Prova de Análise Combinatória e Probabilidade

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Prova de Análise Combinatória e Probabilidade – ITA 
 
1 - (ITA-13) Seja p uma probabilidade sobre um espaço 
amostral finito Ω . Se A e B são eventos de Ω tais que p(A) 
= 1/2 , p (B) = 1/3 e p (A ∩ B) = 1/4, as probabilidades dos 
eventos A − B , A ∪ B e AC∪ BC 
são, respectivamente, 
a) 1/4, 5/6 e 1/4 b) 1/6, 5/6 e 1/4 c) 1/6, 7/12 e 3/4 
d) 1/3, 5/6 e 1/3 e) 1/4, 7/12 e 3/4 
 
2 - (ITA-13) Considere os seguintes resultados 
relativamente ao lançamento de uma moeda: 
I. Ocorrência de duas caras em dois lançamentos. 
II. Ocorrência de três caras e uma coroa em quatro 
lançamentos. 
III. Ocorrência de cinco caras e três coroas em oito 
lançamentos. 
Pode-se afirmar que 
a) dos três resultados, I é o mais provável. 
b) dos três resultados, II é o mais provável. 
c) dos três resultados, III é o mais provável. 
d) os resultados I e II são igualmente prováveis. 
e) os resultados II e III são igualmente prováveis. 
 
3 - (ITA-12) Deseja-se trocar uma moeda de 25 
centavos, usando-se apenas moedas de 1, 5 e 10 
centavos. Então, o número de diferentes maneiras em 
que a moeda de 25 centavos pode ser trocada é igual a 
A) 6 B)8 C) 10 D) 12 E) 14 
 
4 - (ITA-12) Dois atiradores acertam o alvo uma vez a 
cada três disparos. Se os dois atiradores disparam 
simultaneamente, então a probabilidade do alvo ser 
atingido pelo menos uma vez é igual a 
a) 
2
9
 b) 
1
3
 c) 
4
9
 d) 
5
9
 e) 
2
3
 
 
5 - (ITA-12) Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, 
ambos finitos e não-vazios, tais que 
       n P A P B 1 n P A B    . Então, a 
diferença    n A n B pode assumir 
a) um único valor. 
b) apenas dois valores distintos. 
c) apenas três valores distintos. 
d) apenas quatro valores distintos. 
e) mais do que quatro valores distintos. 
 
6 - (ITA-11) Numa caixa com 40 moedas, 5 apresentam 
duas caras, 10 são normais (cara e coroa) e as demais 
apresentam duas coroas. Uma moeda é retirada ao 
acaso e a face observada mostra uma coroa. A 
probabilidade de a outra face desta moeda também 
apresentar uma coroa é 
A) 7/8 B) 5/7 C) 5/8 D) 3/5 E) 3/7 
 
7 - (ITA-10) Um palco possui 6 refletores de iluminação. 
Num certo instante de um espetáculo moderno os 
refletores são acionados aleatoriamente de modo que, 
para cada um dos refletores, seja de 
3
2
 a probabilidade 
de ser aceso. Então, a probabilidade de que, neste 
instante, 4 ou 5 refletores sejam acesos 
simultaneamente, é igual a 
(A) 
27
16
 (B) 
81
49
 (C) 
243
151
 (D) 
729
479
 (E) 
5
5
4
4
3
2
3
2
 
 
8 - (ITA-09) Sejam A e B subconjuntos do conjunto 
universo },,,,,,,{ hgfedcbaU  . Sabendo que 
  },,{ hgfAB CC  , },{ baABC  e },{\ edBAC  , 
então,   BAPn  é igual a 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 8 
 
9 - (ITA-09) Uma amostra de estrangeiros, em que 18% 
são proficientes em inglês, realizou um exame para 
classificar a sua proficiência nesta língua. Dos 
estrangeiros que são proficientes em inglês, 75% foram 
classificados como proficientes. Entre os não 
proficientes em inglês, 7% foram classificados como 
proficientes. Um estrangeiro desta amostra, escolhido 
ao acaso, foi classificado como proficiente em inglês. A 
probabilidade deste estrangeiro ser efetivamente 
proficiente nesta língua é de aproximadamente 
a) 73%. b) 70%. c) 68%. d) 65%. e) 64%. 
 
10 - (ITA-08) Considere uma população de igual número 
de homens e mulheres, em que sejam daltônicos 5% 
dos homens e 0,25% das mulheres. Indique a 
probabilidade de que seja mulher uma pessoa daltônica 
selecionada ao acaso nessa população. 
21
1
)a 
8
1
)b 
21
3
)c 
21
5
)d 
4
5
)e 
 
11 - (ITA-08) Considere o conjunto D = {n  N; 1  n  
365} e H  P (D) formado por todos os subconjuntos de 
D com 2 elementos. Escolhendo ao acaso um elemento 
B  H, a probabilidade de a soma de seus elementos ser 
183 é igual a 
 
 
2 
a) 
730
1
 b) 
33215
46
 c) 
365
1
 d) 
33215
92
 e) 
730
91
 
 
12 - (ITA-07) Determine quantos números de 3 
algarismos podem ser formados com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, 
satisfazendo à seguinte regra: O número não pode ter 
algarismos repetidos, exceto quando iniciar com 1 ou 2, 
caso em que o 7 (e apenas o 7) pode aparecer mais de 
uma vez. Assinale o resultado obtido. 
a) 204 b) 206 c) 208 d) 210 e) 212 
 
13 - (ITA-06) Considere uma prova com 10 questões de 
múltipla escolha, cada questão com 5 alternativas. 
Sabendo que cada questão admite uma única 
alternativa correta, então o número de formas possíveis 
para que um candidato acerte somente 7 das 10 
questões é: 
a) 44.30 b) 43.60 c) 53.60 d) 





3
7
43 e) 





7
10
 
 
14 - (ITA-05) Retiram-se 3 bolas de uma urna que 
contém 4 bolas verdes, 5 bolas azuis e 7 bolas brancas. 
Se P1 é a probabilidade de não sair bola azul e P2 é a 
probabilidade de todas as bolas saírem com a mesma 
cor, então a alternativa que mais se aproxima de P1 + 
P2 é: 
a) 0,21 b) 0,25 c) 0,28 d) 0,35 e) 0,40 
 
15 - (ITA-04) Considere 12 pontos distintos dispostos no 
plano, 5 dos quais estão numa mesma reta. Qualquer 
outra reta do plano contém, no máximo, 2 destes 
pontos. Quantos triângulos podemos formar com os 
vértices nestes pontos? 
a) 210 b) 315 c) 410 d) 415 e) 521 
 
16 - (ITA-04) O termo independente de x no 
desenvolvimento do binômio 
12
3
3
x3
5x
5x
x3








 é: 
a) 729 b) 972 c) 891 d) 376 e) 165 
 
17 - (ITA-03) Considere o conjunto S = {(a, b) ϵ IN x IN: a 
+ b = 18}. A soma de todos os números da forma 
!b!a
!18
 , 
 (a, b)  S, é: 
a) 86 b) 9! c) 96 d) 126 e) 12! 
 
18 - (ITA-03) O número de divisores de 17 640 que, por 
sua vez, são divisíveis por 3 é: 
a) 24 b) 36 c) 48 d) 54 e) 72 
 
19 - (ITA-02) Quantos anagramas com 4 letras distintas 
podemos formar com as 10 primeiras letras do alfabeto 
e que contenham 2 das letras a, b e c? 
a) 1692 d) 1512 
b) 1572 e) 1392 
c) 1520 
 
20 - (ITA-01) A respeito das combinações an = 





n
n2
 e 
bn = 





1n
n2
 temos que, para cada n = 1, 2, 3, ... , a 
diferença an – bn é igual a: 
a) na1+n
!n
 b) na1+n
n2
 c) na1+n
n
 
d) na1+n
2
 e) na1+n
1
 
 
 
21 - (ITA-01) Considere os números de 2 a 6 algarismos 
distintos formados utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. 
Quantos destes números são ímpares e começam com 
um dígito par? 
a) 375 b) 465 c) 545 d) 585 e) 625 
 
22 - (ITA-00) Quantos números de seis algarismos 
distintos podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 
e 6, nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições 
adjacentes, mas o 3 e o 4 sempre ocupam posições 
adjacentes? 
(A) 144 (B) 180 (C) 240 (D) 288 (E)360 
 
23 - (ITA-99) Listando-se em ordem crescente todos os 
números de cinco algarismos distintos formados com os 
elementos do conjunto {1, 2, 4, 6, 7}, o número 62417 
ocupa o n-ésimo lugar. Então n é igual a: 
a) 74 b) 75 c) 79 
d) 81 e) 92 
 
24 - (ITA-98) O número de anagramas da palavra 
VESTIBULANDO, que não apresentam as cinco vogais 
juntas, é: 
a) 12! b) (8!)(5!) c) 12! – (8!)(5!) 
d) 12! – 8! e) 12! – (7!)(5!) 
 
25 - (ITA-97) Sejam m  N e n   * com m  10 e x  
 * . Seja D o desenvolvimento do binômio (a + b)
m, 
ordenado segundo as potências crescentes de b. 
Quando nxa  e 
2nxb  , o sexto termo de D fica 
independente de x. Quando xa  e n
1
xb

 , o oitavo 
termo de D se torna independente de x. Então m é igual 
a 
 
 
3 
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 
 
26 - (ITA-96) Dadas as afirmações: 
I- Nn,2
n
n
1n
n 
.......
2
n
1
n
0
n n 







































 
II- n,1,2,3.....kN,n . 
k-n
n 
k
n















 
III- Existem mais possibilidades de escolher 44 números 
diferentesentre os números inteiros de 1 a 50 do que 
escolher 6 números diferentes entre os números 
inteiros de 1 a 50. Conclui-se que: 
a) Todas são verdadeiras 
b) Apenas a afirmação I e II são verdadeiras. 
c) Apenas I é verdadeira. 
d) Apenas II é verdadeira. 
e) Apenas II e III são verdadeiras. 
 
27 - (ITA-96) Três pessoas A, B e C, chegam no mesmo 
dia a uma cidade onde há cinco hotéis H1, H2, H3, H4 e 
H5. Sabendo que cada hotel tem pelo menos três 
vagas, qual/quais das seguintes afirmações, referentes 
à distribuição das três pessoas nos cinco hotéis, é/são 
correta(s)? 
I- Existe um total de 120 combinações 
II- Existe um total de 60 combinações se cada pessoa 
pernoitar num hotel diferente 
III- Existe um total de 60 combinações se duas e apenas 
duas pessoas pernoitarem no mesmo hotel 
a) Todas as afirmações são verdadeiras. 
b) Apenas a afirmação I é verdadeira. 
c) Apenas a afirmação II é verdadeira. 
d) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras. 
e) Apenas as afirmações II e III são verdadeiras. 
 
28 - (ITA-95) Considere todos os números de cinco 
algarismos formados pela justaposição de 1, 3, 5, 7 e 9 
em qualquer ordem, sem repetição. A soma de todos 
esses números está entre: 
a) 5.106 e 6.106. b) 6.106 e 7.106. c) 7.106 e 8.106. 
d) 9.106 e 10.106. e) 10.106 e 11.106. 
 
29 - (ITA-95) Para cada n  N, temos que: 
 1 – 






2
n4
 + 






4
n4
 – ... – 






 2n4
n4
 + 1 é igual a: 
a) (– 1)n22n. b) 22n. c) (– 1)n2n. 
d) (– 1)n+1 22n. e) (– 1)n+1 2n. 
 
30 - (ITA-94) Quantas anagramas com 6 caracteres 
distintos podemos formar usando as letras da palavra 
QUEIMADO, anagramas estes que contenham duas 
consoantes e que, entre as consoantes, haja pelo 
menos uma vogal? 
a) 7200 b) 7000 c) 4800 
d) 3600 e) 2400 
 
31 - (ITA-94) No desenvolvimento de 10
2
)
3
2m
2
3a
(A  , a 
razão entre a parcela contendo o fator a16m2 e a parcela 
contendo o fator a14m3 é igual a 9/16. Se a e m são 
números reais positivos tais que 52 )4m(A  então: 
a) a .m = 2/3 b) a .m = 1/3 c) a + m = 5/2 
d) a + m = 5 e) a – m = 5/2 
 
32 - (ITA-93) Possuo 3 vasos idênticos e desejo 
ornamentá-los com 18 rosas, sendo 10 vermelhas e 8 
amarelas. Desejo que um dos vasos tenha 7 rosas e os 
outros dois no mínimo 5. Cada um deverá ter 2 rosas 
vermelhas e 1 amarela, pelo menos. Quantos arranjos 
distintos poderei fazer usando as 18 rosas? 
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 
 
33 - (ITA-93) Analisando as afirmações classificando-as 
em verdadeira ou falsa: 
I. O número de maneiras que podemos distribuir 5 
prêmios iguais a 7 pessoas de modo que cada pessoa 
premiada receba no máximo um prêmio é 21. 
II. O número de maneiras que podemos distribuir 5 
prêmios iguais a sete pessoas de modo que 4 e apenas 
4 sejam premiadas é 140. 
III. Para todo natural n, n ≥ 5, 
n n
n5 5





 






 . 
Você concluiu que: 
a) apenas I é verdadeira d) todas são verdadeiras 
b) apenas II e III são verdadeiras e) todas são falsas 
c) apenas III é verdadeira 
 
34 - (ITA-92) No desenvolvimento (x + y)6, ordenado 
segundo as potências decrescentes de x, a soma do 2o 
termo com 1/10 do termo de maior coeficiente é igual a 
oito vezes a soma de todos os coeficientes. Se x = (2)z+1 
e y = (1/4)z – 1/2, então: 
a) z  [0, 1] b) z  (20, 50) c) z  (- , 0] 
d) z  [1, 15] e) n.d.a. 
 
35 - (ITA-91) Uma escola possui 18 professores sendo 7 
de Matemática, 3 de Física e 4 de Química. De quantas 
maneiras podemos formar comissões de 12 professores 
de modo que cada uma contenha exatamente 5 
professores de Matemática, com no mínimo 2 de Física 
e no máximo 2 de Química ? 
a) 875 b) 1877 c) 1995 d) 2877 e) n.d.a. 
 
 
4 
 
36 - (ITA-90) Há muito tempo atrás, quando poucas 
pessoas eram versadas na arte de contar, houve uma 
grande tempestade no oceano. Um navio, colhido pelo 
tufão, foi salvo graças ao trabalho excepcional de dois 
marinheiros. Terminada a borrasca, o capitão, decidido 
a recompensar seus dois comandados pelo serviço bem 
executado, anunciou que dividiria entre eles no dia 
seguinte o conteúdo de um pequeno baú com moedas 
de ouro, tendo encarregado o seu imediato desta 
tarefa. Acontece que os dois marinheiros eram muito 
amigos e, querendo evitar o constrangimento de uma 
partilha pública, um deles teve a ideia na madrugada de 
pegar a sua parte do prêmio. Indo ao baú, este 
marinheiro separou as moedas em dois grupos 
idênticos e, para sua surpresa, sobrou uma moeda. Não 
sabendo como proceder, jogou-a ao mar para 
agradecer aos deuses a sua sobrevivência e pegou a 
parte que lhe cabia. Porém, mais tarde o segundo 
marinheiro teve exatamente a mesma ideia. Indo ao 
baú, ele separou as moedas em dois montes iguais e, 
para surpresa sua, sobrou uma moeda. Jogou-a ao mar 
como agradecimento pela sua sorte e tomou a parte 
que lhe cabia da recompensa. Pela manhã os dois 
marinheiros se sentiram constrangidos em comunicar o 
procedimento noturno. Assim, o imediato separou as 
moedas em dois grupos e verificou que sobrava uma. 
Deu a cada marinheiro a sua parte do prêmio e tomou 
para si a moeda restante como paga pelos seus 
cálculos. 
Sabendo-se que a razão entre as moedas ganhas pelo 
primeiro e pelo segundo marinheiros foi de 29/17 então 
o número de moedas que havia originalmente no baú 
era: 
a) 99 b) 95 c) 135 d) 87 e) n.d.a. 
 
