apol 1 CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL - CAMPOS VETORIAIS

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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
Leia a seguinte passagem de texto:
"Seja σ:K⊂R2→R3σ:K⊂R2→R3 uma superfície regular de classe C2C2 num aberto AA contendo K,KK,K compacto de interior não-vazio cuja fronteira tem conteúdo nulo, σσ injetora em todo o conjunto KK e σσ orientável. Seja ainda ∂K∂K uma curva C1C1 por partes, fechada e simples, orientada positivamente. Se temos ⃗F=P⃗i+Q⃗j+R⃗kF→=Pi→+Qj→+Rk→ então
∫Γ⃗FdΓ=∫∫σ(rot⃗F)⋅⃗ndS∫ΓF→dΓ=∫∫σ(rotF→)⋅n→dS
onde ΓΓ é a imagem de γγ por σσ orientada positivamente em relação ao vetor normal ⃗n(σ(u,v))n→(σ(u,v)).
Fonte: Livro-base, p. 140.
Considere o campo dado por ⃗F(x,y,z)=(xz,zex,−y)F→(x,y,z)=(xz,zex,−y) e σ(u,v)=(−1+u2+v2,u,v)σ(u,v)=(−1+u2+v2,u,v) definido sobre K={0≤u2+v2≤1}K={0≤u2+v2≤1}. Marque a alternativa que apresenta o valor correto de ∫∫σrot⃗F⋅⃗ndS∫∫σrotF→⋅n→dS.
Nota: 10.0
	
	A
	2π2π
	
	B
	ππ
	
	C
	00
	
	D
	−π−π
	
	E
	−2π−2π
Você assinalou essa alternativa (E)
Você acertou!
De acordo com o livro-base, p. 142,
rot⃗F=(−1,−ex,x,zex)rotF→=(−1,−ex,x,zex)
Assim, temos
∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(1,−2u,−2v)∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(1,−2u,−2v)
Ainda,
Γ(t)=(0,cost,sent),t∈[0,2π]Γ′(t)=(0,−sent,cost)Γ(t)=(0,cost,sent),t∈[0,2π]Γ′(t)=(0,−sent,cost)
E pelo Teorema de Stokes,
∫∫σrot⃗F⋅⃗ndS=−2π∫∫σrotF→⋅n→dS=−2π
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
Leia a seguinte passagem extraída do livro-base, Cálculo Diferencial e Integral - Campos de Vetores, p. 6:
"O divergente de uma função vetorial ou de um vetor, representado por div⃗F(x,y,z)divF→(x,y,z) ou ∇⋅⃗F∇⋅F→ , é definido por: ∇⋅⃗F=∂Fx∂x(x,y,z)+∂Fy∂y(x,y,z)+∂Fz∂z(x,y,z)∇⋅F→=∂Fx∂x(x,y,z)+∂Fy∂y(x,y,z)+∂Fz∂z(x,y,z).
Para a função F(x,y,z)=(lnx,lnxy,lnxyz)F(x,y,z)=(ln⁡x,ln⁡xy,ln⁡xyz), marque a alternativa que apresenta o valor correto de seu divergente:
Nota: 10.0
	
	A
	1y⃗i−1x⃗j+1z⃗k1yi→−1xj→+1zk→
	
	B
	1y−1x+1z1y−1x+1z
	
	C
	1y⃗i+1x⃗j−1z⃗k1yi→+1xj→−1zk→
	
	D
	1y+1x+1z1y+1x+1z
Você assinalou essa alternativa (D)
Você acertou!
Utilizando as equações dadas no enunciado, verificamos que:
div⃗F=1x+1y+1zdivF→=1x+1y+1z
	
