Matemática na antiguidade

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Matemática na China 
 Na China, a matemática era vista como uma necessidade e utilidade. Era importante 
educar e construir um país com grande desenvolvimento, sendo a Arquitetura, o 
Comércio, as Financias e a Agrimensura as bases para este crescimento. Os chineses 
tinham um método para resolver sistema de equações lineares muito semelhante ao 
«Método de Gauss»; começaram a usar o número negativo mais cedo que todas as outras 
civilizações; no séc. V usavam 355/113 para π, valor atribuído a um matemático Métius 
no séc. XVI; pelo séc. VII já calculavam o volume da esfera usando o Princípio de 
Cavalieri (séc. XVII); No séc. XII, Yang Hui provou a fórmula que determina “a soma 
dos quadrados dos n primeiros números naturais por reunião de volumes”, a mesma 
descoberta surgiu no ocidente no 19.º século. O facto da matemática chinesa ter-se 
desenvolvido durante 3 milénios originou uma infinidade de aspetos com teor 
matemático, contudo nesta secção iremos destacar aqueles que entendemos serem os mais 
importantes. 
Sistema numérico 
 Os chineses foram umas das primeiras civilizações a entender que os cálculos num 
sistema decimal são mais simples e eficazes. Em 1500 anos a.C. tinham sistema com 5000 
caracteres posicionais, mais tarde inventaram os cilindros de contagem. No séc. V a. C. 
já se efetuavam as quatro operações aritméticas recorrendo aos cilindros. Estes tinham 
duas cores, uma para representar os positivos, outra para representar os negativos. 
 O sistema é bastante útil e prático, contudo tem as suas desvantagens, pois a 
verificação dos cálculos podia ser exaustiva e o trabalho com vários cilindros podia ser 
demorado. As operações são muito semelhantes às nossas, com a diferença de se 
realizarem da esquerda para a direita e de se considerar o algarismo de maior ordem na 
multiplicação. 
Nove Capítulos sobre a arte da Matemática 
 Antes do aparecimento da maior obra chinesa “Nove Capítulos sobre a arte da 
Matemática”, o povo chinês já tinha um raciocínio matemático avançado. No campo da 
Lógica eram discutidos e estudados paradoxos muito semelhantes aos de Zenão (séc. V 
a.C.), mas a área de maior interesse era a astronomia. Neste século surgiu um dos 
teoremas chineses mais conhecidos, o Teorema de Kou Ku/Gougu. Com o passar dos 
séculos, foram construídos manuais escolares com noções do campo da astronomia, da 
arquitetura, da engenharia, da aritmética e da geometria. 
 Liu Hui (250 anos a.C.), um dos maiores matemáticos chineses, considerado 
o Euclides Chinês, fez comentários à obra Nove Capítulos sobre a arte da Matemática e 
http://www.youtube.com/watch?v=PXeZzbcPgmE&feature=youtu.be
http://www.youtube.com/watch?v=PXeZzbcPgmE&feature=youtu.be
reescreveu-a com alguns melhoramentos. Possivelmente, a obra original foi escrita antes 
de 400 anos a.C. e era constituída por uma mistura de conhecimentos de diferentes 
autores. 
No caso da simplificação de frações, eles utilizavam o máximo divisor comum (m.d.c) 
usando subtrações sucessivas dos restos. Para somar ou subtrair eles colocavam todas as 
frações com o mesmo denominador fazendo o mínimo múltiplo comum (m.m.c.). Para 
multiplicar ou dividir calculavam o m.d.c. e procediam como nos dias de hoje. O mesmo 
tratamento nas operações com frações foi utilizado no século VII na India e no século XV 
na Europa. Ainda neste capítulo, Liu Hui dá uma aproximação de π baseada no limite, “se 
escrever um polígono de n lados, com n o maior número possível de lados, dentro de um 
círculo, então a área do círculo é igual à área do polígono”. Hui conseguiu mostrar 
que π=3,141024 , substituindo n por 192 na fórmula 
 
 
onde ln representa o comprimento do lado do polígono regular de n lados, r o raio de um 
circulo de comprimento 1 pé chinês e a área do polígono regular de A2n lados. Zu 
Chongzhi, 200 anos depois, enquadrou π entre 3,1415926 e 3,1415927. Este 
melhoramento foi alcançado mil anos mais tarde na Europa. 
Chao Chung Ching e o comentário ao Teorema de Gougu 
“O imperador Yu domina inundações, aprofunda rios e correntes, observa a forma das 
montanhas e vales, contempla lugares altos e baixos, alivia as maiores calamidades e 
salva as pessoas do perigo […]. Isto é possível pelo Teorema de Gougu”. 
 Este teorema originou 21 teoremas com ilustrações, infelizmente quase todos foram 
perdidos. O “diagrama sobre a hipotenusa é um dos sobreviventes (Ilustração seguinte). 
 
