PROC_EST_TEMA_04

Prévia do material em texto

UNICARIOCA
TEMA-04
DISTRIBUIÇÕES DE
PROBABILIDADE DISCRETA
BINOMIAL - POISSON
PROCESSOS 
ESTOCÁSTICOS
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL  Utiliza-se esse tipo de
distribuição para modelar situações em que os dados
podem ser grupados em duas classes ou categorias
como, por exemplo: respostas a um teste do tipo V ou
F, respostas do tipo SIM ou NÃO a um questionário,
produtos COM ou SEM DEFEITO, pessoas
VACINADAS ou NÃO VACINADAS, datagramas
transmitidos COM ERRO ou SEM ERRO, etc.
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS
Seja p a probabilidade de um evento OCORRER em
uma única tentativa (probabilidade de sucesso) e seja
q = 1 - p a probabilidade dele NÃO OCORRER. Então
a probabilidade do evento ocorrer EXATAMENTE x
vezes em n tentativas é dada por:
xnxx
n qpCxXP
−××== )(
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS
OBSERVAÇÕES: Os experimentos que seguem esta
distribuição devem satisfazer as seguintes condições:
• O experimento deve ser repetido, nas mesmas
condições, um NÚMERO FINITO de vezes (n).
• As tentativas repetidas devem ser INDEPENDENTES,
isto é, o resultado de uma não deve afetar os
resultados das seguintes.
• Em cada tentativa deve aparecer um dos dois
possíveis resultados: SUCESSO ou INSUCESSO.
• No decorrer do experimento, a probabilidade p de
SUCESSO e a probabilidade q de INSUCESSO
deverão permanecer CONSTANTES.
PROBABILIDADE
Exemplo-1 Qual a probabilidade de se obter
exatamente 2 caras em 6 lances de uma moeda não
viciada.
Temos:
n = 6  número de jogadas
x = 2  número de ocorrências do evento desejado
p = ½  probabilidade de ocorrência do evento
desejado (sucesso) - dar cara !
q = ½  probabilidade de não ocorrência do evento
desejado (insucesso) - não dar cara !
xnxx
n qpCxXP
−××== )(
FÓRMULA DA BINOMIAL !
PROBABILIDADE
n = 6  número de jogadas
x = 2  número de ocorrências do evento desejado
p = ½  probabilidade de ocorrência do evento
desejado (sucesso) - dar cara
q = ½  probabilidade de não ocorrência do evento
desejado (insucesso) - não dar cara
64
15
2
1
!4 !2
!6
2
1
2
1
)2(
642
2
6 =





×
×
=





×





×== CXP
xnxx
n qpCxXP
−××== )(
15/64 = 0,234375 = 23,43%
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS - TEMA_04 1 MANUEL
ANÁLISE COMBINATÓRIA
)!( !
!
rnr
n
C
r
n
−
=COMBINAÇÕES
15
2
30
!4!2
65!4
)!26( !2
!62
6 ==
×
××
=
−
=C
64
1
2
1
2
1
6
66
==





NO EXCEL
=DISTRBINOM (x ; tentativas; probabilidade ; cumulativo) 
=DISTRBINOM( x ; n ; probabilidade ; FALSO)
ONDE:
x  é o número de tentativas bem-sucedidas.
TENTATIVAS  é o número total de tentativas (n).
PROBABILIDADE  é a probabilidade de sucesso em cada
tentativa.
CUMULATIVO  é um valor lógico que determina a forma da
distribuição de probabilidade fornecida.
• Se "cumulativo" for VERDADEIRO, a BINOMIAL retornará a
probabilidade de que o número de eventos aleatórios esteja
entre zero e x inclusive (distribuição CUMULATIVA).
• Se "cumulativo" for FALSO, a BINOMIAL retornará a
probabilidade de que o número de eventos seja EXATAMENTE
igual a x.
NO EXCEL
=DISTRBINOM (x ; tentativas; probabilidade ; cumulativo) 
=DISTRBINOM( 2 ; 6 ; 0,5 ; FALSO) = 0,23437 = 23,43%
Exemplo-1 Qual a probabilidade de se obter exatamente 2
caras em 6 lances de uma moeda não viciada.
Temos:
n = 6  número de jogadas (tentativas)
x = 2  número de ocorrências do evento desejado
p = ½ = 0,5  probabilidade de ocorrência do evento desejado
(sucesso) - dar cara
COMO É EXATAMENTE 2 CARAS  CUMULATIVO = FALSO !
PROBABILIDADE
Exemplo-2 Qual a probabilidade de se obter pelo
menos 4 caras em 6 lances de uma moeda não
viciada.
Temos:
n = 6  número de jogadas
x = 4  número de ocorrências do evento desejado
p = ½  probabilidade de ocorrência do evento
desejado (sucesso) - dar cara
q = ½  probabilidade de não ocorrência do evento
desejado (insucesso) - não dar cara
xnxx
n qpCxXP
−××== )(
FÓRMULA DA BINOMIAL !
PROBABILIDADE
Solução: Aqui como é pedida a probabilidade de se
obter pelo menos 4 caras, temos que somar as
probabilidades de se obter 4, 5 ou 6 caras.
Assim P(X ≥ 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)
64
15
2
1
2
1
)4(
24
4
6 =





