Unidade 2 - REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA DE SISTEMAS

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Introdução
MODELAGEM DE SISTEMASMODELAGEM DE SISTEMAS
REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICAREPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA
DE SISTEMASDE SISTEMAS
Au to r ( a ) : M e . G u i l h e r m e A f o n s o B e n to M e l l o
R ev i s o r : Fa b i o J o s e R i c a rd o
Tempo de leitura do conteúdo estimado em 1 hora e 37 minutos.
Olá, estudante! Como vai?
Iniciaremos nossos estudos entendendo, primeiramente, que: a modelagem consiste em
um processo para moldar ou representar um sistema real . E há diversas formas
possíveis para representar um sistema, entre elas, a modelagem matemática ou a
representação matemática do sistema.
A representação matemática , caro(a) estudante, é uma maneira de representar um
sistema, apresentada na forma de uma função de transferência, de tal modo que
relacione as entradas e saídas do sistema, sendo a saída sobre a entrada. A partir da
representação matemática de um sistema , é possível realizar diversas operações, como
a simulação, através de sistemas computacionais, quanti�car e quali�car as teorias e
hipóteses levantadas do processo .
Com toda essa modernização e atualização dos processos , também se espera o mesmo
no campo da modelagem e simulação . Os hardware evoluem, possuem uma maior
capacidade de processamento; os software acompanham o progresso e podem auxiliar
o(a) engenheiro(a) na análise de todo o processo de modelagem e na criação das
ferramentas associadas.
Bons estudos!
Ferramentas
numéricas para
Prezado(a) estudante, é com prazer que apresentamos a você este material, que nos
mostrará como modelagem e simulação permitem desenvolver, testar e aprimorar
sistemas reais. Isso se dá por meio de uma ferramenta de modelagem matemática
computadorizada, como desenho assistido por computador – CAD – (do inglês computer
aided design ) e manufatura assistida por computador – CAM – (do inglês computer aided
manufacturing ) (CHUNG, 2004).
Para a Engenharia, a simulação pode ser realizada no local, o que pode ser oneroso para a
empresa visto que há, eventualmente, a necessidade de parada para realizar testes, trocas
de valores de setpoints (valores de referência); e a simulação pode ocorrer por meio da
modelagem matemática.
A partir do modelo matemático de um sistema, com características e atributos
semelhantes (ou o mais próximo possível da realidade), pode-se analisar, estimar e
descrever o comportamento do sistema mediante alterações (LEAL, 2021). Além disso, é
possível verificar os ganhos do sistema, o desempenho e a performance.
simulação de sistemas
dinâmicos
#PraCegoVer : o infográfico apresenta dois tópicos em um círculo. O primeiro tópico, que está
na cor vermelha, apresenta o seguinte texto: “A modelagem no domínio do tempo, segundo
Egito (2018), permite a análise de um conjunto de sistemas, desde sistemas muito simples até
sistemas robustos. Aqui, pode-se trabalhar com sistemas de múltiplas entradas e de múltiplas
saídas (MIMO, do inglês Multiple Input Multiple Output). Outro fator importante é que permite a
análise e o desenvolvimento em sistemas não lineares”. Do lado direito, o tópico dois, na cor
azul, apresenta o seguinte texto: “A modelagem no domínio da frequência permite a
simplificação das equações, além de promover a identificação do sistema quanto à
estabilidade e à controlabilidade, no entanto, há restrição quanto ao tipo de sistema, aplicável,
restritivamente, a sistemas lineares e invariantes no tempo (EGITO, 2018)”.
Para Leal (2021), a representação matemática é um mecanismo que permite reescrever o
processo teórico para análise, simulação e modelagem. Outro fator importante,
estudante, no que tange à modelagem matemática , é referente às revoluções industriais.
Pelo advento da Primeira Revolução Industrial, marcado pela mecanização da manufatura
, os trabalhos manuais foram substituídos, aos poucos, por maquinários e “engenhocas”;
sendo que os primeiros projetos, para mecanização, foram as transformações dos
elementos físicos em matemática (MODELOS, 2002).
Na Feira Tecnológica de Hannover, na Alemanha, em 2012, o termo “ Indústria 4.0 ” foi
apresentado pela primeira vez. Isso levou todos a considerar as transformações
industriais, com a chegada de software e sensores inteligentes, cada vez mais presentes,
inteligência artificial nos processos e, com isso, aprimoramento da automação: aumento
da capacidade de conectividade e Internet das Coisas (IoT, do inglês Internet of Things)
(FEIRA..., 2018).
Assim, os sistemas podem ser representados por duas formas: malha aberta (Figura 2.1)
e malha fechada (Figura 2.2). No sistema em malha aberta, a saída a ser controlada
depende apenas dos dados da planta e dos dados de entrada do sistema. No sistema em
malha fechada, a saída a ser controlada depende da ação da própria saída para ser
controlada, além do elemento de entrada, também chamado de sistema em
realimentação ou sistema com feedback (OGATA, 2010).
Observação: a entrada pode ser uma alteração no sistema ou perturbações, como ruídos
e variações temporais do sistema, que podem ser intermitentes ou por tempo
indeterminado (caso este requeira o controle para manter a estabilidade do sistema).
Figura 2.1 - Representação em blocos de um sistema em malha aberta 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : na figura, foram apresentados três blocos no sistema, sendo um diagrama
sequencial realimentado: no início, é informado um elemento denominado entrada;
posteriormente, há o bloco denominado planta, que se refere ao ambiente que será modelado;
por fim, há o indicativo de saída.
Figura 2.2 - Representação em blocos de um sistema em malha fechada 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : na figura, foram apresentados três blocos no sistema, sendo um diagrama
sequencial realimentado: no início, é informado um elemento denominado entrada; a seguir, há
o bloco somador com dois ícones que apresentam adição e subtração; posteriormente, há o
bloco denominado planta, que se refere ao ambiente que será modelado; por fim, há o
indicativo de saída. Entre o bloco de planta e a saída, há uma conexão que liga até o bloco
somador no sinal de subtração.
Esses sistemas, estudante, das Figuras 2.1 e 2.2, podem ser representados
matematicamente pelas equações 2 e 3, respectivamente:
Na modelagem matemática, utilizam-se as equações diferenciais ordinárias (EDO) , pois
elementos, por sua natureza, sofrem modificação de algumas propriedades conforme
alteração temporal, podendo, por exemplo, reescrever a equação 2 em função do tempo.
