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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais Leia a seguinte passagem extraída do livro-base, Cálculo Diferencial e Integral - Campos de Vetores, p. 6: "O rotacional de uma função vetorial ou de um vetor, representado por rot⃗FrotF→ ou ∇×⃗F∇×F→, é definido por: ∇×⃗F=|⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣⃗i⃗j⃗k∂∂x∂∂y∂∂z→Fx→Fy→Fz⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦|=[∂Fz∂y−∂Fy∂z]⃗i+[∂Fx∂z−∂Fz∂x]⃗j+[∂Fy∂x−∂Fx∂y]⃗k∇×F→=|[i→j→k→∂∂x∂∂y∂∂zFx→Fy→Fz→]|=[∂Fz∂y−∂Fy∂z]i→+[∂Fx∂z−∂Fz∂x]j→+[∂Fy∂x−∂Fx∂y]k→" Para a função F(x,y,z)=(lnx,lnxy,lnxyz)F(x,y,z)=(lnx,lnxy,lnxyz), determine seu rotacional. Nota: 10.0 A 1y⃗i−1x⃗j+1z⃗k1yi→−1xj→+1zk→ Você assinalou essa alternativa (A) Você acertou! Pelo uso da equação dada no enunciado, verificamos que: rot⃗F=1y⃗i−1x⃗j+1z⃗krotF→=1yi→−1xj→+1zk→ B 1y−1x+1z1y−1x+1z C 1y⃗i+1x⃗j−1z⃗k1yi→+1xj→−1zk→ D 1y+1x+1z1y+1x+1z E 1y⃗i−1x⃗j−1z⃗k1yi→−1xj→−1zk→ Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais Leia a seguinte passagem de texto: "A área da superfície σσ é dada por: Aσ=∫∫K||((∂σ∂u(u0,v0)Δu))∧(∂σ∂v(u0,v0)Δv)||dudvAσ=∫∫K||((∂σ∂u(u0,v0)Δu))∧(∂σ∂v(u0,v0)Δv)||dudv e a integral existe e está bem definida pois o integrando é uma função contínua definido em um compacto cuja fronteira tem conteúdo nulo." (livro-base, p. 112) Considere o tronco de parábola dada por z=x2+y2z=x2+y2 com 0≤z≤90≤z≤9. Marque a alternativa que apresenta o valor correto de AσAσ: Nota: 0.0Você não pontuou essa questão A Aσ=(37√37−1)Aσ=(3737−1) B Aσ=37π6√37Aσ=37π637 C Aσ=π(37√37−1)Aσ=π(3737−1) D Aσ=π6(37√37−1)Aσ=π6(3737−1) De acordo com o livro-base, p. 115, a parametrização dessa parábola é dada por: σ(u,v)=(u,v,u2+v2)σ(u,v)=(u,v,u2+v2) definida em K={(u,v)∈R2/u2+y2≤3}K={(u,v)∈R2/u2+y2≤3}. Assim, Aσ=∫2π0∫30√1+4r2rdrdθ=2π∫30r√1+4r2dr=π6(37√37−1)Aσ=∫02π∫031+4r2rdrdθ=2π∫03r1+4r2dr=π6(3737−1) E Aσ=π6(√37−1)Aσ=π6(37−1) Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais Leia o seguinte extrato de texto: "Definiremos a integral sobre uma superfície tendo em mente ainda a generalização do que fizemos quando definimos integral de linha sobre um campo escalar. Embora geometricamente os objetos são diferentes, teremos que integrais de superfície generalizam a área de maneira análoga que a integral de linha sobre um campo escalar generaliza o conceito de comprimento de uma curva." (livro-base, p. 116) Considere a superfície definida por σ(u,v)=(u,v,u3)σ(u,v)=(u,v,u3) para (u,v)(u,v) no primeiro quadrante e tais que u,v≤1u,v≤1. Marque a alternativa que contém o valor correto para ∫∫σzdS∫∫σzdS. Nota: 0.0Você não pontuou essa questão A 154(10√10−1)154(1010−1) De acordo com o livro-abase, p. 117 ∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(−3u2,0,1)∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(−3u2,0,1) Dessa forma, ∫∫σzdS=∫10∫10u3√1+9u4dvdu=154(10√10−1)∫∫σzdS=∫01∫01u31+9u4dvdu=154(1010−1) B 5√102751027 C (10√10−1)(1010−1) D 154(√10−1)154(10−1) E (√10−1)(10−1) Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais De acordo com o livro-base, Cálculo Diferencial e Integral - Campos de Vetores, p. 5: "O campo gradiente de uma função contínua e diferenciável ff é definido como Grad(f(x,y,z))=∂f∂x(x,y,z)⃗i+∂f∂y(x,y,z)⃗j+∂f∂z(x,y,z)⃗kGrad(f(x,y,z))=∂f∂x(x,y,z)i→+∂f∂y(x,y,z)j→+∂f∂z(x,y,z)k→ ou ∇f=∂f∂x(x,y,z)⃗i+∂f∂y(x,y,z)⃗j+∂f∂z(x,y,z)⃗k∇f=∂f∂x(x,y,z)i→+∂f∂y(x,y,z)j→+∂f∂z(x,y,z)k→". Dada a função r(x,y,z)=cosxsiny−zr(x,y,z)=cosxsiny−z, marque a alternativa que apresenta o valor correto de |∇r(0,π,1)||∇r(0,π,1)|: Nota: 0.0Você não pontuou essa questão A √22 Comentário: Com o uso da fórmula dada no enunciado, obtemos|∇r(0,π,1)|=√2|∇r(0,π,1)|=2 B 2√222 C √33 D 3√333 E 2√323 Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais Leia o seguinte extrato de texto: "Dizemos que a superfície σ:A⊂R2→R3σ:A⊂R2→R3 é regular no ponto (u0,v0)(u0,v0) se os vetores ∂σ∂u(u0,v0)∧∂σ∂v(u0,v0)≠0∂σ∂u(u0,v0)∧∂σ∂v(u0,v0)≠0. Equivalentemente, é regular no ponto (u0,v0)(u0,v0) se admite plano tangente no ponto." (livro-base) Considere o cilindro dado pela curva γ(t)=(t2,t3),t∈Rγ(t)=(t2,t3),t∈R contida no plano xyxy e que seja paralelo ao eixo zz. Marque a alternativa que apresenta o conjunto DD que contém todos os pontos onde essa superfície é regular: Nota: 10.0 A D={(u,v)∈R2|v=0}D={(u,v)∈R2|v=0} B D={(u,v)∈R2|u≠0}D={(u,v)∈R2|u≠0} Você assinalou essa alternativa (B) Você acertou! Comentário: De acordo com o livro-base, p. 103, sabemos que a parametrização de um cilindro dessa forma é dada por: σ(u,v)=(u2,u3,v)σ(u,v)=(u2,u3,v) Calculando as derivadas parciais: ∂σ∂u(u,v)=(2u,3u2,0)∂σ∂v(u,v)=(0,0,1)∂σ∂u(u,v)=(2u,3u2,0)∂σ∂v(u,v)=(0,0,1)Assim, (3u2,−2u,0)≠0(3u2,−2u,0)≠0 C D={(u,v)∈R2|u=0,v=0}D={(u,v)∈R2|u=0,v=0} D D={(u,v)∈R2|v≠0}D={(u,v)∈R2|v≠0} E D={(u,v)∈R2|u≠0,v≠0}D={(u,v)∈R2|u≠0,v≠0} Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais De acordo com o livro-base: Dizemos que a superfície σ:A⊂R2→R3σ:A⊂R2→R3 é regular no ponto (u0,v0)(u0,v0) se os vetores ∂σ∂u(u0,v0)∧∂σ∂v(u0,v0)≠0∂σ∂u(u0,v0)∧∂σ∂v(u0,v0)≠0. Equivalentemente, é regular no ponto (u0,v0)(u0,v0)se admite plano tangente no ponto. Dizemos ainda que a superfície σσ é regular se for regular em todos os pontos (u0,v0)∈A(u0,v0)∈A ou, equivalentemente, se admite plano tangente em todos os pontos da superfície. Considere a superfície σσ no ponto (2,9,10)(2,9,10), onde σσ é a superfície parametrizada por σ(u,v)=(u3+2,u+v2,4v−2)σ(u,v)=(u3+2,u+v2,4v−2). Dessa superfície, podemos afirmar: Nota: 10.0 A A superfície é regular e seu plano tangente é dado por (x,y,z)=(2,9,10)+λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1).