Exemplo_Relat_Estat_Sem_2_2020

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ESTATÍSTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESCRIÇÃO DOS ESTUDANTES DA DISCIPLINA PROBABILIDADE E 
ESTATÍSTICA (MA70H), TURMA S11, CONFORME A QUANTIDADE DE 
DISCIPLINAS MATRICULADAS NO SEMESTRE LETIVO 2/2020 
 
Exemplo de Relatório Estatístico - Estatística Descritiva 
 
 
Silvana Heidemann Rocha 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curitiba, 
Fevereiro/2020 
SILVANA HEIDEMANN ROCHA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESCRIÇÃO DOS ESTUDANTES DA DISCIPLINA PROBABILIDADE E 
ESTATÍSTICA (MA70H), TURMA S11, CONFORME A QUANTIDADE DE 
DISCIPLINAS MATRICULADAS NO SEMESTRE LETIVO 2/2020 
 
 
 
Relatório apresentado na disciplina Probabilidade e 
Estatística (MA70H), do curso de Engenharia 
Eletrônica da Universidade Tecnológica Federal do 
Paraná, campus Curitiba, como requisito de 
proporcionar exemplo de relatório de estatística 
descritiva aos estudantes. 
Orientação: Profª Drª Silvana Heidemann Rocha 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curitiba, 
Fevereiro/2020 
2 
 
1 APRESENTAÇÃO 
 
 
 Este relatório apresenta a descrição dos estudantes da turma S11 da disciplina 
Probabilidade e Estatística (MA70H), semestre letivo 2/2020, da Universidade 
Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR), campus Curitiba, segundo a variável 
"quantidade de disciplinas matriculadas". 
 A população-alvo é formada por todos os 20 estudantes matriculados em tal 
disciplina MA70H-S11 e a unidade elementar é cada estudante da população-alvo. 
 O sistema de referência usado para acessar cada unidade elementar foi o 
diário de frequência às aulas da referida disciplina. Assim, a população referenciada 
coincide com a população-alvo, sendo ambas formadas pelos 20 estudantes 
matriculados em MA70H-S11. 
 A técnica de levantamento de dados usada foi o recenseamento, uma vez 
que o objetivo era levantar os dados em toda a população-alvo. Após a coleta de 
dados, foi possível identificar a população amostrada, sendo ela formada por 16 
estudantes da disciplina MA70H-S11, uma vez que dois estudantes chegaram 
atrasados e dois estudantes faltaram à aula realizada em 23 de fevereiro de 2020, 
primeiro dia de aula da referida disciplina. Nesse dia, foi realizada a coleta de dados 
mediante fazer a cada estudante a seguinte pergunta: "Em quantas disciplinas você 
se matriculou no semestre letivo 2/2020?". O censo apurado foi 3, 8, 3, 13, 8, 12, 6, 
7, 3, 10, 6, 9, 8, 7, 8, 8. 
 A Tabela 1 e os Gráficos 1 e 2, abaixo, apresentam os dados coletados. A 
Tabela 1 é denominada tabela primitiva. O gráfico 1, denominado diagrama ramo e 
folhas, serve para apresentar os dados brutos, sendo que os números à esquerda 
da barra vertical são os ramos e os números à direita da barra vertical são as folhas. 
Como a unidade da folha é 1,0, isso significa que os dados brutos apresentados em 2 
(a) são 03,0; 08,0; 03,0;...; 13,0; 12,0; 10,0. No gráfico 1 (a) os dados não estão 
ordenados e no gráfico 1 (b) os dados estão ordenados. O gráfico 2, denominado 
diagrama de dispersão ou scatter plot , apresenta a nuvem de pontos da quantidade 
de disciplinas matriculadas, por estudante. 
 Como toda tabela e gráfico devem ser autoexplicativos, o título busca 
responder as perguntas "O que a tabela ou o gráfico apresenta?", "Onde e quando o 
levantamento de dados foi feito?". As informações complementares estão no rodapé 
3 
 
das tabelas e dos gráficos na seguinte ordem, fonte, nota e chamada, sendo que as 
notas esclarecem aspectos gerais e as chamadas esclarecem aspectos específicos 
ou individuais. 
 
