Dinâmica do ponto material - sistemas de partículas

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MECÂNICA GERAL II 
Marcelo Quadros
Dinâmica do ponto material: 
sistemas de partículas
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Demonstrar o efeito dos referenciais generalizados sobre os sistemas 
de partículas.
 � Explicar as expressões gerais de trabalho, energia, impulso e quanti-
dade de movimento.
 � Reconhecer as leis da conservação de energia, da quantidade de
movimento e do escoamento permanente.
Introdução
Neste capítulo, você estudará o movimento de sistemas de partículas, 
isto é, de um grande número de partículas consideradas em conjunto. 
Nesses sistemas, objetos, como átomo, bola de futebol, automóveis ou 
foguetes, durante seus movimentos como um todo, não sofrem influência 
dos “detalhes” do tamanho do objeto e da sua forma. 
Para demonstrar a dinâmica dos sistemas de partículas, tudo o que 
realmente precisamos é seguir a evolução do movimento de um simples 
ponto e aplicarmos na resolução dos problemas que envolvem o mo-
vimento de sistemas de partículas, os quais são resolvidos por meio da 
aplicação simultânea das leis de Newton, das equações da energia, do 
impulso, da quantidade de movimento e do princípio da conservação 
de energia.
Efeito dos referenciais generalizados sobre 
sistemas de partículas
Para entendermos os referenciais generalizados dos sistemas de partículas, 
descreveremos, inicialmente, o conceito de partícula. Um modelo de partícula 
representa um objeto em movimento como se toda sua massa estivesse con-
centrada em um único ponto, ou seja, esse objeto, que pode ser representado 
como uma massa localizada em um único ponto do espaço, é uma partícula e 
não possui necessariamente tamanho e forma, e não há diferença entre a parte 
de cima e a de baixo ou, ainda, entre a parte da frente e a de trás.
Se considerarmos o objeto como uma partícula, podemos representá-lo 
como um único ponto em cada quadro de um diagrama de movimento. Por 
exemplo, sistemas constituídos de partículas bem-definidas são como um 
conjunto de bolas de bilhar, um projétil que se fragmenta em pedaços ou, 
ainda, uma explosão de fogos de artifício.
No estudo da física mecânica, a área da dinâmica dos movimentos en-
volve as forças que agem sobre os sistemas de partículas e que resultam em 
velocidade, aceleração, momento, impulso, força, massa da partícula, entre 
outros, todos baseados nas leis de Newton, descritas, segundo Nelson et al. 
(2013), a seguir.
Primeira lei de Newton: uma partícula manterá seu estado de repouso ou 
de movimento uniforme (velocidade constante) na direção de uma linha reta, 
a menos que alguma força atue para mudar esse estado. Em outras palavras, 
uma partícula acelera apenas se uma força desequilibrada agir sobre ela.
Segunda lei de Newton: a taxa de variação do produto da massa pela velocidade 
em relação ao tempo de uma partícula é proporcional à força que age sobre 
a partícula. O produto da massa m pela velocidade v é o momento linear L. 
Assim, a segunda lei estabelece que:
(1)
Se m for constante, a Equação (1), anterior, se torna a Equação (2):
(2)
Dinâmica do ponto material: sistemas de partículas2
Terceira lei de Newton: para toda ação, ou força, há uma reação, ou força, 
igual e oposta. Em outras palavras, se a partícula A exerce uma força sobre a 
partícula B, então a partícula B exerce uma força numericamente igual e de 
sentido oposto na partícula A.
Quando estudamos as partículas em movimento, é importante considerar 
os casos em que elas agem conjuntamente, o que ocorre em várias aplicações 
importantes e práticas. Para tanto, direcionamos o estudo das partículas para 
o princípio fundamental da dinâmica, ou seja, a segunda lei de Newton,
conforme Figura 1.
Figura 1. Segunda lei de Newton para a i-ésima partícula em um 
sistema de partículas.
Fonte: Beer et al. (2019, p. 917).