(x,y,z)=(2,9,10)+λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1). Você assinalou essa alternativa (A) Você acertou! Comentário: Sabemos que ∂σ∂u(u,v)=(3u2,1,0)∂σ∂u(u,v)=(3u2,1,0) e também ∂σ∂v(u,v)=(0,2v,1)∂σ∂v(u,v)=(0,2v,1). Assim, verificamos que a superfície é regular no ponto (2,9,10)(2,9,10). Seu plano tangente é dado por (x,y,z)=(2,9,10)+λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1)(x,y,z)=(2,9,10)+λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1) (livro-base, p. 103). B A superfície é regular e seu plano tangente é dado por (x,y,z)=λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1).(x,y,z)=λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1). C A superfície é regular e seu plano tangente é dado por (x,y,z)=(2,9,10).(x,y,z)=(2,9,10). D A superfície é regular e seu plano tangente é dado por (x,y,z)=()+λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1).(x,y,z)=()+λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1). E A superfície não é regular. Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais Leia o texto a seguir: "Se a superfície SS tem uma parametrização ϕ:A⊂R2→R3ϕ:A⊂R2→R3 diferenciável, podemos definir os vetores tangentes a estas curvas no ponto ϕ(u0;v0)ϕ(u0;v0), respectivamente, por: Tu0=∂ϕ∂u=(∂x∂u,∂y∂u,∂z∂u)Tv0=∂ϕ∂v=(∂x∂v,∂y∂v,∂z∂v).Tu0=∂ϕ∂u=(∂x∂u,∂y∂u,∂z∂u)Tv0=∂ϕ∂v=(∂x∂v,∂y∂v,∂z∂v). Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: VILCHES, Mauricio A., CORRÊA, Maria Luiza. Cálculo Vetorial. <https://www.ime.uerj.br/~calculo/reposit/calculo3.pdf>. Acesso em 09 dez. 2019. Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial Integral - Campo Vetorial, sobre área de superfícies e uma esfera de centro na origem e raio a em R3R3 e definida por S2={(x,y,z)|x2+y2+z2=a2,a>0},S2={(x,y,z)|x2+y2+z2=a2,a>0}, cuja parametrização é dada por: ϕ(u,v)=(asen(u)cos(v),asen(u)sen(v),acos(u)),(u,v)∈A.ϕ(u,v)=(asen(u)cos(v),asen(u)sen(v),acos(u)),(u,v)∈A. Assinale a alternativa que representa a área da superfície S.S. Obs.: A área é dada por A(S)=∫∫D||Tu×Tv||dudv.A(S)=∫∫D||Tu×Tv||dudv. Nota: 10.0 A 4πa24πa2 Você assinalou essa alternativa (A) Você acertou! A área é dada por A(S)=∫∫D||Tu×Tv||dudv,A(S)=∫∫D||Tu×Tv||dudv, Tu×Tv=asen(u)ϕ(u,v)||Tu×Tv||=a2sen(u)A(S)=a2∫∫Dsen(u)dudv=a2∫2π0∫π0sen(u)dudv=4πa2u.a.Tu×Tv=asen(u)ϕ(u,v)||Tu×Tv||=a2sen(u)A(S)=a2∫∫Dsen(u)dudv=a2∫02π∫0πsen(u)dudv=4πa2u.a. (livro-base p. 200-205) B 2πa22πa2 C 43πa243πa2 D 6πa46πa4 E 4πa44πa4 Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais Leia a seguintepassagem de texto: "Seja σ:K⊂R2→R3σ:K⊂R2→R3 uma superfície regular de classe C2C2 num aberto AA contendo K,KK,K compacto de interior não-vazio cuja fronteira tem