 
Tabela 1 – Estudantes da disciplina Probabilidade e Estatística (MA70H), turma S11, 
semestre letivo 2/2020, da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campus 
Curitiba, segundo a quantidade de disciplinas matriculadas – Curitiba, fevereiro/2021 
 
Estudante Nº de disciplinas matriculadas 
1 3 
2 8 
3 3 
4 13 
5 8 
6 12 
7 6 
8 7 
9 3 
10 10 
11 6 
12 9 
13 8 
14 7 
15 8 
16 8 
17 (1) Não informado, pois não participou da coleta de dados 
18 (1) Não informado, pois não participou da coleta de dados 
19 (2) ão informado, pois não participou da coleta de dados 
20 (2) Não informado, pois não participou da coleta de dados 
Fonte: A autora. 
Nota: No semestre letivo 2/2020, a turma MA70H-S11 tinha 20 estudantes matriculados, mas apenas 
16 estiveram presentes no momento da coleta de dados. 
(1) Chegou atrasado à aula de MA70H-S11, em 23/02/2021, quando foi realizada a coleta de dados. 
(2) Faltou à aula de MA70H-S11, em 23/02/2021. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
(a) (b) 
 
Gráfico 1 – Estudantes da disciplina Probabilidade e Estatística (MA70H), turma S11, 
semestre letivo 2/2020, da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campus 
Curitiba, segundo a quantidade de disciplinas matriculadas – Curitiba, fevereiro/2021 
 
Fonte: A autora. 
Nota: No semestre letivo 2/2020, a turma MA70H-S11 tinha 20 estudantes matriculados, mas apenas 
16 estiveram presentes no momento da coleta de dados. 
 
 
 
 
 
Gráfico 2 – Estudantes da disciplina Probabilidade e Estatística (MA70H), turma S11, 
semestre letivo 2/2020, da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campus 
Curitiba, segundo a quantidade de disciplinas matriculadas – Curitiba, fevereiro/2021 
 
Fonte: A autora. 
Nota: No semestre letivo 2/2020, a turma MA70H-S11 tinha 20 estudantes matriculados, mas apenas 
16 estiveram presentes no momento da coleta de dados. 
 
Diagrama Ramo e Folhas 
 
Unidade da folha 1,0 
 
0 | 3 3 3 
0 | 6 6 7 7 8 8 8 8 8 9 
1 | 0 2 3 
 
0
2
4
6
8
10
12
14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17N
º 
d
e 
d
e 
d
is
ci
p
lin
as
 m
at
ri
cu
la
d
as
 
Estudante
Diagrama de dispersão
Diagrama Ramo e Folhas 
 
Unidade da folha 1,0 
 
0 | 3 8 3 8 6 7 3 6 9 8 7 8 8 
1 | 3 2 0 
5 
 
2 DESENVOLVIMENTO 
 
 
 A partir da Tabela 1, apurou-se as frequências e o resultado está na Tabela 2, 
a seguir, a qual representa uma tabela de distribuição de frequência sem 
intervalos de classe, pois os dados não estão agrupados em classe. Na sequência, 
os Gráficos 3 e 4 ilustram a Tabela 2. 
 
Tabela 2 – Estudantes da disciplina Probabilidade e Estatística (MA70H), turma S11, 
semestre letivo 2/2020, da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campus 
Curitiba, segundo a quantidade de disciplinas matriculadas – Curitiba, fevereiro/2021 
 
Nº de disciplinas matriculadas Frequência 
3 3 
6 2 
7 2 
8 5 
9 1 
10 1 
12 1 
13 1 
Total 16 
Fonte: A autora. 
Nota: No semestre letivo 2/2020, a turma MA70H-S11 tinha 20 estudantes matriculados, mas apenas 
16 estiveram presentes no momento da coleta de dados. 
 
Gráfico 3 – Estudantes da disciplina Probabilidade e Estatística (MA70H), turma S11, 
semestre letivo 2/2020, da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campus 
Curitiba, segundo a quantidade de disciplinas matriculadas – Curitiba, fevereiro/2021 
 
Fonte: A autora. 
Nota: No semestre letivo 2/2020, a turma MA70H-S11 tinha 20 estudantes matriculados, mas apenas 
16 estiveram presentes no momento da coleta de dados. 
 
