Livro- Texto - Unidade I Probabilidade e Estatística

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Prof. Dr. Bruno Honda
UNIDADE I
Probabilidade e
Estatística
 Probabilidade e análise combinatória
 Contagem, fatorial; 
 Arranjos, permutações e combinações;
 Binômio de Newton e triângulo de Pascal;
 Probabilidade e aplicações.
Tópicos – Unidade I
 Probabilidade: chance;
 Tomada de decisões; 
 Escolhas;
 Contagem: combinações, permutações, arranjos;
 Qual a chance de um evento? Loteria?
Introdução: Probabilidade e análise combinatória
O fatorial de um número pode ser definido por:
 Exemplos:
Fatorial
Obs.:
 Propriedade:
 Exemplos:
Operações com fatorial
 De quantas maneiras distintas podemos organizar as letras da palavra AMOR?
Princípio fundamental da contagem
4.6 = 24 combinações
A
A
A
M
O
R
R
O
M
R
O
M
O
R
M
R
M
O
AMOR
AMRO
AOMR
AORM
ARMO
AROM
4 letras: A, M, O, R: roma, omar, mora, ramo, rmoa etc.
 6 combinações
 Número de combinações – produto das possibilidades
Princípio fundamental da contagem
passo 1 – 4 letras
passo 2 – 3 letras
passo 3 – 2 letras
Passo 4 – 1 letra
4.3.2.1 = 24 combinações
RESP. 24 combinações
Em uma prova de atletismo, participam 8 competidores. De quantos modos distintos as 
medalhas ouro, prata e bronze podem ser distribuídas entre os competidores, de acordo com a 
classificação final?
RESP. 336 maneiras diferentes.
Arranjo simples – exemplo
n=8 (atletas), p=3 (medalhas)
 Caso em que n=p
 Exemplo: quantos anagramas possui a palavra LETRA?
 n=5 (sem repetições)
Permutações simples (sem repetição)
RESP. 120 maneiras
Casos em que há repetições de elementos: 
Permutações simples (com repetição)
Em que n1, n2 ..., nk, são os números de repetições dos k-ésimos 
elementos;
Exemplo: quantos anagramas possui a palavra TIETE?
 Temos n=5, n1,= 2, n2=2
RESP. 30 maneiras.
 Situações em que repetições não importam;
Combinações simples
 Exemplo: entre um grupo de 10 pessoas, queremos 
escolher 3. De quantas maneiras isso pode ser feito?
RESP. 120 maneiras.
n=10; p=3;
Quantos anagramas podemos formar com a palavra ABRACADABRA?
a) 10.000.
b) 56.600.
c) 83.160.
d) 166.320.
e) 41.580.
Interatividade
Quantos anagramas podemos formar com a palavra ABRACADABRA?
a) 10.000.
b) 56.600.
c) 83.160.
d) 166.320.
e) 41.580.
Resposta
 Representação:
Binômio de Newton
 Propriedades:
 Relação de Stiffel:
 Complementares:
 Maneira de representar binômios
Triângulo de Pascal
Triângulo de Pascal
Curiosidades (padrões)
Sequência de Fibonacci
(1,1,2,3,5,8,13,21...)
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
+
3
=
6 4
1
1
 Cálculo de monômios de ordem n
Aplicação
Os binômios podem ser calculados ou obtidos através do 
triângulo de Pascal:
 Calcular os termos para o monômio (x+y)5
Exemplo 
Ou seja:
Calcule o valor da expressão abaixo:
a) 36.
b) 12.
c) 24.
d) 10.
e) 16.
Interatividade
Calcule o valor da expressão abaixo:
a) 36.
b) 12.
c) 24.
d) 10.
e) 16.
Resposta
 Definição: a probabilidade de ocorrência de um evento é a razão entre o número de 
elementos do conjunto dos eventos e o número de elementos do espaço amostral;
Probabilidade
Os valores máximos e mínimos de P(E) são limitados entre 0 e 1, assumindo qualquer valor 
neste intervalo:
Probabilidade (propriedades)
Note que o valor de P(E) também pode ser entendido como 
uma porcentagem:
P(E)=0 (0%) – fracasso absoluto;
P(E)=1 (100%) – sucesso absoluto;
P(E)=0,4 (40%)
Considere uma moeda simples e honesta:
 Cara ou Coroa – 2 possibilidades no total (espaço amostral), ou seja, n(S)=2;
Qual a probabilidade de obtermos um lançamento do tipo cara?
