CONJUNTO; INDUÇÃO MATEMÁTICA

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1 CONJUNTOS 
 
É um conceito primitivo e portanto não definimos o que é um conjunto. Para efeito didáticos, um 
conjunto é descrito como uma coleção de objetos bem definidos. Estes objetos são chamados de 
elementos ou membros do conjunto. Os objetos podem ser qualquer coisa: números, pessoas, 
outros conjuntos, etc. 
 
Exemplos: 
a) conjunto dos inteiros. 
b) conjunto das vogais 
 
É trivial dar nomes aos conjuntos usando letras maiúsculas (A,B,C,D etc.) e representar 
elementos pelas letras minúsculas (a,b,c,d etc.) 
 
A teoria dos conjuntos esta fundamentada em axiomas, ou seja, é uma teoria axiomatizada que 
se baseia em noções aceitas como verdadeiras sem que haja a necessidade da apresentação de 
uma demonstração. 
 
Os axiomas da Teoria dos Conjuntos são: 
 
I. A noção de conjunto; 
II. A noção de elemento de um conjunto; 
III. A relação de pertinência entre elemento e conjunto. 
 
1.2 REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOS 
 
Para representar um conjunto utilizamos 3 formas distintas, todos sempre com uma letra 
maiúscula do alfabeto. 
 
1.2.1 Enumeração ou Tabular 
 
Na forma tabular, usa-se ponto e vírgula na separação de números decimais, como no exemplo 
a, pois a vírgula poderia ser confundida com a vírgula que separa as casa decimais de cada 
número. 
A= {1,5; 2,4; 4,9; 1,6} 
Exemplos: 
a) Se A= Conjunto dos números pares inteiros maiores do que 8 e menores do que 22, então A= 
{10; 12,14; 16,18; 20} 
b) Conjunto B dos meses com menos de 31 dias: 
B = {fevereiro, abril, junho, setembro, novembro}; 
Obs: Na representação por extensão cada elemento deve ser escrito apenas uma vez; 
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_inteiro
 
1.2.2 Propriedades dos Elementos 
 
A representação de um conjunto por meio de uma propriedade é aquela em que os elementos são 
descritos por uma propriedade que os determina. 
 
Simbolicamente: A = {x | x tem a Propriedade P} 
Lê-se: A é o conjunto de todos os elementos x, tal que ( | ) x tem a propriedade P. 
Exemplos: 
a) A = {x | x é um time de futebol do Campeonato Paraense de 2015}; 
b) B = {x | x é um número inteiro par e 8 < x < 22}. 
c)C = {x | x é um município da região nordeste do Pará}. 
 
1.2.3 Diagrama 
 Diagrama de Euler-Venn* 
 Jonh Venn (1834-1923), lógico e matemático britânico criador dos diagramas de Venn 
adotados pela matemática moderna. 
Um conjunto pode ser representado por meio de uma linha fechada e não entrelaçada, como 
mostrado na figura abaixo. Os pontos dentro da linha fechada indicam os elementos do conjunto. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
1.3 TIPOS DE CONJUNTOS 
1.3.1 Conjunto Unitário 
É todo conjunto formado por um único elemento. 
Exemplos: 
1. D é o conjunto do maior cargo político do Brasil 
D = { presidente} 
2. M ={ x │ x é estrela do sistema solar} 
M = {sol} 
 
1.3.2 Conjunto Finito: 
 Nesse conjunto é possível nomear todos os seus elementos. 
.a .b 
 .c 
.d .e 
 . f 
 Um conjunto é finito se for vazio ou se contando seus elementos um a um, chega-se ao fim 
da contagem 
Exemplos: 
A = { a, b, c} 
T = { x / é o aluno da turma de licenciatura em matemática de Moju } 
M = ∅ 
1.3.3 Conjunto Infinito: 
É todo conjunto que é impossível nomear todos os seus elementos. 
Ex:  = (𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒. . . ) 
1.3.4 Conjunto Vazio: 
É um conjunto que não possui elementos. 
O símbolo usual para o conjunto vazio é o ∅, porém também se usa { }. 
Ex: C é o conjunto de pessoas que vivem e têm mais de 500 anos. 
 𝐂 = ∅. 
𝐀 = ∅  𝐱, 𝐱  𝐀 
 O símbolo  é lido “qualquer que seja”. 
 O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto 
 ∅  A ( A) 
 
1.4 CONJUNTO UNIVERSO (U) 
Na linguagem do dia a dia, normalmente usamos a palavra “universo” para determinar diversos 
significados. Dentre eles, podemos exemplificar o conjunto dos seres vivos ou de idéias que, em 
determinada circunstancia, toma-se como referencia. Por exemplo, o universo encontrado na 
Biologia é o conjunto dos seres vivos; 
 Conjunto Universo de um estudo representado por U é aquele no qual pertencem todos os 
elementos relacionados com esse estudo 
 É o conjunto que possui todas as soluções de um determinado problema. 
Exemplos: 
a) 𝐔 = {. . . , −𝟐, . . . , 𝟎, 𝟏, . . . , 2 , 𝟐, 𝟑. . . } ; 
b) No estudo das figuras geométricas planas como conjuntos de pontos, o conjunto universo 
é o plano 
1.5 RELAÇÃO DE PERTINENCIA 
 
É a relação que se estabelece entre elemento e conjunto. 
 