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Fr
eq
u
ên
ci
a
Nº de disciplinas matriculadas
Diagrama de frequência para dados não agrupados em classe
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 4 – Estudantes da disciplina Probabilidade e Estatística (MA70H), turma S11, 
semestre letivo 2/2020, da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campus 
Curitiba, segundo a quantidade de disciplinas matriculadas – Curitiba, fevereiro/2021 
 
Fonte: A autora. 
Nota: No semestre letivo 2/2020, a turma MA70H-S11 tinha 20 estudantes matriculados, mas apenas 
16 estiveram presentes no momento da coleta de dados. 
 
 
 O gráfico 4 é denominado histograma de haste. Esse tipo de histograma é 
indicado para variável quantitativa discreta.Histogramas são gráficos usados para 
representar variáveis quantitativas. 
 A variável "quantidade de disciplinas matriculadas" é classificada como 
quantitativa discreta. Por haver poucos dados (16 dados, apenas) e pela variável 
ser quantitativa discreta não tem sentido agrupar os dados em intervalos de classe 
ou construir histograma de frequência com colunas justapostas. Assim, apenas o 
histograma de haste ou o diagrama de frequência para dados não agrupados em 
classe são suficientes para representar o fenômeno em estudo, de forma clara, 
objetiva, concisa e precisa. 
 A variável "quantidade de disciplinas matriculadas" tem um zero absoluto (o 
zero matemático coincide com o zero físico), pois zero disciplina significa nenhuma 
disciplina matriculada, realmente. Ainda, a escala de medição da variável atende a 
definição de escala intervalar e a de escala de proporcionalidade, pois, por 
exemplo, a diferença entre quaisquer dois pontos consecutivos é a mesma e 4 
disciplinas é o dobro de 2 disciplinas, 12 disciplinas é o triplo de 4 disciplinas. Assim, 
 
7 
 
a escala de medição da referida variável é a escala de proporcionalidade, também 
denominada escala de razão. Portanto, é válido calcular medidas estatísticas como 
média, desvio-padrão, percentis, dentre outros. O tipo de média indicado, no caso, é 
a média aritmética. 
 A Tabela 3, a seguir, apresenta as medidas estatísticas que descrevem o 
conjunto de dados expostos na Tabela 2. 
 
 
Tabela 3 – Medidas estatísticas para descrever os estudantes da disciplina 
Probabilidade e Estatística (MA70H), turma S11, semestre letivo 2/2020, da 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campus Curitiba, segundo a quantidade 
de disciplinas matriculadas – Curitiba, fevereiro/2021 
 
Medida estatística Valor calculado Unidade de medida 
Quantidade de dados (N) 16 - 
Mínimo (Min) 3 disciplina 
Máximo (Max) 13 disciplina 
Amplitude (A) 10 disciplina 
Moda (Mo) 8 disciplina 
(1) Percentil 10 (P10) 3 disciplina 
(1) Primeiro Quartil (Q1) 6 disciplina 
Mediana (�̃�) 8 disciplina 
(1) Terceiro Quartil (Q3) 8 disciplina 
(1) Percentil 90 (P90) 10,8 disciplina 
Média (𝜇) 7,4 disciplina 
Variância populacional (𝜎2) 7,87 disciplina
2 
Desvio-padrão populacional (𝜎) 2,8 disciplina 
Coeficiente de variação (CV) 37,7 % 
(2) Coeficientes de assimetria (As) 0,058; -0,602; -0,201; -1,000 - 
(2) Coeficientes de curtose (K) -0,365; 0,128 - 
Fonte: A autora. 
(1) Há várias fórmulas para calcular os quantis. Os quantis mais usuais são os percentis, os decis e 
os quartis. Os quantis também são denominados medidas de posição. 
(2) Há várias fórmulas para calcular assimetria e curtose. 
 