 Possibilidade de sair cara: 1, ou seja, n(E)= 1 (1 evento possível)
Probabilidade – exemplo
Considere um dado de seis faces honesto. Qual a probabilidade de se lançar o dado e 
obter o número 3?
 Espaço amostral S – n(S)=6 possibilidades (1,2,3,4,5 e 6)
 Eventos E – n(E)=1 (queremos tirar o número 3)
Probabilidades – exemplos
RESP. A probabilidade de tirar o número 3 em um 
lançamento de dado honesto é de 1/6 (~16,7%).
Dois dados, X e Y, são lançados simultaneamente, e anotam-se os resultados obtidos em cada 
dado. Qual a probabilidade de a soma dos números obtidos como resultado ser igual a 7?
Probabilidades – exemplos
 Espaço amostral S – n(S)=36 resultados possíveis
 Eventos E – n(E)= 6 resultados em que a soma é 7
Resultados do dado Y
1 2 3 4 5 6
R
es
u
lt
a
d
o
s 
d
o
 d
a
d
o
 X 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
 Qual a probabilidade de se obter a face 3 ou 5 em um lançamento de dados?
Teorema da adição de probabilidades (OU)
 Em eventos mutuamente exclusivos a ocorrência de um 
evento elimina a possibilidade de ocorrência do outro.
RESP. A probabilidade é de 1/3 (33,3%)
 Dois eventos são independentes quando a probabilidade de um ocorrer não é condicionada 
à ocorrência de outro;
Ex. Qual a probabilidade de se lançar um dado duas vezes e obter 4 e 5 nos lançamentos, 
respectivamente?
Eventos independentes (E)
RESP. a probabilidade é de 1/36 (2,8%)
EXTRA: o resultado muda se lançarmos 2 dados simultaneamente?
Um casal pretende ter 3 filhos. Qual a probabilidade de as crianças terem sexos masculino, 
masculino e feminino, nesta ordem?
a) 1/8.
b) 1/4.
c) 1/2.
d) 1/16.
e) 1/12.
Interatividade
Um casal pretende ter 3 filhos. Qual a probabilidade de as crianças terem sexos masculino, 
masculino e feminino, nesta ordem?
a) 1/8.
b) 1/4.
c) 1/2.
d) 1/16.
e) 1/12.
Resposta
No lançamento de duas moedas, qual é a probabilidade de obtermos como resultado pelo 
menos uma cara?
Probabilidade – exemplo
RESP. A probabilidade de obtermos como 
resultado pelo menos uma cara é de 3/4 (75%).
(Cesgranrio) Em uma amostra de 500 peças, existem exatamente 4 defeituosas. Retirando-se, 
ao acaso, 1 peça dessa amostra, a probabilidade de ser perfeita é de:
Probabilidade – exemplo
RESP. 99,2% de probabilidade 
EXTRA: Qual a probabilidade de se 
retirar uma peça ao acaso, e ela ser 
defeituosa?
RESP. 0,8%
(Cesgranrio) Lançando-se simultaneamente um dado e uma moeda, qual a probabilidade de se 
obter a face CARA na moeda ou a face 6 no dado?
Probabilidade – exemplo
RESP. A probabilidade é de 7/12 (58,3%).
Em uma caixa estão todos os anagramas da palavra TUPI. Qual a probabilidade de retirarmos 
dela, ao acaso, justamente a palavra “tupi”?
Probabilidade e análise combinatória
O espaço amostral é o número de anagramas 
das letras T, U, P, I – 4 letras sem repetições;
O número de eventos também é único n(E)=1
RESP. A probabilidade é de 1/24 (4,2%)
Qual a probabilidade de acertarmos os 6 números ganhadores da Mega Sena que realizaram 
um único jogo?
Probabilidade – exemplo
RESP. A chance é de 1 em 50.063.860 (1/50063860)
Em uma caixa estão todos os anagramas da palavra PISTA. Qual a probabilidade de retirarmos 
dela, ao acaso, justamente a palavra “pista”?
a) 1/24.
b) 1/120.
c) 1.
d) 1/52.
e) 1/13.
Interatividade
Em uma caixa estão todos os anagramas da palavra PISTA. Qual a probabilidade de retirarmos 
dela, ao acaso, justamente a palavra “pista”?
a) 1/24.
b) 1/120.
c) 1.
d) 1/52.
e) 1/13.
Resposta
ATÉ A PRÓXIMA!