Apol Cálculo Diferencial e Integral - Campos Vetoriais

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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial e Integral - Campos Vetoriais
Considere a situação:
Se definirmos o operador ∇(⋅)=∂⋅∂x1e1+...+∂⋅∂xnen∇(⋅)=∂⋅∂x1e1+...+∂⋅∂xnen temos a seguinte igualdade: grad(f)=∇fgrad(f)=∇f".
Considerando a situação e os conteúdos do livro-base Introdução ao Cálculo Vetorial e tendo em vista a função f:R2→Rf:R2→R dada por f(x,y)=x2+y2f(x,y)=x2+y2, indique a alternativa que apresenta o valor correto de ∇f∇f e ∇f(1,1)∇f(1,1)
Nota: 10.0
	
	A
	∇f=2x+y2∇f(1,1)=3∇f=2x+y2∇f(1,1)=3
	
	B
	∇f=(2x,2y)∇f(1,1)=(2,2)∇f=(2x,2y)∇f(1,1)=(2,2)
Você acertou!
Esta é a alternativa correta.
∇f(x,y)=(∂f∂x(x,y),∂f∂y(x,y))=(2x,2y)∇f(x,y)=(∂f∂x(x,y),∂f∂y(x,y))=(2x,2y)
Portanto:
∇f(1,1)=(2,2)∇f(1,1)=(2,2).
	
	C
	∇f=2x+2y∇f(1,1)=4∇f=2x+2y∇f(1,1)=4
	
	D
	∇f=(2x,y2)∇f(1,1)=(2,1)∇f=(2x,y2)∇f(1,1)=(2,1)
	
	E
	∇f(2x,0)∇f(1,1)=(2,0)∇f(2x,0)∇f(1,1)=(2,0)
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial e Integral - Campos Vetoriais
Considere a situação:
Dizemos que a superfície σ:A⊂R2→R3σ:A⊂R2→R3 é regular no ponto (u0,v0)(u0,v0) se os vetores ∂σ∂u(u0,v0)∧∂σ∂v(u0,v0)≠0∂σ∂u(u0,v0)∧∂σ∂v(u0,v0)≠0
Equivalentemente, é regular no ponto (u0,v0)(u0,v0) se admite plano tangente no ponto. Dizemos ainda que a superfície σσ é regular se for regular em todos os pontos (u0,v0)∈A(u0,v0)∈A ou, equivalentemente, se admite plano tangente em todos os pontos da superfície.
Com base na situação e nos conteúdos do livro-base Introdução ao Cálculo Vetorial e tendo em vista a superfície σσ no ponto (2,9,10)(2,9,10), onde σσ é a superfície parametrizada por σ(u,v)=(u3+2,u+v2,4v−2)σ(u,v)=(u3+2,u+v2,4v−2). Dessa superfície, é correto afirmar que:
Nota: 10.0
	
	A
	A superfície é regular e seu plano tangente é dado por (x,y,z)=(2,9,10)+λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1).(x,y,z)=(2,9,10)+λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1).
Você acertou!
Esta é a alternativa correta. Sabemos que ∂σ∂u(u,v)=(3u2,1,0)∂σ∂u(u,v)=(3u2,1,0) e também ∂σ∂v(u,v)=(0,2v,1)∂σ∂v(u,v)=(0,2v,1). Assim, verificamos que a superfície é regular no ponto (2,9,10)(2,9,10). Seu plano tangente é dado por (x,y,z)=(2,9,10)+λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1).(x,y,z)=(2,9,10)+λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1).
	
	B
	A superfície é regular e seu plano tangente é dado por (x,y,z)=λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1).(x,y,z)=λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1).
	
	C
	A superfície é regular e seu plano tangente é dado por (x,y,z)=(2,9,10).(x,y,z)=(2,9,10).
	
	D
	A superfície é regular e seu plano tangente é dado por (x,y,z)=()+λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1).(x,y,z)=()+λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1).
	