Suponha, caro(a) estudante, um sistema dinâmico, cuja modelagem matemática
resultante de um circuito de filtro eletrônico, para a corrente, seja 
esse filtro sofra uma perturbação temporária senoidal de 30 rad/s entre os instantes de
1,2 e 2,5 segundos:
Equação 1 :  Saída  =  Entrada .  Planta
Equação 2 :  Saída  =  (Saída  −  Entrada) .  Planta
Equação 3 :  Saída(t)  =  [Saída(t)  −  Entrada(t)] .  Planta(t)
i(t) = 0, 5. t. ee2.t e2.t
Figura 2.3 - Resposta de um software de simulação. a) resposta do sistema em relação à
corrente elétrica sem que haja alguma perturbação; b) resposta do sistema em relação a
uma entrada senoidal entre os instantes de 1,2 e 2,5 segundos; c) resposta do sistema em
relação à entrada de ruído no mesmo instante 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : a figura apresenta três gráficos elaborados através do software Matlab, sendo
eles retangulares, em que há o eixo horizontal dependente do tempo em segundos t (s) e, no
eixo vertical, a corrente no domínio do tempo i (t). Há, ainda, uma demarcação em magenta
com traço ponto que inicia em x = 1,2 segundos e termina em 2,5 segundos para todos os
gráficos. O primeiro gráfico, identificado com a letra a), com sinal em azul, representa o sinal
original do sistema, uma função exponencial decrescente que parte do y = 1 até y = 0. O
segundo gráfico, identificado com a letra b), com sinal em verde, apresenta a resposta do
sistema em relação à entrada senoidal com frequência angular de 30 radianos porsegundo, no
intervalo identificado em magenta: nessa condição, apresenta um sinal de uma senoide que
inicia em 1,2 segundos e estabiliza em 2,5 segundos. O terceiro gráfico, identificado com a letra
c), em vermelho, representa uma entrada de ruído, com curvas e picos aleatórios, que inicia
bastante acentuado e, conforme o sinal tende a zero, o ruído tende a zero também.
Como se verifica na Figura 2.3, nos itens b) e c), o sistema pode responder a diferentes
formas dependendo da perturbação a qual a planta pode ser submetida. E é nesse
quesito que, para muitos processos, são desenvolvidas técnicas e implementado controle,
a fim de eliminar ou reduzir as imperfeições do sinal elétrico, pois essas “imperfeições”
ou “sinais sujos” podem prejudicar o funcionamento do equipamento.
Caro(a) estudante, antes de começarmos na modelagem de sistemas lineares e não
lineares, devemos conhecer e saber de que tratam esses tipos de sistemas. Vamos lá?
Geralmente, quando analisamos processos dinâmicos, sejam eles de quaisquer
naturezas, podem ser descritos por meio de equações diferenciais ordinárias (EDO).
S A I B A M A I S
Muitos dos danos causados em equipamentos, sensores e máquinas estão associados a uma
variação instantânea da entrada ou mesmo a um conjunto de perturbações. Comum em regiões
mais afastadas ou em sistemas que possuem baixo número de transformadores, a subtensão
pode ser um tipo de perturbação na entrada que pode danificar equipamentos. Outras
interferências, nesse sentido, são as composições da senoide básica da linha de energia –
harmônicas – que causam enormes ruídos, especialmente as terceira e quinta harmônicas.
Veja em: https://blog.acoplastbrasil.com.br/ruidos-e-vibracoes-em-equipamentos-industriais
Modelos não lineares,
linearizados e
variáveis desvios
https://blog.acoplastbrasil.com.br/ruidos-e-vibracoes-em-equipamentos-industriais
Sendo assim, estudante, conheceremos, a seguir, os métodos utilizados para linearizar
sistemas:
Métodos de linearizar sistemas : há uma infinidade de formas diferentes de
se linearizar um sistema, tornando-o compreensível e, principalmente, uma
aplicação real para o(a) engenheiro(a). A prática de linearizar o sistema
pode levar a tornar sistemas de ordem “n” em ordem 1 ou 2, mais factíveis.
Com isso, há a probabilidade de provocar variáveis desvios menores e pode
identificar pontos como estabilidade e controlabilidade do sistema.
Séries de Taylor : qualquer sistema pode ser descrito em forma de uma
série de Taylor. A linearização de Taylor transforma a equação em um
polinômio de ordem 1, definida pela equação característica: 
Apesar da equação característica complicada aparentemente, pode-se dizer
que a relação entre os termos é relacionada à derivada das equações. Se
uma parcela é f(x), o outro termo estará relacionado à derivada de f(x), o
próximo termo à segunda derivada de f(x). 
T (x) = [ ]∑
i=0
∞ ( ).f i x0 (x− )x0
i
i!
Transformada de Laplace : esta técnica é uma alternativa à resolução de
problemas algébricos muito complexos e com diversos componentes
variados entre integrais e derivadas. Diferentemente da série de Taylor, a
Transformada de Laplace promove uma mudança de domínio e de base. A
mudança de domínio se dá na transformação do elemento tempo para o
elemento frequência, e a base comuta dos reais para os complexos, em que
s = σ+j.ω. Sua equação característica é definida por: 
Equação 4 :  L{f(t)} = f(t). dt∫
0
∞
e−st
Espaço de estados : as modelagens por meio do espaço de estados
representam uma outra forma de resolver sistemas algébricos muito
complexos, utilizando-se de matrizes, em que a dimensionalidade do
sistema é oriunda da ordem do sistema. Se um sistema possui ordem 5,
então utilizar-se-ão 5 variáveis de estado. Sua equação característica é
definida por: 
= A.x + B.ux′
y = C.x + D.u
Representação das matrizes no sistema : sendo que os elementos A, B, C e
D representam as matrizes do sistema, estas podem ser obtidas através da
relação de análise do sistema em forma matemática. As modelagens no
espaço de estado permitem transitar entre o domínio do tempo e da
frequência, de tal forma que sua transformação no domínio da frequência,
É claro, estudante, que se deve verificar o tipo de processo que se está analisando: para
sistemas elétricos ou eletrônicos , serão aplicadas as leis de Ohm, Kirchhoff, Maxwell,
Norton etc.; para sistemas mecânicos, as leis de Newton, Hooke, Bernoulli; entre outros
tipos de processos. Entretanto, ao desenvolver modelos, é importante fazê-los o mais
fiéis possível ao qual serão representados.