Para indicar que um dado elemento x pertence ao conjunto A, utilizaremos a notação x A e, para 
indicar que este elemento x não pertence ao conjunto A, será utilizada a notação x  A. 
Exemplo: 
3 ∈ 𝐴 e 4 ∉ 𝐴 
Le-se : “3 pertence a A”, e 
 “4 não pertence a A” 
 
1.6 RELAÇÃO DE INCLUSÃO 
 
Definição 1 
Diz-se que um conjunto A está contido num conjunto B quando todos os elementos pertencentes 
ao conjunto A também são elementos do conjunto B. Neste caso, diz-se que o conjunto A está 
contido no conjunto B ou que o conjunto B contém o conjunto A. 
 
Notações: 
Indicaremos a inclusão do conjunto A no conjunto B por meio das notações A  B (A está contido 
em B) ou B  A (B contém A). Caso o conjunto A não esteja contido no conjunto B, utilizaremos 
a notação A  B. 
Para demonstrarmos que um conjunto A está contido em conjunto B será necessário provar que 
todo elemento x pertencente ao conjunto A também pertence ao conjunto B. 
 
Propriedades da inclusão de conjuntos 
 Propriedade Reflexiva: Todo conjunto está contido si mesmo. A propriedade reflexiva da 
inclusão de conjuntos é expressa simbolicamente por  A, A  A. 
 
 Propriedade Transitiva: Se um conjunto A está contido em um conjunto B e o conjunto B está 
contido em um conjunto C, então o conjunto A está contido no conjunto C. Simbolicamente,  
A, B, C; se A  B e B  C  A  C. 
 
 Anti-Simétrica: Se um conjunto A está contido em um conjunto B e o conjunto B está contido 
em um conjunto A, então o conjunto A está contido no conjunto B. Simbolicamente,  A, 
B, C; A B e B A  A B . 
 O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto A, isto é,   A A  . 
 Qualquer que seja o conjunto A num universo U, A está contido em U, isto é,   A A U  . 
 
1.7 RELAÇÃO DE IGUALDADE ENTRE CONJUNTOS 
 
Definição 2 
Dois conjuntos A e B são ditos iguais quando todos os elementos do conjunto A são elementos 
do conjunto B e todos os elementos de B são elementos de A, ou seja, A = B se, e somente se, 
A  B e B  A. Utiliza-se a seguinte simbologia para expressar a igualdade entre conjuntos:  A, 
B, A = B  A  B e B  A. 
Exemplos: A = {1, 2, 3, 4}; B = {√1, 4 , 9 , 16 }. 
 Logo A = B. 
 
Para se demonstrar que um conjunto A é igual a um conjunto B será necessário mostrar que todo 
elemento de A pertence a B e que todo elemento de B pertence a A. 
 
Propriedades da igualdade de conjuntos 
 
 Propriedade Reflexiva: Todo conjunto é igual a si mesmo. Esta é a propriedade reflexiva da 
igualdade de conjuntos. Simbolicamente,  A, A = A. 
 Propriedade Simétrica: Se um conjunto A é igual a um conjunto B, então o conjunto B é igual 
ao conjunto A. Essa propriedade pode ser representada simbolicamente por:  A, B; A = B  
B = A. 
 Propriedade Transitiva: Se um conjunto A é igual a um conjunto B e o conjunto B é igual a 
um conjunto C, então o conjunto A é igual ao conjunto C. A propriedade transitiva da igualdade 
de conjuntos pode ser expressa simbolicamente por:  A, B, C; A = B e B = C  A = C. 
 
1.8 SUBCONJUNTOS 
Definição 
Todo conjunto A que está contido num conjunto B é um subconjunto ou uma parte de B. 
Utilizaremos a simbologia A  B para indicar que o conjunto A é uma parte do conjunto B ou igual 
ao próprio conjunto B. 
 
1.8.1. SUBCONJUNTO DE UM CONJUNTO FINITO: 
Dado um conjunto finito com nelementos, os seus subconjuntos são todos finitos e encerram, 
quando muito, n elementos. Para achar todos esses subconjuntos, quando n não é muito grande, 
pode-se, por exemplo, começar pelo subconjunto vazio formar depois os subconjuntos com um só 
elemento (subconjuntos unitários), em seguida formar os subconjuntos com dois elementos, e 
assim por diante, até chegar ao subconjunto com o número máximo n de elementos. 
Exemplo: 
1) Explicitar todos os subconjuntos do conjunto  1, 2,3 são: 
R:               , 1 , 2 , 3 , 1,2 , 1,3 , 2,3 , 1,2,3 , Observa-se que o conjunto  1, 2,3 , com três 
elementos, tem exatamente 8 = 23 subconjunto, dos quais 23 – 2 = 6 são subconjuntos próprios. 
 Teorema: Todo conjunto finito com n elementos tem n2 subconjunto. 
Demonstração: Há 
n
1
0
 
  
 
, subconjunto com zero (0) elementos, (subconjunto vazio  ) 
n
n
1
 
  
 
, subconjunto com um (1) elementos, (subconjunto unitário), 
n
2
 
 
 
, subconjunto com dois 
(2) elementos, , e finalmente 
n
1
n
 
  
 
, subconjunto com um (n) elementos. Logo, o número 
total de subconjunto é dado pela soma n
n n n n
2
0 1 2 n
       
           
       
. 
 
