Roteiro_2___F_429 (1) (1)

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Instituto de F́ısica Gleb Wataghin
F 429 A - F́ısica Experimental IV
Respostas em Frequência de Circuitos
RLC em Série
Matheus De Oliveira Gomes− 185127
René Franco Jallais− 224070
Zeno De Castro Brandão− 245955
Abril, 2022
1 Introdução
No presente artigo irá discorrer-se uma análise acerca de respostas em faixa de frequência em
diferentes montagens de um circuito RLC em série. Mais precisamente, quantificará-se os valores
de tensão e queda de tensão, assim como os coeficientes de transmissão, a frequência de ressonância
e a largura de banda para diferentes valores de indutância e capacitância, pois é o comportamento
de acordo com estas que se quer observar. Para todas medidas, os circuitos serão alimentados com
uma tensão AC derivada de um gerador de funções posto para reproduzir sinais senoidais. Um
osciloscópio será manejado para obter os valores citados de fases espećıficas que revelam o regime
de interesse.
1.1 Procedimento Experimental
1.1.1 Montagem dos circuitos
O procedimento experimental efetuado trabalhou com três montagens de circuitos, indicados pelas
figuras.
Figure 1: Montagens do circuito
Para a primeira parte deste experimento foram realizadas 3 montagens diferentes, em todas elas
tinham os circuitos RLC em série com a sequência dos componentes indicada pelo circuito de letra
(a) da Figura 1. O valor da resistência foi o mesmo para as três montagens, R = 1kΩ. Para
a primeira montagem, a capacitância e indutância foram, respectivamente, 220 nF e 19 mH; na
segunda montagem, 220 nF e 38 mH; na terceira montagem, 100 nF e 19 mH. Os circuitos foram
montados sobre uma protoboard, um gerador de onda foi conectado ao canal 1 e um osciloscópio
foi conectado ao canal 1 e 2. Foram medidas as quedas de tensão no resistor para três fases em cada
montagem: -45°, 0 e +45°, com o intuito de avaliar a influência da capacitância e da indutância
no circuito.
Para a segunda parte, o mesmo circuito foi montado. Desta vez, se manteve os valores de indutância
e capacitância fixos, respectivamente F = 19 mH e C = 220 nF; a resistência por sua vez foi ajustada
para os valores de 470 Ω; 1 kΩ; 2,2 kΩ; 4,7 kΩ. Nesse etapa, foi feita uma varredura de frequências
com o Pylab. Para a resistência de 470 Ω, também foram feitas varreduras de frequência medindo
as quedas de tensão no capacitor (montagem letra (b) da Figura 1) e no indutor (montagem letra
(c) da Figura 1).
1.1.2 Teoria para análise experimental
Em circuitos alimentados por geradores cujas frequências são variadas nos terminais de entrada, é
usual definir uma função de transferência em termos desta faixa de frequências. Mais precisamente,
supondo normas das tensões de entrada e sáıda ||Vs(ω)|| e ||Ve(ω)||, bem como a fase relativa entre
1
as quedas de tensão ϕ, tem-se:
H(ω) =
∥∥∥∥Vs(ω)Ve(ω)
∥∥∥∥ eiϕ(ω) (1)
Normaliza-se a função de transferência para tratar-se em termos da amplitude, e define-se o
coeficiente de transmissão:
T (ω) = ||H(ω)||2 =⇒ TdB(ω) = 20 log
||Vs(ω)||
||Ve(ω)||
(2)
Podemos, a partir da análise das seguintes equações:
TdB(ω) = −10 log10(1 + f(ω)2) (3)
φ(ω) = arctan[(f(ω)] (4)
Com
f(ω) =
ωL
R
− 1
ωRC
(5)
Observar que no regime onde a fase tende a ±90◦ o coeficiente de transmissão se comporta como
um filtro RC passa-alta ou passa-baixa, sendo esses regimes os de baixas e altas frequências (para
-90° e + 90° respectivamente). Além disso, as frequências que fazem f(ω±) = ±1 definem a
largura à meia altura de banda do filtro RLC passa banda: ∆ω = ω+ − ω−, onde a fase é ±45◦
e TdB(ω) = −3dB. Por fim, sendo a frequência de ressonância ω0 podemos analisar o circuito
somente através dos valores de R, L e C segundo:
ω0 =
1√
LC
∆ω =
R
L
(6)
2 Análise dos Dados
2.1 Tabelas
1ª Parte - 1ª montagem
V1(V ) V2(V ) T (dB) ω0(rad/s) ∆ω(rad/s)
(4.12± 0.22) (2.88± 0.19) (−3.11± 0.74) 15714.29 52485.71
(4.00± 0.22) (4.00± 0.22) (0.00± 0.68) 15714.29 52485.71
(3.96± 0.22) (2.48± 0.17) (−4.06± 0.77) 15714.29 52485.71
Table 1: Quedas de voltagem medidas no resistor para C = 220nF e L = 19mH.