 
 
 Chao Ching conseguiu deduzir uma fórmula interessante para os 
catetos a e b , usando a hipotenusa, a adição e a subtração entre a e b , com a 
< b . Observando o diagrama podemos afirmar que a área do quadrado exterior, de 
lado a + b , é igual à adição da área do quadrado de lado c com a área de 4 triângulos de 
catetos a e b , ou seja, 
 
 
Fórmulas semelhantes a estas eram aplicadas constantemente pela civilização Babilónica 
no cálculo de áreas. 
Nove Secções da Arte dos Números e a Teoria Dos Números 
 Sun Tsu, 100 anos d. C. escreveu um manual de matemática, composto por três 
livros, onde definiu medidas para o comprimento, área e volume, para o peso de vários 
objetos; utilizou métodos iguais aos de hoje para somar duas frações (regra da cruz); 
descreveu um algoritmo para obter a raiz quadrada e construiu um calendário que 
levantou alguns problemas relacionados com a congruência de números, o que o levou à 
criação de um dos mais famosos teoremas na Teoria dos Números, o Teorema Chinês dos 
Restos. 
 Mais tarde, Ch’in Chiu-Shao cria a obra Nove Secções da Arte dos Números (em 
1247) que consistiu num melhoramento das obras Nove Capítulos e no Manual da Ilha 
do Mar. A obra apresenta problemas que envolvem o cálculo de figuras geométricas reais; 
problemas que envolvem uma fórmula semelhante à de Herão para calcular a área de 
figuras; problemas de trigonometria; contém progressões aritméticas/geométricas, 
equações de grau superior a dois que envolvem o método de Horner ou Regra de Ruffini; 
mas as suas maiores inovações aparecem na resolução de equações determinadas, usando 
o método do elemento celestial e na resolução de equações indeterminadas onde descreve 
detalhadamente o método chinês. Seguidamente vai ser exposto o método 
chinês utilizado num dos 81 problemas da sua obra. 
 
 
 
 
 
 Teoria dos Números também foi estudada por Diofanto de Alexandria (275 anos 
d.C.), por Fibonacci (1202 anos d.C.) e atingiu o apogeu com Euler (em 1801) e Gauss 
(em 1801). 
Comentário de Yang Hui à obra Nove Capítulos 
 
 
Método de Yang Hui 
Anéis, formas, dragões e tartarugas 
 Todas as civilizações, para se divertirem e ocuparem o tempo, tinham vários jogos e 
passatempos, que utilizavam a matemática. Na China, existiam vários puzzles, um deles 
era os nove anéis ligados, que consistia na separação de nove anéis todos ligados entre si. 
Para resolver este puzzle era necessário saber um pouco sobre números binários. 
 Outro puzzle que envolvia formas geométricas é o famoso Tangram. O yizhitu é uma 
variante do Tangram e contém 15 peças. Este puzzle tem uma grande utilidade pois 
ensina relações importantes entre as áreas de figuras planas. 
 Uma famosa lenda chinesa diz que o imperador Yu tinha na sua posse dois diagramas 
muito especiais. Estes foram trazidos até ele por dois animais, um dragão-cavalo (Ho Thu) 
e uma tartaruga (Lo shu). Nas costas de ambos encontravam-se os desenhos da ilustração 
13 e como podemos ver, um deles trata-se de um quadrado mágico 3 por 3 onde a soma 
dá 15. Os chineses tinham um grande fascínio por quadrados mágicos, estes quadrados 
foram primeiramente observados por árabes mas é aos chineses que se deve a construção 
da teoria sobre quadrados mágicos. 
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ea/Yanghui_triangle.gif
 
A Matemática Indiana e suas contribuições 
Bháskara Acharyanasceu em 1.114 na Índia em uma família tradicional de astrólogos 
indianos. Com uma orientação científica dedicada à matemática e a astronomia tornou-se 
diretor ainda jovem no Observatório de Ujjain, o maior centro de pesquisas matemáticas 
e astronômicas da Índia. Seu tratado de álgebra foi base para a álgebra da Europa após 
alguns séculos. Escreveu o Siddhanta-siromani aos 36 anos em 1.150 sobre assuntos 
astronômicos e o Bijaganita sobre álgebra o que o fez se tornar o matemático mais famoso 
da época. 
No Bijaganita Bhaskara propõe equações quadráticas e diz que as duas soluções que 
podem ser encontradas são igualmente aceitáveis. No Siddhantasiromani, que é sobre 
astronomia matemática, Bhaskara traz alguns resultados interessantes de trigonometria, 
entre eles estão: 
sen (a + b) = sen a . sen b + cos a .sen b 
sen (a – b) = sen a . cos b – cos a . sen b 
(CELESTINO; PACHECO, 2006). 
Não se pode dizer que Bháskara descobriu a fórmula de Bháskara, pois as fórmulas só 
vieram a surgir 400 anos após sua morte. O fato é que no Bijaganita o que consta sobre 
as equações determinadas de 2º grau é cópia de outros escritos matemáticos. Nas equações 
indeterminadas do 2º grau teve grande contribuição exposta no referido livro em relação 
a invenção do método do chakravala e a modificação do método Kuttaka. 
Influências ao pensamento de Bháskara 
Bháskara ao continuar a obra de Brahmagupta e descobrir a solução geral da equação de 
pell px² +1=y², onde ele resolveu para p = 8,11,32,61 e 67 e a solução de um problema de 
divisão por zero afirmando também que este quociente seria infinito. Bhaskara tinha 
conhecimento de que a equação x2=9 tinha duas soluções, apresentando a seguinte regra: 
https://www.infoescola.com/matematica/formula-de-bhaskara/
http://www2.esb.ucp.pt/twt/nonio_mm/problemas/imagens/chines2.jpg
 