	E
	1y⃗i−1x⃗j−1z⃗k1yi→−1xj→−1zk→
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
Leia o seguinte extrato de texto:
"Definiremos a integral sobre uma superfície tendo em mente ainda a generalização do que fizemos quando definimos integral de linha sobre um campo escalar. Embora geometricamente os objetos são diferentes, teremos que integrais de superfície generalizam a área de maneira análoga que a integral de linha sobre um campo escalar generaliza o conceito de comprimento de uma curva." (livro-base, p. 116)
Considere a superfície definida por σ(u,v)=(u,v,u3)σ(u,v)=(u,v,u3) para (u,v)(u,v) no primeiro quadrante e tais que u,v≤1u,v≤1. Marque a alternativa que contém o valor correto para ∫∫σzdS∫∫σzdS.
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	154(10√10−1)154(1010−1)
De acordo com o livro-abase, p. 117
∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(−3u2,0,1)∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(−3u2,0,1)
Dessa forma,
∫∫σzdS=∫10∫10u3√1+9u4dvdu=154(10√10−1)∫∫σzdS=∫01∫01u31+9u4dvdu=154(1010−1)
	
	B
	5√102751027
	
	C
	(10√10−1)(1010−1)
	
	D
	154(√10−1)154(10−1)
	
	E
	(√10−1)(10−1)
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
De acordo com o livro-base, p. 129,
"Definimos a massa MM de σσ por
M=∫∫σδ(x,y,z)dSM=∫∫σδ(x,y,z)dS
e definimos o centro de massa, o ponto (xc,yc,zc)∈R3(xc,yc,zc)∈R3, da superfície σσ por
xc=∫∫σxδdSM,yc=∫∫σyδdSM,zc=∫∫σzδdSMxc=∫∫σxδdSM,yc=∫∫σyδdSM,zc=∫∫σzδdSM"
Marque a alternativa que apresenta o valor correto da massa do corpo delgado dado por z=x+y2z=x+y2 onde 0≤x≤10≤x≤1 e 0≤y≤20≤y≤2 onde a densidade superficial de massa é dada por σ(x,y,z)=yσ(x,y,z)=y.
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	133133
	
	B
	13√2132
	
	C
	13√231323
De acordo com o livro-base, p. 129,
σ(u,v)=(u,v,u+v2)σ(u,v)=(u,v,u+v2)
e ainda,
∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(−1,−2v,1)∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(−1,−2v,1)
Assim,
M=∫∫σydS=13√23M=∫∫σydS=1323
	
	D
	1313
	
	E
	√2323
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
Leia o seguinte extrato de texto:
"Dizemos que a superfície σ:A⊂R2→R3σ:A⊂R2→R3 é regular no ponto (u0,v0)(u0,v0) se os vetores ∂σ∂u(u0,v0)∧∂σ∂v(u0,v0)≠0∂σ∂u(u0,v0)∧∂σ∂v(u0,v0)≠0. Equivalentemente, é regular no ponto (u0,v0)(u0,v0) se admite plano tangente no ponto." (livro-base)
Considere o cilindro dado pela curva γ(t)=(t2,t3),t∈Rγ(t)=(t2,t3),t∈R contida no plano xyxy e que seja paralelo ao eixo zz. Marque a alternativa que apresenta o conjunto DD que contém todos os pontos onde essa superfície é regular:
Nota: 10.0
	
	A
	D={(u,v)∈R2|v=0}D={(u,v)∈R2|v=0}
	
	B
	D={(u,v)∈R2|u≠0}D={(u,v)∈R2|u≠0}
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou!
Comentário: De acordo com o livro-base, p. 103,
sabemos que a parametrização de um cilindro dessa forma é dada por:
σ(u,v)=(u2,u3,v)σ(u,v)=(u2,u3,v)
Calculando as derivadas parciais:
∂σ∂u(u,v)=(2u,3u2,0)∂σ∂v(u,v)=(0,0,1)∂σ∂u(u,v)=(2u,3u2,0)∂σ∂v(u,v)=(0,0,1)Assim, 
(3u2,−2u,0)≠0(3u2,−2u,0)≠0
	