 Pela tabela 3, constata-se que o menor número de disciplinas matriculadas foi 
3 e o maior foi 13, sendo que o valor mais frequente foi 8 disciplinas matriculadas. 
Esses valores são denominados mínimo, máximo e moda, respectivamente. 
Constata-se também que 10% da turma de estudantes de MA70H-S11 matricularam-
se em até 3 disciplinas, 25% da turma matricularam-se em até 6 disciplinas, 50% da 
8 
 
turma matricularam-se em até 8 disciplinas, 75% da turma em até 8 disciplinas e 90% 
da turma em até 10,8 disciplinas, ou seja, em até 11 disciplinas, por arredondamento. 
Esses valores são denominados 10º percentil ou percentil 10, primeiro quartil ou 
quartil 1, mediana, terceiro quartil ou quartil 3 e 90º percentil ou percentil 90, 
respectivamente. Constata-se, ainda, que em média os estudantes se matricularam 
em 7,4 disciplinas com um desvio-padrão de 2,8 disciplinas, apresentando um 
coeficiente de variação de 37,7%, um coeficiente de assimetria de 0,058 e um 
coeficiente de curtose de -0,36. A variância, o desvio-padrão e o coeficiente de 
variação buscam quantificar a variabilidade presente no conjunto de dados. Nesse 
caso, o coeficiente de variação está informando que essa variabilidade é de 37,7% se 
comparada com a média do conjunto de dados. Os coeficientes de assimetria e de 
curtose buscam avaliar o quão a curva de densidade da distribuição dos dados se 
desvia da curva normal-padrão, horizontal e verticalmente, respectivamente. 
 O Gráfico 5, abaixo, denominado box plot ou diagrama de caixa, apresenta o 
menor e o maior valores observados para a variável X, o primeiro e o terceiro quartis 
e a mediana. Além disso, aponta como ponto discrepante o valor 13 disciplinas 
matriculadas. Esse gráfico usa o intervalo [ Q1 – 1,5(Q3 – Q1); Q3 + 1,5(Q3 – Q1) ] para 
localizar o menor e o maior valores observados, bem como os eventuais pontos 
discrepantes. Esse intervalo é comentado adiante. 
Gráfico 5 - Medidas estatísticas para descrever os estudantes da disciplina 
Probabilidade e Estatística (MA70H), turma S11, semestre letivo 2/2020, da 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campus Curitiba, segundo a quantidade 
de disciplinas matriculadas – Curitiba, fevereiro/2021 
Fonte: A autora. 
 
9 
 
 A Tabela 4, adiante, apresenta os escores padronizados para a variável 
"quantidade de disciplinas matriculadas". Por um teorema de Chebyshev, considera-
se valores não-usuais da variável X aqueles que possuem escore padronizado 
menor que -2 ou maior que 2 e valores discrepantes aqueles com escore 
padronizado menor que -3 ou maior que 3. Por tal teorema, não há valores 
discrepantes nem não usuais de X, como se constata pela tabela 4. 
 Ainda, há um outro critério para se detectar valor discrepante, também 
denominado ponto discrepante ou outlier, que é o intervalo 
[ Q1 – 1,5(Q3 – Q1); Q3 + 1,5(Q3 – Q1) ]. Valores da variável X que estejam fora desse 
intervalo são classificados como ponto discrepante (ou outlier). No problema sob 
estudo, esse intervalo corresponde a [3, 11]. Dessa forma, os valores 12 e 13 
disciplinas matriculadas são pontos discrepantes, ou seja, destoam muito da massa 
das observações de X também denominada nuvem de pontos de X. 
 
 
Tabela 4 – Escores padronizados para a quantidade de disciplinas matriculadas 
referente aos estudantes da disciplina Probabilidade e Estatística (MA70H), turma 
S11, semestre letivo 2/2020, da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campus 
Curitiba – Curitiba, fevereiro/2021 
 
Nº de disciplinas matriculadas 
(X) 
Frequência 
Escore padronizado z, com 
𝑧𝑖 =
𝑥𝑖−𝜇
𝜎
 
3 3 -1,58 
6 2 -0,51 
7 2 -0,16 
8 5 0,20 
9 1 0,56 
10 1 0,91 
12 1 1,63 
13 1 1,98 
Total 16 
Fonte: A autora. 
Nota: No semestre letivo 2/2020, a turma MA70H-S11 tinha 20 estudantes matriculados, mas apenas 
16 estiveram presentes no momento da coleta de dados. 
 