	E
	A superfície não é regular.
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial e Integral - Campos Vetoriais
Considere a situação:
Definimos o comprimento de γγ sobre uma curva C1C1 por:
L(γ)=∫ba||yL(γ)=∫ab||y, o qual pode ser generalizado no caso de uma uma curva C1C1 definida por partes.
Com base na situação e nos conteúdos do livro-base Introdução ao Cálculo Vetorial e considerando a curva dada por:
γ(t)={(t,−t);t∈[−1,0)(t,3t);t∈[0,1]γ(t)={(t,−t);t∈[−1,0)(t,3t);t∈[0,1].
assinale a alternativa que indica o valor correto do comprimento de arco da curva γ(t)γ(t):
Nota: 10.0
	
	A
	L(γ)=√2L(γ)=2
	
	B
	L(γ)=√10+√2L(γ)=10+2
Você acertou!
Esta é a alternativa correta. De acordo com o enunciado:
L(γ)=L(γ1)+L(γ2)=∫0−1√2dt+∫10√10dt=√10+√2L(γ)=L(γ1)+L(γ2)=∫−102dt+∫0110dt=10+2
	
	C
	L(γ)=√20L(γ)=20
	
	D
	L(γ)=√12L(γ)=12
	
	E
	L(γ)=√10L(γ)=10
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial e Integral - Campos Vetoriais
Considere a situação:
Definimos a integral de linha do campo escalar f:A⊂Rn→Rf:A⊂Rn→R sobre a curva CC, cuja parametrização γ:I=[a,b]→Rnγ:I=[a,b]→Rn é C1C1 por:
∫Cfds=∫baf(γ(t))||˙γ(t)||dt∫Cfds=∫abf(γ(t))||γ(t)||˙dt.
 
Com base na situação e nos conteúdos do livro-base Introdução ao Cálculo Vetorial e tendo em vista a hélice de raio rr dada pela curva γ(t)=(rcost,rsent,rt),t∈[0,4π]γ(t)=(rcost,rsent,rt),t∈[0,4π] e o campo escalar definido por f(x,y,z)=ex2+y2+z−r2f(x,y,z)=ex2+y2+z−r2, assinale a alternativa que apresenta o valor correto de ∫γfds∫γfds:
Nota: 0.0
	
	A
	e4rπ−1e4rπ−1
	
	B
	√2e4rπ2e4rπ
	
	C
	√22
	
	D
	√2(e8rπ−1)2(e8rπ−1)
	
	E
	√2(e4rπ−1)2(e4rπ−1)
Esta é a alternativa correta.
˙γ(t)=√2rγ(t)˙=2r.
E ainda:
∫γfds=∫4π0ert√2rdt=√2(e4rπ−1)∫γfds=∫04πert2rdt=2(e4rπ−1).
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial e Integral - Campos Vetoriais
Observe a situação:
O divergente de ⃗FF→ é definido por div⃗F=∂F1∂x1+∂F2∂x2+...+∂Fn∂xndivF→=∂F1∂x1+∂F2∂x2+...+∂Fn∂xn. Observe que o divergente de um campo é de natureza escalar, isto é, é um número real, diferentemente do que acontece com o rotacional.
Considerando a situação e os conteúdos do livro-base Introdução ao Cálculo Vetorial e tendo em vista a função vetorial ⃗F(x,y,z)=xy⃗i+(z2+x)⃗j+xyz⃗kF→(x,y,z)=xyi→+(z2+x)j→+xyzk→, assinale a alternativa que apresenta o valor correto de div⃗FdivF→:
Nota: 10.0
	
	A
	div⃗F(x,y,z)=0divF→(x,y,z)=0
	
	B
	div⃗F(x,y,z)=xdivF→(x,y,z)=x
	
	C
	div⃗F(x,y,z)=ydivF→(x,y,z)=y
	
	D
	div⃗F(x,y,z)=y+xydivF→(x,y,z)=y+xy
Você acertou!
Esta é a alternativa correta. Efetuando o cálculo de acordo com a fórmula disponibilizada no enunciado, temos:
div⃗F=∂F1∂x1+∂F2∂x2+...+∂Fn∂xndivF→=∂F1∂x1+∂F2∂x2+...+∂Fn∂xn
Assim:
div⃗F(x,y,z)=∂∂x1(xy)+∂∂y(z2+x)+∂∂z(xyz)divF→(x,y,z)=∂∂x1(xy)+∂∂y(z2+x)+∂∂z(xyz)
Ou seja:
div⃗F(x,y,z)=y+xydivF→(x,y,z)=y+xy
	
