TrabalhoTorção_ResMat_AnaMoura_202010657

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO 
CIVIL 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL – RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS “A” 
 
 
 
 
 
 
Ana Carolina Abadi de Moura 
 
 
 
 
 
 
 
 
TORÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
Santa Maria, RS 
2022 
1. INTRODUÇÃO 
Quando um elemento está sendo forçado a rodar em torno do seu eixo longitudinal 
acontece um momento chamado “torque”. Essas forças causam tensões e deformações nas 
barras nas quais são aplicadas. 
Peças submetidas à torção são encontradas em muitas aplicações da engenharia e do 
cotidiano, e por isso, essas barras devem ser dimensionadas para suportar as tensões e 
deformações. 
 
2. TORÇÃO DE BARRAS EM SEÇÃO CIRCULAR 
Demonstrando o que acontece quando um torque é aplicado em uma barra de seção 
circular, tem-se a figura 1 representando uma barra de material deformável, com círculos e 
linhas longitudinais marcadas em seu eixo. Quando um eixo circular é submetido á torção 
(figura 2) cada reta longitudinal deforma-se em uma hélice que intercepta os círculos. 
Porém, estes, não sofrem alterações. 
Ou seja, todas as seções transversais das extremidades permanecem planas e sem 
distorção. Com essa propriedade, é possível determinar a distribuição de deformações 
especificas de cisalhamento em um eixo circular. 
e concluir que estas deformações variam linearmente com a distancia ao centro do eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1. DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES E DEFORMAÇÕES 
Usando a Lei de Hooke(1) para tensão e deformação de cisalhamento, é possível 
determinar a variação linear de deformação de cisalhamento do eixo circular que resulta em 
uma variação linear na tensão de cisalhamento. 
 
Figura 2.1: Barra circular antes 
da deformação 
Figura 2.2: Barra circular deformada 
 (1) 
 
Sendo que: 
 = tensão de cisalhamento (Pa). 
 = Valor que relaciona as tensões e deformações de cisalhamento, é chamado de 
“Módulo de elasticidade transversal do material” (Pa) e cada material possui um. 
 = deformação de cisalhamento (radianos). 
 
A tensão de cisalhamento máxima ocorre na superfície das barras e varia conforme se 
aproxima do eixo longitudinal. 
 
 
 
 
A tensão máxima de cisalhamento na torção para eixos maçiços é dada pela expressão 
(2): 
 
 
 
 
Onde: 
 = momento torsor 
 = raio da barra 
 = momento de inércia polar de barra circular. 
 
A tensão de cisalhamento em qualquer camada (ρ) da seção é dada por (3): 
Figura 2.1.1: Barra de eixo circular maciço Figura 2.1.2: Barra de eixo tubular 
 (
 
 
) 
 
Com 𝜌 = distância do eixo longitudinal até a camada em estudo (0 ≤ ρ ≤ R). 
O valor do momento de inércia polar para barras maciças é expresso por (4): 
 
 
 
 
 
 
 
 (4) 
 
 = momento de inércia polar. 
 = raio da barra. 
 = diâmetro da barra. 
 
Para eixos circulares vazados, a menor tensão de cisalhamento é dada pela expressão 
(5) e, nesse caso, o momento de inércia polar é dado pela expressão (6): 
 
 (
 
 
) 
 
 
( 
 
 )
 
 
( 
 
 )
 
 
 
2.2. RELAÇÃO ENTRE MOMENTO TRANSMITIDO POR UM EIXO, 
POTÊNCIA E VELOCIDADE ANGULAR 
 
Eixos e tubos são frequentemente utilizados para transmitir potência em uma máquina. 
Potência de um motor normalmente não é medida diretamente, mas calculada a partir 
do torque que foi medido e da velocidade de rotação conhecida. 
 