 
10 
 
3 CONCLUSÃO 
 
 O conjunto de dados 3, 3, 3, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 10, 12, 13 representa a 
quantidade de disciplinas nas quais os(as) estudantes da disciplina MA70H-S11 
matricularam-se, no semestre letivo 2/2020. 
 Por meio de técnicas de estatística descritiva, constatou-se que o menor 
número de disciplinas matriculadas foi 3 e o maior foi 13, sendo que a moda foi 8 
disciplinas matriculadas. Constatou-se também que 10% da turma de estudantes de 
MA70H-S11 matricularam-se em até 3 disciplinas, 25% da turma matricularam-se em 
até 6 disciplinas, 50% da turma matricularam-se em até 8 disciplinas, 75% da turma 
em até 8 disciplinas e 90% da turma em até 10,8 disciplinas, ou seja, em até 11 
disciplinas, por arredondamento. Constatou-se, ainda, que em média os estudantes 
se matricularam em 7,4 disciplinas com um desvio-padrão de 2,8 disciplinas, 
apresentando um coeficiente de variação de 37,7% e um coeficiente de assimetria de 
0,058. 
 Como a média 7,4, a mediana 8 e a moda 8 são valores próximos, em termos 
de desvio-padrão 2,8, conclui-se que os dados estão distribuídos aproximadamente 
simétricos (baixa assimetria) em torno da média. 
 No entanto, é preocupante pedagogicamente os valores isolados acima da 
moda, em especial, os valores 10, 12 e 13 disciplinasmatriculadas. A preocupação 
tem em vista que as aulas acontecerão de modo remoto, não presencial, devido aos 
necessários cuidados sanitários decorrentes da pandemia de COVID-19, doença 
altamente contagiosa e mortal em alguns casos. 
 Como o principal objetivo da Estatística, como ciência, é fornecer estudos 
técnicos que subsidiem a tomada de decisão, sinceramente, espera-se que este 
estudo sirva para os(as) estudantes reavaliarem a viabilidade de construir 
conhecimento sólido, com a quantidade de disciplinas nas quais se matricularam. 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
REFERÊNCIAS 
 
 
ROCHA, S. H. Conceitos básicos em estatística: notas de aulas. Curitiba-PR: 
UTFPR, 2021. Disponível em: 
<http://paginapessoal.utfpr.edu.br/heidemann/probabilidade-e-estatistica>. Acesso 
em 24/02/2021. 
 
 
 
12 
 
APÊNDICE A 
 
 
Fórmulas de Estatística Descritiva 
 
 Seja a amostra (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ou a população (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁) de uma variável quantitativa contínua X, medida em escala de 
proporcionalidade (ou escala de razão). Em ordem crescente, essa amostra e população são representadas, respectivamente, por 
(𝑥(1), 𝑥(2), … , 𝑥(𝑛)) e (𝑥(1), 𝑥(2), … , 𝑥(𝑁)). As seguintes fórmulas de estatística descritiva são válidas: 
 
Medidas descritivas para uma variável quantitativa contínua X, medida em escala de proporcionalidade 
(continua) 
 