De acordo com Beer et al. (2019), para estudar um sistema de n 
partículas, e equacionar o movimento, podemos considerar a partícula Pi, 
onde 1 ≤ i ≤ n, aonde n (número de pontos materiais) segundo a lei de 
Newton, conforme Figura 1. Para Pi, a massa mi detém aceleração ai no 
sistema de referência Oxyz. A força representada por fij desempenhada sobre 
Pi pela partícula Pj do sistema, uma força interna. A resultante destas forças 
internas sobre Pi por todas demais partículas seria .
3Dinâmica do ponto material: sistemas de partículas
(3)
Os resultados são as equações para o sistema de partículas. Dessa forma, a 
resultante da somatória das forças externas é Fi agindo sobre Pi ao qual 
podemos descrever a partir da segunda lei de Newton para a partícula Pi 
como a Equação (3):
Dinâmica do ponto material: sistemas de partículas4
Se tivermos os momentos em relação a O dos vários termos da Figura 1, 
observando que ri é o vetor posição no ponto de posição Pi, também 
escrevemos a Equação (4):
(4)
Segundo Beer et al. (2019), observando a Figura 2, vemos aplicando a 
terceira lei de Newton que as forças internas fij, fji, sempre surgem aos pares, 
e são forças na mesma linha de ação, iguais e opostas, logo a resultante da 
soma das duas é igual a zero. A fij é a força desempenhada da partícula Pj em 
Pi e fji é o oposto, a força de Pi em Pj. A soma de seus momentos em relação 
a O é escrita na equação (5):.
ri × fij + rj × fji = ri × (fij + fji) + (rj – ri) × fji = 0 (5)
Figura 2. Forças internas e externas de um sistema de partículas.
Fonte: Beer et al. (2019, p. 918).
Adicionando todas as forças internas do sistema e somando seus momentos 
em relação a O, obtemos as Equações (6) e (7):
(6)
(7)
Retomando a Equação (3) e considerando a Equação (6), obtemos a 
Equação (8):
(8)
Consequentemente, da mesma forma, retomando a Equação (4) e 
assumindo a Equação (7), temos a Equação (9):
(9)
5Dinâmica do ponto material: sistemas de partículas
O sistema de duas equações expressa o fato de que os sistemas de forças 
externas Fi e de termos miai têm a mesma resultante e o mesmo momento 
resultante, ou seja, o sistema de forças externas que atua sobre as partículas 
e o sistema de termos miai dessas partículas são equipolentes. A Figura 3 
mostra que um diagrama de corpo livre para o sistema de partículas é igual 
ao seu diagrama cinético (BEER et al., 2019).
Figura 3. Diagrama de corpo livre e diagrama cinético para um sistema de partículas.
Fonte: Beer et al. (2019, p. 919).
Dinâmica do ponto material: sistemas de partículas6
A partir dessas análises, podemos expressar, também, as equações para a 
quantidade de movimento linear e angular do sistema de partículas.
A quantidade de movimento linear de um sistema de partículas é dada 
pela Equação (10):
(10)
Enquanto a quantidade de movimento angular de um sistema de partículas 
dá-se pela Equação (11):
(11)
Como estudamos anteriormente, para muitos objetos, o movimento como 
um todo não sofre influência do seu tamanho e da sua forma. Sendo assim, 
podemos também considerar o objeto como se toda sua massa estivesse con-
centrada nesse ponto. Esse objeto, que pode ser representado como uma massa 
localizada em um único ponto do espaço, é chamado de partícula, e o centro 
de massa desse sistema de partículas é definido pelo movimento desse ponto 
descrito. Então, o movimento das partículas em torno de seu centro de massa 
é analisado.
Para tanto, temos que definir um centro de massa, pois, mesmo quando 
uma partícula está em movimento, existe um ponto nesse objeto, chamado 
centro de massa. Ou seja, o centro de massa é o ponto no qual podemos ima-
ginar que toda a massa de um corpo esteja concentrada. Quando um objeto é 
homogêneo, o centro de massa coincide com o seu centro geométrico, como 
demonstrado na Figura 4, a seguir. 
7Dinâmica do ponto material: sistemas de partículas
Figura 4. Centro de massa de algumas figuras geométricas.
Fonte: Emre Terim/Shutterstock.com.