37 - (ITA-89) Considere o desenvolvimento (x + y)10 = 
A1x10 + A2x9y + …, onde x e y são números reais. A oitava 
parcela do lado direito é igual a 3k )2(log
2
405
, para 
algum k > 1, 
2log
klog2
x
k
2 e 
klog2
2log
y
2
k
 . Neste caso: 
a) k2 = 2 b) k2 = 3 c) k3 = 2 d) k3 = 7 
e) k3 = 5 
 
38 - (ITA-89) Escreva e desenvolvimento do binômio 
(tg3x – cosec6x)m, onde m é um número inteiro maior 
que zero, em termos de potências inteiras de sen x e 
cos x. Para determinados valores do expoente, este 
desenvolvimento possuirá uma parcela P, que não 
conterá a função sen x. Seja m o menor valor para o 
qual isto ocorre. Então P = – 64/9 quando x for igual a: 
a) x = /3 + 2k, k inteiro 
b) x = /3 + k, k inteiro 
c) c = /4 + k, k inteiro 
d) x = /6 + 2k, k inteiro 
e) não existe x satisfazendo a igualdade desejada. 
 
39 - (ITA-88) No desenvolvimento de (1 + 3x)m, a razão 
entre os coeficientes dos termos de terceiro e primeiros 
graus em x é 6(m – 1). O valor de m é: 
a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 
 
40 - (ITA-88) Considere (P) um polígono regular de n 
lados. Suponha que os vértices de (P) determinem 2n 
triângulos, cujos lados não são lados de (P). O valor de n 
é: 
a) 6 b) 8 c) 10 d) 20 e) Não existe 
polígono regular com esta propriedade. 
 
41 - (ITA-88) A soma das medidas dos ângulos internos 
de um polígono regular é 2160º. Então o número de 
diagonais deste polígono, que não passam pelo centro 
da circunferência que o circunscreve, é: 
a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90 
 
42 - (ITA-87) Quantos números de 3 algarismos distintos 
podemos formar, empregando caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 
9? 
a) 60 b) 120 c) 240 d) 40 e) 80 
 
43 - (ITA-87) O número de arranjos de n + 2 objetos 
tomados cinco a cinco vale 180n. Nestas condições, 
concluímos que: 
a) n é um número par 
b) n é um número primo 
c) n está compreendido entre 100 e 200 
d) n é um número par 
e) n é divisível por 5 
 
44 - (ITA-86) No conjunto C dos números complexos 
seja a tal que |a| < 1. O lugar geométrico dos pontos z 
 C que satisfazem a igualdade 1
za1
az



 é: 
a) Uma circunferência de centro na origem e raio 1. 
b) Uma hipérbole. 
c) Uma elipse de semi-eixo maior igual a 1. 
d) Uma parábola. 
e) Formado por duas retas concorrentes. 
 
 
 
5 
45 - (ITA-84) O valor de m, tal que 





m
0p
p 7292
p
m
, é: 
a) 14 b) 9 c) 6 d) 7 e) 8 
 
46 - (ITA-83) Um general possui n soldados para tomar 
uma posição inimiga. Desejando efetuar um ataque 
com dois grupos, um frontal com r soldados e outro da 
retaguarda com s soldados (r + s = n), ele poderá dispor 
seus homens de: 
a) 
)!sr(
!n

 maneiras distintas neste ataque. 
b) 
!s!r
!n
 maneiras distintas neste ataque. 
c) 
)!rs(
!n
 maneiras distintas neste ataque. 
d) 
)!sr(
)!n(2

 maneiras distintas neste ataque. 
e) 
!s!r
)!n(2
 maneiras distintas neste ataque. 
 
 
 
6 
 
GABARITO 
 
1 E 
2 D 
3 D 
4 D 
5 A 
6 * 
7 A 
8 C 
9 B 
10 A 
11 A 
12 E 
13 A 
14 E 
15 A 
16 E 
17 A 
18 C 
19 D 
20 E 
21 D 
22 A 
23 D 
24 C 
25 B 
26 B 
27 E 
28 B 
29 A 
30 A 
31 C 
32 B 
33 D 
34 C 
35 D 
36 B 
37 C 
38 D 
39 C 
40 B 
41 C 
42 B 
43 D 
44 C 
45 C 
46 B 
 
 
 
1 
Prova de Conjuntos – ITA 
 
1 - (ITA-13) Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto 
universo U. Das afirmações: 
I. A \ (B∩C) = (A \ B) ∪ (A \ C) 
II. (A∩C) \ B = A ∩ BC ∩ C 
III. (A \ B) ∩ (B \ C) = (A \ B) \ C 
É (são) verdadeira(s) 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas I e II. 
d) apenas I e III. 
e) todas. 
 
2 - (ITA-12) Sejam A , B e C subconjuntos de um 
conjunto universo U . Das afirmações: 
 I.    C CA \ B \ C A B C   ; 
 II.    
C
C CA \ B \ C A B C   ; 
 III.  
CC CB C B C   , 
é (são) sempre verdadeira(s) apenas 
a) I. b) II. c) III. d) I e III. e) II e III. 
 
3 - (ITA-11) Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios 
tais que A  B e n ({C : C  B / A}) = 128. 
Então, das afirmações abaixo: 
 I. n(B) – n(A) é único; 
 II. n(B) + n(A) ≤ 128; 
III. a dupla ordenada (n(A) – n(B)) é única; 
É (são) verdadeira(s): 
a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) 
apenas I e II. e) nenhuma. 
 
4 - (ITA-11) A expressão 4e2x + 9e2y – 16ex – 54ey + 61 = 
0, com x e y reais, representa 
A) o conjunto vazio 
B) um conjunto unitário 
C) um conjunto não-unitário com um número finito de 
pontos 
D ) um conjunto com um número infinito de pontos. 
E ) o conjunto {(x,y)  IR2/ 2(ex – 2)2 + 3(ey – 3)2 = 1} 
 
5 - (ITA-10) Considere as afirmações abaixo relativas a 
conjuntos A,B e C quaisquer: 
I. A negação de  x A B é: x Aou x B 
II.           A B C A B A C 
III.           A B B A A B A B 
Destas é (são) falsa(s) 
(A) Apenas I (B) Apenas II (C) Apenas III 
(D) Apenas I e III (E) Nenhuma 
 
6 - (ITA-10) Considere os conjuntos RBA , e 
)( BAC  . Se BA , CA e CB são os 
domínios das funções reais definidas por )ln( x ,
862  xx e 
x
x


5

, respectivamente, pode-se 
afirmar que 
(A) [5,] C . (B) ],2[ C . 
(C) [5,2[C . (D) ]4,[C . 
(E) C não é intervalo. 
 
7 - (ITA-09) Uma empresa possui 1000 carros, sendo 
uma parte com motor a gasolina e o restante com 
motor “flex” (que funciona com álcool e gasolina). 
Numa determinada época, neste conjunto de 1000 
carros, 36% dos carros com motor a gasolina e 36% dos 
carros com motor “flex” sofrem conversão para 
também funcionar com gás GNV. Sabendo-se que, após 
esta conversão, 556 dos 1000 carros desta empresa são 
bicombustíveis, pode-se afirmar que o número de 
carros tricombustíveis é igual a 
a) 246 b) 252 c) 260 d) 268 e) 284 
 
8 - (ITA-08) Sejam X, Y, Z, W subconjuntos de N tais que 
(X – Y)  Z = {1, 2, 3, 4}, Y = {5, 6}, Z  Y = , W  (X - Z) 
= {7, 8}, X  W  Z = {2, 4}. Então o conjunto [X  (Z  
W)] – [W  (Y  Z)] é igual a: 
a) {1, 2, 3, 4, 5} b) {1, 2, 3, 4, 7} 
c) {1, 3, 7, 8} d) {1, 3} e) {7, 8} 
 
9 - (ITA-07) Seja A um conjunto com 14 elementos e B 
um subconjunto de A com 6 elementos. O número de 
subconjuntos de A com um número de elementos 
menor ou igual a 6 e disjuntos de B é 
a) 28 – 9 b) 28 – 1 
c) 28 – 26 d) 214 – 28 e) 28 
 
10 - (ITA-06) Seja U um conjunto não vazio com n 
elementos, n ≥ 1. Seja S um subconjunto de P(U) com a 
seguinte propriedade: 
 Se A, B ϵ S, então A  B ou B  A. 
Então, o número máximo de elementos que S pode ter 
é: 
a) 2 n–1. 
b) n/2, se n for par, e (n + 1)/2 se n for ímpar 
c) n + 1 d) 2n – 1 e) 2n–1 + 1 
 
 
 
2 
11 - (ITA-06) Sejam A e B subconjuntos finitos de um 
mesmo conjunto X, tais que n(B\A), n(A\B) e n(A  B) 
formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de 
razão r > 0. Sabendo que n(B\A) = 4 e n(A  B) + r = 64, 
então, n(A\B) é igual a: 
a) 12 b) 17 c) 20 d) 22 e) 24 
 
12 - (ITA-05) Considere os conjuntos S = {0, 2, 4, 6}, T = 
{1, 3, 5} e U = {0, 1] e as afirmações: 
I – {0}  S e S  U  . 
II – {2}  S \ U e S  T  U = {0, 1}. 
III – Existe uma função f : S  T injetiva. 
IV – Nenhuma função g : T  S é sobrejetiva. 
Então, é(são) verdadeira(s) 
a) apenas I. b) apenas IV. c) apenas I e IV. 
d) apenas II e III. e) apenas III e IV. 
 
13 - (ITA-04) Considere as seguintes afirmações sobre o 
conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}: 
I -   U e n (U) = 10. 
II -   U e n (U) = 10. 
III – 5  U e {5}  U. 
IV – {0, 1, 2, 5}  {5} = 5 
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s). 
a) apenas I e III b) apenas II e IV c) apenas II e III 
d) apenas IV e) todas as afirmações 
 
14 - (ITA-04) Seja o conjunto S = { r  ℚ : r  0 e r2  2}, 
sobre o qual são feitas as seguintes afirmações: 
I - S
5
7
eS
4
5
 
II -    S2x0:x   
III - S2  
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) apenas: 
a) I e II b) I e III c) II e III 
d) I e) II 
 
 
 
15 - (ITA-02) Sejam A um conjunto com 8 elementos e B 
um conjunto tal que A  B contenha 12 elementos. 
Então, o número de elementos de P (B\A)  P () é 
igual a: 
a) 8 b) 16 c) 20 d) 17 e) 9 
 
16 - (ITA-01) Sejam X, Y e Z subconjuntos próprios de R, 
não-vazios. Com respeito às afirmações: 
I. x  {[Y  (X  Y) C]  [X  YC) C } 
II. Se Z  X então (Z  Y)  (X  (Z C Y)} = X  Y. 
III. Se (X  Y)C  
a) apenas I é verdadeira. 
b) apenas I e II são verdadeiras. 
c) apenas I e III são verdadeiras. 
d) apenas II e III são verdadeiras 
e) todas são verdadeiras. 
 
17 - (ITA-00) Duas retas 1r e 2r são paralelas à reta 
373  yx e tangentes à circunferência 
0222  yxyx . Se 1d é a distância de 1r até a 
origem e 2d a distância de 2r até a origem, então 
21 dd  é igual a : 
(A) 12 (B) 15 (C) 7 (D) 10 (E) 5 
 
18 - (ITA-00) Seja ]2,2[S e considere as 
afirmações: 
(I) 6
2
1
4
1







x
, para todo Sx . 
(II) 
32
1
232
1

 x
 , para todo Sx . 
(III) 0222  xx , para todo Sx . 
Então, podemos afirmar que: 
(A) Apenas I é verdadeira. 
(B) Apenas III é verdadeira. 
(C) Somente I e II são verdadeiras. 
(D) Apenas II é falsa. 
(E) Todas as afirmações são falsas. 
 
 
 
 
 
 
 
3 
19 - (ITA-99) Sejam E, F, G e H subconjuntos não vazios 
de R. Considere as afirmações: 
I - Se (E x G)  (F x H), então E  F e G  H. 
II - Se (E x G)  (F x H), então (E x G)  (F x H) = F x H. 
III - Se (E x G)  (F x H) = F x H, então (E x G)  (F x H). 
Então: 
 
a) Apenas a afirmação (I) é verdadeira. 
b) Apenas a afirmação (II) é verdadeira. 
c) Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras. 
d) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras. 
e) Todas as afirmações são verdadeiras. 
 
20 - (ITA-97) Seja n N com n > 1 fixado. Considere o 
conjunto: 






 nq0 ,dosen.Zq,p:
q
p
A . 
Definimos f:    por n2)]x!n[cos()x(f  . Se f(A) 
denota a imagem do conjunto A pela função f , então: 
a) f(A) = ]-1, 1[ b) f(A) = [0, 1] c) f(A) = {1} 
d) f(A) = {0} e) f(A) = {0, 1} 
 
21 - (ITA-96) Sejam A e B subconjuntos não vazios de R, 
e considere as seguintes afirmações: 
I- (A - B) C  (B  A C)C =  
II- (A - BC)C = B - AC 
III- [(AC - B)  (B - A)] C = A 
Sobre essas afirmaçõespodemos garantir que: 
a) Apenas a afirmação I é verdadeira. 
b) Apenas a afirmação II é verdadeira. 
c) Apenas a afirmação III é verdadeira. 
d) Todas as afirmações são verdadeiras. 
e) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras. 
 
22 - (ITA-95) Seja









 
 Nn;
6
!.n
sen
!n
)1(
A
n
 
Qual conjunto abaixo é tal que sua intersecção com A 
dá o próprio A? 
a) (–  , – 2) [2, ) b) (–  , – 2) c) [– 2, 2] 
d) [– 2, 0] e) [0, 2] 
 
23 - (ITA-91) Se A = {x  : |x2 + x + 1|  |x2 + 2x – 3|}, 
então temos: 
a) A = [ – 2 , ]  [4 , +  [ 
b) A = [
2
1 , 4] 
c) A = [ – 3 , 1] 
d) A = ] –  , – 3]  [1, + [ 
e) n.d.a. 
 
24 - (ITA-89) Sejam A, B e C subconjuntos de , não 
vazios, e A – B = {p  ; p  A e p  B}. Dadas as 
igualdades: 
1) (A – B)xC = (AxC) – (BxC) 
2) (A – B)xC = (AxB) – (BxC) 
3) (AB) – A  (BA) – B 
4) A – (BC) = (A – B)(A – C) 
5) (A – B)(B – C) = (A – C)(A – B) 
Podemos garantir que: 
a) 1 e 2 são verdadeiras 
b) 1 e 5 são verdadeiras 
c) 3 e 4 são verdadeiras 
d) 1 e 4 são verdadeiras 
e) 1 e 3 são verdadeiras 
 
25 - (ITA-89) Sejam A e B subconjuntos de IR, não 
vazios, possuindo M mais de um elemento. Dada uma 
função f: AB, definimos L: AAxB por L(a) = (a., f(a)), 
para todo a  A. Podemos afirmar que: 
a) A função L sempre será injetora. 
b) A função L sempre será sobrejetora. 
c) Se f for sobrejetora, então L também o será 
d) Se f não for injetora, então L também não o será 
e) Se f for bijetora, então L será sobrejetora 
 
26 - (ITA-88) Sejam A, B e C subconjuntos do conjunto 
dos números reais. Então podemos afirmar que: 
a) (A  B)C = AC  BC 
b) (A  B)C = AC  BC 
c) Se A  B então AC  BC 
d) (A  B)  CC = (AC  C)C  (BC  C)C 
e) A  (B  C)C = (A  BC)  (A  CC) 
26 - (ITA-87) Sejam F e G dois subconjuntos não vazios 
de IR. Assinale a alternativa correta. 
a) Se F  G e G  F, então necessariamente F = F  G. 
b) Se F  G é o conjunto vazio, então necessariamente F 
 G = IR. 
c) Se F  G e G  F então F  G = F  G. 
d) Se F  G = F, então necessariamente G  F. 
e) Se F  G e G  IR, então (F  G)  G = IR. 
 