Nome da estatística Representação Fórmula para amostra Fórmula para população 
Quantidade de dados 𝑛 ou 𝑁 𝑛 = 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑎𝑟{𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛} 𝑁 = 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑎𝑟{, 𝑥2, … , 𝑥𝑁} 
Mínimo Min ou 𝑥(1) 𝑀𝑖𝑛 = 𝑥(1) = 𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟{𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛} 𝑀𝑖𝑛 = 𝑥(1) = 𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟{𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁} 
Máximo Max, 𝑥(𝑛)ou 𝑥(𝑁) 𝑀𝑎𝑥 = 𝑥(𝑛) = 𝑀𝑎𝑖𝑜𝑟{𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛} 𝑀𝑎𝑥 = 𝑥(𝑁) = 𝑀𝑎𝑖𝑜𝑟{𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁} 
Amplitude A 𝐴 = 𝑀𝑎𝑥 − 𝑀𝑖𝑛 = 𝑥(𝑛) − 𝑥(1) 𝐴 = 𝑀𝑎𝑥 − 𝑀𝑖𝑛 = 𝑥(𝑁) − 𝑥(1) 
Moda Mo 𝑀𝑜 = 𝑀𝑎𝑖𝑠𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒{𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛} 𝑀𝑜 = 𝑀𝑎𝑖𝑠𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒{𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁} 
Percentil 10 𝑃10 𝑃10 = 𝑥(
10𝑛
100
)
 de (𝑥(1), 𝑥(2), … , 𝑥(𝑛)) 𝑃10 = 𝑥(10𝑁
100
)
 de (𝑥(1), 𝑥(2), … , 𝑥(𝑁)) 
Primeiro Quartil 𝑄1 𝑄1 = 𝑥(
𝑛
4
) de (𝑥(1), 𝑥(2), … , 𝑥(𝑛)) 𝑄1 = 𝑥(𝑁
4
)
 de (𝑥(1), 𝑥(2), … , 𝑥(𝑁)) 
Mediana �̃� ou Md �̃� = 𝑥(𝑛
2
) de (𝑥(1), 𝑥(2), … , 𝑥(𝑛)) �̃� = 𝑥(𝑁
2
)
 de (𝑥(1), 𝑥(2), … , 𝑥(𝑁)) 
Terceiro Quartil 𝑄3 𝑄3 = 𝑥(3𝑛4 )
 de (𝑥(1), 𝑥(2), … , 𝑥(𝑛)) 𝑄3 = 𝑥(3𝑁
4
)
 de (𝑥(1), 𝑥(2), … , 𝑥(𝑁)) 
Percentil 90 𝑃90 𝑃90 = 𝑥(90𝑛100)
 de (𝑥(1), 𝑥(2), … , 𝑥(𝑛)) 𝑃90 = 𝑥(90𝑁
100
)
 de (𝑥(1), 𝑥(2), … , 𝑥(𝑁)) 
Média (aritmética) �̅� ou 𝜇 �̅� = (𝑥1 + 𝑥2 + … + 𝑥𝑛)/𝑛 𝜇 = (𝑥1 + 𝑥2 + … + 𝑥𝑁)/𝑁 
 
13 
 
Medidas descritivas para uma variável quantitativa contínua X, medida em escala de proporcionalidade 
(conclusão) 
Nome da estatística Representação Fórmula para amostra Fórmula para população 
Variância 𝑠2 ou 𝜎2 𝑠2 =
∑ (𝑥𝑖 − �̅�)
2𝑛
𝑖=1
𝑛 − 1
 𝜎2 =
∑ (𝑥𝑖 − 𝜇)
2𝑁
𝑖=1
𝑁
 
Desvio-padrão 𝑠 ou 𝜎 𝑠 = √
∑ (𝑥𝑖 − �̅�)
2𝑛
𝑖=1
𝑛 − 1
 𝜎 = √
∑ (𝑥𝑖 − 𝜇)
2𝑁
𝑖=1
𝑁
 
Coeficiente de 
Variação 
CV 𝐶𝑉 =
𝑠
�̅�
∙ 100% 𝐶𝑉 =
𝜎
𝜇
∙ 100% 
Coeficientes de 
assimetria 
As 
 
Observação: 
𝐴𝑠 = 0, 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 
 |𝐴𝑠| ≤ 0,15, 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑎, 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑎 
0,15 < |𝐴𝑠| ≤ 1, 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 
|𝐴𝑠| > 1, 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑎, 𝑓𝑜𝑟𝑡𝑒 
 
𝐴𝑠 > 0, 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑒𝑛𝑣𝑖𝑒𝑠𝑎𝑑𝑎 à 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 
𝐴𝑠 < 0, 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑒𝑛𝑣𝑖𝑒𝑠𝑎𝑑𝑎 à 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 
𝐴𝑠 =
1
𝑛
∑(
𝑛
𝑖=1
𝑥𝑖 − �̅�
𝑠
 )3 
 
𝐴𝑠 =
3(�̅� − �̃�)
𝑠
 
 
𝐴𝑠 =
�̅� − 𝑀𝑜
𝑠
 
 
𝐴𝑠 =
𝑄1 + 𝑄3 − 2�̃�
𝑄3 − 𝑄1
 
𝐴𝑠 =
1
𝑁
∑(
𝑁
𝑖=1
𝑥𝑖 − 𝜇
𝜎
 )3 
 
𝐴𝑠 =
3(𝜇 − �̃�)
𝜎
 
 
𝐴𝑠 =
𝜇 − 𝑀𝑜
𝜎
 
 
𝐴𝑠 =
𝑄1 + 𝑄3 − 2�̃�
𝑄3 − 𝑄1
 
Coeficientes de 
curtose 
K 
Observação para o segundo coeficiente 
𝐾 = 0,263, 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 𝑚𝑒𝑠𝑜𝑐ú𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎 
𝐾 < 0,263, 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 𝑙𝑒𝑝𝑡𝑜𝑐ú𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎 
𝐾 > 0,263, 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑖𝑐ú𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎 
𝐾 =
1
𝑛
∑(
𝑛
𝑖=1
𝑥𝑖 − �̅�
𝑠
 )4 − 3 
 