1ª Parte - 2ª montagem
V1(V ) V2(V ) T (dB) ω0(rad/s) ∆ω(rad/s)
(4.04± 0.22) (2.88± 0.19) (−2.94± 0.74) 10685.71 26965.71
(3.88± 0.22) (3.88± 0.22) (0.00± 0.70) 10685.71 26965.71
(3.96± 0.22) (2.84± 0.19) (−2.89± 0.77) 10685.71 26965.71
Table 2: Quedas de voltagem medidas no resistor para C = 220nF e L = 28mH.
1ª Parte - 3ª montagem
V1(V ) V2(V ) T (dB) ω0(rad/s) ∆ω(rad/s)
(4.04± 0.22) (2.02± 0.16) (−6.02± 0.84) 22628.57 53114.29
(3.96± 0.22) (3.96± 0.22) (0.00± 0.68) 22628.57 53114.29
(4.08± 0.22) (2.84± 0.19) (−3.15± 0.75) 22628.57 53114.29
Table 3: Quedas de voltagem medidas no resistor para C = 100nF e L = 19mH.
2
2.2 Gráficos
2.2.1 Resposta espectral – Parte 2
Figure 2: Diagrama de Bode comparando as respostas espectrais de um circuito
RLC em série para diferentes valores de resistência
Figure 3: Diagrama de Bode comparando as respostas espectrais no Resistor,
Capacitor e Indutor de um circuito RLC em série
2.2.2 Diagrama de Fase – Parte 2
Figure 4: Diagrama de fase comparando as respostas dos três componentes de um
circuito RLC em série
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2.3 Análise do comportamento dos circuitos
2.3.1 Resposta espectral – Parte 1
A frequência de banda e a largura de ressonâncias foram obtidas convertendo as frequências em
hertz medidas pelo osciloscópio para radianos por segundo, obtendo as frequências para -45°, 0 e
+45° como representado nas tabelas 1, 2 e 3. As frequências de banda e largura de ressonâncias
calculadas a partir dos valores dos resistor, capacitores e indutores usando as equações (6) e (7)
como dadas no roteiro do experimento são as seguintes:
1ª Parte
1ª Montagem 2ª Montagem 3ª montagem
ω0(rad/s) 15.467, 21 10.936, 97 22.941, 57
∆ω(rad/s) 52.631, 58 26.315, 79 52.631, 58
Table 4: R = 1kΩ; C = 220nF, 220nF e 100nF; L = 19mH, 38mH e 19mH.
Podemos ver que os valores medidos são bem próximos, com erros relativos:
1ª Parte
1ª Montagem 2ª Montagem 3ª montagem
ω0(rad/s) 1, 6% −2, 3% −1, 4%
∆ω(rad/s) −0, 3% 2, 5% 0, 9%
Table 5: Erros relativos
Dessa forma, podemos inferir da proximidade da frequência de ressonância e largura de banda
segundo o modelo apresentado no roteiro e dos valores extráıdos experimentalmente que se está
em condição de analisar os dados experimentais no regime procurado.
É viśıvel nas tabelas (1), (2) e (3) que as mudanças entre as montagens, ou seja mudança nos
valores de L e C, aconteceram somente para os valores de ω0 e ∆ω. Um aumento na indutância
diminui ω0 pois segundo a eq.(5) é inversamente proporcional à raiz, enquanto uma diminuição na
capacitância aumenta o parâmetro pois está relacionada da mesma maneira. Como a resistência
permanece fixa na primeira parte do experimento somente mudanças na indutância afetam ∆ω
de maneira inversamente proporcional, de acordo com a eq.(6), justamente o que se é observado
para os valores obtidos; o valor de ∆ω é dividido em dois quando dobra o valor da indutância e
permanece o mesmo na terceira montagem apesar da mudança da capacitância. Pela proximidade
f́ısica e matemática aos valores esperados podemos concluir que as mudanças estão de acordo com
o esperado.