	C
	D={(u,v)∈R2|u=0,v=0}D={(u,v)∈R2|u=0,v=0}
	
	D
	D={(u,v)∈R2|v≠0}D={(u,v)∈R2|v≠0}
	
	E
	D={(u,v)∈R2|u≠0,v≠0}D={(u,v)∈R2|u≠0,v≠0}
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
Leia a seguinte passagem extraída do livro-base, Cálculo Diferencial e Integral - Campos de Vetores, p. 6:
"O rotacional de uma função vetorial ou de um vetor, representado por rot⃗FrotF→ ou ∇×⃗F∇×F→, é definido por: ∇×⃗F=|⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣⃗i⃗j⃗k∂∂x∂∂y∂∂z→Fx→Fy→Fz⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦|=[∂Fz∂y−∂Fy∂z]⃗i+[∂Fx∂z−∂Fz∂x]⃗j+[∂Fy∂x−∂Fx∂y]⃗k∇×F→=|[i→j→k→∂∂x∂∂y∂∂zFx→Fy→Fz→]|=[∂Fz∂y−∂Fy∂z]i→+[∂Fx∂z−∂Fz∂x]j→+[∂Fy∂x−∂Fx∂y]k→"
Para a função F(x,y,z)=(lnx,lnxy,lnxyz)F(x,y,z)=(ln⁡x,ln⁡xy,ln⁡xyz), determine seu rotacional.
Nota: 10.0
	
	A
	1y⃗i−1x⃗j+1z⃗k1yi→−1xj→+1zk→
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
Pelo uso da equação dada no enunciado, verificamos que:
rot⃗F=1y⃗i−1x⃗j+1z⃗krotF→=1yi→−1xj→+1zk→
	
	B
	1y−1x+1z1y−1x+1z
	
	C
	1y⃗i+1x⃗j−1z⃗k1yi→+1xj→−1zk→
	
	D
	1y+1x+1z1y+1x+1z
	
	E
	1y⃗i−1x⃗j−1z⃗k1yi→−1xj→−1zk→
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
De acordo com o livro-base, p. 116,
Definimos a integral de superfície de ff sobre σσ por
∫∫σfdS=∫∫σf(x,y,z)dS=∫∫Kf(σ(u,v))||∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)||dudv∫∫σfdS=∫∫σf(x,y,z)dS=∫∫Kf(σ(u,v))||∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)||dudv
Considere a superfície σ(u,v)=(u,4v,2u),(u,v)∈[1,2]×[2,3]σ(u,v)=(u,4v,2u),(u,v)∈[1,2]×[2,3], e marque a alternativa que apresenta o valor correto da integral de superfície ∫σ(xy+z)dS∫σ(xy+z)dS.
Nota: 10.0
	
	A
	7272
	
	B
	√55
	
	C
	8√585
	
	D
	88
	
	E
	72√5725
Você assinalou essa alternativa (E)
Você acertou!
De acordo com o livro-base, p. 117
∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(−8,0,4)∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(−8,0,4)
Dessa forma,
∫∫σfdS=∫21∫32(4uv+2u)⋅4√5dvdu=72√5∫∫σfdS=∫12∫23(4uv+2u)⋅45dvdu=725
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
De acordo com o livro-base:
Dizemos que a superfície σ:A⊂R2→R3σ:A⊂R2→R3 é regular no ponto (u0,v0)(u0,v0) se os vetores ∂σ∂u(u0,v0)∧∂σ∂v(u0,v0)≠0∂σ∂u(u0,v0)∧∂σ∂v(u0,v0)≠0. Equivalentemente, é regular no ponto (u0,v0)(u0,v0)se admite plano tangente no ponto. Dizemos ainda que a superfície σσ é regular se for regular em todos os pontos (u0,v0)∈A(u0,v0)∈A ou, equivalentemente, se admite plano tangente em todos os pontos da superfície.
Considere a superfície σσ no ponto (2,9,10)(2,9,10), onde σσ é a superfície parametrizada por σ(u,v)=(u3+2,u+v2,4v−2)σ(u,v)=(u3+2,u+v2,4v−2). Dessa superfície, podemos afirmar:
Nota: 10.0
	
	A
	A superfície é regular e seu plano tangente é dado por (x,y,z)=(2,9,10)+λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1).(x,y,z)=(2,9,10)+λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1).
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
Comentário: Sabemos que ∂σ∂u(u,v)=(3u2,1,0)∂σ∂u(u,v)=(3u2,1,0) e também ∂σ∂v(u,v)=(0,2v,1)∂σ∂v(u,v)=(0,2v,1). Assim, verificamos que a superfície é regular no ponto (2,9,10)(2,9,10). Seu plano tangente é dado por (x,y,z)=(2,9,10)+λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1)(x,y,z)=(2,9,10)+λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1) (livro-base, p. 103).
	