Esfera Cilindro Semiesfera Cone
Placa �na circular Placa �na Anel �no Haste delgada
A posição do centro de massa combinado de doisou mais corpos é en-
contrada pela soma de seus vetores posição, ponderados por suas massas 
individuais. O momento do centro de massa é a soma dos vetores do momento 
linear das partes de um sistema. Sua derivada em relação ao tempo é igual à 
força resultante externa total que atua no sistema, uma formulação estendida 
da segunda lei de Newton. O movimento de massa de um sistema de partículas 
pode ser descrito pelo vetor r–, que satisfaz a relação conforme Equação (12):
(12)
onde m representa a massa total das partículas. Obtemos, assim, 
as três Equações (13), (14) e (15) escalares:
(13)
(14)
(15)
Dinâmica do ponto material: sistemas de partículas8
Em algumas aplicações, é conveniente considerar o movimento das par-
tículas do sistema em relação a um sistema de referência ligado ao centro de 
massa Gx'y'z', que se move em translação em relação ao sistema de referência 
newtoniano Oxyz, conforme demonstrado na Figura 5.
Figura 5. Sistema de referência ligado ao centro de massa 
Gx'y'z', movendo-se em translação em relação ao sistema 
de referência newtoniano Oxyz.
Fonte: Beer et al. (2019, p. 922).
Representamos, respectivamente, por r'i e v'i, o vetor de posição e a ve-
locidade da partícula Pi em relação ao sistema de referência móvel Gx'y'z'. 
Sendo assim, definimos a quantidade de movimento angular H'G do sistema 
de partículas em relação ao centro de massa G com a Equação (16):
(16)
Dessa forma, o momento resultante em relação a G das forças externas é 
igual à taxa de variação da quantidade de movimento angular em relação a G 
do sistema de partículas, conforme Equação (17):
∑MG = Ḣ'G (17)
9Dinâmica do ponto material: sistemas de partículas
De forma abrangente, podemos definir o centro de massa de um sistema 
de partículas, que se move como se a massa total do sistema e todas as forças 
externas estivessem concentradas nesse ponto, na Equação (18) para uma 
partícula de massa m igual à massa total das partículas do sistema, sobre a 
qual atuam todas as forças externas:
∑F = ma– (18)
A análise do movimento de objetos espaciais considera sistemas de massa variável. 
Essa variação faz a velocidade ser dependente logaritmicamente em relação à razão 
entre as massas inicial e final. Dessa forma, é possível calcular a localização do centro 
de massa de um corpo extenso pela integração de sua densidade de massa sobre o 
seu volume inteiro, ponderada pelo vetor coordenado, e dividindo pela massa.
Expressões gerais de trabalho, energia, 
impulso e quantidade de movimento
No estudo da mecânica, na dinâmica dos movimentos, as soluções de problemas 
variam de acordo com o tipo de sistema. Muitos problemas envolvem força, 
trabalho, energia e impulso de uma determinada quantidade de movimento 
que pode variar conforme sua posição —linear ou angular.
Trabalho
Em um sistema de partículas — a menos que elas sejam inteiramente isoladas 
—, teremos a possibilidade de o sistema trocar energia com sua vizinhança, 
conforme demonstrado na Figura 6, a seguir. 
Dinâmica do ponto material: sistemas de partículas10
Figura 6. Transferência de energia.
Fonte: Knight (2009, p. 328).
Essa transferência mecânica de energia, para ou a partir do sistema, é 
chamada de trabalho, cujo símbolo é o W. O trabalho realizado pode ser por 
força constante, força variável, força gravitacional ou força elástica.
O trabalho realizado por uma força constante é:
W = |F⇀| |Δr⇀| cos α (19)
onde α é o ângulo entre F⇀ e Δr⇀.
O trabalho realizado por uma força variável é:
(20)
O trabalho realizado por uma força gravitacional é, para erguer um objeto:
Wg = –mgh < 0
h = |y – y0| (21)
e, para abaixar um objeto:
Wg = +mgh > 0 (22)
11Dinâmica do ponto material: sistemas de partículas
O trabalho realizado por uma força elástica é:
(23)
A unidade de trabalho, do tipo força multiplicada por distância, é o N m. Usando a 
definição de Newton, obtemos: 1 N m = 1 (kg m/s2) m = 1 kg m2 / s2 = 1 J.