 
1.8.2. CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO: 
 Chama-se conjunto das partes de um conjunto E o conjunto cujos elementos são todas as 
partes de E, inclusive a parte cheia de E e a parte vazia  (partes triviais de E). 
 O conjunto das partes de E representa-se por  (E) e, por definição, os seus elementos 
são todos os conjuntos X tais que X  E, isto é, simbolicamente  (E) = {X | X  E}. 
 Subsistem, pois, as propriedades: 
 
   
X E x E
a E a E
   

  
 e as relações    E , E E  . 
 Consoante o teorema anterior, se E é um conjunto finito com n elementos, então  (E) 
também é um conjunto finito com 
n2 elementos. 
 Exemplos: 
1)     a , a   2)         a,b , a , b , a,b   
3)         ; ,         
 
 Teorema: Quaisquer que sejam os conjuntos E e F, tem-se: E F (E) (F)   . 
Demonstração: 
Suponhamos E F , então: x (E) x E x F      x (E) , logo (E) (F)  . 
Suponhamos, agora (E) (F)  , como E (E) , segue-se que E (F) e, portanto, E F . 
 
 
1.9 INTERSEÇÃO ENTRE CONJUNTOS 
 
Definição 
Dados dois conjuntos A e B. Chama-se de conjunto interseção de A com B ao conjunto formado 
pelos elementos comuns dos conjuntos A e B. 
 
A interseção entre os conjuntos A e B é indicada por A  B e representada simbolicamente por 
A  B = {x x  A e x  B}. No caso da intersecção entre os conjuntos A e B, afirmar que x  A 
 B é equivalente a x  A e x  B. 
 
Exemplo 
a) Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6}. A interseção de A com B resulta no conjunto 
A  B = {3, 4}, pois, 3 e 4 são os elementos comuns entre os conjuntos A e B. 
 
 
 
 
1.10 UNIÃO ENTRE CONJUNTOS 
 
Definição 
Dados dois conjuntos A e B chama-se de conjunto união ou reunião de A com B ao conjunto 
formado pelos elementos que pertencem ao do conjunto A ou pertencem ao conjunto B. Denota-
se a união entre os conjuntos A e B por A  B. 
 
Simbolicamente, A  B = { x x  A ou x  B}. Assim podemos afirmar que x  A  B é 
equivalente a x  A ou x  B. 
Exemplo 
Sejam os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4} e B = { 3, 4, 5, 6}. A união de A com B é o conjunto 
A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, pois, os elementos 1, 2, 3 e 4 pertencem ao conjunto A e os elementos 
3, 4, 5 e 6 pertencem ao conjunto B. 
 
Propriedades 
 
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer num universo U. 
1) União com o conjunto vazio A A  . 
 
2) União com o conjunto universo A U U  . 
 
3) União com o complementar A A' U  . 
 
4) Idempotente: A A A  . 
 
5) Comutativa: A B B A   . 
 
6) Associativa:    A B C A B C     . 
 
 
 
1.11 DIFERENÇA DE CONJUNTOS ENTRE CONJUNTOS 
 
Definição 
Dados dois conjuntos A e B chama-se de conjunto diferença entre A e B ao conjunto formado 
pelos elementos que pertencem ao do conjunto A e não pertencem ao conjunto B. A diferença 
entre os conjuntos A e B é denotada por A – B. 
 
Simbolicamente temos que A – B = { x x  A e x  B}. Assim podemos afirmar que x  A – B 
é equivalente a x  A e x  B. 
 
Decorre da definição de diferença entre conjuntos que, geralmente, A – B é diferente de B – A. 
Por outro lado, é fácil concluir que os conjuntos A e B são iguais quando as diferenças A – B e B 
– A são iguais ao conjunto vazio. 
 
Exemplo 
Sejam os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4} e B = { 3, 4, 5, 6}. A diferença entre A e B é A – B = {1, 2}, 
pois, os elementos 1 e 2 pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. Por outro 
lado, a diferença B – A = { 5, 6}, pois, os elementos 5 e 6 pertencem ao conjunto B e não 
pertencem ao conjunto A. 
 
Propriedades 
 
 
1.12 Complementar 
 
Definição 
Dados os conjuntos A e B, com A contido em B. O conjunto B – A é denominado de conjunto 
complementar do conjunto A em relação ao conjunto B e denotado por 
B
AC . 
 
Exemplo 
Sejam os conjuntos A = {3, 4} e B = {3, 4, 5, 6, 8}. O conjunto complementar de A em relação à B 
é 
B
AC = B – A = {5, 6, 8}. 
É comum encontrarmos nos livros didáticos as seguintes notações A’, A* ou A para representar 
o conjunto complementar de um conjunto A em relação ao conjunto universo U. 
 
 
 
1.13. NÚMEROS DE ELEMENTOS DE CONJUNTOS FINITOS: 
 
1ª Caso: Dados conjuntos A e B finitos: 
 
 
 
 
2ª Caso: Dados conjuntos A e B disjuntos: A B 0  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3ª Caso: Dados os conjuntos A, B e C finitos: 
 
I 
(A B C)N   . 
II (A B) (A B C)N N   . 
III (A C) (A B C)N N   . 
IV (B C) (A B C)N N   . 
 