Reconhecer equações diferenciais ordinárias
lineares e não lineares
Os sistemas podem ser denominados lineares quando a resposta produzida pela
aplicação de entradas diferentes seja igual à soma das respostas de cada uma das
excitações e, portanto, pode-se analisar, separadamente, a atuação de cada entrada e,
posteriormente, somá-las.
Diferentemente, caro(a) estudante, no caso das não lineares , que são mais comuns, não
é possível analisar, separadamente, cada uma das excitações aplicadas na entrada da
planta que se está avaliando. Então, deve-se analisar a relação de todas as ações
simultaneamente na planta.
Um sistema de balança veicular é um exemplo de sistema dinâmico, como apresentado
na Figura 2.4. Ele é formado por um conjunto de células de carga, dispositivo sensor que
mede a massa e sistema composto por amortecedores, também denominado sistema
massa-mola. Na análise desse tipo de sistema, devem-se verificar os cálculos associados
aos sistemas mecânicos de movimentação. Veja, a seguir, a ilustração de um sistema de
balança veicular, que exemplifica um sistema dinâmico:
Equação 5 :  Respost =  Entrad  .PlantaaLinear ∑
i=1
n
ai
baseado nas matrizes, dá-se por: 
T (s) = C. (s.I − A .B + D)−1
Figura 2.4 - Balança para mensuração da massa de um caminhão 
Fonte: Thongchai Nak-im / 123RF.
#PraCegoVer : a figura apresenta a ilustração de um caminhão do tipo baú, com a cabine na
cor branca e o baú na cor verde-escuro. Ao fundo, há uma floresta composta por oito árvores. À
esquerda, há um posto de pesagem com uma janela de observação aberta do tipo basculante
para baixo. Também, há uma balança na cor azul que está abaixo do caminhão. Por fim, há
uma placa de identificação que apresenta a informação de Weigh Station, que significa estação
de pesagem em inglês.
Reconhecer linearização por série de Taylor
Antes de iniciar a linearização da série de Taylor, estudante, deve-se entender o que ela é.
A série de Taylor ou polinômio de Taylor corresponde a um mecanismo para apresentar o
valor de uma função por meio de um polinômio, baseado em uma soma de parâmetros e
de derivadas, próximo de um determinado ponto, como, por exemplo, x . Ela pode ser
escrita por:
Vale ressaltar, caro(a) estudante, que, quanto mais próximo do infinito o “n” da série
alcançar, mais preciso o resultado da série será.
Para Knesebeck (2012, p. 1), “qualquer função pode ser substituída por uma série”, como
por exemplo a substituição de uma EDO pela série, pois representa um formato mais
simples de se analisar, bem como a possibilidade de realizar uma integral, aproximando-
se da função original do processo.
0
Equação 6 :  T (x) = [ ]∑
i=0
∞ ( ).f i x0 (x − )x0
i
i!
Um fator importante das Séries de Taylor é ter conhecimento de valores próximos do valor
desejado, por exemplo: para identificar a resultante de , sabe-se que o valor de
. Então, esse parâmetro inicial x = 0 é muito importante.
Então, estudante, pode-se identificar x = 0, pois é conhecido o valor de e . Nesse caso, a
derivada de e é igual a e . E o valor das derivadas de e , enquanto x for igual ao x , é 1,
podendo reescrever, em função da Série de Taylor, por:
Substituindo x por 0,2 na equação 7, que é o valor que se deseja saber o valor de ,
então:
Obtendo T(0,2) ⩭ 1,221403, que, quando executado diretamente na calculadora ,
obtém-se o mesmo valor.
Então, as séries de Taylorpermitem uma aproximação do valor esperado. Além disso, a
parametrização dessa série possibilita transformar uma EDO de ordem n em função de
uma única variável de expoente 1, simplificando os cálculos , consequentemente, a
resposta, na linearização das EDO (TOGNETTI; FIORILLO, 2015).
Esse modelo de linearização, estudante, proporciona promover a análise da estabilidade e
da controlabilidade. Outra vantagem associada à linearidade de funções é a possibilidade
de realizar o Princípio da Superposição.
e0,2
= 1e0 0
0
0
x x x
0
Equação7 : T (x) =
f( ) + (x − 0 + (x − 0 + (x − 0 + (x − 0 +x0
1
1!
)1
1
2!
)2
1
3!
)3
1
4!
)4
(x − 0 +. . .
1
5!
)5
e0,2
Equação 8 :  T (0, 2)
= f( ) + (0, 2 − 0 + (0, 2 − 0 + (0, 2 − 0 + (0, 2 − 0x0
1
1!
)1
1
2!
)2
1
3!
)3
1
4!
)4
+ (0, 2 − 0
1
5!
)5
e0,2
S A I B A M A I S
Quando linearizadas , as equações podem descrever, corretamente, a dinâmica de
funcionamento de um sistema e, inclusive, as condições operacionais estacionárias, que
estão associadas à precisão da linearização. Assim, a relação de semelhança da equação
resultante pode ser comparada com a equação original (TOGNETTI; FIORILLO, 2015).
Entretanto, estudante, para funções simples e de poucos termos, pode ser fácil resolver
“na mão” um determinado problema. Já para projetos e problemas mais robustos, podem-
se inviabilizar os cálculos feitos de modo manual e sugerir-se a necessidade de utilizar
software para realizar a resolução, a simplificação e a simulação dos sistemas.
Aplicar linearização e obtenção das variáveis desvio
Como descrito anteriormente, as EDO ou quaisquer outras equações, quando linearizadas,
têm sua resultante em determinado ponto que se aproxima do valor esperado.
E o fato de realizar um resultado aproximado, caro(a) estudante, denota a possibilidade
de apresentar erros na medição ou na realização do procedimento. Esses erros, em
algumas literaturas, podem constar como desvio ou perturbação.
Quando o sistema apresenta ruídos ou instabilidade, seja por qualquer motivo, também
apresentará desvios do valor esperado, como apresentado na Figura 2.5.
Estudante, o Princípio da Superposição consiste em um procedimento que permite um sistema
com múltiplas entradas analisar o impacto de cada uma das entradas separadamente e, ao
final, realizar a soma dessas interações, em uma combinação linear das entradas.
Saiba mais em: https://professoreletrico.com/cursos/circuitos/superposicao-de-sinais
https://professoreletrico.com/cursos/circuitos/superposicao-de-sinais
Figura 2.5 - Diagrama de linearização por série de Taylor 
Fonte: Adaptada de Knesebeck (2012, p. 3).