	B
	A superfície é regulare seu plano tangente é dado por (x,y,z)=λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1).(x,y,z)=λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1).
	
	C
	A superfície é regular e seu plano tangente é dado por (x,y,z)=(2,9,10).(x,y,z)=(2,9,10).
	
	D
	A superfície é regular e seu plano tangente é dado por (x,y,z)=()+λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1).(x,y,z)=()+λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1).
	
	E
	A superfície não é regular.
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
De acordo com o livro-base, Cálculo Diferencial e Integral - Campos de Vetores, p. 5:
"O campo gradiente de uma função contínua e diferenciável ff é definido como Grad(f(x,y,z))=∂f∂x(x,y,z)⃗i+∂f∂y(x,y,z)⃗j+∂f∂z(x,y,z)⃗kGrad(f(x,y,z))=∂f∂x(x,y,z)i→+∂f∂y(x,y,z)j→+∂f∂z(x,y,z)k→ ou ∇f=∂f∂x(x,y,z)⃗i+∂f∂y(x,y,z)⃗j+∂f∂z(x,y,z)⃗k∇f=∂f∂x(x,y,z)i→+∂f∂y(x,y,z)j→+∂f∂z(x,y,z)k→".
Dada a função r(x,y,z)=cosxsiny−zr(x,y,z)=cos⁡xsin⁡y−z, marque a alternativa que apresenta o valor correto de |∇r(0,π,1)||∇r(0,π,1)|:
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	√22
Comentário: Com o uso da fórmula dada no enunciado, obtemos|∇r(0,π,1)|=√2|∇r(0,π,1)|=2
	
	B
	2√222
	
	C
	√33
	
	D
	3√333
	
	E
	2√323
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
Leia o texto a seguir:
"Se a superfície SS tem uma parametrização ϕ:A⊂R2→R3ϕ:A⊂R2→R3 diferenciável, podemos
definir os vetores tangentes a estas curvas no ponto ϕ(u0;v0)ϕ(u0;v0), respectivamente, por:
Tu0=∂ϕ∂u=(∂x∂u,∂y∂u,∂z∂u)Tv0=∂ϕ∂v=(∂x∂v,∂y∂v,∂z∂v).Tu0=∂ϕ∂u=(∂x∂u,∂y∂u,∂z∂u)Tv0=∂ϕ∂v=(∂x∂v,∂y∂v,∂z∂v).
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: VILCHES, Mauricio A., CORRÊA, Maria Luiza. Cálculo Vetorial. <https://www.ime.uerj.br/~calculo/reposit/calculo3.pdf>. Acesso em 09 dez. 2019.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial Integral - Campo Vetorial, sobre área de superfícies e uma esfera de centro na origem e raio a em R3R3 e definida por S2={(x,y,z)|x2+y2+z2=a2,a>0},S2={(x,y,z)|x2+y2+z2=a2,a>0}, cuja parametrização é dada por:
ϕ(u,v)=(asen(u)cos(v),asen(u)sen(v),acos(u)),(u,v)∈A.ϕ(u,v)=(asen(u)cos(v),asen(u)sen(v),acos(u)),(u,v)∈A.
Assinale a alternativa que representa a área da superfície S.S. 
Obs.: A área é dada por A(S)=∫∫D||Tu×Tv||dudv.A(S)=∫∫D||Tu×Tv||dudv.
Nota: 10.0
	
	A
	4πa24πa2
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
A área é dada por A(S)=∫∫D||Tu×Tv||dudv,A(S)=∫∫D||Tu×Tv||dudv,
Tu×Tv=asen(u)ϕ(u,v)||Tu×Tv||=a2sen(u)A(S)=a2∫∫Dsen(u)dudv=a2∫2π0∫π0sen(u)dudv=4πa2u.a.Tu×Tv=asen(u)ϕ(u,v)||Tu×Tv||=a2sen(u)A(S)=a2∫∫Dsen(u)dudv=a2∫02π∫0πsen(u)dudv=4πa2u.a.
(livro-base p. 200-205)
	
	B
	2πa22πa2
	
	C
	43πa243πa2
	
	D
	6πa46πa4
	
	E
	4πa4