 
 
 
   
   
 
(A B C) A B C
(A B C) A B (A B) (A B C) (A B C) C (A C) (A B C) (B C) (A B C) (A B C)
(A B C) A B (A B) (A B C) (A B C) C (A C) (A B C) (B C
N N N (II) (I) N (III) (IV) (I)
N N N N N N N N N N N N
N N N N N N N N N N
 
              
          
       
                    
         ) (A B C) (A B C)
(A B C) A B (A B) C (A C) (A B C) (B C)
(A B C) A B C (A B) (A C) (B C) (A B C)
N N
N N N N N N N N
N N N N N N N N
   
      
      
 
      
      
 
 
4ª Caso: Dados os conjuntos A, B, C e D finitos: 
                     
         
A B C D A B C D A B A C A D B C B D C D
A B C A B D A C D B C D A B C D
N N N N N N N N N N N
N N N N N
        
          
             
   
    
 
 
 
 
I
II
III IV
AN
 
A B 
NB 
(A B) A B (A B)
(A B) A B
N N N N , como A B 0 temos
N N N
 

    
 
1.14. DIFERENÇA SIMÉTRICA: 
Chama-se diferença simétrica dos conjuntos A e B ao conjunto de todos os elementos que 
pertencem a um e somente a um dos conjuntos A e B. 
 
Esse conjunto indica-se pela notação: A  B, que se lê: “diferença simétrica de A e B”. 
Simbolicamente, temos:     A Δ B x | x A e x B ou x B e x A     . 
Demonstração: 
Pela definição de diferença de dois conjuntos temos: 
 
 
x A e x B x A B 
x B e x A x B A
     

    
, por 
conseqüência     A B x | x A B ou x B A      isto é    A Δ B A B B A    . Fórmula que 
exprime a diferença simétrica por meio da união e da diferença. 
 
A diferença simétrica dos conjuntos A e B também é o conjunto de todos os elementos x que 
satisfazem às duas seguintes condições: 
 
 
x pertence a A ou a B, isto é, x A B 
x não pertence simultaneamente a A e a B, isto é, x A B 
  

 
 
Portanto, simbolicamente temos: 
    A Δ B x | x A B e x A B     , isto é    A Δ B A B A B    . Fórmula queexprime a 
diferença simétrica por meio da união da interseção e diferença. 
 
Exemplos: 
1)      1,2,3,4 2,4,5,7 1,3,5,7  
2)      2,4,6 2,4,6,8,10 8,10  
3)      a,b,c d,e,f a,b,c,d,e,f  
 
 
1.14.1. PROPRIEDADES DA DIFERENÇA SIMÉTRICA 
 
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer num universo U, então subsistem as seguintes propriedades: 
1) A A  . 
2) A U A'  . 
3) A A' U  . 
4) A A  . 
5) Comutativa:      A B ' A B A' B'     
6) Associativa:    A B C A B C     . 
7) Distributividade da interseção em relação á diferença simétrica:      A A C A B A C      
8)      A B C A B C A' B C        
9) 
     
     
A B C A C' B C'
 
A BΔC A B C A B' C'
      

      
 
 
 
Atividades 
 
1. (PUC) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, 
exatamente: 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. Qual 
o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel? 
 
2. Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações Helena, Senhora e A 
Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas 
consultadas: 600 leram A Moreninha; 400 leram Helena; 300 leram Senhora; 200 leram A 
Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e Senhora; 100 leram Senhora e Helena; 20 leram 
as três obras; Calcule: 
a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras. 
b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras. 
c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras. 
 
3. Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso e constatou-se que 4.000 
deles apresentavam problemas de imagem, 2.800 tinham problemas de som e 3.500 não 
apresentavam nenhum dos tipos de problema citados. Então o número de aparelhos que 
apresentavam somente problemas de imagem é: 
a) 4 000 b) 3 700 c) 3 500 d) 2 800 e) 2500 
 
4. Numa pesquisa sobre as emissoras de tevê a que habitualmente assistem, foram consultadas 
450 pessoas, com o seguinte resultado: 230 preferem o canal A; 250 o canal B; e 50 preferem 
outros canais diferente de A e B. Pergunta-se: 
a) Quantas pessoas assistem aos canais A e B? 
b) Quantas pessoas assistem ao canal A e não assistem ao canal B? 
c) Quantas pessoas assistem ao canal B e não assistem ao canal A? 
d) Quantas pessoas não assitem ao canal A? 
 
5. (UFMG) Numa república hipotética, o presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo; os 
senadores, 6 anos e os deputados, 3 anos. Nessa república, houve eleição para os três cargos 
em 1989. A próxima eleição simultânea para esses três cargos ocorrerá, novamente, em que ano? 
 
6. Em uma prova de Matemática com apenas duas questões, 300 alunos acertaram somente uma 
das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 100 alunos acertaram as duas e 210 alunos 
erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova? 
 
7. Inscreveram-se num concurso público 700 candidatos para 3 cargos - um de nível superior, um 
de nível médio e um de nível fundamental. É permitido aos candidatos efetuarem uma inscrição 
para nível superior e uma para nível médio. Os candidatos ao nível fundamental somente podem 
efetuar uma inscrição. Sabe-se que 13% dos candidatos de nível superior efetuaram 2 inscrições. 
Dos candidatos de nivel médio, 111 candidatos efetuaram uma só inscrição, correspondendo a 
74% dos candidatos desse nível. Qual é então o número de candidatos ao nível fundamental? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lógica na Matemática 
 
1. Proposição 
 
1.1 Definição: Geralmente nos expressamos, em português, através de interrogações, afirmações 
e exclamações, mas, para comunicar fatos ou informações, usamos sentenças. Tecnicamente, 
uma sentença (ou proposição) é uma frase que pode ser apenas VERDADEIRA ou FALSA. 
Logo, podemos concluir que: toda proposição é uma frase mas nem toda frase é uma proposição; 
uma frase é uma proposição apenas quando admite um dos dois valores lógicos. 
 