#PraCegoVer : na imagem, foi apresentado um diagrama na forma de figura retangular na qual
há uma identificação na horizontal de 1 a 6, um a um, e, na vertical, números que variam de 0 a
250, de 50 em 50. Há, no fundo, um grid (uma malha com listras apenas na horizontal). Há seis
pontos identificados: T1 sendo x = 1 e y = 230; T2 sendo x = 2 e y = 48; T3 sendo x = 3 e y = 140;
T4 sendo x = 4 e y = 90; T5 sendo x = 5 e y = 110; T6 sendo x = 6 e y = 105. Uma linha na cor
azul conecta T1 a T2, T2 a T3, T3 a T4, T4 a T5 e T5 a T6. Há uma linha vermelha constante
entre os pontos 1 e 6 em y = 105 identificada como V (valor esperado).
Portanto, o desvio pode ser medido da seguinte maneira:
Quando o valor “atualizado” da série de Taylor se aproxima do valor desejado, o desvio
tende a zero.
esperado
Equação 9 :  Desvio = | −  |Tinstantâneo Vesperado
REFLITA
Caro(a) estudante, não há apenas variáveis desvio à toa!
Esses parâmetros em sistemas de controle são utilizados
em dispositivos para corrigi-los, como, por exemplo, nos
controladores do tipo proporcional, integrador e derivativo
Na Figura 2.6, estudante, pode-se observar que há um valor de referência ( setpoint ) e a
comparação com a variável de saída , originando um erro que o controlador é capaz de
analisar e possibilitar a estabilidade ou a redução desse erro.
Figura 2.6 - Diagrama de blocos de um sistema de controle baseado no erro 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : na figura, existe um diagrama de blocos em que, à esquerda, há uma
identificação escrita Setpoint, com uma seta conectada em uma circunferência de fundo
branco com a identificação do sinal de adição (+). Em seguida, há uma identificação escrita
erro, na cor vermelha, depois, uma seta conectada num bloco quadrado identificado com o
nome Controle. Uma seta sai do bloco Controle e é conectada a outro bloco quadrado
identificado como Planta. Da planta, saem duas linhas, uma que está conectada à saída do
sistema e outra que desce, abaixo dos blocos Controle e Planta, e está conectada no sinal de
subtração (-) do bloco circular, representando um sistema em realimentação.
Esse é um modo de analisar o erro, a fim de reduzi-lo, simplificá-lo ou eliminá-lo por
completo. Inclusive, o estudo sobre o erro é fundamental no Controle de Processos, e sua
modelagem permite ao engenheiro entender como falhas, defeitos e desvios ocorrem no
sistema.
Resolver as EDO’s por Transformada de Laplace
(PID). Reflita: quais outros processos, além dos
controladores, em que os erros podem ser aplicados?
Estudante, a técnica da Transformada de Laplace é uma alternativa à resolução de
problemas algébricos muito complexos . Alguns sistemas depois de elaborados podem
apresentar um conjunto de termos composto por diversas derivadas e, até mesmo,
integrais. Assim, uma equação formada por esses dois componentes, as derivadas e as
integrais, pode ser difícil de resolver, ainda que se faça a derivada de toda a equação ou,
mesmo, o processo inverso de realizar a integral de todos os componentes.
Dessa maneira, a Transformada de Laplace também representa um meio de resolver as
EDOs e linearizá-las . Sua equação característica é definida por:
Observe, estudante, que a Transformada de Laplace é um mecanismo de linearização que
opera no domínio da frequência e que a função altera sua representação literal de
minúscula para maiúscula:
As Transformadas de Laplace são mecanismos bastante utilizados na engenharia,
principalmente em análise e desenvolvimento de circuitos elétricos, filtros eletrônicos,
dispositivos de controle, controle de sensores e suas variáveis.
Ainda, ela possui um conjunto de propriedades que facilita a utilização, inclusive a análise
posterior dos problemas (PÉREZ, 2012):
linearidade;
deslocamento;
amortização;
derivação;
integração;
multiplicação por potência no domínio do tempo.
Além do mais, estudante, pode-se representar e fazer as conversões de um modo mais
prático e fácil utilizando-se da tabela de Transformada de Laplace (Tabela 2.1). De fato,
também serve de referência para a antitransformada de Laplace, que é o processo
inverso. Em Pérez (2012), a Transformada de Laplace define a relação da saída com a
entrada do sistema, a partir da transformação de uma EDO, originando a função de
transferência do processo.
Equação10 : L{f(t)} = f(t). dt∫
0
∞
e−st
Equação11 : L{f(t)} = F(s),  sendo que s = σ + jω
Tabela 2.1 - Transformadas de Laplace mais comuns 
Fonte: Pérez (2012, p. 3).
#PraCegoVer : a Tabela 2.1 apresenta um conjunto de transformadas mais comuns do domínio
do tempo f(t) para o domínio da frequência em F(s). Na primeira linha e primeira coluna, há efe
de tê; na primeira linha e segunda coluna, há efe de s; na segunda linha e primeira coluna, há
delta de dirac de t; na segunda linha e segunda coluna, há 1; na terceira linha e primeira coluna,
há u de t; na terceira linha e segunda coluna, há 1 sobre s; na quarta linha e primeira coluna, há
t; na quarta linha e segunda coluna, há 1 sobre s ao quadrado; na quinta linha e primeira coluna,
há tê elevado a n; na quinta linha e segunda coluna, há n fatorial sobre s elevado a n mais 1; na
sexta linha e primeira coluna, há e elevado a -a vezes tê; na sexta linha e segunda coluna, há 1
sobre s mais a; na sétima linha e primeira coluna, há tê elevado a n vezes e elevadoa -a vezes
tê; na sétima linha e segunda coluna, há n fatorial sobre abre parêntese s mais a fecha
parêntese elevado a n mais 1; na primeira linha e terceira coluna, há efe de tê; na primeira linha
e quarta coluna, há efe de s; na segunda linha e terceira coluna, há seno abre parêntese b vezes
tê fecha parêntese; na segunda linha e quarta coluna, há b sobre s ao quadrado mais b ao
quadrado; na terceira linha e terceira coluna, há cosseno abre parêntese b vezes tê fecha
parêntese; na terceira linha e quarta coluna, há s sobre s ao quadrado mais b ao quadrado; na
quarta linha e terceira coluna, há e elevado a -a vezes tê, multiplicado por seno abre parêntese
b vezes tê fecha parêntese; na quarta linha e quarta coluna, há b sobre abre parêntese s mais a
fecha parêntese elevado ao quadrado mais b ao quadrado; na quinta linha e terceira coluna, há
f(t) F(s) f(t) F(s)
δ(t) 1 sen(b. t)
b
+s2 b2
u(t) 1
s
cos(b. t)
s
+s2 b2
t 1
s2
.sen(b. t)e−at
b
(s+a +)2 b2
tn n!
sn+1
.cos(b. t)e−at
s+a
(s+a +)2 b2
e−at 1s+a t.sen(b. t)
2.b.s
( +s2 b2)2
tne−at
n!