27 – (ITA-85) Sejam X um conjunto não vazio; A e B dois 
subconjuntos de X. Definimos AC = {x  X tal que x  A} 
e A – B = {x  A tal que x  B}. 
Dadas as sentenças: 
1. A  B =   A  BC  B  AC, onde “” significa 
“equivalente” e  o conjunto vazio; 
2. Se X – IR; A = {x  IR tal que x3 – 1 = 0}; B = {x  IR tal 
que x2 – 1 = 0} e C = {x  IR tal que x – 1 = 0}, então A = 
C = B; 
3. A –  = A e A = B = A – (A  B); 
 
 
4 
4. A – B  A  BC; 
Podemos afirmar que está (estão) correta(s): 
a) As sentenças 1 e 3. 
b) As sentenças 1, 2 e 4. 
c) As sentenças 3 e 4. 
d) As sentenças 2, 3 e 4. 
e) Apenas a sentença 2. 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
GABARITO 
 
1 C 
2 C 
3 A 
4 D 
5 E 
6 C 
7 B 
8 C 
9 A 
10 C 
11 B 
12 B 
13 C 
14 D 
15 B 
16 B 
17 D 
18 A 
19 E 
20 C 
21 A 
22 C 
23 A 
24 D 
25 E 
26 C 
27 A 
 
 
 
1 
Prova de Equações Algébricas – ITA 
 
1 - (ITA-13) A soma de todos os números reais x que 
satisfazem a equação 8√𝑥+1 + 44 (2√𝑥+1) + 64 =
19 (4√𝑥+1)é igual a 
a) 8 b) 12 c) 16 d) 18 e) 20 
 
2 - (ITA-13) Se os números reais a e b satisfazem, 
simultaneamente, as equações √𝑎√𝑏= 1/2 e ln(𝑎2 + 𝑏 ) 
ln8 = ln 5,um possível valo de a/b 
a) √2/2 b) 1 c) √2 d) 2 e) 3 √2 
 
3 - (ITA-12) Sejam 1r , 2r e 3r números reais tais que 
1 2r r e 1 2 3r r r  são racionais. Das afirmações: 
 I. Se 1r é racional ou 2r é racional, então 3r é 
racional; 
 II. Se 3r é racional, então 1 2r r é racional; 
 III. Se 3r é racional, então 1r e 2r são racionais, 
é (são) sempre verdadeira(s) 
a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d)apenas I e II. 
e) I, II e III. 
 
4 - (ITA-12) Considere um número real a 1 positivo, 
fixado, e a equação em x 
2x xa 2 a 0    , R . 
Das afirmações: 
 I. Se 0  , então existem duas 
soluções reais distintas; 
 II. Se 1   , então existe apenas uma 
solução real; 
 III. Se 0  , então não existem 
soluções reais; 
 IV. Se 0  , então existem duas 
soluções reais distintas, 
é (são) sempre verdadeira(s) apenas 
a) I. b) I e III. c) II e III. d) II e IV. e) I, III e IV. 
 
5 - (ITA-11) O produto das raízes da equação 
2 3 2 2 3x x x   
 é igual a: 
A) -5. B) -1. C) 1. D) 2. E) 5. 
 
6 - (ITA-10) A expressão    55 532532  é 
igual a 
(A) 2630 5 (B) 2690 5 
(C) 2712 5 (D) 1584 15 (E) 1604 15 
7 - (ITA-08) Para X  R, o conjunto solução |53x – 52x + 1 
+ 4 . 5x| = |5x – 1| é: 
a)  32,52,0  b)   52log,1,0 5  
c) 
















2
2
log,3log
2
1
,2log
2
1
,0 222 
d)       32log,32log,52log,0 555  
e) A única solução é x = 0. 
 
 
8 - (ITA-07) Sejam x, y e z números reais positivos tais 
que seus logaritmos numa dada base k são números 
primos satisfazendo 
 




.44zxlog
,49)yx(log
k
k
 
Então,  zyxlogk  é igual a 
a) 52 b) 61 c) 67 d) 80 e) 97 
 
9 - (ITA-07) Sejam x e y dois números reais tais que xe , 
ye e o quociente 
5e4
52e
y
x


 são todos racionais. A 
soma yx  é igual a 
a) 0 b) 1 
c) 3log2 5 d) 2log5 e) 2log3 e 
 
10 - (ITA-07) Sobre a equação na variável real x, 
0231x  , podemos afirmar que 
a) ela não admite solução real. 
b) a soma de todas as suas soluções é 6. 
c) ela admite apenas soluções positivas. 
d) a soma de todas as soluções é 4. 
e) ela admite apenas duas soluções reais. 
 
11 - (ITA-06) Considere a equação (ax – a–x)/ (ax + a–x) = 
m, na variável real x, com 0 < a  1. O conjunto de todos 
os valores de m para os quais esta equação admite 
solução real é 
a) (–1, 0)  (0, 1) b) (–,–1)  (1, +) 
c) (–1, 1) d) (0, ) e) (–, +) 
 
12 - (ITA-05) Sobre o número x = 3347  é 
correto afirmar que 
a) x  ]0, 2[ b) x é racional c) x2 é irracional 
d) x2 é irracional e) x  ]2, 3[ 
 
 
 
2 
13 - (ITA-05) O menor inteiro positivo n para o qual a 
diferença 1nn  fica menor que 0,01 é 
a) 2499 b) 2501 c) 2500 d) 3600 e) 4900 
 
14 - (ITA-05) Considere a equação em x: ax+1 = b1/x, onde 
a e b são números reais positivos, tais que ln b = 2 ln a > 
0. A soma das soluções da equação é 
a) 0 b) –1 c) 1 d) ln 2 e) 2 
 
15 - (ITA-04) Seja  um número real, com 0 <  < 1. 
Assinale a alternativa que representa o conjunto de 
todos os valores de x tais que 1
α
1
α
22x
2x 







. 
a) ] - , 0]  [2, + [ b) ] - , 0[  ]2, + [ c) ]0, 2[ 
d) ] - , 0[ e) ]2, + [ 
 
16 - (ITA-03) Das afirmações abaixo sobre a equação z4 
+ z3 + z2 + z + 1 = 0 e suas soluções no plano complexo: 
I – A equação possui pelo menos um par de raízes reais. 
II – A equação possui duas raízes de módulo 1, uma raiz 
de módulo menor que 1 e uma raiz de módulo maior 
que 1. 
III – Se x  N* e r é uma raiz qualquer desta equação, 
então 
2
1
 
3
r
n
1 k
k


. 
é (são) verdadeira(s): 
a) nenhuma. d) apenas III. 
b) apenas I. e) apenas I e III. 
c) apenas II. 
 
17 - (ITA-03) Seja k  IR tal que a equação 2x3 + 7x2 + 4x 
+ k = 0 possua uma raiz dupla e inteira x1 e uma raiz x2, 
distinta de x1. Então, (k + x1) x2 é igual a: 
a) – 6 b) – 3 c) 1 d) 2 e) 8 
 
 
18 - (ITA-02) Considere as seguintes afirmações sobre 
números reais positivos: 
I – Se x > 4 e y < 2, então x2 – 2y > 12. 
II – Se x > 4 ou y < 2, então x2 – 2y > 12. 
III – Se x2 < 1 e y2 > 2, então x2 – 2y < 0. 
Então, destas é (são) verdadeira(s). 
a) Apenas I b) Apenas I e II c) Apenas II e III 
d) Apenas I e III e) Todas 
 
19 - (ITA-02) O seguinte trecho de artigo de um jornal 
local relata uma corrida beneficente de bicicletas: 
“Alguns segundos após a largada, Ralf tomou a 
liderança, seguido de perto por David e Rubinho, nesta 
ordem. Daí em diante, eles não mais deixaram as 
primeirastrês posições e, em nenhum momento da 
corrida, estiveram lado alado mais do que dois 
competidores. A liderança, no entanto, mudou de mãos 
nove vezes entre os três, enquanto que em mais oito 
ocasiões diferentes aqueles que corriam na segunda e 
terceira posição trocaram de lugar entre si. Após o 
término da corrida, Rubinho reclamou para nossos 
repórteres que David havia conduzido sua bicicleta de 
forma imprudente pouco antes da bandeirada de 
chegada. Desse modo, logo atrás de David, Rubinho não 
pôde ultrapassá-lo no final da corrida.” 
Com base no trecho acima, você conclui que: 
a) David ganhou a corrida. 
b) Ralf ganhou a corrida. 
c) Rubinho chegou em terceiro lugar. 
d) Ralf chegou em segundo lugar. 
e) Não é possível determinar a ordem de chegada, 
porque o trecho não apresenta uma descrição 
matematicamente correta. 
 
20 - (ITA-01) Se a  R é tal que 3y2 – y + a = 0 tem raiz 
dupla, então a solução da equação 32x+1 – 3x + a = 0 
a) log2 6 b) – log2 6 c) log3 6 
d) – log36 e) 1 – log3 
 
21 - (ITA-01) Sendo dado 
( ) ( )n243
n
n43 2n...432 ln e a=2n...8642 ln = bn 
então, 
n2
n2ln
+...+
5
5ln
4
4ln
+
3
3ln
2
2ln
 
é igual a: 
a) an – 2bn d) bn – an 
b) 2an – bn e) an + bn 
c) an – bn 
 
22 - (ITA-00) A soma das raízes reais e positivas da 
equação 04254
22
 xx vale: 
(A) 2 (B) 5 (C) 2 
(D) 1 (E) 3 
 
23 - (ITA-00) Sendo I um intervalo de números reais 
com extremidades em a e b m com ba  , o número 
real ab  é chamado de comprimento de I . 
Considere a inequação: 04756
234  xxxx 
A soma dos comprimentos dos intervalos nos quais ela 
é verdadeira é igual a: 
(A) 
4
3
 (B) 
2
3
 (C) 
3
7
 
(D) 
6
11
 (E) 
6
7
 
 
 
3 
 
24 - (ITA-99) Seja a  R com a > 1. O conjunto de todas 
as soluções reais da inequação a2x(1 – x) > ax – 1, é: 
a) ] – 1, 1[ b) ]1, + [ c) ] – ½, 1[ 
d) ] – , 1[ e) vazio 
 
25 - (ITA-99) Seja S o conjunto de todas as soluções 
reais da equação: log¼ (x + 1) = log4 (x – 1). Então: 
a) S é um conjunto unitário e S  ] 2, + [. 
b) S é um conjunto unitário e S  ] 1, 2[. 
c) S possui dois elementos distintos e S  ] – 2, 2[. 
d) S possui dois elementos distintos e S  ] 1, +  [. 
e) S é o conjunto vazio. 
 
26 - (ITA-98) Considere a, b   e a equação: 
 2e3x + a.e2x + 7ex + b = 0. 
Sabendo que as três raízes reais x1 , x2 , x3 desta 
equação formam, nesta ordem, uma progressão 
aritmética cuja soma é igual a zero, então a – b vale: 
a) 5 b) – 7 c) – 9 d) – 5 e) 9 
 
27 - (ITA-95) Uma vez, para todo x  1 e n  N, vale a 
desigualdade xn > n(x – 1). Temos como conseqüência 
que, para 0 < x < 1 e n  N, tem-se: 
a) xn – 1 < [n(1 + x)]– 1 b) xn – 1 < [(n + 1)(1 + x)]– 1 
c) xn – 1 < [n2(1 – x)]– 1 d) xn – 1 < [(n + 1)(1 – x)]–1 
e) xn – 1 < [n(1 – x)]– 1 
 
28 - (ITA-94) Sejam x e y números reais, com x  0, 
satisfazendo (x + iy)2 = (x + y)i, então: 
a) x e y são números irracionais. 
b) x > 0 e y < 0. 
c) x é uma raiz da equação x3 + 3x2 + 2x - 6 = 0 
d) x < 0 e y = z. 
e) x2 + xy + y2 = 1/2 
 
29 - (ITA-94) A identidade: 
1xx
cbx
1x
a
1
1x
4x
23
3







é válida para todo real x  -1. Então a + b + c é igual a: 
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 
 
30 - (ITA-94) As raízes da equação de coeficientes reais 
x3 + ax2 + bx + c = 0 são inteiros positivos consecutivos. 
A soma dos quadrados dessas raízes é igual a 14. Então 
a2 + b2 + c2 é igual a: 
a) 190 b) 191 c) 192 d) 193 e) 194 
 
31 - (ITA-92) A igualdade  
 













n
0k
m
0j
mnk 2
j
m
7
k
n
)1( = 
64 é válida para: 
a) Quaisquer que sejam n e m naturais positivos. 
b) Qualquer que seja n natural positivo e m = 3. 
c) n = 13 e m = 6. 
d) n ímpar e m par. 
e) n.d.a. 
 
32 - (ITA-88) Sabendo-se que as soluções da equação 
x2 - x - 6 = 0 são raízes da equação x2 – ax + b = 0, 
podemos afirmar que: 
a) a = 1 e b = 6 b) a = 0 e b = - 6 
c) a = 1 e b = - 6 d) a = 0 e b = - 9 
e) não existem a e b tais que x2 – ax + b = 0 contenha 
todas as raízes da equação dada. 
 
 
 
 
4 
 
GABARITO 
 
 
1 D 
2 A 
3 E 
4 C 
5 A 
6 B 
7 D 
8 A 
9 E 
10 D 
11 C 
12 B 
13 B 
14 B 
15 C 
16 D 
17 B 
18 D 
19 E 
20 D 
21 C 
22 C 
23 D 
24 C 
25 B 
26 D 
27 E 
28 C 
29 D 
30 D 
31 B 
32 D 
 
 
 
1 
Prova de Funções – ITA 
 
1 - (ITA-13) Considere as funções f e g, da variável real x, 
definidas, respectivamente, por 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
2+𝑎𝑥+𝑏 e 
𝑔(𝑥) = 𝑙𝑛 (
𝑎𝑥
3𝑏
), em que a e b são números reais. Se 
𝑓(−1) = 1 = 𝑓(−2) , então pode-se afirmar sobre a 
função composta g o f que 
a) g o f(1) = ln 3 
b) não existe g o f (0) 
c) g o f nunca se anula 
d) g o f está definida apenas em { x ∈IR : x > 0} 
e) g o f admite dois zeros reais distintos. 
 
2 - (ITA-13) Considere funções f, g, f + g : IR →IR. Das 
afirmações: 
I. Se f e g são injetoras, f + g é injetora 
II. Se f e g são sobrejetoras, f + g é sobrejetora 
III. Se f e g não são injetoras, f + g não é injetora 
IV. Se f e g não são sobrejetoras, f + g não é sobrejetora 
é (são) verdadeira(s) 
a) nenhuma 
b) apenas I e II 
c) apenas I e III 
d) apenas III e IV 
e) todas 
 
3 - (ITA-10) Sejam f,g: , tais que f é par e g é 
ímpar. Das seguintes afirmações 
I. f.g é ímpar, II fog é par, III gof é impar, 
 
é (são) verdadeiras 
(A) apenas I. (B) apenas II. (C) apenas III. 
(D) apenas I e II. (E) todas. 
 