Exemplos: 
a) “Dez é menor do que sete”. Podemos verificar que está frase é uma sentença porque é falsa. 
Logo é uma proposição. 
b) “Como vai você?”. Neste caso, estamos com uma pergunta, que não pode ser considerado 
nem verdadeiro nem falso. Não tem valor-verdade e, portanto, não é uma sentença (proposição). 
c) “ Ela é muito talentosa”. Nesta frase, a palavra ela é uma variável e a frase não é verdadeira 
nem falsa, pois ela não está especificada; portanto, não é uma sentença. 
Outros Exemplos: 
 
Normalmente, as proposições simples são geralmente representadas por letras minúsculas 
(p, q, r, s, etc). São outros exemplos de proposições, as seguintes: 
a) p: Pedro é médico. 
b) q: 5 > 8. 
c) r: Luíza foi ao cinema ontem à noite. 
 
Na linguagem do raciocínio lógico matemático, ao afirmarmos que é verdade que Pedro é 
médico (proposição p acima), representaremos isso apenas com: VL(p) = V, ou seja, o valor 
lógico de p é verdadeiro. No caso da proposição q, que é falsa, diremos VL(q) = F. Alguns 
autores adotam como valor lógico a notação: VL (p) = V(p). 
Exemplos: 
p: O Sol é verde 
q: um hexágono tem 6 lados 
r: 2 e um número impar 
1. Frases que não são proposições: 
● Pare! 
● Quer uma xícara de café? 
● Eu não estou bem certo se esta cor me agrada 
2. Frases que são proposições: 
● A lua é o único satélite do planeta terra (Verdade) 
● A cidade de Salvador é a capital do estado do Amazonas (Falso) 
● O numero 712 é ímpar (Falso) 
● Raiz quadrada de dois é um número irracional (Verdade) 
s: um triângulo tem 4 lados 
 
 
 
Haverá alguma proposição que possa, ao mesmo tempo, ser verdadeira e falsa? Não! 
Jamais! E por que não? Porque o Raciocínio Lógico, como um todo, está sedimentado sobre 
alguns princípios, muito fáceis de se entender, e que terão que ser sempre obedecidos. São os 
seguintes: 
● Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa. (Princípio da 
identidade); 
● Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. (Princípio da Não- 
Contradição); 
● Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade, isto é, tem o valor 
lógico V(verdade) ou o valor lógico F (falsidade). (Princípio do Terceiro Excluído) 
 
OBS: Utilizando o princípio do terceiro excluído, para visualizar os valores lógicos de um conectivo 
utilizamos a “tabela-verdade”, que descreve as possíveis combinações dos valores lógicos das 
proposições. 
 
p 
V 
F 
 
 
1.2 Tipos de Proposições 
Proposições podem ser ditas simples ou compostas. 
Serão proposições simples (ou atômicas) aquelas que vêm sozinhas, desacompanhadas de 
outras proposições. 
Exemplos: 
a) p: Todo homem é mortal. 
b) q: O novo papa é alemão. 
 
Entretanto, se duas (ou mais) proposições vêm conectadas entre si, formando uma só 
sentença, estaremos diante de uma proposição composta (ou molecular) geralmente é 
representada por uma letra maiúscula. 
Exemplos: 
a) P: João é médico e Pedro é dentista. 
b)Q: Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo. 
Temos:
 
V(p)=F V(q)=V V(r) =F V(s) =F 
 
c) T: Ou Luís é baiano, ou é paulista. 
d) W: Se chover amanhã de manhã, então não irei à praia. 
e) X: Comprarei uma mansão se e somente se eu ganhar na loteria. 
 
Nas sentenças acima, vimos em destaque os vários tipos de conectivos – ditos conectivos 
lógicos – que poderão estar presentes em uma proposição composta. Estudaremos cada um 
deles a seguir, uma vez que é de nosso interesse conhecer o valor lógico das proposições 
compostas. 
Veremos que, para dizer que uma proposição composta é verdadeira ou falsa, isso dependerá 
de duas coisas: 
1º) do valor lógico dasproposições componentes; 
2º) do tipo de conectivo que as une. 
 
1.3 Tipos de Conectivos Utilizados em Proposições Compostas 
 
1.3.1 Negação 
A negação de uma proposição é construída a partir da introdução da palavra não ou não é 
o caso que ou não é verdade que. 
Exemplos: 
a) João é médico. ► Negativa: João não é médico. 
b) Maria é estudante. ► Negativa: Maria não é estudante 
c) Quatro é maior que cinco. ► Negativa: Não é o caso que quatro é maior do que cinco. 
d) Carlos é mecânico. ► Negativa: Não é verdade que Carlos é mecânico. 
 
OBS: Deve-se tomar um pouco de cuidado com a negação, porque, por exemplo: 
I) a negação de “Todos os homens são elegantes” é “Nem todos os homens são elegantes” 
II) a negação de “Nenhum homem é elegante” é “Algum homem é elegante”. 
 
O símbolo que representa a negação é uma pequena cantoneira (¬) ou um sinal de til (~), 
antecedendo a frase. (Adotaremos o til). Considerando que p denota uma proposição, então sua 
negação é denotada por : 
 
 
O valor lógico da negação de uma proposição é definido por uma tabela – verdade. 
 
 
 
p ~p 
V F 
F V 
¬ p ou ~ p, e é lido como “não p”. 
 
