vírgula do divisor. Para isso, contamos o número de casas após a vírgula e "andamos" o mesmo número de casas no dividendo.
Exemplo: 2,50,25
Observe que no divisor após a vírgula temos dois algarismos. Assim, movemos a vírgula duas casas no divisor e no dividendo. Logo, 2,50,25 se transforma em 25025, ou seja, é como se multiplicássemos os dois números por 100.
Logo, 2,50,25 = 25025 = 10.
Divisão de números com sinais diferentes
Na divisão de números com sinais diferentes devemos levar em consideração a regra dos sinais para determinar o resultado.
	Primeiro sinal
	Segundo sinal
	Sinal do resultado
	+
	+
	+
	–
	–
	+
	+
	–
	–
	–
	+
	–
Para esse tipo de divisão temos as regras:
· Divisão de dois números positivos gera um resultado positivo;
· Divisão de dois números negativos gera um resultado positivo;
· Divisão de números com sinais diferentes gera um resultado negativo.
Confira alguns exemplos:
2211 = 2
(– 10) (– 5) = 2
30(– 15) = – 2
(– 40)20 = – 2
Não esqueça que quando um número é positivo (+) não é necessário colocar o sinal antes dele.
Propriedades da divisão
Propriedade I: a divisão não é comutativa.
Por exemplo: 4 : 2 = 2
2 : 4 = 0,5
Portanto, 4 : 2 ≠ 2 : 4.
Propriedade II: a divisão não é associativa.
Por exemplo: (40 : 4) : 2 = 10 : 2 = 5
40 : (4 : 2) = 40 : 2 = 20
Portanto, (40 : 4) : 2 ≠ 40 : (4 : 2)
Propriedade III: o quociente da divisão é o mesmo para múltiplosdo dividendo e do divisor.
Por exemplo: 6 : 2 = 3
(6 x 3) : (2 x 3) = 18 : 6 = 3
Portanto, se multiplicarmos o dividendo e o divisor por um número diferente de 0, o quociente da divisão continua o mesmo.
Propriedade IV: a divisão por 0 é indefinida e quando o dividendo é 0 o resultado da divisão é 0.
Por exemplo: 6 : 0 não possui resultado nos números reais
0 : 6 = 0
Propriedade V: todo número dividido por 1 tem como resultado o próprio número. Quando o dividendo e o divisor são o mesmo número o quociente é 1.
Por exemplo: 8 : 1 = 8
8 : 8 = 1
Exercícios de divisão
Questão 1: Realize as divisões a seguir.
a) 200 dividido por 5
b) (- 40) dividido por 8
Questão 2: Ana, Paula e Carla foram jantar em um restaurante e a conta foi de R$ 63,00. Se elas dividiram as despesas em partes iguais, quanto cada uma pagou?
a) R$ 23,00
b) R$ 21,00
c) R$ 26,00
Questão 3: João deseja dividir uma corda de 31 metros em quatro partes iguais. Qual o comprimento de cada parte?
a) 12 metros
b) 0,92 metros
c) 7,75 metros