4 - (ITA-09) Seja }0{\: IRIRf  uma função 
satisfazendo às condições: ( ) ( ) ( )f x y f x f y  , para 
todo IRyx , e ( ) 1f x  , para todo }0{\IRx . 
Das afirmações: 
I. f pode ser ímpar. II. (0) 1f  . 
III. f é injetiva. IV. f não é sobrejetiva, pois 
( ) 0f x  para todo IRx . 
é (são) falsa(s) apenas 
A ( ) I e III. B ( ) II e III. C ( ) I e IV. D ( ) IV. E ( ) I. 
 
5 - (ITA-09) Considere as funções f (x) = x4 +2x3 -2x -1 e g 
(x) = x2 -2x +1. 
A multiplicidade das raízes não reais da função 
composta fog é igual a 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
6 - (ITA-08) Um subconjunto D de R tal que a função f: 
DR, definida por f(x) = |In(x2 - x + 1)| é injetora, é 
dado por 
a) R b) (- , 1] 
c) [0,1/2] d) (0,1) e) [1/2, ) 
 
7 - (ITA-06) Seja f: IR  IR definida por f(x) = 77 
sen[5(x + /6)] e seja B o conjunto dado por B = {x  IR: 
f(x) = 0}. Se m é o maior elemento de B  (–, 0) e n é o 
menor elemento de B  (0, +), então m + n é igual a 
a) 2/15 b) /15 c) –/30 
d) –/15 e) –2/15 
 
8 - (ITA-06) Se para todo z  ℂ, |f(z)| = |z| e |f(z) – f(1)| 
= |z – 1|, então, para todo z  ℂ, )1(f f(z) + f(1) )z(f é 
igual a 
a) 1 b) 2z c) 2 Re z 
d) 2 Im z e) 2|z|2. 
 
9 - (ITA-05) Seja D = IR \ {1} e f : D  D uma função 
dada por 
1x
1x
)x(f


 
Considere as afirmações: 
I – f é injetiva e sobrejetiva. 
II – f é injetiva, mas não sobrejetiva. 
III – 0
x
1
f)x(f 





 , para todo x  D, x  0. 
IV – f(x) . f(–x) = 1, para todo x  D. 
Então, são verdadeiras: 
a) apenas I e III. b) apenas I e IV c) apenas II e III 
d) apenas I, III e IV e) apenas II, III e IV 
 
10 - (ITA-04) Considere a função  : ℝ  ℂ, (x) = 2 cos 
x + 2i sen x. Então, x, y  ℝ, o valor do produto (x) 
(y) é igual a: 
a) (x + y) b) 2(x + y) c) 4i (x + y) 
d)  (xy) e) 2 (x) + 2i (y) 
 
11 - (ITA-04) Sejam as funções  e g definidas em ℝ por 
(x) = x2 + x e g(x) = - (x2 + x), em que  e  são 
números reais. Considere que estas funções são tais 
que: 
 G 
Valor 
mínimo 
Ponto de 
mínimo 
Valor 
máximo 
Ponto de 
máximo 
-1 < 0 
4
9
 > 0 
 
 
2 
Então, a soma de todos os valores de x para os quais 
(fog) (x) = 0 é igual a: 
a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 
 
12 - (ITA-03) Considere a função: 
 : Z \ {0}  IR, (x) =       1 3 - 9 3 x15 2x x211 2x 2 - x  . 
A soma de todos os valores de x para os quais a 
equação y2 + 2y + (x) = 0 temraiz dupla é: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 6 
 
13 - (ITA-03) Considere uma função  : IR  IR não-
constante e tal que  (x + y) = (x) (y), x, y  IR. 
Das afirmações: 
I - (x) > 0, x  IR. 
II - (nx) = [(x)]n, x  IR, n  IN*. 
III -  é par. 
é (são) verdadeira(s): 
a) apenas I e II. d) todas. 
b) apenas II e III. e) nenhuma. 
c) apenas I e III. 
 
 
14 - (ITA-03) Considere os contradomínios das funções 
arco-seno e arco-cosseno como sendo 




 

2
 ,
2
 e [0, ], 
respectivamente. Com respeito à função  : [-1, 1]  





 

2
3
 ,
2
 , (x) = arcsen x arccos x, temos que: 
a)  é não-crescente e ímpar. c)  é injetora. 
b)  não é par nem ímpar. d)  é constante. 
c)  é sobrejetora. 
 
15 - (ITA-02) Sejam a, b, c reais não-nulos e distintos, c > 
0. Sendo par a função dada por 
  c, x c - ,
b x 
b ax 
 xf 


 então f(x), para – c < x < c, é 
constante e igual a: 
a) a + b d) b 
b) a + c e) a 
c) c 
 
16 - (ITA-02) Os valores de x  R, para os quais a função 
real por   | 6 - | 1 -2x | | - 5 xf está definida, formam 
o conjunto. 
a) [0, 1] d) [- 5, 6] 
b) [- 5, 6] e) (- , 0]  [1, 6] 
c) [- 5, 0]  [1, ) 
 
17 - (ITA-02) Sejam  e g duas funções definidas por 
      R. x ,
1 - 2sen3
2
1
 xg e 
1 -sen x 3
2  





x
xf A 
soma do valor mínimo de  com o valor mínimo de g é 
igual a: 
a) 0 b) 
4
1
  c) 
4
1
 d) 
2
1
 e) 1 
 
18 - (ITA-02) Seja  : R  P(R) dada por 
   x} sen R; {  yyxf . 
Se A é tal que (x) = R,  x A, então . 
a) A= [- 1, 1]. b) A = [a, ),  a > 1. 
c) A = [a, ),  a  1. d) A = (- , a],  a < - 1. 
e) A = (- , a],  a  - 1. 
 
19 - (ITA-02) Dada a função quadrática 
  
2
3
 In 
4
1
 - In6 
3
2
 In x xf 2  
temos que: 
a) A equação (x) = 0 não possui raízes reais. 
b) A equação (x) = 0 possui duas raízes reais distintas e 
o gráficos de  possui concavidade para cima. 
c) A equação (x) = 0 possui duas raízes reais iguais e o 
gráfico de  possui concavidade para baixo. 
d) O valor máximo de  é 
ln2 - ln3
ln2.ln3
 
. 
 
E. ( ) o valor máximo de f é 2
ln2 - ln3
ln2.ln3
 
 . 
 
20 - (ITA-01) Se f : ]0, 1[  R é tal que, x  ]0,1[,... 
f(x)  
2
1
 e 











 







2
1x
f
2
x
f
4
1
)x(f 
então a desigualdade válida para qualquer n = 1, 2, 3, 
...e 0  x  1 é: 
a) f(x) + 
2
1
<
2
1
n d) f(x)  n2
1
 
b) n2
1
 f(x)  
2
1
 e) f(x)  
n2
1
 
c) 1+n2
1
 f(x)  
2
1
 
 
21 - (ITA-01) Considere as funções 
f(x) = 
4
75
=)x(g,
4
7+5 xx
 e h(x) = arc tg a: 
Se  é tal que h (f(a)) + h(g(a) =  /4, então f(a) – g(a) 
vale: 
a) 0 b) 1 c) 
4
7
 d) 
2
7
 e) 7 
 
 
 
3 
22 - O conjunto de todos os valores de m para os quais 
a função 
f(x) = 
)2m(x)1m2(x
)3m(x)3m2(x
22
22


 
está definida e é não negativa para todo x real é: 
a) 





4
7
 ,
4
1
 b) 





 ,
4
1
 c) 





4
7
 ,0 
d) 






4
1
 , e) 





4
7
 ,
4
1
 
 
23 - (ITA-00) Sejam RRgf :, definidas por 
3)( xxf  e xxg 5cos310)(  . Podemos afirmar que: 
(A) f é injetora e par e g é ímpar. 
(B) g é sobrejetora e fg  é par. 
(C) f é bijetora e fg  é ímpar. 
(D) g é par e fg  é impar. 
(E) f é ímpar e fg  é par. 
 
24 - (ITA-00) Seja 
 

20
0 )!20(!
!20
)(
n
nx
nn
xf uma 
função real de variável real em que !n indica o fatorial 
de n . Considere as afirmações: 
(I) 2)1( f . 
(II) 0)1( f . 
(III) 1)2( f . 
Podemos concluir que : 
(A) Somente as afirmações I e II são verdadeiras. 
(B) Somente as afirmações II e III são verdadeiras. 
(C) Apenas a afirmação I é verdadeira. 
(D) Apenas a afirmação II é verdadeira. 
(E) Apenas a afirmação III é verdadeira. 
 
25 - (ITA-00) Considere RRf : definida por 





 

2
cos3sen2)(
x
xxf . Sobre f podemos 
afirmar que: 
(A) É uma função par. 
(B) É uma função ímpar e periódica de período 
fundamental 4 . 
(C) É uma função ímpar e periódica de período 
fundamental 34 . 
(D) É uma função periódica de período fundamental 2
(E) Não é par, não é ímpar e não é periódica. 
 
26 - (ITA-99) Sejam f, g: R  R funções definidas por f(x) 
= 
x
2
3





 e g(x) = 
x
3
1





 . Considere as afirmações: 
I - Os gráficos de f e g não se interceptam. 
II- As funções f e g são crescentes. 
III- f(– 2) g(– 1) = f( – 1) g(– 2). 
Então: 
a) Apenas a afirmação (I) é falsa. 
b) Apenas a afirmação (III) é falsa. 
c) Apenas as afirmações (I) e (II) são falsas. 
d) Apenas as afirmações (II) e (III) são falsas. 
e) Todas as afirmações são falsas. 
 
27 - (ITA-99) Sejam f, g: R  R funções definidas por f(x) 
= 
x
2
3





 e g(x) = 
x
3
1





 . Considere as afirmações: 
I - Os gráficos de f e g não se interceptam. 
II- As funções f e g são crescentes. 
III- f(– 2) g(– 1) = f( – 1) g(– 2). 
Então: 
a) Apenas a afirmação (I) é falsa. 
b) Apenas a afirmação (III) é falsa. 
c) Apenas as afirmações (I) e (II) são falsas. 
d) Apenas as afirmações (II) e (III) são falsas. 
e) Todas as afirmações são falsas. 
 
28 - (ITA-99) Considere as funções f e g definidas por 
f(x) = x – 2/x, para x  0 e g(x) = 
1x
x

, para x  – 1. O 
conjunto de todas a s soluções da inequação 
(gof)(x)< g(x) é: 
a) [1, + [ b) ]– , – 2[ c) [– 2, – 1[ 
d) ]– 1, 1[ e) ]– 2, – 1[  ]1, + [ 
 
29 - (ITA-98) Seja f:   a função definida por: 
 f(x) = 2sen 2x – cos 2x 
Então: 
a) f é impar e periódica de período . 
b) f é par e periódica de período /2. 
c) f não é par nem ímpar e é periódica de período . 
d) f não é par e é periódica de período /4. 
e) f não é ímpar e não é periódica. 
 
30 - (ITA-98) Seja f:   a função definida por: 
f(x) = – 3ax , onde a é um número real, 0 < a < 1. Sobre 
as afirmações: 
(I) f(x + y) = f(x).f(y), para todo x, y  . 
(II) f é bijetora. 
(III) f é crescente e f( ] 0 , +[ ) = ]-3 , 0[. 
Podemos concluir que: 
a) Todas as afirmações são falsas. 
 
 
4 
b) Todas as afirmações são verdadeiras. 
c) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras. 
d) Apenas a afirmação (II) é verdadeira. 
e) Apenas a afirmação (III) é verdadeira. 
 
31 - (ITA-98) Sejam as funções f:   e g:A  , 
tais que 
 f(x) = x2 – 9 e (fog)(x) = x - 6, 
em seus respectivos domínios. Então, o domínio A da 
função g é: 
a) [– 3, +[ b)  c) [ – 5 , +[ 
d) ]–  , – 1[[3 , + [ e) ] –  , 6 [ 
 
32 - (ITA-97) Se Q e I representam, respectivamente, o 
conjunto dos números racionais e o conjunto dos 
números irracionais, considere as funções . 
definidas por 
 (x) = 





I x se 1,
Q x se 0,
 g (x) = 





I x se 0,
Q x se 1,
 
Seja J a imagem da função composta og :   . 
Podemos afirmar que: 
a) J =  b) J = Q c) J = {0} 
d) J = {1} e) J = {0,1} 
 
33 - (ITA-97) O domínio D da função 
 (x) = ln 










x3 + 2x-
 + x ) + (1- x
2
22
 é o conjunto 
a) D = { x  : 0 < x < 3 / 2} 
b) D = { x  : x < 1/  ou x > } 
c) D = { x  : 0 < x  1/ ou x   } 
d) D = { x  : x > 0} 
e) D = { x  : 0 < x < 1/ ou  < x < 3/2 } 
 
34 - (ITA-97) Sejam f ,g :  funções tais que: 
g(x) = 1 – x e  (x) + 2 (2 – x ) = (x – 1)3 
para todo x  . Então  [g(x)] é igual a: 
a) (x – 1)3 b) (1 – x)3 c) x3 d) x e) 2 – x 
 
35 - (ITA-96) Seja *: f   uma função injetora tal 
que f(1) = 0 e f(x.y) = f(x) + f(y) pra todo x > 0 e y > 0. Se 
x1, x2, x3, x4 e x5 formam nessa ordem uma progressão 
geométrica, onde xi > 0 para i = 1, 2, 3, 4, 5 e sabendo 
que 


5
1i
1i )x(f2)2(f13)x(f e 
 







4
1i
1
1i
i )x2(f2
x
x
f , então 
o valor de x1 é: 
a) -2 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1 
 
36 - (ITA-96) Considere as funções reais f e g definidas 
por: 
2x1
x21
)x(f


 , x  R - { -1, 1} e 
x21
x
)x(g

 , x  R - { -1/2}. 
O maior subconjunto de R onde pode ser definida a 
composta fog, tal que (fog)(x) < 0, é: 
a) ]-1, -1/2[  ]-1/3, -1/4[ b) ]- , -1[  ]-1/3, -1/4[ 
c) ]- , -1[  ]-1/2, 1[ d) ]1, [ 
e) ]-1/2, -1/3[ 
 
37 - (ITA-96) Seja RR:f  definida por: 






0x,3x4x
0x,3x3
)x(f 2 
a) f é bijetora e )21(f)3/2)(fof( 1 . 
b) f é bijetora e )99(f)3/2)(fof( 1 . 
c) f é sobrejetora mas não é injetora. 
d) f é injetora mas não é sobrejetora. 
e) f é bijetora e )3(f)3/2)(fof( 1 . 
 
38 - (ITA-95) Seja a função f:    definida por: 
 






(a/x)senx/2)(
 /2)a(x
)x(f
π
π
 
2/x,se
2/x,se


 
onde a > 0 é uma constante. Considere K = { y  R; )y(f
=0}. Qual o valor de a, sabendo-se que )2/(f   K? 
a) /4 b) /2 c)  d) 2/2 e) 2 
 
39 - (ITA-95) Os dados experimentais da tabela abaixo 
correspondem às concentrações de uma substância 
química medida em intervalos de 1 segundo. 
Assumindo que a linha que passa pelos três pontos 
experimentais é uma parábola, tem-se que a 
concentração (em moles) após 2,5 segundo é: 
Tempo(s) Concentração(moles) 
 1 3,00 
 2 5,00 
 3 1,00 
a) 3,60 b) 3,65 c) 3,70 d) 3,75 e) 3,80 
 
40 - (ITA-94) Dadas as funções reais de variável real f(x) 
= mx + 1 e g(x) = x + m, onde m é uma constante real 
com 0 < m < 1, considere as afirmações: 
I- (fog)(x) = (gof)(x), para algum x  R. 
II- f(m) = g(m) 
III- Existe a  R tal que (fog)(a) = f(a). 
IV- Existe b  R tal que (fog)(b) = mb. 
V- 0 < (gog)(m) < 3 
Podemos concluir 
a) Todas são verdadeiras. 
b) Apenas quatro são verdadeiras. 
c) Apenas três são verdadeiras. 
d) Apenas duas são verdadeiras. 
e) Apenas uma é verdadeira. 
 