Exemplos 
a) p: 2 + 3 = 5 (V) e ~p: ~(2 + 3 = 5) (F) ; então : V (~p) = ~V(p) = ~V = F 
b) q: 7 < 3 (F) e ~q: ~(7 ≮ 3) (V) ; então: V (~q) = ~V(q) = ~F = V 
c) r: Roma e a capital da Franca (F) e ~r: Roma não é capital da França (V); 
 então: V (~r) = ~V(r) = ~F = V 
 
1.3.2 Conjunção 
 Proposições compostas em que está presente o conectivo “e” são ditas conjunções. 
Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por “Λ” ou “ . ”. 
 Uma conjunção é verdadeira se ambos seus conjunctos são verdadeiros. Caso contrário, 
é falsa. Considerando que p e q denotam duas proposições, então sua conjunção é denotada por: 
 
 
Exemplos: 
a) Na sentença: “Marcos é médico e Maria é estudante” , poderemos representá-la apenas por: 
p Λ q , onde: 
 p = Marcos é médico e q = Maria é estudante. 
Então, diante da sentença “Marcos é médico e Maria é estudante”, só poderemos concluir 
que esta proposição composta é verdadeira se for verdade, ao mesmo tempo, que Marcos é 
médico e que Maria é estudante. 
Pensando pelo caminho inverso, teremos que basta que uma das proposições 
componentes seja falsa, e a conjunção será – toda ela – falsa. Obviamente que o resultado 
falso também ocorrerá quando ambas as proposições componentes forem falsas. 
 Vamos analisar as possibilidades para construir a tabela-verdade: 
● Se tivermos que ambas são verdadeiras, a conjunção formada por elas (Marcos é médico e 
Maria é estudante) será também verdadeira. Teremos: 
 
 
 
 
● Se for verdade apenas que Marcos é médico, mas falso que Maria é estudante, teremos: 
 
 
 
 
 
 p Λ q ou p . q , e é lido como “ p e q”. 
 
● Por outro lado, se for verdadeiro que Maria é estudante, e falso que Marcos é médico, teremos: 
 
 
 
 
● Enfim, se ambas as sentenças simples forem falsas, teremos que: 
 
 
 
 
As quatro situações acima esgotam todas as possibilidades para uma conjunção. Logo, a 
tabela-verdade que representa uma conjunção, ou seja, a tabela-verdade para uma proposição 
composta com a presença do conectivo “e”, está representada abaixo. 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 
a) p: 2 > 0 (V) e q: 2 ≠ 1 (V) , então: V (p ∧ q) = V(p) . V(q) = V . V = V 
 
b) {
p ∶ O enxofre é verde (F) 
q: 7 é um número primo (V)
} , então: V (p ∧ q) = V(p) . V(q) = F . V = F 
 
1.3.3 Disjunção 
 Recebe o nome de disjunção toda proposição composta em que as partes estejam unidas 
pelo conectivo “ou”. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por “V” ou “+”. 
Uma disjunção é verdadeira se pelo menos um dos seus disjunctos for verdadeiro. Caso 
contrário, é falsa. Considerando que p e q denotam duas proposições, então sua disjunção é 
denotada por: 
 
 
Exemplos: 
a) Na sentença: “Marcos é médico ou Maria é estudante” , poderemos representá-la apenas por: 
p v q , onde: 
 p = Marcos é médico e q = Maria é estudante. 
p q p Λ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 p v q , e é lido como “ p ou q”. 
 
b) Observe esta situação: A promessa de um pai a um filho: “eu te darei uma bola ou te darei uma 
bicicleta”. Neste caso, a criança já sabe, de antemão, que a promessa é por apenas um dos 
presentes! Bola ou bicicleta! Ganhando de presente apenas um deles, a promessa do pai já 
valeu, já foi verdadeira. E se o pai for abastado e resolver dar os dois presentes? Pense na cara 
do menino! Feliz ou triste? Felicíssimo! A promessa foi mais do que cumprida. Só haverá um 
caso, todavia, em que a bendita promessa não se cumprirá: se o pai esquecer o presente, e 
não der nem a bola e nem a bicicleta. Terá sido falsa toda a disjunção. 
Daí, concluímos: uma disjunção será falsa quando as duas partes que a compõem 
forem ambas falsas. E nos demais casos, a disjunção será verdadeira! Teremos as possíveis 
situações: 
 
 
 
 ou: 
 
 
 
 ou: 
 
 
 
 ou, finalmente: 
 
 
 
 
As quatro situações acima esgotam todas as possibilidades para uma conjunção. Logo, a 
tabela-verdade que representa uma disjunção, ou seja, a tabela-verdade para uma proposição 
composta com a presença do conectivo “ou”, está representada abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p Q p v q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
Exemplos 
a) p: 5 > 0 (V) e q: 5 ≠ 1 (V) , então: V (p ∨ q) = V(p) ou V(q) = V + V = V 
 
b) {
p ∶ Camões escreveu os Lusíadas (V) 
q: 2 + 2 = 3 (F)
} , então: V (p ∨ q) = V(p) + V(q) = F ou V = V 
 
c) {
p ∶ Pelé nasceu na Bahia (F) 
q: 2 − 2 = 1 (F)
} , então: V (p ∨ q) = V(p) + V(q) = F ou F = F 
 
OBS: Disjunção Exclusiva 
 Na linguagem comum a palavra “ou” tem dois sentidos. Assim, por exemplo, 
consideremos as duas seguintes proposições compostas: 
 p : Carlos é medico ou professor q: Mario é alagoano ou gaucho 
 Na proposição p se esta a indicar que uma pelo menos das proposições “Carlos é medico”, 
“Carlos é professor” é verdadeira, podendo ser ambas verdadeiras: “Carlos é medico e professor”. 
Entretanto, na proposição q, é óbvio que uma e somente uma das proposições “Mario e alagoano”, 
“Mario é gaucho” é verdadeira, pois, não é possível ocorrer “Mario é alagoano e gaucho”. 
 