𝐾 =
𝑄3 − 𝑄1
2(𝑃90 − 𝑃10)
 
𝐾 =
1
𝑁
∑(
𝑁
𝑖=1
𝑥𝑖 − 𝜇
𝜎
 )4 − 3 
 
𝐾 =
𝑄3 − 𝑄1
2(𝑃90 − 𝑃10)
 
Escore padronizado Z 𝑧𝑖 =
𝑥𝑖 − �̅�
𝑠
 𝑧𝑖 =
𝑥𝑖 − 𝜇
𝜎
 
 
14 
 
APÊNDICE B 
 
 
Comandos do software estatístico R para gráficos de Estatística Descritiva 
 
 
# Para limpar o console do R, dê o comando 
Ctrl + L 
 
 
# Entrando com os dados e organizando-os em ordem crescente 
Y<-c(3, 8, 3, 13, 8, 12, 6, 7, 3, 10, 6, 9, 8, 7, 8, 8) 
Y 
X<-sort(Y) 
X 
 
# Diagrama Ramo e Folhas 
X<-c(rep( c(3,6,7,8,9,10,12,13), c(3,2,2,5,1,1,1,1) ) ) 
X 
stem(X, scale = 0.5) # experimente trocar o valor de "scale" para 1, 2, 5, 10, 20 
 
 
# Diagrama de pontos 
X<-c(rep( c(3,6,7,8,9,10,12,13), c(3,2,2,5,1,1,1,1) ) ) 
X 
stripchart(X, method = "stack", xlab="Nº disciplinas matriculadas", xlim=c(0,14)) 
stripchart(X, method = "overplot", xlab="Nº disciplinas matriculadas", xlim=c(0,14)) 
stripchart(X, method = "jitter", jitter = 0.1, xlab="Nº disciplinas matriculadas", xlim=c(0,14)) 
 
 
# Diagrama de dispersão, na ordem que os dados são fornecidos 
X<-c(3, 8, 3, 13, 8, 12, 6, 7, 3, 10, 6, 9, 8, 7, 8, 8) 
X 
dotchart(X, xlim=c(0,14), xlab="Nº disciplinas matriculadas") 
 
 
# Diagrama de frequência para dados não agrupados em classe 
x<- c(3,6,7,8,9,10,12,13) 
y<- c(3,2,2,5,1,1,1,1) 
x 
y 
plot (x, y, type="p", xlim=c(0,14), ylim=c(0,6), xlab="Nº de disciplinas matriculadas", 
ylab="Frequência") 
 
15 
 
# Histograma de Haste 
x<- c(3,6,7,8,9,10,12,13) 
y<- c(3,2,2,5,1,1,1,1) 
x 
y 
plot (x, y, type="h", xlim=c(0,14), ylim=c(0,6), xlab="Nº de disciplinas matriculadas", 
ylab="Frequência") 
 
 
# Box Plot 
X<-c(rep( c(3,6,7,8,9,10,12,13), c(3,2,2,5,1,1,1,1) ) ) 
X 
boxplot ( X, horizontal=TRUE, xlab="Nº de disciplinas matriculadas", pch=8, 
range=1.5, ylim=c(0,14) ) 
 
 
# Para calcular a média, a mediana, a amplitude, a variância amostral, a variância 
populacional, o desvio-padrão amostral e o desvio-padrão populacional digite os 
comandos abaixo no console do R 
X<-c(rep( c(3,6,7,8,9,10,12,13), c(3,2,2,5,1,1,1,1) ) ) 
X 
min(X) # mínimo 
max(X) # máximo 
range(X) # amplitude 
mean(X) # média 
median(X) # mediana 
var(X) # variância amostral 
((N-1)/N)*var(X) # variância populacional 
sd(X) # desvio-padrão amostral 
((N-1)/N)^0.5)*sd(X) # desvio-padrão populacional 
 