(s+a)n+1
t.cos(b. t)
−s2 b2
( +s2 b2)2
e elevado a -a vezes tê multiplicado por cosseno abre parêntese b vezes tê fecha parêntese; na
quinta linha e quarta coluna, há s mais a sobre abre parêntese s mais a fecha parêntese
elevado ao quadrado mais b ao quadrado; na sexta linha e terceira coluna, há tê multiplicado
por seno abre parêntese b vezes tê fecha parêntese; na sexta linha e quarta coluna, há 2 vezes
b vezes s sobre abre parêntese s ao quadrado mais b ao quadrado fecha parêntese elevado ao
quadrado; na sétima linha e terceira coluna, há tê multiplicado por cosseno abre parêntese b
vezes tê fecha parêntese; na sétima linha e quarta coluna, há s ao quadrado menos b ao
quadrado sobre abre parêntese s ao quadrado mais b ao quadrado fecha parêntese elevado ao
quadrado.
Estudante, por meio da tabela de transformações, podem-se realizar transformações mais
rapidamente, com isso, o ganho de tempo com a transformação pode simplificar as
ações de simulação e os testes do processo.
Representação
matemática de
sistemas no domínio
da frequência
Já chegamos aqui, estudante, e, agora, veremos as relações matemáticas da
transformação de sistemas no domínio da frequência de Laplace. Poderemos, também,
calcular os polos e os zeros de sistemas, fatores fundamentais para realizar a descrição
do sistema, caso ele seja controlável e, até mesmo, se estiver estável, critério de
estabilidade. Vamos lá?
Reconhecer os polos e os zeros dos sistemas
Os polos e os zeros são parcelas fundamentais na descrição de um sistema .
Grosso modo, diz-se que, quando os polos do sistema estão à esquerda do plano de
coordenadas (semiplano esquerdo), o processo está estável. Entretanto, há diversos
fatores que se devem considerar na hora de apontar se o sistema está estável ou não.
Na Figura 2.7, pode-se observar o mapa de coordenadas em um plano bidimensional, o
domínio da frequência s, sendo dividido em duas partes, o semiplano esquerdo e o
semiplano direito. São mecanismos que podem auxiliar na identificação dos sistemas.
Veja, estudante:
Figura 2.7 - Visualização no plano de coordenadas no domínio da frequência 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : na figura, há uma representação quadrada, na qual, tanto na horizontal quanto
na vertical, há números crescentes de -0,5 a +0,5, sendo de 0,1 em 0,1. O eixo horizontal é
identificado com o símbolo sigma, e o vertical é identificado com a escrita jota ômega. A figura
está dividida em duas partes iguais em relação ao eixo horizontal, sendo que a da esquerda
tem fundo verde e há semiplano esquerdo escrito nela, já a da direita tem fundo magenta com
semiplano direito escrito nela. Na parte inferior, acima do eixo horizontal, está escrito:
frequências no domínio s.
De fato, conhecer a forma como são visualizados polos e zeros permite, facilmente,
utilizar a informação para desenvolver processos de controle de estabilidade para o
sistema, como projetar um zero à direita, equidistante. Contudo, deve-se estar atento a
outras propriedades para determinar se um sistema está estável ou tende à estabilidade,
ou se ele tende à instabilidade, se é controlável ou não (OLIVEIRA; AGUIAR; VARGAS,
2016).
Mas, como identificar polos e zeros de uma função no domínio s?
Para identificar os zeros da equação, estudante, iguala-se o numerador a zero e, por fim,
calculam-se os valores para “s”. Então, faz-se o mesmo para o denominador, e, assim,
encontram-se os polos do sistema. Para a equação 12, o zero está em 0,5, e os polos
estão em j - 0,5 e - j - 0,5, portanto, utilizando-se os eixos de coordenadas, obtém-se a
Figura 2.8:
Figura 2.8 - Visualização de polos e zeros referentes à equação 12 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : na figura, há uma representação quadrada, na qual, tanto na horizontal quanto
na vertical, há números crescentes de -1,5 a +1,5, sendo de 0,5 em 0,5. O eixo horizontal é
identificado com o símbolo sigma, e o vertical é identificado com a escrita jota ômega. A figura
está dividida em duas partes iguais em relação ao eixo horizontal, sendo a da esquerda com
fundo verde e a da direita com fundo magenta. Na parte inferior, acima do eixo horizontal, está
escrito: frequências no domínio s. Nessa imagem, há 1 xis em sigma igual a -0,5 e jota ômega
igual a 1; há outro xis em sigma igual a -0,5 e jota ômega em -1. Por fim, há um zero na posição
sigma igual a 0,5 e jota ômega igual a 0.
Equação 12 : FT (s) =
s − 0, 5
+ s + 1, 25s2
Dessa forma, identificando os polos e os zeros do sistema e estando os polos no
semiplano esquerdo, pode-se dizer que o sistema está estável. A propósito: no gráfico, os
polos devem ser identificados em forma de “X”, e os zeros, como “O”.
Reconhecer função de transferência e
diagrama de blocos
Como dito anteriormente, caro(a) estudante, as Transformadas de Laplace, por sua
característica, resultam na expressão que apresenta a relação da saída sobre a entrada.
Essa representação, comumente, pode ser originada após o diagrama de blocos , como
pode ser obtida diretamente a partir do sistema e dos fatores que se conhece do sistema.
Então, seja um sistema que a planta atue em uma configuração de e necessite
conhecer a relação da saída com a entrada de um processo simples de atuação, pode-se
representar a situação por:
Figura 2.9 - Representação em blocos de um sistema 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : na figura, há um diagrama de blocos em que, à esquerda, há uma identificação
escrita Entrada, com uma seta conectada em uma circunferência de fundo branco, com a
identificação do sinal de adição (+). Em seguida, há uma identificação escrita 1 dividido por
s+1; desse bloco, saem duas linhas, uma que está conectada à saída do sistema e outra que
desce, abaixo do bloco 1 sobre s+1, e está conectada ao sinal de subtração (-) do bloco
circular, representando um sistema em realimentação.