 Na proposição p diz-se que “ou” é inclusivo, enquanto que, na proposição q, diz-se que 
“ou” é exclusivo. 
 
 Em Lógica Matemática usa-se habitualmente o símbolo “+”, “V” para “ou” inclusivo e os 
símbolos “ ±”, “⨁”, “ V ”para “ou” exclusivo. 
 Assim sendo, a proposição p é a disjunção inclusiva ou apenas disjunção das 
proposições simples “Carlos e medico”, “Carlos e professor”, isto é: 
p : Carlos é medico V Carlos e professor. 
 
 A proposição q é a disjunção exclusiva das proposições simples “Mario é alagoano”, 
“Mario é gaucho”, isto é: 
q : Mario é alagoano V Mario é gaucho. 
 
 De um modo geral, chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição 
representada simbolicamente por “p V q”, que se lê: “ou p ou q” ou “p ou q, mas não ambos”, 
cujo valor lógico é verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q e verdadeira, mas não 
quando p e q são ambas verdadeiras, e falsidade (F) quando p e q são ambas verdadeiras ou 
ambas falsas. 
 
O valor lógico da disjunção exclusiva de duas proposições e definido pelaseguinte tabela – 
verdade: 
 
 
 
 
 
 
 
1.3.4 Condicional (Implicação) 
 Chama-se condicional uma proposição representada por “se p então q” cujo valor lógico 
é falsidade (F) quando p é verdadeira e q é falsa e verdade (V) nos outros casos. 
 É denotado por: 
 
 
 
 
Na condicional “p → q” , diz-se que p é o antecedente e o q o consequente. O símbolo “→” e 
chamado de implicação. 
 
Exemplos: 
a) Observe a frase: “Se nasci em Fortaleza, então sou cearense.” 
 Qual é a única maneira de essa proposição estar incorreta?. Ora, só há um modo de essa 
frase ser falsa: se a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa. Ou seja, se é verdade 
que eu nasci em Fortaleza, então necessariamente é verdade que eu sou cearense. 
 Se alguém disser que é verdadeiro que eu nasci em Fortaleza, e que é falso que eu sou 
cearense, então este conjunto estará todo falso. 
Percebam que o fato de eu ter nascido em Fortaleza é condição suficiente para que se 
torne um resultado necessário que eu seja cearense. 
b) Observe a situação: 
 João trabalha em uma estação meteorológica e faz a seguinte afirmação no dia 03 de 
março: “Se a umidade subir acima de 90 %, então choverá em menos de 24 horas.” 
Vamos verificar as proposições: 
p: A umidade sobe acima de 90 % q: Choverá em menos de 24 horas. 
 Até o dia 05, embora a umidade estivesse a 95 % durante as últimas 48 horas, não choveu. 
Isso significa que a afirmação feita anteriormente era falsa, ou seja: 
 V(p → q) : F | V(v → f): F. 
p q p V q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
p → q 
 
Pode ser lida das seguintes formas: 
I. p implica q 
II. se p então q 
III. p é condição suficiente para q 
IV. q é condição necessária para p 
 
 O valor lógico da condicional de duas proposições e definido pela seguinte tabela – 
verdade: 
 
 
 
 
 
 
OBS: 
I – Alguns modos de escrita da proposição condicional, veja a frase: “Se chove, então faz frio”. 
Poderá também ser dita das seguintes maneiras: 
● Se chove, faz frio. 
● Faz frio, se chove. 
● Quando chove, faz frio. 
● Chover implica fazer frio. 
● Chover é condição suficiente para fazer frio. 
● Fazer frio é condição necessária para chover. 
● Chove somente se faz frio. 
● Toda vez que chove, faz frio. 
 
II – Uma condicional p → q não afirma que o conseqüente q se deduz ou é conseqüência do 
antecedente p. 
Exemplo: 
As condicionais: ● 7 é um número ímpar → Brasília é uma cidade. 
 ● 3 + 5 = 9 → SANTOS DUMONT nasceu no Ceará , 
não estão a afirmar, de modo nenhum, que o fato de “Brasília ser uma cidade” se deduz do fato 
de “7 ser um número ímpar” ou que a proposição “SANTOS DUMONT nasceu no Ceará” é 
conseqüência da proposição “3 + 5 = 9 ”. O que uma condicional afirma é unicamente uma 
relação entre os valores lógicos do antecedente e do consequente de acordo com a tabela-
verdade anterior, ou seja, o condicional não afirma a veracidade do antecedente e do 
conseqüente, mas a relação existente entre eles. 
 
II - A partir da condicional p → q podemos obter as seguintes proposições: 
 i - q → p é a sua 
recíproca; 
 ii - ~ p → ~ q é a sua 
contrapositiva. 
p q p → q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
Exemplo: 
a) Dada a condicional: "Se 4 é par então 4 é divisível por 2". 
i) a recíproca: "Se 4 é divisível por 2 então 4 é par". 
ii) a contrapositiva: "Se 4 não é divisível por 2 então 4 não é par". 
 