 
#Digite os comandos abaixo no console do R 
X<-c(rep( c(3,6,7,8,9,10,12,13), c(3,2,2,5,1,1,1,1) ) ) 
X 
summary(X) 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
# Sobre as fórmulas para calcular quantis, digite o comando abaixo no console do R 
?quantile 
 
 
# Para cálculo dos quartis e dos percentis, digite os comandos abaixo no console do R 
X<-c(rep( c(3,6,7,8,9,10,12,13), c(3,2,2,5,1,1,1,1) ) ) 
X 
quantile(X) 
quantile(X, probs=seq(0,1,0.25)) 
quantile(X, probs=seq(0,1,0.1)) 
quantile(X, probs=seq(0,1,0.01)) 
quantile(X, probs=c(0.1, 0.25, 0.5, 0.75, 0.9)) 
quantile(X, probs=seq(0,1,0.25), type=1) 
quantile(X, probs=seq(0,1,0.25), type=2) 
quantile(X, probs=seq(0,1,0.25), type=3) 
quantile(X, probs=seq(0,1,0.25), type=4) 
quantile(X, probs=seq(0,1,0.25), type=5) 
quantile(X, probs=seq(0,1,0.25), type=6) 
quantile(X, probs=seq(0,1,0.25), type=7) 
quantile(X, probs=seq(0,1,0.25), type=8) 
quantile(X, probs=seq(0,1,0.25), type=9) 
quantile(X, probs=seq(0,1,0.1), type=1) 
quantile(X, probs=seq(0,1,0.1), type=2) 
quantile(X, probs=seq(0,1,0.1), type=3) 
quantile(X, probs=seq(0,1,0.1), type=4) 
quantile(X, probs=seq(0,1,0.1), type=5) 
quantile(X, probs=seq(0,1,0.1), type=6) 
quantile(X, probs=seq(0,1,0.1),type=7) 
quantile(X, probs=seq(0,1,0.1), type=8) 
quantile(X, probs=seq(0,1,0.1), type=9) 
 
 
 
# Sobre as fórmulas para calcular assimetria, digite o comando ??skewness no console 
do R. Você verificará que a função "skewness" pertence ao pacote e1071, o qual 
precisa ser instalado e requerido, antes de poder usar suas funções. Digite os 
comandos abaixo no console do R 
X<-c(rep( c(3,6,7,8,9,10,12,13), c(3,2,2,5,1,1,1,1) ) ) 
install.packages("e1071") 
require(e1071) 
skewness(X, type = 1) # experimente variar o valor de type para 2 e 3 
 
 
 
17 
 
# Sobre as fórmulas para calcular curtose, digite o comando ??kurtosis no console 
do R. Você verificará que a função "kurtosis" pertence ao pacote e1071, o qual 
precisa ser instalado e requerido, antes de poder ser usado suas funções. Digite 
os comandos abaixo no console do R 
X<-c(rep( c(3,6,7,8,9,10,12,13), c(3,2,2,5,1,1,1,1) ) ) 
install.packages("e1071") # não precisa instalar de novo, se o pacote foi instalado 
require(e1071) 
kurtosis(X, type = 1) # experimente variar o valor de type para 2 e 3 
 
 
# Sobre as fórmulas para calcular momentos, digite os comandos abaixo no console 
do R 
X<-c(rep( c(3,6,7,8,9,10,12,13), c(3,2,2,5,1,1,1,1) ) ) 
install.packages("e1071") # não precisa instalar de novo, se o pacote foi instalado 
require(e1071) 
moment(X, order = 1, center = TRUE, absolute = FALSE) # experimente variar o 
valor de order para 2, 3 e 4, center para FALSE e 
absolute para TRUE 
 
 
# Para saber os argumentos de uma função, digite o comando abaixo no console do R 
args(nome_da_função) # troque nome_da_função pelo nome de uma função 
args(moment) # exemplo para a função moment 
 
 
# Para fornecer o maior número inteiro, menor que determinado número, digite os 
comandos abaixo no console do R 
floor(3.75) 
floor(-4.52) 
 
# Para fornecer o menor número inteiro, maior que determinado número, digite os 
comandos abaixo no console do R 
ceiling(3.75) 
ceiling(-4.52)