A relação do sistema pode ser dada por:
1
s+1
Sendo,
Y(s) a saída do sistema;
R(s) a entrada do sistema.
Mas parece tudo muito fácil até aí!
Observe o circuito eletrônico disposto na Figura 2.10:
Figura 2.10 - Circuito de um �ltro composto por resistor, indutor e capacitor (RLC) para
seleção de frequências 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : na figura, há um circuito eletrônico composto por quatro elementos, sendo que
está dividido em duas malhas: na primeira malha, em série, estão uma fonte de tensão em
corrente contínua identificada com vi(t), com o sinal de positivo para cima e o sinal de negativo
para baixo; em série com a fonte de tensão, há um resistor identificado pela letra R com valor
de 1 ohm; nessa mesma malha, há um indutor L conectado em série com o resistor R, de valor
de 5 henries, e seu outro conector ligado ao negativo da fonte de alimentação. Na segunda
malha, há um capacitor C com um de seus bornes conectado tanto no segundo borne do
resistor quanto no primeiro borne do indutor. O segundo bornedo capacitor está conectado no
segundo borne do indutor. No capacitor, há uma identificação de tensão v(t), com sinal de
positivo para cima e sinal de negativo para baixo.
Estudante, quando se analisam circuitos do tipo RLC, comumente, buscam-se o valor da
corrente passante no indutor e a tensão de atuação no capacitor, para, então, determinar
Equação 13 : =
Y (s)
R(s)
1
s + 2
se o sistema é funcional para aplicação ou não.
Vamos a um exemplo, estudante?
Suponha que deve-se localizar o valor de v(t) para t > 0, na Figura 2.10, considerando que
, e . Utilizando a lei dos nós de
Kirchhoff, tem-se que:
Para tanto, deve-se considerar a Transformada de Laplace para os componentes e que
u(t) é a entrada degrau, tem-se:
Substituindo os valores fornecidos no exemplo da Figura 2.10, tem-se:
Relembrando : os resistores são componentes eletrônicos, que realizam oposição à passagem de corrente
elétrica. Os indutores são elementos que podem ser comparados com um fio enrolado ou bobina, que, por sua
vez, varia do fluxo magnético, por uma tensão induzida nas extremidades, devido à variação da corrente elétrica
passante. Já os capacitores são componentes que armazenam energia na forma de campo elétrico, devido à
variação da tensão elétrica nas extremidades do componente (LIMA, 2015; RODRIGUES, 2018).
(t) =  10.u(t)[V ]vi (0)  =   − 1 [A]iL (0)  = 5[V ]vc
Equação 14 :   + + = 0
v(t) − (t)vi
R
v(t) − (t)vL
xL
v(t) − (t)vc
xC
Equaç o 15 :   + + = 0a~
V (s) − 10. 1
s
R
V (s) − L. i (0)
L.s
V (s) −
(0)VC
s
1
C.s
Equação 16 : + + = 0
V (s) − 10. 1
s
1
V (s) − 5
5.s
V (s) − 5
s
10.s
Fazendo-se o mínimo múltiplo comum (mmc) do denominador e passando-o
multiplicando a equação 16, tem-se:
Isolando os termos que contenham V(s):
Deixando em função de V(s):
Aplicando o método das frações parciais , tem-se que:
, obtém-se:
Sabendo-se que:
Realizando a transformada inversa de Laplace:
Realmente, dificultou agora, caro(a) estudante!
De fato, há sistemas e sistemas. Na grande parte dos sistemas da área de Engenharia, os
processos são robustos . No caso da equação 22, que representa a tensão no capacitor
no instante em que t > 0, caso queira-se saber o valor da tensão no capacitor no instante
de 0,5 s, basta substituir “t” da equação por 0,5 s, então, obterá o valor de tensão ou
diferença de potencial no capacitor.
Outro método possível de análise de circuitos dá-se por meio da convolução , na qual
verifica-se a resposta do sistema a qualquer tipo de entrada (perturbação ou forçada).
Equação 17 : 10.V (s).s − 100 + 2.V (s) − 10 + V . − 5.s = 0s2
Equação 18 : V (s). [ + 10.s + 2] = 5.s + 110s2
Equação 19 : V (s)
5.s + 110
+ 10.s + 2s2
Equação 20 : V (s) = +A
(s+9.796)
B
(s+0,204)
A = −6, 362
B = 11, 362
L{ .u(t)} =e−a.t
1
(s + a)
Equação 21 :  v(t) = −6, 362. .u(t) + 11, 362. .u(t)e−9,796.t e−0,204.t
Equação 22 :  v(t) = [−6, 362. + 11, 362. ].u(t)e−9,796.t e−0,204.t
Baseada na propriedade de linearidade e superposição, a convolução representa a
resposta de cada entrada para cada etapa do sistema.
A primeira etapa da convolução é reescrever a equação ou a saída em função de um
conjunto de impulsos.
Figura 2.11 - Sistema apresentando a função inicial (azul) e transformado em um conjunto
de impulsos 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : na figura, foram apresentados dois gráficos com eixo horizontal identificado
com valores que iniciam em 1 e vão até 6, variando em 0,5, com identificação t (s). No eixo
vertical do primeiro gráfico, há identificação de 2, 4, 6 e 8, com identificação de ddp (V), sendo
que o gráfico está iniciando em 0.6897 e encerrando em 8,8379, e, no eixo da vertical do
segundo gráfico, há a identificação de números que iniciam em 0 e vão até 10, variando em 5,
com identificação em ddp (V). O primeiro gráfico mostra o sinal da equação proposta y(t)=2.
cos(2.t)-0,2. sen(3.t)+t+1,sendo este na cor azul; no segundo gráfico, há a representação do
mesmo sinal da equação do primeiro gráfico, entretanto, em vez de linha contínua, o sinal é
representado na forma de um conjunto de impulsos, que é um sinal que sai de 0 até o valor de
y(t) a cada momento de tempo.
Estudante, observe que se pode decompor qualquer tipo de sinal em um conjunto de
impulsos. Vale lembrar que, para realizar essa operação, deve-se levar em consideração a
amplitude de cada momento do sinal.
Observe, também, que essa decomposição do sinal está relacionada ao tempo discreto,
pode-se dizer que o sinal foi discretizado. E a relação da convolução se dá por:
Equação 23 :  f ∗ g = f(τ).g(t − τ)dτ∫
t
0
Tanto a equação 23 quanto a equação 24 representam o resultado da convolução da
função f(t) sobre g(t).