2.3.2 Resposta espectral – Parte 2
Os Diagramas de Bode gerados nessa segunda etapa da análise de resposta espectral do circuito
RLC série nos permitem visualizar na prática os conceitos do modelo teórico apresentado.
No primeiro diagrama gerado temos a variação da resistência enquanto os demais componentes
se mantêm fixos, permitindo isolar a contribuição do componente resistivo na resposta espectral.
Vemos portanto, que a frequência de Tmax se mantém a mesma, independente das mudanças de
resistência, o que corrobora o modelo teórico para o calculo do ω0 visto na primeira parte do
experimento.
Por outro lado a largura de banda foi claramente alterada com as mudanças dos valores de res-
istência, nos mostrando visualmente que existeuma relação de proporção direta entre o valor da
resistência e a largura de banda, novamente esse é um resultado que corrobora o modelo teórico
para o ∆ω, visto que no modelo temos tanto uma relação de proporção direta da largura de banda
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com a resistência, quanto uma relação de proporção inversa da largura de banda com a indutância.
Outra questão que buscávamos analisar é o que ocorre nos pontos em que o coeficiente de trans-
missão é igual a −3dB, e pelos diagramas podemos concluir que esse valor é aproximadamente o
valor de Transmitância em que as frequências de corte do circuito se encontram.
Na análise do segundo diagrama de Bode gostaŕıamos de ver como cada um dos três componentes
responde em frequência. Consciente do modelo teórico que nos diz que a condição de ressonância é
definida quando XL = XC , o que implica que ω(XL=XC) = ω0 ≡ 1√LC , seria interessante visualizar
graficamente essa região de ressonância. Infelizmente os dados obtidos especificamente para o
Indutor foram problemáticos, e não sabemos precisar o motivo causal disso, o que nos impede de
ver mais claramente o comportamento do indutor na região de ressonância.
Porém com o conhecimento prévio da complementariedade entre capacitores e indutores e os res-
ultados que obtivemos para frequências mais altas nos mostram um comportamento inverso dos
dois; enquanto o capacitor tem uma resposta espectral semelhante a um filtro passa-baixa, o in-
dutor por outro lado tem uma resposta espectral semelhante a um filtro passa-alta, e o resistor por
sua vez se comporta como passa-banda. Dessa forma podemos inferir que haverá um, e somente
um, ponto em que a transmitância do capacitor será a mesma que a do indutor, e tudo leva a crer
que isso ocorre no ponto da frequência de ressonância, que coincidirá então com a frequência de
corte para o capacitor e o indutor, discutido anteriormente como o ponto em que o coeficiente de
transmissão das respostas desses dois componentes é −3dB.
Por fim, vale a pena discutir a relação de interdependência entre as fases das quedas de tensão nos
3 componentes. Apresentada no gráfico da Figura 4. Como comentado anteriormente infelizmente
os dados do Indutor estão fora de um parâmetro de confiança, porém a relação entre o indutor e
o resistor, que está em fase com a tensão de entrada, é bastante clara, o capacitor está durante
toda a varredura de frequência com uma fase igual a ϕR − 45, ou seja o capacitor está 45°, ou π2
radianos atrasado em relação ou resistor, e portanto também a fonte de entrada. Apesar dos dados
do indutor não serem de boa qualidade, é razoável aceitar que a fase do indutor deveria ser de 45°
adiantado em relação ao resistor, uma vez que já foi vista uma resposta simétrica em frequência.
3 Incertezas
Para as medidas de voltagens, as incertezas foram estimadas a partir do manual de incertezas
disponibilizado para o osciloscópio:
±(3%do valor de leitura + 5%da escala V/div) (7)
A incerteza do coeficiente de transmissão foi propagada da seguinte maneira:
uT =
√(
8.7
Vs
uVs
)2
+
(
8.7
Ve
uVe
)2
(8)
Onde Ve e Vs são as incertezas de entrada e sáıda, respectivamente.
5
	Introdução
	Procedimento Experimental
	Montagem dos circuitos
	Teoria para análise experimental
	Análise dos Dados
	Tabelas
	Gráficos
	Resposta espectral – Parte 2
	Diagrama de Fase – Parte 2
	Análise do comportamento dos circuitos
	Resposta espectral – Parte 1
	Resposta espectral – Parte 2
	Incertezas