A matemática hindu exerce considerável influência em todo o mundo. Os hindus tinham 
conhecimento da raiz quadrada e cúbica, podendo citar como exemplo os algarismos. 
Esse povo influenciou bastante a álgebra onde os problemas aritméticos eram resolvidos 
por falsa posição ou pelo método de inversão. Um exemplo de solução por inversão consta 
no livro Lilavati de Bhaskara que diz: 
Linda donzela de olhos resplandecentes, uma vez que entendeis o método de inversão 
correto, dizei-me qual é o número que multiplicado por 3, depois acrescido de ¾ do 
produto, depois dividido por 7, diminuído de 1/3 do quociente, multiplicado por si 
mesmo, diminuído de 52, pela extração da raiz quadrada, adição de 8 e divisão por 10 
resulta no número 2? 
Nesse caso o método de inversão inicia no número 2 e se opera para trás. Quando 
Bhaskara pede a adição de 8 significa redução de 8, e divisão de 10 significa multiplicação 
por 10. 
Os hindus contribuíram para a matemática com a função do seno na trigonometria. 
(BROWN. EDU, 2009). Os indianos inventaram o zero. Ao estudar os livros de 
matemática da Índia, o matemático al-Khowarizmi escreveu um livro chamado “sobre a 
arte hindu de calcular” explicando como funcionava os dez símbolos hindus. (EDUCAR, 
2009). 
A fórmula de Bháskara é utilizada para determinar as raízes de uma equação de 2º grau. 
Ressalta-se que esta fórmula só recebe este nome no Brasil. Referências sobre a fórmula 
de Bháskara já havia sido encontrada em textos babilônicos há mais de 4.000 anos em 
tábuas cuneiformes. Na Grécia as equações de segundo grau eram resolvidas através de 
construções geométricas. 
As atividades matemáticas árabes começaram com a tradução dos Siddanthas hindus por 
Al-Fazari e culminaram com uma grande importância com Muhammad Ibn Musa Al-
Khwarizmi, por volta de 825. Ele escreveu vários tratados sobre matemática e astronomia. 
Estes tratados explicavam o sistema de numeração hindu. A europa ficou conhecendo este 
sistema de numeração graças a uma cópia latina do século XII, visto que o original árabe 
se perdeu. A astronomia de Al-Khwarizmi era um resumo dos Siddanthas, o qual 
mostrava uma influência grega nos textos sânscritos. 
Convém ressaltar que a palavra “álgebra” vem do árabe “al-jabr”, que siginifica 
“restauração”. 
Os árabes tiveram um papel muito importante na história da matemática, pois eles 
traduziram, fielmente, os clássicos gregos (Apolônio, Arquimedes, Euclides, Ptolomeu e 
outros). Estes clássicos estariam perdidos para nós sem os árabes, visto o fechamento da 
escola de Atenas por Justiniano. 
https://www.infoescola.com/matematica/radiciacao/
https://www.infoescola.com/matematica/raizes-de-uma-equacao/
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/03/m01.jpg
Outro matemático brilhante foi Omar Khayyam. Ele escreveu uma álgebra que continha 
uma investigação sistemática de equações cúbicas, utilizando a interseção de duas seções 
cônicas. 
Jemshid Al-Kashi, matemático Persa resolveu equações cúbicas por iteração e por 
métodos trigonométricos, e também pelo método conhecido hoje como “método de 
Horner”. Este método tem uma forte influência chinesa, o que nos faz pensar que a 
matemática chinesa da dinastia Sung havia penetrado profundamente no mundo islâmico. 
Por tudo isto, ressalta-se a importante influência do povo árabe na matemática. Convém 
ressaltar, também, que os muçulmanos ao expandir o islamismo cometeram um dos 
maiores crimes contra a humanidade. Após a queda de Alexandria frente aos 
muçulmanos, o califa mandou queimar todos os manuscritos encontrados na biblioteca 
(cerca de 600.000) argumentando que: “se constam do alcorão não precisam ser 
guardados e se não constam são inúteis”. Conta a lenda que os escritos alimentaram as 
caldeiras dos banhos durante seis meses. 
É preciso lembrar, também, o papel das cruzadas. Com as cruzadas a Europa cristã teve, 
novamente, contato com a matemática grega, traduzida para o árabe. Isto veio a 
influenciar muito a Europa medieval e serviu como fonte para o desenvolvimento da 
matemática durante a idade média.