×





×== CXP
64
6
2
1
2
1
)5(
15
5
6 =





×





×== CXP
64
1
2
1
2
1
)6(
06
6
6 =





×





×== CXP
P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=15/64 + 6/64 + 1/64 = 22/64
22/64 = 0,343750 = 34,37%
NO EXCEL
=DISTRBINOM (x ; tentativas; probabilidade ; cumulativo) 
Exemplo-2 Qual a probabilidade de se obter pelo menos 4
caras em 6 lances de uma moeda não viciada.
Temos:
n = 6  número de jogadas (tentativas)
x = 4  número de ocorrências do evento desejado
p = ½ = 0,5  probabilidade de ocorrência do evento desejado
(sucesso) - dar cara
PELO MENOS 4 CARAS 
SERVE  4 CARAS / 5 CARAS / 6 CARAS
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS - TEMA_04 2 MANUEL
NO EXCEL
=DISTRBINOM (x ; tentativas; probabilidade ; cumulativo) 
=DISTRBINOM( 4 ; 6 ; 0,5 ; FALSO) = 0,234375
=DISTRBINOM( 5 ; 6 ; 0,5 ; FALSO) = 0,093750
=DISTRBINOM( 6 ; 6 ; 0,5 ; FALSO) = 0,015625
SOMANDO OS VALORES OBTEMOS  0,343750
EXISTE OUTRA SOLUÇÃO ????
0,343750 = 34,37% 
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS
PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
pn ×=µ
qpn ××=2σ
qpn ××=σ
MÉDIA 
VARIÂNCIA 
DESVIO PADRÃO 
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS
Exemplo: Calcular a média (o número esperado) de caras em
100 lançamentos de uma moeda não viciada.
Temos:
n = 100
p = ½ (probabilidade de ocorrer cara)  sucesso
µ = n × p = 100 × 1/2 = 50.
Esse é o valor que responderíamos intuitivamente !!!!
A variância e o desvio padrão são dados por:
Variância σ2 = n × p × q = 100 × ½ × ½ = 25
Desvio padrão = 525 ==σ
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON  Na Binomial a
variável de interesse era o número de sucessos em
um intervalo de tempo discreto (n provas). Muitas
vezes, entretanto estamos interessados no número
de ocorrências (sucessos) em um intervalo contínuo
como, por exemplo, número de chamadas telefônicas
por minuto, quantidade de erros de impressão por
página impressa, número de partículas emitidas por
uma substância radioativa, número de acessos a um
site em um intervalo de tempo, etc.
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS
A distribuição de Poisson é definida como se segue:
!
)(
x
e
xXP
x λλ −
==
onde, x = 0,1,2,3,4.... é o número de ocorrências (x ≥ 0) que se
deseja calcular a probabilidade e λ > 0 é o número médio
dessas ocorrências (sucessos) no intervalo ou região
considerada.
e = 2,71828...  número de Euler.
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS
PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
os eventos em um determinado intervalo são independentes.
a probabilidade de ocorrência em um intervalo é
proporcional ao tamanho do intervalo.
a probabilidade de ocorrência de mais de um sucesso em um
intervalo muito pequeno é desprezível.
A média a variância e o desvio-padrão são dados por:
λσ =
Média µ = λ
Variância σ2 = λ
Desvio Padrão
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS - TEMA_04 3 MANUEL
PROBABILIDADE
Exemplo-1 Suponhamos que 300 erros de impressão
sejam distribuídos aleatoriamente em um livro com 500
páginas. Qual a probabilidade de cada página conter
exatamente 2 erros.
PROBABILIDADE
Temos:
n = 300  há 300 erros de impressão !
A probabilidade de um erro ocorrer em cada página é
p = 1/500 (o livro tem 500 páginas).
A média de erros por página (λ) é dada por:
λ = n ×p = 300 ×1/500 = 0,6.
Agora podemos utilizar Poisson para calcular a
probabilidade desejada onde x = 2 e λ = 0,6.
!
)(
x
e
xXP
x λλ −
==
PROBABILIDADE
!2
6,0
)2(
6,02 −
==
e
xP
1,00988,0
21
71828,236,0
)2(
6,0
≅=
×
×
==
−
xP
!
)(
x
e
xXP
x λλ −
==
Carpe Diem
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS - TEMA_04 4 MANUEL