 
 
 
 
 
 (7) 
 
 Potência (watts) 
 Torque (Nm) 
 Velocidade angular (rad) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3. EXEMPLOS 
No dia-a-dia, existem várias barras sujeitas a esforços de torque. Um exemplo de torção 
é o caso de barras componentes de estruturas sob a ação de cargas móveis, como um 
carrinho, em estruturas de parques de diversões. Quando o carrinho passa pelo trilho, 
provoca a torção das barras de fixação. 
Outro exemplo é um poste de iluminação de rua, sob a ação do vento. Quando o vento 
pressiona essa estrutura, provoca a torção do poste de fixação. 
A chave do tipo Philips também é sujeita a torção quando utilizada na fixação de 
parafusos. 
Também é possível perceber torção dinâmica, em máquinas em que seu eixo gire. 
 
 
3. TORÇÃO EM PEÇAS DE SEÇÃO QUALQUER 
As equações para a determinação das tensões e distribuição das deformações 
provocadas por carregamento torcional são válidas para eixos de seção circular, pois estas 
seções transversais permanecem planas após a deformação e mantêm sua forma. Porém, 
elas não funcionam para barras de outras seções. 
Em uma barra de seção quadrada, por exemplo, quando submetida a uma torção, as 
linhas diagonais bem como as linhas que ligam os pontos médios dos lados se conservam 
retas. Porém, qualquer outra linha se deformará quando a barra for torcida, devido à falta de 
assimetria, e a própria seção transversal sairá do seu plano original. 
 
 
 
 
 
Figura 2.2.1: Eixo transmitindo um 
torque constante T a uma velocidade 
angular w. 
Figura 3. 1: Torção de uma barra de seção 
quadrada 
Assim, seria incorreto adotar, para uma barra de seção quadrada, uma distribuição de 
tensões linear a partir do eixo da barra, variando om a distância ao centro da seção, que 
levassem a um máximo de tensões nos vértices do quadrado. 
 
 
A tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção para eixos com seção 
transversal retangular considerando como a = lado maior do retângulo e b= lado menor do 
retângulo, são: 
 
 
 
Com a análise matemática baseada na teoria de elasticidade para tensão de 
cisalhamento máxima e o ângulo de torção para eixos com seção transversal não circular, 
foi construída a tabela 1. 
Figura 3.2: Distribuição de tensões de cisalhamento devido à 
torção numa seção retangular 
 
 
 
3.1. EXEMPLOS 
Dentro da engenharia, pode-se observar torção estática em vigas causadas pela ação 
da carga de lajes em balanço (marquises). 
 
 
 
 
 
 
 
Outros exemplos de barras de seção não circular sofrendo torção: 
 
 
 
Figura 3.1.1: Viga retangular sofrendo torção 
Tabela 1: Analise de seções quadradas, triangulares e 
elípticas. 
 
 
 
 
 
Exemplo do cálculo de torque máximo em uma barra de paredes finas: 
“O eixo de alumínio 6061-T6 tem área de seção transversal na forma de um triângulo 
equilátero. Determine o maior torque T que pode ser aplicado à extremidade do eixo se a 
tensão de cisalhamento admissível for = 56 Mpa e o ângulo de torção na extremidade 
estiver restrito a = 0,02 rad.”. 
Gal = 26 GPa. 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 179,2 Nm 
 
 
 
 
 
 
 [ 
 
 
]
 
Logo, o maior torque possível é de 24,12 Nm 
 
 
4. TORÇÃO EM PEÇAS DE PAREDES FINAS E SEÇÃO FCHADA 
Viu-se que a determinação das tensões de cisalhamento em barras de seção não 
circular exige a aplicação da teoria matemática da elasticidade. Porém, se ele possuir 
paredes finas, pode-se determinar aproximadamente a tensão de cisalhamento supondo 
que a tensão seja distribuída uniformemente ao longo da espessura do tubo. 
 