	E
	div⃗F(x,y,z)=xydivF→(x,y,z)=xy
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial e Integral - Campos Vetoriais
Considere a situação:
Se definirmos o operador ∇(⋅)=∂⋅∂x1e1+...+∂⋅∂xnen∇(⋅)=∂⋅∂x1e1+...+∂⋅∂xnen temos a seguinte igualdade: grad(f)=∇fgrad(f)=∇f".
Considerando a citação e os conteúdos do livro-base Introdução ao Cálculo Vetorial e tendo em vista a função f:R2→Rf:R2→R dada por f(x,y)=x2+y2f(x,y)=x2+y2, assinale a alternativa que apresenta o valor correto de ∇f∇f e ∇f(1,1)∇f(1,1)
Nota: 10.0
	
	A
	∇f=2x+y2∇f(1,1)=3∇f=2x+y2∇f(1,1)=3
	
	B
	∇f=(2x,2y)∇f(1,1)=(2,2)∇f=(2x,2y)∇f(1,1)=(2,2)
Você acertou!
∇f(x,y)=(∂f∂x(x,y),∂f∂y(x,y))=(2x,2y)∇f(x,y)=(∂f∂x(x,y),∂f∂y(x,y))=(2x,2y)
e, portanto:
∇f(1,1)=(2,2)∇f(1,1)=(2,2)
	
	C
	∇f=2x+2y∇f(1,1)=4∇f=2x+2y∇f(1,1)=4
	
	D
	∇f=(2x,y2)∇f(1,1)=(2,1)∇f=(2x,y2)∇f(1,1)=(2,1)
	
	E
	∇f=(2x,0)∇f(1,1)=(2,0)∇f=(2x,0)∇f(1,1)=(2,0)
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial e Integral - Campos Vetoriais
Considere a situação: 
Definimos o comprimento de γγ sobre uma curva C1C1 por 
L(γ)=∫ba||y||dtL(γ)=∫ab||y||dt.
Com base na situação e nos conteúdos do livro-base Introdução ao Cálculo Vetorial e tendo em vista queγ(t)=(t3,1,32t2),t∈[0,1]γ(t)=(t3,1,32t2),t∈[0,1], assinale a alternativa que apresenta o valor correto do comprimento de arco de γ(t):γ(t):
Nota: 10.0
	
	A
	L(γ)=4√2L(γ)=42
	
	B
	L(γ)=2L(γ)=2
	
	C
	L(γ)=6√2L(γ)=62
	
	D
	L(γ)=4√2+2L(γ)=42+2
Você acertou!
Esta é a alternativa correta.
´γ=(3t2,0,3t)γ´=(3t2,0,3t)
Portanto:
L(γ)=∫10√9t4+9t2dt=3∫10t√t2+1dt=3∫21√xdx=4√2+2L(γ)=∫019t4+9t2dt=3∫01tt2+1dt=3∫12xdx=42+2
	
	E
	L(γ)=4√2+1L(γ)=42+1
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial e Integral - Campos Vetoriais
Considere a situação:
Definimos uma função ff de nn variáveis definida em um subconjunto não-vazio A⊂RmA⊂Rm por f:A→Rmf:A→Rm que associa a cada (x1,x2,...,xn)∈A(x1,x2,...,xn)∈A um único vetor f(x1,x2,...,xn)={f1(x1,x2,...,xn)∈Rm;(x1,x2,...,xn))∈A}f(x1,x2,...,xn)={f1(x1,x2,...,xn)∈Rm;(x1,x2,...,xn))∈A}
Considerando a situação e os conteúdos do livro-base Introdução ao Cálculo Vetorial e tendo em vista que φ(A)=φ(1,θ)=(x,y)φ(A)=φ(1,θ)=(x,y) onde x=rcosθx=rcosθ e y=rsenθy=rsenθ, assinale a alternativa que indica o valor correto da imagem de A={(r,θ);r=1}A={(r,θ);r=1}:
Nota: 10.0
	
	A
	φ(A)=(x,y);0=x=1;0=y=1;x2+y2=1φ(A)=(x,y);0=x=1;0=y=1;x2+y2=1
Você acertou!
φ(A)=φ(1,0)={(cosθ,senθ);θ∈R}φ(A)=φ(1,0)={(cosθ,senθ);θ∈R}
Veja que esta é a imagem da circunferência, visto que:
{cosθ,senθ);θ∈R={(x,y);x=cosθ;y=senθ;θ∈R}{cosθ,senθ);θ∈R={(x,y);x=cosθ;y=senθ;θ∈R}
De forma que:
φ(A)=φ(1,0)={(cosθ,senθ);θ∈R}φ(A)=φ(1,0)={(cosθ,senθ);θ∈R}φ(A)={(x,y);0≤x≤1;0≤y≤1;x2+y2=1}φ(A)={(x,y);0≤x≤1;0≤y≤1;x2+y2=1}
	