 
5 
 
41 - (ITA-93) Seja  uma função não nula, ímpar e 
periódica de período p. Considere as seguintes 
afirmações: 
I. f(p)  0 III. f(– x) = f(x – p), x  R 
II. f(– x) = – f(x + p),  x  R IV. f(x) = – f(– x) ,  x  R 
Podemos concluir que: 
a) I e II são falsas. 
b) I e III são falsas. 
c) II e III são falsas. 
d) I e IV são falsas. 
e) II e IV são falsas. 
 
42 - (ITA-93) Um acidente de carro foi presenciado por 
1/65 da população de Votuporanga (SP). O número de 
pessoas que soube do acontecimento t horas após é 
dado por: f(t) = 
B
Ce kt1 
 , onde B é a população da 
cidade. Sabendo-se que 1/9 da população soube do 
acidente 3 horas após, então o tempo que se passou 
até que 1/5 da população soubesse da notícia foi de: 
a) 4 horas d) 5 horas e 24 min 
b) 5 horas e) 5 horas e 30 min 
c) 6 horas 
 
43 - (ITA-92) Considere as funções f:*, g:, e 
h:* definidas por: x
1
x
3)x(f

 , g(x) = x2, h(x) = 81/x. 
O conjunto dos valores de x em * tais que (fog)(x) = 
(hof)(x), é subconjunto de: 
a) [0, 3] b) [3, 7] c) [-6, 1] d) [-2, 2] e) n.d.a. 
 
44 - (ITA-92) O domínio da função: 
)2x5x3(log)x(f 2
1x3x2 2


é: 
a) (- , 0)  (0, 1/2)  (1, 3/2)  (3/2, + ) 
b) (- , 1/2)  (1, 5/2)  (5/2, + ) 
c) (- , 1/2)  (1/2, 2/3)  (1, 3/2)  (3/2, + ) 
d) (- , 0)  (1, + ) 
e) n.d.a. 
 
45 - (ITA-92) Dadas as funções f: e g :, 
ambas estritamente decrescentes e sobrejetoras, 
considere h = fog. Então podemos afirmar que: 
a) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é 
estritamente crescente. 
b) h é estritamente decrescente, inversível e sua inversa 
é estritamente crescente. 
c) h é estritamente crescente, mas não 
necessariamente inversível. 
d) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é 
estritamente decrescente. 
e) nda 
 
46 - (ITA-91) Considere as afirmações: 
I- Se f:  é uma função par e g: uma função 
qualquer, então a composição gof é uma função par. 
II- Se f:  é uma função par e g:  uma função 
ímpar, então a composição fog é uma função par. 
III- Se f:  é uma função ímpar e inversível então 
f –1:  é uma função ímpar. 
Então: 
a) Apenas a afirmação I é falsa; 
b) Apenas as afirmações I e II são falsas; 
c) Apenas a afirmação III é verdadeira; 
d) Todas as afirmações são falsas; 
e) n.d.a. 
 
47 - (ITA-91) Sejam a , a > 1 e f:  definida por 
f(x) = 
2
x
a
x
a

 . A função inversa de f é dada por: 
a) loga(x – 12x  ), para x > 1 
b) loga( – x + 1x2  ), para x  
c) loga(x + 1x2  ), para x  
d) loga( – x + 1x2  ), para x < -1 
e) nda 
 
48 - (ITA-91) Seja  definida por: 
f(x) = 










1 xse , x ln
1x0 se , 1x
0 xse , e
2
x
 
Se D é um subconjunto não vazio de  tal que f: D 
é injetora, então: 
a) D =  e f(D) = [ – 1 , +[ 
b) D = ] –  , 1]  ]e , +[ e f(D) = ] – 1 , +[ 
c) D = [0 , + [ e f(D) = ] – 1 , +[ 
d) D = [0 , e] e f(D) = [ – 1 , 1] 
e) n.d.a. 
Notação: f(D) = {y  : y = f(x), x  D} e ln x denota o 
logaritmo neperiano de x. 
Observação: esta questão pode ser resolvida 
graficamente. 
 
49 - (ITA-90) Dadas as funções f(x) = 
x
x
e1
e1

 , X   - {0} 
g(x) = x sen x, x  IR, podemos afirmar que: 
a) ambas são pares. b) f é par e g é ímpar. 
c) f é ímpar e g é par. d) f não é par e nem ímpar e g é 
par. 
e) ambas são ímpares. 
 
 
 
6 
50 - (ITA-90) Seja f:  a função definida por f(x)=









1 xse 4,
1x1 se ,x
1 xse 2,x
2 
Lembrando que se A  então f- – 1(A) = {x  :f(x)  A} 
considere as afirmações: 
I- f não é injetora e f – 1 ([3 , 5]) = {4} 
II- f não é sobrejetora e f – 1 ([3 , 5]) = f – 1 ([2 , 6]) 
III- f é injetora e f – 1 ([0 , 4]) = [ – 2 , +[ 
Então podemos garantir que: 
a) Apenas as afirmações II e III são falsas; 
b) As afirmações I e III são verdadeiras; 
c) Apenas a afirmação II é verdadeira; 
d) Apenas a afirmação III é verdadeira; 
e) Todas as afirmações são falsas. 
 
51 - (ITA-90) Seja a função f:  – {2}   – {3} definida 
por f(x) = 1
2 -x 
3 -2x 
 . Sobre sua inversa podemos 
garantir que: 
a) não está definida pois f é não injetora. 
b) não está definida pois f não é sobrejetora. 
c) está definida por f – 1 (y) = 3. y ,
3 -y 
2 -y 
 
d) está definida por f – 1 (y) = 3. y , 1
3 -y 
5 +y 
 
e) está definida por f – 1 (y) = 3. y , 
3 -y 
5 -2y 
 
 
52 - (ITA-90) Sejam as funções f e g dadas por: 
f:   , f(x) = 





1|x| se 0
1|x| se 1
 
g:  – {1}  , g(x) = 
1x
3x2


 
Sobre a composta (fog)(x) = f(g(x)) podemos garantir 
que: 
a) se x  
2
3 , f(g(x)) = 0 b) se 1 < x < 
2
3 , f(g(x)) = 1 
c) se 
3
4 < x < 2 , f(g(x)) = 1 d) se 1 < x  
3
4 , f(g(x)) = 1 
e) n.d.a 
 
53 - (ITA-89) Os valores de , 0 <  <  e   /2, para 
os quais a função f: IRIR dada por f(x) = 4x2 – 4x – tg2 
, assume seu valor mínimo igual a – 4, são: 
a) /4 e 3/4 b) /5 e 2/3 c) /3 e 2/3 
d) /7 e 2/7 e) 2/5 e 3/5 
 
54 - (ITA-89) Sejam A e B subconjuntos de IR, não 
vazios, possuindo M mais de um elemento. Dada uma 
função f: AB, definimos L: AAxB por L(a) = (a., f(a)), 
para todo a  A. Podemos afirmar que: 
a) A função L sempre será injetora. 
b) A função L sempre será sobrejetora. 
c) Se f for sobrejetora, então L também o será 
d) Se f não for injetora, então L também não o será 
e) Se f for bijetora, então L será sobrejetora 
 
55 - (ITA-88) Seja f: IR  IR uma função estritamente 
decrescente,isto é, quaisquer x e y reais com x < y tem-
se que f(x) > f(y). Dadas as afirmações: 
I. f é injetora. 
II. f pode ser uma função par. 
III. se f possui inversa então sua inversa é estritamente 
decrescente. 
Podemos assegurar que: 
a) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras. 
b) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.c) apenas a afirmação (I) é falsa. 
d) todas as afirmações são verdadeiras. 
e) apenas a afirmação (II) é verdadeira. 
 
56 - (ITA-88) Sejam f e g funções reais de variável real 
definidas por f(x) = ln (x2 – x) e 
x1
1
)x(g

 . Então o 
domínio de fog é: 
a) ]0, e[ d) ] – 1, 1[ 
b) ]0, 1[ e) ]1, +[ 
c) ]e, e + 1[ 
 
57 - (ITA-88) Considere A(x) = log ½ (2x2 + 4x + 3),  x  
IR. Então temos: 
a) A(x) > 1, para algum x  IR, x > 1. 
b) A(x) = 1, para algum x  IR. 
c) A(x) < 1, apenas para x  IR tal que 0 < x < 1. 
d) A(x) > 1, para cada x  IR tal que 0 < x < 1. 
e) A(x) < 1, para cada x  IR. 
 
58 - (ITA-88) Seja f(x) = log2 (x2 – 1),  x  IR, x < - 1. A 
lei que define a inversa de f é: 
a) y21 ,  y  IR b) y21 ,  y  IR 
c) y211  ,  y  IR d) y21 ,  y  IR, y  0 
e) y211  ,  y  IR, y  0 
 
59 - (ITA-88) O conjunto imagem da função f: [0, 1]  
[0, ] definida por f(x) = arc cos [(3x – 1)/2] é: 
a) {0, /4, 2/3} b) [0, ] c) [/4, 3/4] 
d) [0, 2/3] e) [0, /2] 
 
 
 
7 
60 - (ITA-87) Considere a função y = f(x) definida por f(x) 
= x3 – 2x2 + 5x, para cada x real. Sobre esta função, qual 
das afirmações abaixo é verdadeira? 
a) y = f(x) é uma função par 
b) y = f(x) é uma função ímpar 
c) f(x)  0 para todo real x 
d) f(x)  0 para todo real x 
e) f(x) tem o mesmo sinal de x, para todo real x  0 
 
61 - (ITA-87) Considere x = g(y) a função inversa da 
seguinte função: y = f(x) = x2 – x + 1, para número real x 
 1/2. Nestas condições, a função g é assim definida: 
a) 
4
3
y
2
1
)y(g  , para cada y  3/4 
b) 
4
1
y
2
1
)y(g  , para cada y  1/4 
c) 
4
3
y)y(g  , para cada y  3/4 
d) 
4
1
y)y(g  , para cada y  1/4 
e) 
2
1
y
4
3
)y(g  , para cada y  1/2 
 
62 - (ITA-87) Seja f:  uma função real tal que: f(x) 
 0, para cada x em  e f(x + y) = f(x).f(y), para todos x e 
y em . Considere (a1, a2, a3, a4) uma PA de razão r, tal 
que a1 = 0. Então (f(a1), f(a2), f(a3), f(a4)) 
a) É uma PA de razão igual a f(r) e 1 termo f(a1) = f(0) 
b) É uma PA de razão igual a r 
c) É uma PG de razão igual a f(r) e 1 termo f(a1) = 1 
d) É uma PG de razão igual a r e 1 termo f(a1) = f(0) 
e) Não é necessariamente uma PA ou PG. 
 
63 - (ITA-86) Consideremos as seguintes afirmações 
sobre uma função f: . 
1. Se existe x   tal que f(x)  f(– x) então f não é par. 
2. Se existe x   tal que f(– x) = – f(x) então f é impar. 
3. Se f é par e ímpar então existe x   tal que f(x) = 1. 
4. Se f é ímpar então fof (f composta com f) é ímpar. 
Podemos afirmar que estão corretas as afirmações de 
números. 
a) 1 e 4 b) 1, 2 e 4 c) 1 e 3 d) 3 e 4 e) 1, 2 e 3 
 
64 - (ITA-86) Seja a  , 0 < a < 1 e f uma função real de 
variável real definida por 
3)x.cos(.4)x.2cos(
)aa(
)x(f
2/12x2


 
Sobre o domínio A desta função podemos afirmar que: 
a) (-, - 2 )  Z  A d) {x  : x  Z e x  2 }  A 
b) A = [- 2 , 2 ]  Z e) A  [- 2 , 2 ] 
c) (- 2 , 2 )  A 
 
65 - (ITA-86) Seja f:    uma função que satisfaz à 
seguinte propriedade: f(x + y) = f(x) + f(y), x, y  . 
Se g(x) = f(log10(x2 + 1)2) então podemos afirmar que 
a) O domínio de g é  e g(0) = f(1) 
b) g não está definida para os reais negativos e g(x) = 
2f(log10(x2 + 1)), para x  0 
c) g(0) = 0 e g(x) = 2f(log10(x2 + 1)), x   
d) g(0) = f(0) e g é injetora 
e) g(0) = – 1 e g(x) = [f(log10(x2 + 1)– 1]2, x   
 
66 - (ITA-86) Sejam a, b e c números reais dados com a 
< 0. Suponha que x1 e x2 sejam as raízes reais da função 
y = ax2 + bx + c e x1 < x2. Sejam x3 = – b/2a e 
a4/)ac4bb2(x 24  . Sobre o sinal de y podemos 
afirmar que: 
a) y < 0, x  , x1 < x < x3 
b) y < 0, x  , x4 < x < x2 
c) y > 0, x  , x1 < x < x4 
d) y > 0, x  , x > x4 
e) y < 0, x  , x < x3 
 
67 - (ITA-85) Dadas as sentenças: 
1- Sejam f: XY e g: YX duas funções satisfazendo 
(gof)(x) = x, para todo x  X. Então f é injetiva, mas g 
não é necessariamente sobrejetiva. 
2- Seja f: XY uma função injetiva. Então, f(A)  f(B) = 
f(A  B), onde A e B são dois subconjuntos de X. 
3- Seja f: XY uma função injetiva. Então, para cada 
subconjunto A de X, f(Ac)  (f(A))c onde Ac = {x  X/ x  
A} e (f(A))c = {x  Y/ x  f(A)}. 
Podemos afirmar que está (estão) correta(s): 
a) as sentenças no 1 e no 2. 
b) as sentenças no 2 e no 3. 
c) Apenas a sentença no 1. 
d) as sentenças no 1 e no 2. 
e) Todas as sentenças. 
 
68 - (ITA-85) Considere as seguintes função: f(x) = x – 
7/2 e g(x) = x2 – 1/4 definidas para todo x real. Então, 
a respeito da solução da inequação |(gof)(x)| > (gof)(x), 
podemos afirmar que: 
a) Nenhum valor de x real é solução. 
b) Se x < 3 então x é solução. 
c) Se x > 7/2 então x é solução. 
d) Se x > 4 então x é solução. 
e) Se 3 < x < 4 então x é solução. 
 
 
 
8 
69 - (ITA-85) Seja f:  uma função satisfazendo f(x + 
y) = f(x) + f(y) para todo , x, y  . Se {a1, a2, a3, …, 
an} é uma progressão aritmética de razão d, então 
podemos dizer que (f(a1), f(a2), f(a3), …, f(a4)) 
a) É uma progressão aritmética de razão d. 
b) é uma progressão aritmética de razão f(d) cujo termo 
primeiro é a1. 
c) é uma progressão geométrica de razão f(d). 
d) É uma progressão aritmética de razão f(d). 
e) Nada se pode afirmar. 
 