Dessa forma, a convolução também retrata uma forma de linearizar equações não
lineares.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos 
(Atividade não pontuada) 
As Transformadas de Laplace constituem uma ferramenta muito importante na física e
na matemática, principalmente, suas aplicações em sistemas elétricos e mecânicos. O(a)
engenheiro(a) atuante na área de controle de processos deve conhecer e entender
como funcionam essas transformadas, que, em grande parte, já possuem toda sua
estrutura mapeada. Portanto, existem diversas tabelas que são complementares uma
das outras na internet, algo que viabiliza o estudo do assunto e o tempo para resolução
de problemas.
Seja a seguinte equação característica de um sistema de abastecimento de óleo, dada
por:
Calcule a transformada inversa de Laplace para essa equação característica.
Agora, assinale a alternativa correta, a qual apresenta o cálculo da transformada inversa
de Laplace para a equação acima:
a) 
b) 
Equação 24 : f ∗ g = f(t − τ).g(τ)dτ∫
t
0
F(s) =
1
+ 3.s+ 2s2
f(t) = + +e−2t e−3t e−2
f(t) = +e−t e−2t
c) 
d) 
e) 
Como visto até o momento, caro(a) estudante, há muitas formas de representar um
sistema , principalmente utilizando-se de formas matemáticas, como Séries de Taylor,
Transformada de Laplace, análise de blocos e análise por desenhos.
A modelagem dada no sistema de espaço de estados permite a atuação tanto no domínio
do tempo quanto no domínio da frequência, abrange sistemas MIMO, cujas condições
iniciais podem ou não serem nulas e servem para representar quaisquer tipos de
sistemas.
Então, a modelagem de sistemas em espaço de estados é formada, basicamente, por
duas equações características , sendo a equação 25 a representação dos estados,
enquanto a equação 26 é a representação da saída do sistema.
f(t) = −3.t + e−3t
f(t) = −e−t e−2t
f(t) = −3.e−t
Representação
Matemática de
Sistemas no Domínio
do Tempo
Equaç o 25 : = A.x + B.ua~ x′
 
Assim sendo, seja um circuito RLC série de entrada e(t), no qual se almeja identificar a
tensão no capacitor. Se essa tensão é um objetivo do sistema, então, podemos dizer que
 e que , visto que “u” representa a entrada do sistema. Considere, para
esse circuito RLC, a equação diferencial ordinária (equação 27), obtida através da Lei de
Kirchhoff das malhas:
Observe que a equação 27 é uma EDO de segunda ordem, portanto, devem-se considerar
duas variáveis de estado ; que, no caso de um circuito RLC série, comumente, buscam-se
a corrente no indutor i e a tensão no capacitor :
Como o circuito é uma série, as correntes nos componentes eletrônicos são iguais,
portanto, pode-se reescrever a equação 29 por:
Equaç o 26 : y = C.x + D.ua~
Note, estudante, que A, B, C e D sãoNote, estudante, que A, B, C e D são
matrizes matrizes do sistema, da entrada, dado sistema, da entrada, da
saída e da transmissão,saída e da transmissão,
respectivamente. Outro fatorrespectivamente. Outro fator
importante: a ordem do sistemaimportante: a ordem do sistema
determina quantas variáveis de estadodetermina quantas variáveis de estado
o sistema portará. Por exemplo, seo sistema portará. Por exemplo, se
uma EDO que representa um processouma EDO que representa um processo
tem ordem 3, ou seja, possui umtem ordem 3, ou seja, possui um
sistema com aderivada terceira, então,sistema com a derivada terceira, então,
o o sistema a ser representado sistema a ser representado emem
espaço de estados contará com 3espaço de estados contará com 3
variáveis de estado.variáveis de estado.
y = (t)vc u = e(t)
Equação 27 :  L.C. + R.C. + (t) = e(t)
(t)d2vc
dt
d (t)vc
dt
vc
(t)L (t)vc
Equaç o 28 : = (t)a~ x1 vc
Equaç o 29 : = (t)a~ x2 iL
Se , logo , então 
Dessa forma, como as equações de estado também são em função das derivadas das
variáveis de estado , devem-se calcular as derivadas das equações 28 e 30.
No espaço de estados, o maior grau é 1, então, observe a equação 27 em que há um
termo identificado como segunda derivada de e, em , há uma relação com ,
então:
Para encontrar , devem-se substituir os demais itens localizados na equação
principal, EDO do sistema, na equação 27.
Pode-se reorganizar e isolar :
Organizando na forma de espaço de estados, tem-se:
Por fim, pode-se apresentar a função de transferência do sistema , que é dada por:
Observe, estudante, que, na equação 37, há um elemento “I”, e este é uma matriz
identidade , ou seja, uma matriz quadrada , de tamanho n x n, sendo que n é a ordem do
Equaç o 30 : = (t) = C.a~ x2 iC
d (t)vc
dt
= (t)x1 vc =x′1
d (t)vc
dt
= C.x2 x1  
′
Equaç o 31 : =a~ x′1
x2
C
(t)vc x′1 x2
Equaç o 32 : =a~ x′′1
x′2
C
x2  
′
Equaç o 33 : L.C. + R.C. + = ua~ x′′1 x1  
′ x1
Equaç o 34 : L.C. + R.C. + = ua~
x2  
′
C
x2
C
x1
x2  
′
Equaç o 35 : = u. − −a~ x′2
1
L
x1
1
L
x2
R
L
Equaç o 36 :  [ ] = [ ] . + [ ] .u (t)a~
1ẋ
2ẋ
0
−1
L
1
C
−R
L
x1
x2
0
1
L
Equaç o 37 :  y = [ ] . + [ ] .u (t)a~ 1 0
x1
x2
0
0
Equação 38 : T (s) = C. (s.I − A .B + D)−1
sistema. Se esse sistema possui ordem 2, então, será uma matriz quadrada 2 x 2, cuja
diagonal principal é preenchida com 1.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos 
(Atividade não pontuada) 
Uma das tarefas mais comuns relacionadas à modelagem, à simulação e ao controle é a
identi�cação da estabilidade do sistema. A estabilidade pode apresentar-se por vias
matemáticas, ou, observando o grá�co, pode-se dizer se o sistema é estável ou não,
baseando-se, principalmente, no local em que as raízes dos polos estão localizadas.