conteúdo nulo, σσ injetora em todo o conjunto KK e σσ orientável. Seja ainda ∂K∂K uma curva C1C1 por partes, fechada e simples, orientada positivamente. Se temos ⃗F=P⃗i+Q⃗j+R⃗kF→=Pi→+Qj→+Rk→ então ∫Γ⃗FdΓ=∫∫σ(rot⃗F)⋅⃗ndS∫ΓF→dΓ=∫∫σ(rotF→)⋅n→dS onde ΓΓ é a imagem de γγ por σσ orientada positivamente em relação ao vetor normal ⃗n(σ(u,v))n→(σ(u,v)). Fonte: Livro-base, p. 140. Considere o campo dado por ⃗F(x,y,z)=(xz,zex,−y)F→(x,y,z)=(xz,zex,−y) e σ(u,v)=(−1+u2+v2,u,v)σ(u,v)=(−1+u2+v2,u,v) definido sobre K={0≤u2+v2≤1}K={0≤u2+v2≤1}. Marque a alternativa que apresenta o valor correto de ∫∫σrot⃗F⋅⃗ndS∫∫σrotF→⋅n→dS. Nota: 10.0 A 2π2π B ππ C 00 D −π−π E −2π−2π Você assinalou essa alternativa (E) Você acertou! De acordo com o livro-base, p. 142, rot⃗F=(−1,−ex,x,zex)rotF→=(−1,−ex,x,zex) Assim, temos ∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(1,−2u,−2v)∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(1,−2u,−2v) Ainda, Γ(t)=(0,cost,sent),t∈[0,2π]Γ′(t)=(0,−sent,cost)Γ(t)=(0,cost,sent),t∈[0,2π]Γ′(t)=(0,−sent,cost) E pelo Teorema de Stokes, ∫∫σrot⃗F⋅⃗ndS=−2π∫∫σrotF→⋅n→dS=−2π Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais Leia a seguinte passagem extraída do livro-base, Cálculo Diferencial e Integral - Campos de Vetores, p. 6: "O divergente de uma função vetorial ou de um vetor, representado por div⃗F(x,y,z)divF→(x,y,z) ou ∇⋅⃗F∇⋅F→ , é definido por: ∇⋅⃗F=∂Fx∂x(x,y,z)+∂Fy∂y(x,y,z)+∂Fz∂z(x,y,z)∇⋅F→=∂Fx∂x(x,y,z)+∂Fy∂y(x,y,z)+∂Fz∂z(x,y,z). Para a função F(x,y,z)=(lnx,lnxy,lnxyz)F(x,y,z)=(lnx,lnxy,lnxyz), marque a alternativa que apresenta o valor correto de seu divergente: Nota: 10.0 A 1y⃗i−1x⃗j+1z⃗k1yi→−1xj→+1zk→ B 1y−1x+1z1y−1x+1z C 1y⃗i+1x⃗j−1z⃗k1yi→+1xj→−1zk→ D 1y+1x+1z1y+1x+1z Você assinalou essa alternativa (D) Você acertou! Utilizando as equações dadas no enunciado, verificamos que: div⃗F=1x+1y+1zdivF→=1x+1y+1z E 1y⃗i−1x⃗j−1z⃗k1yi→−1xj→−1zk→ Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais De acordo com o livro-base, p. 129, "Definimos a massa MM de σσ por M=∫∫σδ(x,y,z)dSM=∫∫σδ(x,y,z)dS e definimos o centro de massa, o ponto (xc,yc,zc)∈R3(xc,yc,zc)∈R3, da superfície σσ por xc=∫∫σxδdSM,yc=∫∫σyδdSM,zc=∫∫σzδdSMxc=∫∫σxδdSM,yc=∫∫σyδdSM,zc=∫∫σzδdSM" Marque a alternativa que apresenta o valor correto da massa do corpo delgado dado por z=x+y2z=x+y2 onde 0≤x≤10≤x≤1 e 0≤y≤20≤y≤2 onde a densidade superficial de massa é dada por σ(x,y,z)=yσ(x,y,z)=y. Nota: 0.0Você não pontuou essa questão A 133133 B 13√2132 C 13√231323 De acordo com o livro-base, p. 129, σ(u,v)=(u,v,u+v2)σ(u,v)=(u,v,u+v2) e ainda, ∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(−1,−2v,1)∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(−1,−2v,1) Assim, M=∫∫σydS=13√23M=∫∫σydS=1323 D 1313 E √2323 ·
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