70 - (ITA-84) Seja f(x) = 
4x2e  , onde x   e  é o 
conjunto dos números reais. Um subconjunto de  tal 
que f: D é uma função injetora é: 
a) D = {x  : x  2 e x  – 2} 
b) D = {x  : x  2 ou x  – 2} 
c) D =  
d) D = {x  : –2 < x < 2} 
e) D = {x  : x  2} 
 
71 - (ITA-83) Dadas as funções f(x2) = log2x x e g(x) = 
2sen2 x – 3sen x + 1 definidas para x > 0 e x  1/2, o 
conjunto A = {x  (0, 2): (gof)(x) = 0} é dado por: 
a) A = 
















56
5
62 4,4,4 
b) A = 
















56
5
62 2,2,2 
c) A =   5662 4,4,4 
d) A = 
















56
5
6
2
2
2
4,4,4 
e) A = 
















56
5
62 2,4,2 
 
72 - (ITA-83) Sejam três funções f, u, v: R  R tais que: 
)x(f
1
)x(f)
x
1
x(f  para todo x não nulo e (u(x))2 + 
(v(x))2 = 1 para todo x real. Sabendo-se que x0 é um 
número real tal que u(x0).v(x0)  0 e 
2
)x(v
1
.
)x(u
1
f
00
 , o valor de 
)x(v
)x(u
f
0
0 é: 
 
a) – 1 b) 1 c) 2 d) 1/2 e) – 2 
 
 
 
9 
 
GABARITO 
 
1 E 
2 A 
3 D 
4 E 
5 C 
6 C 
7 E 
8 C 
9 A 
10 B 
11 D 
12 C 
13 A 
14 E 
15 E 
16 E 
17 D 
18 B 
19 D 
20 E 
21 D 
22 D 
23 E 
24 B 
25 B 
26 E 
27 D 
28 E 
29 C 
30 E 
31 A 
32 C 
33 E 
34 C 
35 B 
36 A 
37 B 
38 D 
39 D 
40 E 
41 B 
42 A 
43 C 
44 A 
45 A 
46 E 
47 C 
48 E 
49 C 
50 C 
51 E 
52 C 
53 C 
54 A 
55 A 
56 B 
57 E 
58 B 
59 D 
60 E 
61 A 
62 C 
63 A 
64 E 
65 C 
66 C 
67 B 
68 E 
69 D 
70 A/E 
71 SR 
72 B 
1 E 
2 A 
3 D 
4 E 
5 C 
6 C 
7 E 
8 C 
9 A 
10 B 
11 D 
12 C 
 
 
10 
13 A 
14 E 
15 E 
16 E 
17 D 
18 B 
19 D 
20 E 
21 D 
22 D 
23 E 
24 B 
25 B 
26 E 
27 D 
28 E 
29 C 
30 E 
31 A 
32 C 
33 E 
34 C 
35 B 
36 A 
37 B 
38 D 
39 D 
40 E 
41 B 
42 A 
43 C 
44 A 
45 A 
46 E 
47 C 
48 E 
49 C 
50 C 
51 E 
52 C 
53 C 
54 A 
55 B 
56 A 
57 B 
58 E 
59 B 
60 D 
61 E 
62 A 
63 C 
64 A 
65 E 
66 C 
67 C 
68 B 
69 E 
70 D 
71 A/E 
72 SR 
73 B 
 
 
 
1 
Prova de Geometria Analítica – ITA 
 
1 - (ITA-13) Sobre a parábola definida pela equação x2 + 
2xy + y2 -2x + 4y + 1 = 0 pode-se afirmar que 
a) ela não admite reta tangente paralela ao eixo Ox. 
b) ela admite apenas uma reta tangente paralela ao eixo 
Ox. 
c) ela admite duas retas tangentes paralelas ao eixo Ox.d) a abscissa do vértice da parábola é x = -1. 
e) a abscissa do vértice da parábola é x = -2/3 
 
2 - (ITA-13) Das afirmações: 
I. Duas retas coplanares são concorrentes 
II. Duas retas que não têm ponto em comum são reversas 
III. Dadas duas retas reversas, existem dois, e apenas dois, 
planos paralelos, cada um contendo uma das reversas 
IV. Os pontos médios dos lados de um quadrilátero 
reverso definem um paralelogramo 
é (são) verdadeira(s) apenas 
a) III b) I e III c) II e III d) III e IV e) I e II e IV 
 
3 - (ITA-12) Sejam  A 0,0 ,  B 0,6 e  C 4,3 
vértices de um triângulo. A distância do baricentro 
deste triângulo ao vértice A , em unidades de distância, 
é igual a 
a) 
5
3
. b) 
97
3
. c) 
109
3
. d) 
5
3
. e) 
10
3
. 
 
4 - (ITA-12) A área do quadrilátero definido pelos eixos 
coordenados e as retas r : x 3y 3 0   e 
s :3x y 21 0   , em unidades de área, é igual a 
a) 
19
2
 b) 10 c) 
25
2
 d) 
27
2
 e) 
29
2
 
 
5 - (ITA-12) Dados os pontos  A 0,0 ,  B 2,0 e 
 C 1,1 , o lugar geométrico dos pontos que se 
encontram a uma distância d 2 da bissetriz interna, 
por A , do triângulo ABC é um par de retas definidas 
por 
a) 1,2r : 2y x 2 4 2 0    . 
b) 
1,2
2
r : y x 2 10 2 0
2
    . 
c) 1,2r : 2y x 2 10 2 0    . 
d)  
1,2r : 2 1 y x 2 4 2 0     . 
e)  
1,2r : 2 1 y x 2 4 2 2 0     . 
 
6 - (ITA-11) Sejam m e n inteiros tais que 
2
3
m
n
 
 e a 
equação 
2 236 36 23 0x y mx ny     representa 
uma circunferência de raio 1r cm e centro C 
localizado no segundo quadrante. Se A e B são os 
pontos onde a circunferência cruza o eixo Oy , a área 
do triângulo ABC, em 
2cm , é igual a 
A ( ) 
8 2
3 . B ( ) 
4 2
3 . C ( ) 
2 2
3 . 
D ( ) 
2 2
9 . E ( ) 
2
9 . 
 
7 (ITA-10) - Considere as circunferências 
    434: 221  yxC e 
    91110: 222  yxC . Seja r uma reta 
tangente interna a 1C e 2C , isto é, r tangencia 1C e 
2C e intercepta o segmento de reta 21OO definido 
pelos centros 1O de 1C e 2O de 2C . Os pontos de 
tangência definem um segmento sobre r que mede 
(A) 35 . (B) 34 . (C) 63 . (D) 
3
25
. (E) 9. 
 
8 - (ITA-10) Um triângulo equilátero tem os vértices nos 
pontos A, B e C do plano xOy, sendo B=(2,1) e C= (5,5). 
Das seguintes afirmações: 
 
I. A se encontra sobre a reta 
3 11
4 2
y x   
II. A está na intersecção da reta 
3 45
4 8
y x  
com a circunferência (x-2)² + (y-1)2 = 25 
III. A pertence às circunferências (x-5)2 + (y-5)2 = 25 e 
2
2
)3(
2
7






 yx = 
75
4
 
é (são) verdadeira(s) apenas 
(A) I. (B) II. (C) III. (D) I e II. (E) II e III 
 
9 - (ITA-09) No plano, considere S o lugar geométrico dos 
pontos cuja soma dos quadrados de suas distâncias à 
reta t : x = 1 e ao ponto A = (3,2) é igual a 4. Então, S é 
a) uma circunferência de raio 2 e centro (2,1). 
b) uma circunferência de raio 1 e centro (1,2). 
 
 
2 
c) uma hipérbole. 
d) uma elipse de eixos de comprimento 2 2 e 2. 
e) uma elipse de eixos de comprimento 2 e 1. 
 
10 - (ITA-09) A distância entre o vértice e o foco da 
parábola de equação 2x2 - 4x - 4y + 3 = 0 é igual a: 
a) 2 b) 
2
3
 c) 1 d) 
4
3
 e) 
2
1
 
 
11 - (ITA-09) Sejam C uma circunferência de raio 4R  
e centro  0,0 e AB uma corda de C . Sabendo que  1,3 
é ponto médio de AB , então uma equação da reta que 
contém AB é 
a) 3 6 0y x   b) 3 10 0y x   c) 2 7 0y x   
d) 4 0y x   e) 2 3 9 0y x   
 
12 - (ITA-08) Dada a cônica  : x2 – y2 = 1, qual das retas 
abaixo é perpendicular a  no ponto P =  ?3,2 
a) y = 3 (x-1) b) x
2
3
y  
c) )1x(
3
3
y  d) y= )7x(
5
3


 e) y= )4x(
2
3


 
 
13 - (ITA-08) Sejam r e s duas retas paralelas distando 
10 cm entre si. Seja P um ponto no plano definido por r 
e s e exterior à região limitada por estas retas, distando 
5 cm de r. As respectivas medidas da área e do 
perímetro, em cm2 e cm, do triângulo eqüilátero PQR 
cujos vértices Q e R estão, respectivamente, sobre as 
retas r e s, são iguais a: 
a) 215e
3
3
175 b) 2110e
3
3
175 
c) 2110e3175 d) 215e3175 e) 2110e700 
 
14 - (ITA-07) Considere no plano cartesiano xy o 
triângulo delimitado pelas retas 2x = y, x=2y e x = -2y + 
10. A área desse triângulo mede 
a) 15/2 b) 13/4 c) 11/6 d) 9/4 e) 7/2 
 
15 - (ITA-07) Sejam A(a,0), B(0,a) e C(a,a); pontos do 
plano cartesiano, em que a é um número real não nulo. 
Nas alternativas abaixo, assinale a equação do lugar 
geométrico dos pontos P(x,y) cuja distância à reta que 
passa por A e B, é igual à distância de P ao ponto C. 
a) x2 +y2 -2xy – 2ax – 2ay+ 3a2 =0 
b) x2 +y2 +2xy + 2ax + 2ay+ 3a2 =0 
c) x2 +y2 - 2xy + 2ax + 2ay+ 3a2 =0 
d) x2 +y2 - 2xy - 2ax - 2ay - 3a2 =0 
e) x2+y2+2xy-2ax-2ay- 3a2 =0 
 
16 - (ITA-06) Sejam a reta s: 12x – 5y +7 = 0 e a 
circunferência C: x2 + y2 +4x + 2y = 11. A Reta p, que é 
perpendicular a s e é secante a C, corta o eixo Oy num 
ponto cuja ordenada pertence ao seguinte intervalo. 
a) 






12
81
,
12
91
 b) 






12
74
,
12
81
 
c) 






12
30
,
12
74
 d) 





12
74
,
12
30
 
e) 





12
91
,
12
75
 
 
17 - (ITA-06) Os focos de uma elipse são F1 (0, - 6). Os 
pontos A (0, 9) e B(x,3), x  0, estão na elipse. A área do 
triângulo com vértices em B, F1 e F2 é igual a 
a) 1022 b) 1018 c) 1015 
d) 1012 e) 106 
 
18 - (ITA-05) Uma circunferência passa pelos pontos A = 
(0, 2), B = (0, 8) e C = (8, 8). Então, o centro da 
circunferência e o valor de seu raio, respectivamente, 
são 
a) (0, 5) e 6 b) (5, 4) e 5 c) (4, 8) e 5,5 
d) (4, 5) e 5 e) (4, 6) e 5 
 
19 - (ITA-05) Em relação a um sistema de eixos 
cartesiano ortogonal no plano, três vértices de um 
tetraedro regular são dados por A = (0, 0), B = (2, 2) e C 
= (1 – 3 , 1 + 3 ). O volume do tetraedro é 
a) 
3
8
 b) 3 c) 
2
33
 d) 
2
35
 e) 8 
 
20 - (ITA-05) A distância focal e a excentricidade da 
elipse com centro na origem e que passa pelos pontos 
(1, 0) e (0, –2) são, respectivamente, 
a) 3 e 
2
1
 b) 
2
1
 e 3 c) 
2
3
 e 
2
1
 
d) 3 e 
2
3
 e) 32 e 
2
3
 
 
21 - (ITA-04) Considere todos os números z = x + iy que 
têm módulo 
2
7
 e estão na elipse x2 + 4y2 = 4. Então, o 
produto deles é igual a: 
a) 
9
25
 b) 
16
49
 c) 
25
81
 d) 
7
25
 e) 4 
 
22 - (ITA-04) Assinale a opção que representa o lugar 
geométrico dos pontos (x, y) do plano satisfazem a 
equação 
 
 
3 
 det 288
13534
1024
16240
1yxyx 22














 
. 
a) Uma elipse b) Uma parábola 
c) Uma circunferência d) Uma hipérbole 
e) Uma reta 
 
23 - (ITA-03) Considere a família de circunferência com 
centro no segundo quadrante e tangentes ao eixo Oy. 
Cada uma destas circunferências corta o eixo Ox em 
dois pontos, distantes entre si 4 cm. Então, o lugar 
geométrico dos centros destas circunferências é parte: 
a) de uma elipse. d) de duas retas concorrentes. 
b) de uma parábola. e) da reta y = -x . 
c) de uma hipérbole. 
 
24 - (ITA-03) A área do polígono, situado no primeiro 
quadrante, que é delimitado pelos eixos coordenados e 
pelo conjunto {(x, y)  IR2 : 3x2 + 2y2 + 5xy – 9x – 8y + 6 
= 0}, é igual a: 
a) 6 b) 
2
5
 c) 2 2 d) 3 e) 
3
10
 
 
25 - (ITA-02) Num sistema de coordenadas cartesianas, 
duas retas r e s, com coeficientes angulares 2 e 
2
1
, 
respectivamente , se interceptam na origem 0. Se B  r 
e C  s são dois pontos no primeiro quadrante tais que 
o segmento BC é perpendicular a r e a área do 
triângulo OBC é igual a 12 x 10-1, então a distância de B 
ao eixo das ordenadas vale: 
a) 
5
8
 b) 
5
4
 c) 
5
2
 d) 
5
1
 e) 1 
 
26 - (ITA-02) Seja k > 0 tal que a equação 
(x2 – x) + k (y2 – y) = 0 define umaelipse com distância 
focal igual a 2. Se (p, q) são as coordenadas de um 
ponto da elipse, com q2 – q  0, então 
q - 
2
q
2
p - p
 é igual a: 
a) 2 + 5 d) 2 - 3 
b) 2 – 5 e) 2 
c) 2 + 3 
 
27 - (ITA-01) Seja o ponto A = (r , 0) , r  0. O lugar 
geométrico dos pontos P = (x ,y) tais que é de 3r2 a 
diferença entre o quadrado da distância de P e A e o 
dobro do quadrado da distância de P à rota y = – r é: 
a) uma circunferência centrada em (r, – 2r) com raio r. 
b) uma elipse centrada em (r, –2r) com semi-eixos 
valendo r e 2r. 
c) uma parábola com vértice em (r, –r) 
d) duas retas paralelas distando r 3 uma da outra. 
uma hipérbole centrada em (r, –2r) com semi-eixos 
valendo r. 
 
28 - (ITA-01) O coeficiente angular da reta tangente à 
elipse 1
9
y
16
x 22
 no primeiro quadrante e que corta 
o eixo das abscissas no ponto P = (8, 0) é: 
a)
3
3
 b)
2
1
 c)
3
2
 d)
4
3
 e)
4
2
 
 
29 - (ITA-00) A área de um triângulo é de 4 unidades de 
superfície, sendo dois de seus vértices os pontos 
)1,2(:A e )2,3(: B . Sabendo que o terceiro vértice 
encontra-se sobre o eixo das abcissas, pode-se afirmar 
que suas coordenadas são: 
(A) )0,21( ou )0,5( . (B) )0,21( ou )0,4( . 
(C) )0,31( ou )0,5( . (D) )0,31( ou )0,4( . 
(E) )0,51( ou )0,3( . 
 