1.3.5 Bicondicional 
 chama-se proposição bicondicional uma proposição representada por “p se e somente 
se q” cujo valor lógico é a verdade (V) quando p e q são ambas, verdadeira ou falsas e a 
falsidade (F) nos demais casos. 
Simbolicamente, a bicondicional de duas proposições p e q indica-se com a notação: 
 
 
 
 
Exemplos: 
a) Observe a frase: “Eduardo fica alegre se e somente se Mariana sorri”. 
É o mesmo que fazer a conjunção entre as duas proposições condicionais: 
 “Eduardo fica alegre somente se Mariana sorri e Mariana sorri somente se Eduardo fica alegre”. 
Ou ainda, dito de outra forma: 
“Se Eduardo fica alegre, então Mariana sorri e se Mariana sorri, então Eduardo fica alegre”. 
São construções de mesmo sentido. 
b) João é careca, sse João não tem cabelo. 
Isso na verdade implica: 
i. Se João é careca, então João não tem cabelo e 
ii. Se João não tem cabelo, então João é careca. 
Obrigatoriamente, as duas proposições simples que compõem cada uma das proposições 
condicionais i e ii devem ser: ambas verdadeiras ou falsas, para a bicondicional ser verdadeira. 
 
A bicondicional é uma conjunção entre duas condicionais, então a bicondicional será falsa 
somente quando os valores lógicos das duas proposições que a compõem forem diferentes. Em 
suma: haverá duas situações em que a bicondicional será verdadeira: quando antecedente e 
conseqüente forem ambos verdadeiros, ou quando forem ambos falsos. Nos demais casos, a 
bicondicional será falsa. Ou seja: 
Uma proposição bicondicional "p se e somente se q" equivale à proposição composta: “se p 
então q e se q então p”, {“ p ↔ q “ é a mesma coisa que “ (p → q) e (q → p) }“ , logo ela só é 
verdade quando as duas condicionais tem o mesmo valor lógico. 
p ↔ q 
 
Pode ser lida das seguintes formas: 
I. p é condição necessária e suficiente para q 
II. q é condição necessária e suficiente para p 
III.. p se e somente se q (o mais utilizado) podendo ter a abreviação “p sse q”. 
O valor lógico da bicondicional de duas proposições e definido pela seguinte tabela – 
verdade: 
 
 
 
 
 
OBS: 
São também equivalentes à bicondicional "p se e somente se q" as seguintes expressões 
( A e B, são proposições): 
● A se e só se B. 
● Se A então B e se B então A. 
● A somente se B e B somente se A. 
● A é condição suficiente para B e B é condição suficiente para A. 
● B é condição necessária para A e A é condição necessária para B. 
●Todo A é B e todo B é A. 
●Todo A é B e reciprocamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p q p ↔ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
INDUÇÃO MATEMÁTICA 
 
Introdução: 
 
O Princípio da Indução é um eficiente instrumento para a demonstração de fatos referentes aos 
números naturais. Por isso deve-se adquirir prática em sua utilização. Por outro lado, é importante 
também conhecer seu significado e sua posição dentro do arcabouço da Matemática. Entender o 
Princípio da Indução é praticamente o mesmo que entender os números naturais. 
Apresentamos abaixo uma breve exposição sobre os números naturais, onde o Princípio da 
Indução se insere adequadamente e mostra sua força teórica antes de ser utilizado na lista de 
exercícios propostos ao final. 
 
Indução Matemática: 
Teorema: Seja P(n) uma proposição associada a cada inteiro positivo n e que satisfaz às duas 
seguintes condições: 
1) P(1) é verdadeira. 
2) Para todo inteiro k, se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) também é verdadeira. Nestas 
condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo inteiro positivo n. 
 
- Princípio da Indução Finita (PIF). 
Teorema: Seja S um subconjunto do conjunto N dos inteiros positivos (S ⊂ N) que satisfaz as 
duas seguintes propriedades: 
1) 1 pertence a S (1∈S). 
2) Para todo inteiro positivo k, se k ∈ S, então (k + 1) ∈ S; 
3) Nestas condições, S é o conjunto N dos inteiros positivos: S = N. 
 
- Outra Forma da Indução Matemática: 
Teorema: Seja r um número inteiro positivo fixo e seja P(n) uma proposição associada a cada 
inteiro n ≥ r e que satisfaça às duas seguintes condições: 
1) P(r) é verdadeira. 
2) Para todo inteirok ≥ r, se P(k) é verdadeiro, então P(k + 1) é verdadeiro; 
3) Nestas condições, P(n) é verdadeira para todo inteiro n ≥ r. 
 
Questões Resolvidas 
 
01) Demonstrar por "indução matemática", as questões abaixo: 
1) 12 + 22 + 32 + ... + n2 = ∀ n ∈ N. 
 
2) 13 + 23 + 33 + ... + n3 = ∀ n ∈ N. 
 
3) 12 + 32 + 52 + ... + (2n – 1)2 = ∀ n ∈ N. 
 
4) 13 + 33 + 53 + ... + (2n –1)3 = n2(2n2 – 1) 
 
5) 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) = . 
6) a + aq + aq2 + ... + aqn = , q ≠ 1. 
 
02) Demonstrar por “indução matemática”: 
1) 2n < 2n+1 ∀ n ∈ N. 
 
2) n ! > n2 ∀ n ≥ 4. 
 
3) 2n > n2 ∀ n ≥ 5. 
 
4) 24 | (52n – 1) ∀ n ∈ N. 
 
5) 5 | (8n – 3n) ∀ n ∈ N. 
 
6) 4n > n4 ∀ n ≥ 5.