Assim, podemos concluir que a unidade de trabalho é realmente a mesma 
de energia. Isto é, está de acordo com a ideia anterior, em que o trabalho é 
uma transferência de energia, demonstrada na Equação (24).
ΔK = W (24)
Dessa forma, ao invés de utilizarmos N m, podemos “mensurar” o trabalho 
da mesma forma como fazemos com energia, ou seja, em joules (J). 
Energia
O conceito de energia desenvolveu-se e sofreu alterações com o tempo e 
não é fácil definir, de uma maneira geral, a energia. Entretanto, de um modo 
direcionado à energia mecânica, podemos definir energia como a capacidade 
de realizar trabalho ou o resultado da realização de um trabalho, ou, ainda, de 
uma forma matemática, como a soma da energia cinética e da energia potencial, 
que são as duas divisões fundamentais da energia mecânica.
A energia cinética é associada ao movimento de um objeto e à mudança de 
energia, ou seja, aquela em que um corpo adquire quando está em movimento 
e depende de dois fatores: massa e velocidade. Qualquer corpo que possuir 
velocidade terá energia cinética. Sua equação matemática é:
(25)
Dinâmica do ponto material: sistemas de partículas12
A energia potencial é do tipo que o corpo armazena quando está a certa 
distância de um referencial de atração gravitacional ou associado a uma mola. 
Ou seja, é uma energia que fica armazenada, pronta para se manifestar quando 
exigida, podendo ser potencial gravitacional, conforme Equação (26) ou 
potencial elástica, Equação (27).
Ug = mgy (26)
(27)
Para termos uma noção dessas duas energias em nosso cotidiano, nas Olimpíadas, 
por exemplo, na competição de saltos com vara, os atletas se tornaram especialistas 
em transformar energia cinética em potencial gravitacional. Observe que, na Figura 7, 
a seguir, no momento 1, ela está correndo (energia cinética) no solo horizontal sem 
utilizar a vara (energia elástica), nem subir (energia gravitacional). Então, você identifica 
apenas energia cinética. No momento 2, ela está se movendo (energia cinética), a 
flexibilidade da vara a impulsiona para cima (energia elástica), e ela está ganhando 
altura (energia gravitacional) no momento 3. Já no momento 4, ela está se movendo 
para baixo (energia cinética), perdendo altura (energia gravitacional), e não havendo 
energia elástica (abandonou a vara).
Figura 7. Energias cinética e potencial no salto com vara.
Fonte: Inspiring/Shutterstock.com.
13Dinâmica do ponto material: sistemas de partículas
Momentum e impulso
Assim como a energia, momentum é outro termo técnico complexo de ser 
definido de forma precisa. Porém, se direcionarmos novamente para a mecânica 
dos movimentos, pode ser representado pela Equação (28):
momentum = p⃑ = mv⃑ (28)
Dessa forma, tecnicamente, o momentum da partícula é o produto da sua 
massa por sua velocidade. 
Na equação, a letra minúscula é o símbolo do momento linear. A velocidade é um vetor 
e multiplicada por uma grandeza escalar: a massa m. Portanto, o produto também é 
um vetor. O vetor momentum p⃑ e o vetor velocidade v⃑ são paralelos entre si, isto é, 
eles apontam no mesmo sentido. 
Para entendermos a proporção entre momentum e massa, temos um objeto 
que pode apresentar um grande momentum por ter uma pequena massa, mas 
uma grande velocidade (uma bala disparada por uma arma), ou pode ter uma 
grande massa e uma pequena velocidade (um elefante caminhando lentamente). 
O Quadro 1, a seguir, demonstra o momentum de alguns objetos. 
Objeto Momentum (kg m/s)
Partícula (α) do decaimento do 238U 9,53 · 10–20
Arremesso de bola de beisebol a 90 mph 5,75
Rinocerontes atacando 3 · 104
Carro se movendo na estrada 5 · 104
Superpetroleiro com velocidade de cruzeiro 4 · 109
Quadro 1. Momentum de vários objetos
(Continua)
Dinâmica do ponto material: sistemas de partículas14
Fonte: Adaptado de Bauer, Westfall e Dias (2012).