30 - (ITA-00) Duas retas 1r e 2r são paralelas à reta 
373  yx e tangentes à circunferência 
0222  yxyx . Se 1d é a distância de 1r até a 
origem e 2d a distância de 2r até a origem, então 
21 dd  é igual a : 
(A) 12 (B) 15 (C) 7 (D) 10 (E) 5 
 
31 - (ITA-99) Duas circunferências C1 e C2, ambas com 1 
m de raio, são tangentes. Seja C3 outra circunferência 
cujo raio mede ( 12  )m e que tangência C1 e C2. A 
área, m2, da região limitada e exterior às três 
circunferências dadas, é: 
a) 1 –  









2
2
1 b) 
62
1 
 c)  212  
d) 







2
1
2
16
 e)   12  -1 
 
32 - (ITA-99) Pelo ponto C: (4, – 4) são traçadas duas 
retas que tangenciam a parábola y = (x – 4)2 + 2 nos 
pontos A e B. A distância do ponto C à reta determinada 
por A e B é: 
a) 6 12 b) 12 c) 12 d) 8 e) 6 
 
33 - (ITA-99) Duas circunferências de raios iguais a 9 m e 
3m são tangentes externamente num ponto C. Uma 
 
 
4 
reta tangencia estas duas circunferências nos pontos 
distintos A e B. A área, em m2, do triângulo ABC é: 
a) 27 3 b) 
2
327 c) 9 3 
d) 27 2 e) 
2
227 
 
34 - (ITA-98) As retas y = 0 e 4x + 3y + 7 = 0 são retas 
suportes das diagonais de um paralelogramo. Sabendo 
que estas diagonais medem 4 cm e 6 cm, então, a área 
deste paralelogramo, em cm2, vale: 
a) 
5
36 b) 
4
27 c) 
3
44 d) 
3
48 e) 
5
48 
 
35 - (ITA-98) Considere a hipérbole H e a parábola T, 
cujas equações são, respectivamente, 
5(x + 3)2 – 4(y – 2)2 = – 20 e (y – 3)2 = 4(x – 1). 
Então, o lugar geométrico dos pontos P, cuja soma dos 
quadrados das distâncias de P a cada um dos focos da 
hipérbole H é igual ao triplo do quadrado da distância 
de P ao vértice da parábola T, é: 
a) a elipse de equação 1
3
)2y(
4
)3x( 22



 . 
b) a hipérbole de equação 1
4
)3x(
5
)1y( 22



 . 
c) O par de retas dadas por y =  (3x - 1). 
d) A parábola de equação y2 = 4x + 4. 
e) A circunferência centrada em (9 , 5) e raio 120 . 
 
36 - (ITA-97) Seja m   * , tal que a reta x – 3y – m = 0 
determina, na circunferência (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25, 
uma corda de comprimento 6. O valor de m é: 
a) 10 + 4 10 b) 2 + 3 c) 5 – 2 
d) 6 + 10 e) 3 
 
37 - (ITA-97) Seja A o ponto de intersecção das retas r e 
s dadas, respectivamente pelas equações x + y = 3 e x 
– y = – 3. Sejam B e C pontos situados no primeiro 
quadrante com B  r e C  s. Sabendo que d(A,B) = 
d(A,C) = 2 , então a reta passando por B e C é dada 
pela equação: 
a) 2x + 3y = 1 b) y = 1 c) y = 2 
d) x = 1 e) x = 2 
 
38 - (ITA-97) Considere os pontos A: (0, 0) e B: (2, 0) e C: 
(0, 3). Seja P: (x, y) o ponto da intersecção das 
bissetrizes internas do triângulos ABC. Então x + y é 
igual a: 
a) 12/(5 + 13 ) b) 8/(2 + 11 ) c) 10/(6 + 13 ) 
d) 5 e) 2 
 
39 - (ITA-96) Tangenciando externamente a elipse 1, tal 
que 1: 9x2 + 4y2 – 72x – 24y + 144 = 0 considere uma 
elipse 2, de eixo maior sobre a reta que suporta o eixo 
menor de 1 e cujos eixos têm mesma medida que os 
eixos de 1. Sabendo que 2 está inteiramente contida 
no primeiro quadrante, o centro de 2 é: 
a) (7,3) b) (8,2) c) (8,3) d) (9,3) e) ( 9,2) 
 
40 - (ITA-96) São dadas as parábolas p1: y = – x2 – 4x – 1 
e p2: y = x2 – 3x + 11/4 cujos vértices são denotados, 
respectivamente, por V1 e V2. Sabendo que r é a reta 
que contém V1 e V2, então a distância de r até à origem 
é: 
a)
26
5 b)
26
7 c)
50
7 
d)
50
17 e)
74
11 
 
41 - (ITA-96) Sabendo que o ponto (2,1) é ponto médio 
de uma corda AB da circunferência (x – 1)2 + y2 = 4, 
então a equação da reta que contém A e B é dada por: 
a) y = 2x – 3 b) y = x – 1 c) y = – x + 3 
d) y = 3x/2 – 2 e) y = – x/2 + 2 
 
42 - (ITA-96) São dadas as retas r: x – y + 1 + 2 = 0 e s: 
3 x + y – 32 = 0 e a circunferência C: x2 + 2x + y2 = 0. 
Sobre a posição relativa desses três elementos, 
podemos afirmar que: 
a) r e s são paralelas entre si e ambas são tangentes à C. 
b) r e s são perpendiculares entre si e nenhuma delas é 
tangente a C. 
c) r e s são concorrentes, r é tangente à C e s não é 
tangente à C. 
d) r e s são concorrentes, s é tangente à C e r não é 
tangente à C. 
e) r e s são concorrentes e ambas são tangentes à C. 
 
43 - (ITA-95) Três pontos de coordenadas, 
respectivamente, (0, 0), (b, 2b) e (5b, 0), com b > 0, são 
vértices de um retângulo. As coordenadas do quarto 
vértice são dadas por: 
a) (– b, – b) b) (– 2b, – b) c) (4b, – 2b) 
d) (3b, – 2b) e) (– 2b, – 2b) 
 
44 - (ITA-95) Uma reta t do plano cartesiano xOy tem 
coeficiente angular 2a e tangência a parábola y = x2 – 1 
no ponto de coordenadas (a, b). Se (c, 0) e (0, d) são as 
coordenadas de dois pontos de t tais que c > 0 e c = – 
2d, então a/b é igual a : 
a) – 4/15 b) – 5/16 c) – 3/16 d) – 6/15 e) – 7/15 
 
 
 
5 
45 - (ITA-94) Duas retas r e s são dadas, 
respectivamente, pelas equações 3x – 4y = 3 e 2x + y = 
2. Um ponto P pertencente à reta s tem abcissa positiva 
e dista 22 unidades de medida da reta r. Se ax + by + c = 
0 é a equação da reta que contém P e é paralela a r, 
então a + b + c é igual a : 
a) –132 b) –126 c) –118 d) –114 e) -112 
 
46 - (ITA-94) Um triângulo equilátero é tal que A: (0, 3), 
B: (3 3 ,0) e a abcissa do ponto C é maior que 2. A 
circunferência circunscrita a este triângulo tem raio r e 
centro em O: (a, b). Então a2 + b2 + r2 é igual a: 
a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35 
 
47 - (ITA-93) Dadas as retas (r1): x + 2y – 5 = 0, (r2): x – y 
– 2 = 0 e (r3): x – 2y – 1 = 0, podemos afirmar que: 
a) são 2 a 2 paralelas 
b) (r1) e (r3) são paralelas 
c) (r1) é perpendicular a (r3) 
d) (r2) é perpendicular a (r3) 
e) as três são concorrentes 
 
48 - (ITA-93) Sendo (r) uma reta dada pela equação x – 
2y + 2 = 0, então, a equação da reta (s) simétrica a (r) 
em relação ao eixo das abscissas é descrita por: 
a) x + 2y = 0 c) 2x + 3y + 1 = 0 e) x – 2y – 2 = 0 
b) 3x – y + 3 = 0 d) x + 2y + 2 = 0 
 
49 - (ITA-93) Uma das circunferências que passa pelo 
ponto P(0, 0) e tangencia as retas (r1): x – y = 0 e (r2): x + 
y – 2 = 0 tem sua equação dada por: 
a) (x – 1)2 + (y + 1)2 = 2 
b) (x – 1)2 + (y + 1)2 = 2 
c) (x – 1)2 + (y – 1)2 = 2 
d) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 2 
e) (x + 1)2 + (y + 1)2 = 2 
 
50 - (ITA-92) A equação da reta bissetriz do ângulo 
agudo que a reta y = mx, m > 0, forma com o eixo dos x 
é: 
a) x
m
m11
y
2
 b) x
m
m11
y
2
 
c) x
m
m11
y
2
 d) x
m
m11
y
2
 
e) n.d.a. 
 
51 - (ITA-92) Seja C a circunferênciax2 + y2 – 2x – 6y + 5 
= 0. Considere em C a corda AB cujo ponto médio é: M: 
(2, 2). O comprimento de AB (em unidade de 
comprimento) é igual a: 
a) 2 6 b) 3 c) 2 d) 2 3 e) n.d.a. 
 
52 - (ITA-92) Dados os pontos A: (0, 8), B: (– 4, 0) e C: (4, 
0), sejam r e s as retas tais que A, B  r, B, C  S. 
Considere P1 e P2 os pés das retas perpendiculares 
traçadas de P: (5, 3) às retas r e s , respectivamente. 
Então a equação da reta que passa por P1 e P2 é: 
a) y + x = 5 b) y + 2x = 5 c) 3y – x = 5 
d) y + x = 2 e) n.d.a. 
 
53 - (ITA-92) Considere as afirmações: 
I- Uma elipse tem como focos os pontos F1: (– 2, 0), F2: 
(2, 0) e o eixo maior 12. Sua equação é x2/36 + y2/32 = 
1. 
II- Os focos de uma hipérbole são F1: (– 5 , 0), F2: ( 5 , 
0) e sua excentricidade 2/10 . Sua equação é 3x2 – 2y2 
= 6. 
III- A parábola 2y = x2 – 10x – 100 tem como vértice o 
ponto P: (5, 125/2). 
Então: 
a) Todas as afirmações são falsas. 
b) Apenas as afirmações II e III são falsas. 
c) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. 
d) Apenas a afirmação III é verdadeira. 
e) n.d.a. 
 
54 - (ITA-91) Considere a região ao plano cartesiano xy 
definido pela desigualdade: x2 + y2 – 2x + 4y + 4 < 0. 
Quando esta região rodar um ângulo de 
3
 radianos em 
torno da reta y + x + 1 = 0, ela irá gerar um sólido cujo 
volume é igual a: 
a) 
3
4 b) 
3
2 c) 
3
 d) 
9
4 e) n.d.a. 
 
55 - (ITA-91) Seja r a mediatriz do segmento de reta de 
extremos M = ( – 4 , – 6) e N = (8 , – 2). Seja R o raio da 
 
 
6 
circunferência com centro na origem e que tangencia a 
reta r. Então: 
a) R = 
3
7 b) R= 
3
15 c) R= 
3
10 
d) R = 
5
10 e) n.d.a. 
 
56 - (ITA-91) Seja C a circunferência dada pela equação 
x2 + y2 + 2x + 6y + 9 = 0. Se P = (a , b) é o ponto em C 
mais próximo da origem, então: 
a) a = –
2
3 e 4b2 + 24b + 15 = 0 
b) a = –
2
1 e 4b2 + 24b + 33 = 0 
c) a = 
10
10 – 1 e b = 3a 
d) a = – 1 – 
10
10 e b = 3a 
e) n.d.a. 
 
57 - (ITA-90) Sejam as retas (r) e (s) dadas 
respectivamente pelas equações 3x – 4y + 12 = 0 e 3x – 
4y + 4 = 0. Considere (  ) o lugar geométrico dos 
centros das circunferências que tangenciam 
simultaneamente (r) e (s). Uma equação que descreve (
 ) é dada por: 
a) 3x – 4y + 8 = 0 b) 3x + 4y + 8 = 0 c) x – y + 1 = 0 
d) x + y = 0 e) 3x – 4y – 8 = 0 
 
58 - (ITA-90) Seja C o centro da circunferência x2 + y2 – 6
2 y = 0. Considere A e B os pontos de interseção desta 
circunferência com a reta y = 2 x . Nestas condições o 
perímetro do triângulo de vértices A, B e C é: 
a) 326  b) 234  c) 32  
d) 235  e) n.d.a. 
 
59 - (ITA-90) Considere a reta (r) mediatriz do segmento 
cujos extremos são os pontos em que a reta 2x – 3y + 7 
= 0 intercepta os eixos coordenados. Então a distância 
do ponto (
6
1
,
4
1 ) à reta (r) é: 
a) 
2
35
 b) 
13
4 c) 3 13 d) 
7
32 e) 
3
2 
 
60 - (ITA-89) A equação da parábola, cujo eixo é 
perpendicular ao eixo x e que passa pelo centro da 
circunferência x2 + y2 – 2ax + 2y = 0, com a > 1, e pelos 
pontos (–1, 0), (1, 0) é: 
a) (a2 – 1)y = a2(x2 – 1) d) (a2 – 1)y = a(x2 – 1) 
b) (a2 – 1)y = a2(1 – x2 ) e) (a2 – 1)y = –x2 + 1 
c) (a2 – 1)y = x2 – 1 
 
61 - (ITA-89) As circunferências x2 + y2 = 2x e x2 + y2 = 
4x possuem um ponto comum P, distinto da origem. 
Obtenha a equação da reta tangente à primeira 
circunferência no ponto P. 
a) 5x + 10y = 16 d) 3x + 4y = 8 
b) 5x + 15y = 20 e) 10x + 5y = 20 
c) 5x + 5y = 12 
 
62 - (ITA-89) A distância entre os pontos de interseção 
da reta 1
20
y
10
x
 com a circunferência x2 + y2 = 400 é: 
a) 516 b) 54 c) 33 d) 34 e) 75 
 
63 - (ITA-89) Seja s a reta do plano cartesiano, que 
passa pelo ponto (1, 3) e é perpendicular à reta x + y + 1 
= 0. Considere uma circunferência com centro na 
origem e raio R > 0. Nestas condições, se s for tangente 
à circunferência, então: 
a) R é um número irracional e R < 1/2 
b) R é um número irracional e 1/2 < R < 1 
c) R é um número irracional e R > 1 
d) R é um número racional e R > 1 
e) R é um número racional e R < 1 
 
64 - (ITA-89) O ponto da circunferência x2 + y2 + 4x + 10y 
+ 28 = 0 que tem ordenada máxima é: 
a) 









2
9
,1
2
2
 b)  1,32  c) 





 1,
10
3
 
d) 








 2,1
2
2
 e) (- 2, - 4) 
 
65 - (ITA-89) Numa circunferência de centro O, os 
pontos A, B e C são vértices de um triângulo equilátero. 
Seja D um quarto da circunferência, não coincidente 
com os demais. Sobre a medida x do ângulo CD̂A 
podemos afirmar que: 
a) 0º < x < 30º ou 60º < x < 120º 
b) x = 60º ou x = 120º 
c) x = 45º ou x = 150º 
d) x = 240º para qualquer posição de D na 
circunferência 
e) x = 30º para qualquer posição de D na circunferência 
 
66 - (ITA-89) Considere uma circunferência de centro O 
e diâmetro AB. Tome um segmento BC tangente à 
circunferência, de modo que o ângulo BCA meça 30. 
Seja D o ângulo de encontro da circunferência com o 
segmento AC e DE o segmento paralelo a AB, com 
extremidades sobre a circunferência. A medida do 
segmento DE será igual a: 
 
 
7 
a) à metade da medida de AB 
b) um terço da medida de AB 
c) à metade da medida de AD 
d) dois terços da medida de AB 
e) à metade da medida de AE 
 
67 - (ITA-88) Considere as circunferências inscrita e 
circunscrita a um triângulo equilátero de lado L. A área 
da coroa circular formada por estas circunferências é: 
a) L2/4 b)  6 L2/2 c)  3 L2/3 
d)  3 L2 e) L2/2 
 
68 - (ITA-88) Num triângulo ABC, retângulo em A, de 
vértices B: (t, 1) e C: (3, - 2), o cateto que contém o 
ponto B é paralelo à reta de equação 3x – 4y + 2 = 0. 
Então a reta que contém o cateto AC é dada por: 
a) 4x + 3y – 6 = 0 b) 4x + 3y – 3 = 0 
c) 3x – 4y + 1 = 0 d) 2x + 5y = 0 
e) 4x – 3y + 6 = 0 
 
69 - (ITA-88) Sejam a, b, c e d números reais positivos 
tais que A: (9a, 3b), B: (–c, d), C: (c, –d) são os vértices 
de um triângulo equilátero. Então a equação da reta r, 
que é paralela ao lado BC e passa pelo incentro do 
triângulo ABC é dada por: 
a) 3ax + by = c – d d) 2dx + 3ay = 4bc 
b) dx + cy = 3ad + bc e) dx – 2cy = 9a + 3b 
c) ax + by = 2c + 3d 
 
70 - (ITA-88) A equação da reta t, tangente à 
circunferência de raio r no ponto P, conforme figura ao 
lado é dada por: 
 
a) x.sen  + y.cos  = r b) x.sen  - y.cos  = - r 
c) x.cos  - y.sen  = - r d) x.cos  + y.sen  = r 
e) x.cos  + y.sen  = - r 
 
71 - (ITA-88) Duas retas r e s, concorrentes no ponto P: 
(1/2, –1/2 ), determinam na circunferência x2 + y2 = 1 
cordas AB e CD, respectivamente. Sabendo-se que r é 
dada pela equação x – y = 0, o valor de PD.PC é: 
a) 1/3 b) 2/5 c) 3 d) 1/2 e) 2 
Nota: RS denota o segmento reto de extremos R e S 
enquanto que RS denota o comprimento deste 
segmento. 
 