Podemos dizer que, quando estão do lado esquerdo (semiplano esquerdo), o sistema
está estável, caso contrário, o sistema está instável, como apresentado na �gura a
seguir:
Equaç o 39 :  T (s) = [ ] . .[ ]a~ 1 0 [ ]
s − 0
1
L
1
C
s + R
L
−1
0
1
L
Seja o controlador dado por e a planta do sistema . Calcule os polos e os
zeros desse sistema para uma resposta à entrada de grau e assinale a alternativa
correta.
a) Polo: s = 4. 
Zero: s = -2.
b) Polo: s = -2. 
Zero: s = 2 e s = 0.
c) Polos: s = 0 e s = 2. 
Zero: s = -2.
d) Polos: s = 0, s = -2 e s = 4.
e) Polos: s = 4 e s = 0. 
Zero: s = -2.
praticar
Figura - Diagrama de blocos de um sistema de controle baseado no erro 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : na figura, há um diagrama de blocos em que, à esquerda, há uma
identificação escrita Setpoint, com uma seta conectada em uma circunferência de
fundo branco, com a identificação do sinal de adição (+). Em seguida, há uma seta
conectada num bloco quadrado identificado com o nome Controlador. Do bloco
Controlador, sai uma seta que é conectada a outro bloco quadrado identificado como
Planta. Da Planta, saem duas linhas, uma que está conectada à saída do sistema e
outra que desce, abaixo dos blocos Controlador e Planta, e está conectada no sinal
de subtração (-) do bloco circular, representando um sistema em realimentação.
s+ 2 1
s−4
praticar
Vamos Praticar
Na Engenharia, a representação de um sistema em espaço de estados permite retratar
um processo físico matematicamente, abrangendo um conjunto grande de variáveis.
Comumente, essas variáveis associam-se às variáveis “reais” do processo, ou seja,
aquelas que precisam ser determinadas, como, por exemplo, tensão, corrente, potência
etc. Sabe-se que a equação característica de transformação do espaço de estados é
dada por:
Seja o circuito:
Figura - Circuito RLC série 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : na figura, há um circuito eletrônico composto por quatro elementos
em série, o primeiro deles é uma fonte de tensão em corrente alternada identificada
com u(t), com o sinal til dentro do bloco. Em série com a fonte de tensão, há um
resistor identificado pela letra R, com valor de 2 ohms; nessa mesma malha, há um
indutor L conectado em série com o resistor R, de valor de 8 henries e seu outro
conector está ligado a um capacitor C, de valor 0,2 Farads, por fim, seu segundo
borne está conectado no segundo borne da fonte de tensão.
Portanto, estudante, calcule o f(t) desse circuito.
F(s) = C. (s. I −A .B+D)−1
F E E D B A C K
praticar
Vamos Praticar
As Séries de Taylor correspondem a uma forma para apresentar o valor de uma função
por meio de um polinômio, baseado em uma soma de parâmetros e de derivadas,
próximo de um determinado ponto, como, por exemplo, . Ele pode ser escrito por:
Outra razão para utilizar as Séries de Taylor é que se reduz a ordem do sistema a zero,
facilitando a resolução de sistemas. Vale lembrar que, para sistemas mais robustos,
recomenda-se a utilização de software sempre para simular e acelerar os resultados,
além disso, reduz-se o erro da transformação.
Calcule, agora, através da série de Taylor, o resultado de ln(1.4), sabendo que o ln(1) = 0,
para n = 5.
x0
T (x) = ∑
i=0
∞
[ ]
( ) .f i x0 (x− )x0
i
i!
F E E D B A C K
Material
Complementar
L I V R O
Controle essencial
Editora : Pearson
Autores : Paulo Alvaro Maya e Fabrizio Leonardi
ISBN : 9788576057000
Comentário : esta obra dos autores Maya e Leonardi apresenta um
conteúdo direcionado ao controle de processos, com uma
linguagem simples de compreender. Apresenta conceitos fáceis de
entender sobre lugar das raízes do domínio s, sistemas lineares
invariantes no tempo, diagramas de Bode e de Nyquist. É um
excelente guia de controle e modelagem de processos e está
disponível na plataforma virtual.
Disponível na Biblioteca Virtual da Ânima.
W E B
Sistemas de controle (aula 1): introdução,
plano s, função de transferência, polos e zeros
Ano : 2016
Comentário : neste vídeo, o autor Luis Cesar Emanuelli apresenta
uma introdução ao sistema de controle, que detém os princípios
básicos da modelagem de sistemas no domínio da frequência. Ele
aborda a Transformada de Laplace, as funções de transferência, os
polos e os zeros, o espaço de estados etc. De fato, é um bom vídeo
para complementar os estudos.
ACESSAR
https://www.youtube.com/watch?v=neYCp5JoYV0
Conclusão
Caro(a) estudante! Finalizamos nossos estudos até aqui!
De fato, o conteúdo foi bastante complexo, com diversas equações e contextualizações a fim
de promover, entre outras ações, a linearização de sistemas e equações diferenciais ordinárias
(EDO) .
Há diversas ferramentas que permitem a linearização de sistemas e processos dinâmicos,
podendo-se trabalhar tanto no domínio do tempo quanto da frequência e com métodos para
realizá-los. Assim, a identificação do “retrato” do sistema é fundamental para poder descrevê-
los o mais fiel possível. Dessa maneira, o(a) engenheiro(a) pode mitigar, simplificar e reduzir os
variáveis desvio e, eventualmente, em uma malha de controle, utilizar esse erro para corrigir o
sistema.
As Transformadas de Laplace, o espaço de estados e até a convolução foram apresentados
como solução tanto para a análise no domínio do tempo contínuo, como estamos
acostumados, quanto no tempo discreto (no caso a resolução por convolução) como também
para a resolução no domínio da frequência.
Vale salientar, prezado(a) estudante, que há diversos meios e mecanismos para linearizar EDO.
Assim, podem-se utilizar as ferramentas apresentadas ou também trabalhar com sua
criatividade, explorando outras relações do sistema.
Até breve!
Referências
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2019. Disponívelem:
https://professoreletrico.com/cursos/circuitos/superposicao-
de-sinais . Acesso em: 21 maio 2021.
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Disponível em: https://www.hubi40.com.br/feira-de-hannover-e-referencia-mundial-nas-
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https://blog.acoplastbrasil.com.br/ruidos-e-vibracoes-em-equipamentos-industriais
https://www.youtube.com/watch?v=neYCp5JoYV0
http://www2.ene.unb.br/estognetti/files/20151/5_Aula4-Representacoes_modelos.pdf