Quadro 1. Momentum de vários objetos
Objeto Momentum (kg m/s)
Lua orbitando a Terra 7,58 · 1025
Terra orbitando o Sol 1,78 · 1029
A mudança de momento é definida como a diferença entre os momentos 
final (índicef ) e inicial (índice i), conforme Equação (29):
∆p⃑ ≡ p⃑fi – p⃑ (29)
Podemos integrar cada componente da Equação (30): 
(30)
no tempo. Para a integral sobre Fx, por exemplo, obtemos a Equação (31):
 (31)
Podemos obter equações semelhantes para os componentes y e z, ou seja, 
a combinação deles em uma equação vetorial gera a seguinte Equação (32):
(32)
De forma simplificada, impulso é a mudança no momento de um objeto, 
igual à integral de tempo da força externa aplicada, conforme Equação (33):
(33)
(Continuação)
15Dinâmica do ponto material: sistemas de partículas
Leis da conservação de energia, da quantidade 
de movimento e do escoamento permanente
Alguns cientistas consideram o princípio da conservação de energia como 
o mais importante entre todas as leis da natureza. As leis da conservação
de energia são baseadas no estudo da dinâmica do movimento de sistemas
variáveis de partículas, isto é, sistemas que estão continuamente ganhando ou 
perdendo partículas, ou fazendo ambas as coisas ao mesmo tempo. Com isso,
poderemos descrever o movimento de um fluxo de água ou de um foguete
durante seu lançamento.
O princípio de trabalho e energia é útil para resolver muitos tipos diferen-
tes de problemas de engenharia. No entanto, em muitas dessas aplicações, a 
energia mecânica total permanece constante, embora possa ser transformada 
de uma forma para outra. Isso é conhecido como o princípio da conservação 
de energia, demonstrado na Figura 8 (BEER et al., 2019).
Figura 8. Princípio da conservação de energia em um pêndulo.
Fonte: Adaptada de Designua/Shutterstock.com.
Maior ponto
de balanço
Energia cinética
máxima
Energia potencial
máxima (sem
energia cinética)
Dinâmica do ponto material: sistemas de partículas16
O princípio da conservação de energia afirma que a energia não pode ser criada, 
nem destruída, apenas convertida de uma forma ou de outra. Muitas máquinas são 
projetadas especificamente para converter energia de uma forma para outra em um 
processo controlado. Dependendo da eficiência da máquina, uma parte da energia 
de entrada é convertida em calor, o qual não pode ser completamente recuperado. 
Contudo, uma ampla quantidade de energia é tipicamente armazenada, de modo 
temporário, no interior da máquina em ambas as formas: potencial e cinética (NORTON, 
2010).
Sabemos que o princípio da conservação de energia é um dos estudos 
mais importantes dentro da física, que permite solucionar com facilidade 
um enorme número de problemas que envolvem as forças conservativas. por 
meio da Equação (34):
Kf + Uf = Ki + Ui (34)
onde:
K = a soma das energias cinéticas de todas as partículas;
U = a soma de todas as energias potenciais.
Para se aprofundar nos conhecimentos sobre o assunto da lei da conservação de 
energia e da quantidade de movimento, leia o livro Física para universitários — Mecânica.
BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para universitários: mecânica. Porto Alegre: 
AMGH, 2012.
BEER, F. P. et al. Mecânica vetorial para engenheiros: dinâmica. 11. ed. Porto Alegre: AMGH, 
2019.
17Dinâmica do ponto material: sistemas de partículas
KNIGHT, R. Física 1: uma abordagem estratégica. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
(Mecânica Newtoniana, gravitação, oscilações e ondas, v. 1).
NELSON, E. W. et al. Engenharia mecânica: dinâmica. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 
2013. (Coleção Schaum).
NORTON, R. L. Cinemática e dinâmica dos mecanismos. Porto Alegre: AMGH, 2010.
Dinâmica do ponto material: sistemas de partículas18
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra. 
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