 
Figura 3.1.2: Barra Triangular Figura 3.1.3: Barra elíptica 
Figura 4.1 – Torque em uma barra de 
paredes finas. 
O produto entre a tensão de cisalhamento e a espessura da parede é constante ao 
longo da barra, chamando o produto de q, tem-se: 
 (8) 
 
 
Como o fluxo de cisalhamento é constante, usa-se: 
 (9) 
 
Onde: 
α = área limitada pela linha centrar da seção transversal da parede 
 
A tensão de cisalhamento em qualquer ponto da parede pode ser determinada em 
termos do momento torsor T, substituindo q da equação (8) na equação (9): 
 
 
 
 
 
 
Sendo que: 
t = espessura da parede no ponto estudado 
 = área limitada pela linha centrar da seção transversal da parede= um valor médio de tensão de cisalhamento através da parede 
 
 Logo, se o tubo tiver espessura uniforme, basta aplicar a formula e calcular a tensão 
de cisalhamento. Porém, se o tubo tiver espessura da parede variável, irá ser necessário 
calcular a tensão de cada espessura, e a resposta final irá depender de cada parede 
analisada. 
O ângulo de torção de um tubo de parede fina e comprimento L é determinado por 
meio de métodos de energia. Se o material comporta-se de maneira linear-elástica e G é o 
módulo de elasticidade ao cisalhamento, o ângulo , dado em radianos, é expresso como: 
 
 
 
 
 ∮
 
 
 
 
4.1. EXEMPLOS 
Geralmente tubos de parede fina de formato não circular são usados em geral para 
construir estruturas leve como as empregadas em aviões. 
Outros exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
O desenvolvimento do trabalho possibilitou analisar o funcionamento da torção em 
barras de seção de qualquer tipo e de barras com paredes finas, e sobre tudo, o 
funcionamento da deformação em cada barra e o desenvolvimento dos cálculos para 
estimar os valores de tensão máxima. 
Além disso, foi possível perceber o quão importante é o dimensionamento das barras 
para que elas suportem as deformações e tensões, e assim, contribuam para o 
funcionamento de diversas aplicações simples do dia-a-dia e da engenharia. 
 
 
 
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais/R.C.Hibbeler - São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2004 
BEER, Ferdinand Pierre. Resistência dos Materiais/ Ferdinand Pierre Beer, E. Russell 
Johnston Jr. – 3° ed – São Paulo: Pearson Makron Books, 1995. 
PINHEIRO, Antônio Carlos da Fonseca Bragança. Fundamentos de Resistência dos 
Materiais / Antônio Carlos da Fonseca Bragança Pinheiro, Marcos Crivelaro – 1. Ed – Rio de 
Janeiro,2019. 
PINHEIRO, Antônio Carlos da Fonseca Bragança. Resistência dos materiais / Antônio 
Carlos da Fonseca Bragança Pinheiro, Marcos Crivelaro. – 1 Ed. - Rio de Janeiro : LTC, 
2022. 
BOTELHO, Manoel Henrique Campos. Resistência dos materiais – para entender e gostar 
/ Manoel Henrique Campos Botelho – 5° reimpressão – São Paulo, 2015. 
Figura 4.1.2: Tubo de Aço Inoxidável 
APOSTILA DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I. Disponível em 
https://www.ufjf.br/mac/files/2012/11/Apostila_Res_Mat_outubro_2012-atualizada.pdf 
TORÇÃO. Disponível em http://www.cartografica.ufpr.br/portal/wp-
content/uploads/2015/09/AULA-04-TOR%C3%87%C3%83O.pdf 
CAPÍTULO 2 – TORÇÃO. Disponível em 
https://wp.ufpel.edu.br/alinepaliga/files/2014/08/Cap%C3%ADtulo-5.pdf 
 
 
 
https://www.ufjf.br/mac/files/2012/11/Apostila_Res_Mat_outubro_2012-atualizada.pdf
http://www.cartografica.ufpr.br/portal/wp-content/uploads/2015/09/AULA-04-TOR%C3%87%C3%83O.pdf
http://www.cartografica.ufpr.br/portal/wp-content/uploads/2015/09/AULA-04-TOR%C3%87%C3%83O.pdf
https://wp.ufpel.edu.br/alinepaliga/files/2014/08/Cap%C3%ADtulo-5.pdf