	B
	φ(A)=(x,y);0=x=1;0=y=1;x+y=1φ(A)=(x,y);0=x=1;0=y=1;x+y=1
	
	C
	φ(A)=(x,y);0=x=8;0=y=8;x+y=1φ(A)=(x,y);0=x=8;0=y=8;x+y=1
	
	D
	φ(A)=(x,y);0=x=8;0=y=8;x+y=2φ(A)=(x,y);0=x=8;0=y=8;x+y=2E
	φ(A)=(x,y);0=x=9;0=y=3;x+y=7φ(A)=(x,y);0=x=9;0=y=3;x+y=7
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial e Integral - Campos Vetoriais
Considere a situação:
Definimos a integral de linha do campo escalar f:A⊂Rn→Rf:A⊂Rn→R sobre a curva CC, cuja parametrização γ:I=[a,b]→Rnγ:I=[a,b]→Rn é C1C1 por:
∫Cfds=∫baf(γ(t))||˙γ(t)||dt∫Cfds=∫abf(γ(t))||γ(t)||˙dt.
Com base na situação e os conteúdos do livro-base Introdução ao Cálculo Vetorial e tendo em vista a curva γ(t)=(rcost,rsent),t∈[0,2π]γ(t)=(rcost,rsent),t∈[0,2π] e o campo escalar dado por f(x,y)=x2f(x,y)=x2, assinale a alternativa que apresenta o valor correto de ∫Cfds∫Cfds:
Nota: 10.0
	
	A
	π4π4
	
	B
	π2π2
	
	C
	ππ
Você acertou!
Esta é a alternativa correta. Sabemos que:
||˙γ||=r||γ˙||=r. Assim:
∫γfds=∫2π0(rcost)2||˙γ||dt=r3∫2π0cos2tdt=π∫γfds=∫02π(rcost)2||γ˙||dt=r3∫02πcos2tdt=π
	
	D
	2π2π
	
	E
	4π4π
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial e Integral - Campos Vetoriais
Leia a situação:
Considere ⃗F(x,y,z)=P(x,y,z)⃗i+Q(x,y,z)⃗j+R(x,y,z)⃗kF→(x,y,z)=P(x,y,z)i→+Q(x,y,z)j→+R(x,y,z)k→  um campo no espaço R3R3 e suponha que ⃗FF→ seja conservativo. Se existe a função φφ que é o potencial do campo ⃗FF→, temos que
∂φ∂x=P⇒φ=∫Pdx+ϕ(y,z)+c1∂φ∂x=P⇒φ=∫Pdx+ϕ(y,z)+c1
onde c1∈Rc1∈R é uma constante e ϕϕ é uma função que depende apenas das variáveis yy e zz , pois é a parte que é anulada ao derivar φφ na direção de xx
Com base na situação e nos conteúdos do livro-base Introdução ao Cálculo Vetorial e tendo em vista o campo dado por ⃗F(x,y)=y4⃗i+4xy3⃗jF→(x,y)=y4i→+4xy3j→, assinale a alternativa que indica o valor correto das funções potências:
Nota: 10.0
	
	A
	φ(x,y)=xy4φ(x,y)=xy4
	
	B
	φ(x,y)=0φ(x,y)=0
	
	C
	φ(x,y)=4xy4+Cφ(x,y)=4xy4+C
	
	D
	φ(x,y)=Cφ(x,y)=C
	
	E
	φ(x,y)=xy4+Cφ(x,y)=xy4+C
Você acertou!
Esta é a alternativa correta.
F1(x,y)=∫y4dx=y4∫dx=xy4F1(x,y)=∫y4dx=y4∫dx=xy4
F2(x,y)=∫(4xy3−∂∂y(xy4))dy=0F2(x,y)=∫(4xy3−∂∂y(xy4))dy=0
Logo, as funções potências são dadas por:
φ(x,y)=xy4+c,c∈R