72 - (ITA-86) Num sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais sejam A(0, a), B(a/2, 0), 
C(0, 2a) pontos dados onde a é um número real, a < 0. 
Sejam as retas: (r) passando por A e B e 
(s) passando por C e paralela a (r). 
A área do trapézio (T) delimitado pelos eixos 
cartesianos e pelas retas (r) e (s) vale 
a) 3a2 b) 3a2/4 c) 3a2/2 d) 3 a2 e) 3a2/4 + a4 
 
73 - (ITA-85) Num sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais, considere a família de circunferências que 
passam pelo ponto (2, –1/2) e que são tangenciadas 
pela reta y = –3/2. Então a equação do lugar geométrico 
dos centros dessas circunferências é dado por: 
a) x2 – 4x – 2y + 2 = 0 d) y2 – 4y – 2x – 3 = 0 
b) y2 – 2y – 5x -2 = 0 e) x2 + y2 – 2x + y – 2 = 0 
c) x2 + 2x – 7y+ 3 = 0 
 
74 - (ITA-84) A equação da circunferência tangente ao 
eixo das abscissas na origem e que passa pelo ponto 
(a,b) onde a2 + b2 = 2b e b  0, é: 
a) (x – b)2 + y2 = b2 d) x2 + (y – 1)2 = 1 
b) (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1 e) x2 + (y – 1/2)2 = 1/4 
c) x2 + (y – 2 )2 = 2 
 
75 - (ITA-84) O lugar geométrico da intersecção de duas 
retas, uma passando pelo ponto (0, –1) com coeficiente 
angular a1, a outra passando pelo ponto (0,1) com 
coeficiente angular a2 tal que a12 + a22 = 2, é: 
a) (x – a1)2 + (y – a2)2 =1 d) y = a1x2 
b) x2 – y2 = 1 e) 1
a
y
a
x
2
2
2
2
1
2
 
c) x2 + y2 = 1 
 
76 - Possuo um “laser” de alta potência como 
ferramenta de corte e uma peça plana de forma 
parabólica que desejo cortar. Suponha que a peça 
definida por x2 – y – 1  0 e y  1 esteja no plano xOy e 
O 
 
t 
x 
y 
 
 
8 
que o “laser”, colocado no plano xOz, tem a janela de 
saída da luz fixa no ponto (0, 0, 1) podendo o seu tubo 
girar no plano xOz. A partir do início do corte, na borda 
da peça, de quantos graus devo girar o “laser” para 
terminar o serviço? 
a)  b) /2 c) /4 d) 3/2 e) /3 
 
77 - (ITA-83) Sejam m e n constantes reais estritamente 
positivas. Num sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais, consideramos C a circunferência de centro P






n
1
,
m
1
 e de raio R = 
m
nm 22 
 e r a reta de equação 
02nmnymx 22 





 . Netas condições, se s é a 
reta que passa por P e é perpendicular à reta r, então os 
pontos de interseção de s com C são: 
a) 






n
1
,1
m
1
 e 






m
n
n
1
,1
m
1
 
b) 






m
n
,1
m
1
 e 





n
1
,
m
1
 
c) 





m
n
,
m
1
 e 






n
m
,
m
1
 
d) 





1
n
1
,
m
1
 e 






m
n
n
1
,
m
1
 
e) 






m
n
n
1
,1
m
1
 e 






m
n
n
1
,1
m
1
 
 
 
 
 
9 
 
GABARITO 
 
1 B 
2 D 
3 B 
4 D 
5 E 
6 D 
7 A 
8 E 
9 D 
10 E 
11 B 
12 E 
13 B 
14 A 
15 A 
16 SR 
17 D 
18 D 
19 A 
20 E 
21 B 
22 C 
23 C 
24 B 
25 B 
26 A 
27 E 
28 D 
29 C 
30 E 
31 A 
32 C 
33 B 
34 E 
35 E 
36 A 
37 D 
38 A 
39 D 
40 E 
41 C 
42 E 
43 C 
44 A 
45 SR 
46 C 
47 E 
48 D 
49 B 
50 D 
51 D 
52 A 
53 C 
54 D 
55 D 
56 C 
57 A 
58 E 
59 B 
60 E 
61 D 
62 A 
63 C 
64 E 
65 B 
66 A 
67 A 
68 A 
69 B 
70 D 
71 B 
72 B 
73 A 
74 D 
75 B 
76 B 
77 E 
 
 
 
1 
Prova de Geometria Espacial – ITA 
 
1 - (ITA-13) Um plano intercepta as arestas de um triedro 
trirretângulo de vértice V, determinando um triângulo ABC 
cujos lados medem, respectivamente, √10, √17 e 5 cm. O 
volume, em cm3, do sólido VABC é 
a) 2 b) 4 c) √17 d) 6 e) 5√10 
 
2 - (ITA-13) No sistema xOy os pontos A = (2,0) , B = (2,5) e 
C = (0,1) são vértices de um triângulo inscrito na base de 
um cilindro circular reto de altura 8. Para este cilindro, a 
razão 
volume
área total da superfície
, em 
unidades de comprimento, é igual a 
a) 1 b) 100/105 c) 10/11 d) 100/115 
 e) 5/6 
 
3 - (ITA-12) Um cone circular reto de altura 1cm e 
geratriz 
2 3
cm
3
 é interceptado por um plano paralelo 
à sua base, sendo determinado, assim, um novo cone. 
Para que este novo cone tenha o mesmo volume de um 
cubo de aresta 
1 3
cm
243
 
 
 
, é necessário que a 
distância do plano à base do cone original seja, em cm , 
igual a 
a) 
1
4
. b) 
1
3
. c) 
1
2
. d) 
2
3
. e) 
3
4
. 
 
4 - (ITA-12) A superfície lateral de um cone circular reto 
é um setor circular de 120 e área igual a 23 cm . A 
área total e o volume deste cone medem, em 2cm e 
3cm , respectivamente 
a) 4 e 
2 2
3

. b) 4 e 
2
3

. c) 4 e 2 . 
d) 3 e 
2 2
3

. e)  e 2 2 . 
 
5 - (ITA-11) Uma esfera está inscrita em uma pirâmide 
regular hexagonal cuja altura mede 12 cm e a aresta da 
base mede 10√3/3 cm. Então o raio da esfera, em cm, é 
igual a: 
A( ) 10√3/3 B( ) 13/3 C( ) 15/4 D( )2√3 E( ) 10/3 
 
6 - (ITA-11) Considere as afirmações: 
I - Existe um triedro cujas 3 faces têm a mesma medida 
 120o. 
II - Existe um ângulo poliédrico convexo cujas faces 
medem, respectivamente, 30o, 45o, 50o, 50o e 170o. 
III - Um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 
1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces 
hexagonais tem 9 vértices. 
IV - A soma das medidas de todas as faces de um 
poliedro convexo com 10 vértices é 2880o. 
 
Destas, é(são) correta(s) apenas 
A ( ) II. B ( ) IV. C ( ) II e IV. 
D ( ) I, II, IV. E ( ) II, III, IV. 
 
7 - (ITA-10) Um cilindro reto de altura 
3
6
está inscrito 
num tetraedro regular e tem sua base em uma das 
faces do tetraedro. Se as arestas do tetraedro medem 3 
cm, o volume do cilindro, em cm³, é igual a 
(A) 
 3
4
. (B) 
 3
6
. (C) 
 6
6
 (D) 
 6
9
. (E) 

3
. 
 
8 - (ITA-10) Sejam A,B,C e D os vértices de um tetraedro 
regular cujas arestas medem 1cm. Se M é o ponto 
médio do segmento AB e N é o ponto médio do 
segmento CD, então a área do triângulo MND, em cm², 
é igual a: 
 
(A) 
2
6
 (B) 
2
8
 (C) 
3
6
 (D) 
3
8
 (E) 
3
9
 
 
9 - (ITA-09) Uma esfera é colocada no interior de um 
cone circular reto de 8 cm de altura e de 60° de ângulo 
de vértice. Os pontos de contato da esfera com a 
superfície lateral do cone definem uma circunferência e 
distam 2 3 cm do vértice do cone. O volume do cone 
não ocupado pela esfera, em cm3 , é igual a 
a) 
416
9
 b)
480
9
 c)
500
9
 d)
512
9
 e)
542
9
 
 
10 - (ITA-08) Um diedro mede 120º. A distância da 
aresta do diedro ao centro de uma esfera de volume 4
3  cm3 que tangencia as faces do diedro é, em cm, 
igual a: 
33)a b) 23 32)c 22)d e) 2 
 
11 - (ITA-07) Considere uma pirâmide regular de base 
hexagonal, cujo apótema de base mede 3 cm. 
Secciona-se a pirâmide por um plano paralelo à base, 
 
 
2 
obtendo-se um tronco de volume igual a 1 cm3 e uma 
nova pirâmide. Dado que a razão entre as alturas das 
pirâmides é 2/1 , a altura do tronco, em centímetros, é 
igual a 
a) 4/)26(  b) 3/)36(  
c) 21/)633(  d) 6/)3223(  e) 22/)262(  
 
12 - (ITA-05) Uma esfera de raio r é seccionada por n 
planos meridianos. Os volumes das respectivas cunhas 
esféricas contidas em uma semi-esfera formam uma 
progressão aritmética de razão 
45
r3
. Se o volume da 
menor cunha for igual a 
18
r3
, então n é igual a 
a) 4 b) 3 c) 6 d) 5 e) 7 
 
13 - (ITA-05) Considere um prisma regular em que a 
soma dos ângulos internos de todas as faces é 7200º. O 
número de vértices deste prisma é igual a 
a) 11 b) 32 c) 10 d) 20 e) 22 
 
14 - (ITA-04) Considere um cilindro circular reto, de 
volume igual a 360 cm3, e uma pirâmide regular cuja 
base hexagonal está inscrita na base do cilindro. 
Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura 
do cilindro e que a área da base da pirâmide é de 54 3
cm3, então, a área lateral da pirâmide mede, em cm2. 
a) 18 427 b) 27 427 c) 36 427 
d) 108 427 e) 45 427 
 
15 - (ITA-04) A área total da superfície de um cone 
circular reto, cujo raio da base mede ℝ cm, é igual à 
terça parte da área de um círculo de diâmetro igual ao 
perímetro da seção meridiana do cone. O volume deste 
cone, em cm3, é igual a: 
a) R3 b)  2 R3 c) 3
2


 d)  3 R3 e) 3
3


 
 
16 - (ITA-03) Considere o triângulo isósceles OAB, com 
lados OA e OB de comprimento 2 R e lado AB de 
comprimento 2R. O volume do sólido, obtido pela 
rotação deste triângulo em torno da reta que passa por 
O e é paralela ao lado AB , é igual a: 
a) 
2

R3 b)  R3 c) 
3
4
 R3 d) 2  R3 e) 3  R3 
 
17 - (ITA-03) Considere uma pirâmide regular de altura 
igual a 5 cm e cuja base é formada por um quadrado de 
área igual a 8 cm2. A distância de cada facedesta 
pirâmide ao centro de sua base, em cm, é igual a: 
a) 
3
15
 b) 
9
65
 c) 
5
34
 d) 
5
7
 e) 3 
 
18 - (ITA-02) Considere a região do plano cartesiano xy 
definida pela desigualdade 
 
x2 + 4x + y2 – 4y – 8  0. 
Quando esta região rodar um ângulo de 
6
π
radianos em 
torno da reta x + y = 0, ela irá gerar um sólido de 
superfície externa total com área igual a: 
a) π
3
128
 d) π
6
128
 
b) π
4
128
 e) π
7
128
 
c) π
5
128
 
 
19 - (ITA-02) Considere a região do plano cartesiano xy 
definida pela desigualdade 
 x2 + 4x + y2 – 4y – 8  0. 
Quando esta região rodar um ângulo de 
6
π
radianos em 
torno da reta x + y = 0, ela irá gerar um sólido de 
superfície externa total com área igual a: 
a) π
3
128
 d) π
6
128
 
b) π
4
128
 e) π
7
128
 
c) π
5
128
 
 
20 - (ITA-02) Seja uma pirâmide regular de base 
hexagonal e altura 10 m. A que distância do vértice 
devemos cortá-la por um plano paralelo à base de 
forma que o volume da pirâmide obtida seja 
8
1
do 
volume da pirâmide original? 
a) 2m b) 4m c) 5m d) 6m e) 8m 
 
21 - (ITA-01) O raio da base de um cone circular reto é 
igual à média aritmética da altura e a geratriz do cone. 
Sabendo-se que o volume do cone. Sabendo-se que o 
volume do cone é 128m3, temos que o raio da base e 
altura do cone medem, respectivamente, em metros: 
a) 9 e 8 b) 8 e 6 c) 8 e 7 d) 9 e 6 e) 10 e 8 
 
22 - (ITA-01) A razão entre a área da base de uma 
pirâmide regular de base quadrada e a área de uma das 
 
 
3 
faces é 2. Sabendo que o volume da pirâmide é de 12 
m3, temos que a altura da pirâmide mede (em metros): 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
23 - (ITA-00) Um cilindro circular reto é seccionado por 
um plano paralelo ao seu eixo. A secção fica a cm5 do 
eixo e separa na base um arco de 120º. Sendo de 
2330 cm a área da secção plana regular, então o 
volume da parte menor do cilindro seccionado mede, 
em 3cm : 
(A) 31030  (B) 32030  
(C) 31020  (D) 32550  
(E) 375100  
 
24 - (ITA-00) Um cone circular reto com altura de 
cm8 cm e raio da base de cm2 está inscrito numa 
esfera que, por sua vez, está inscrita num cilindro. A 
razão entre as áreas das superfícies totais do cilindro e 
do cone é igual a : 
(A) )12(
2
3
 (B) )12(
4
9
 
(C) )16(
4
9
 (D) )13(
8
27
 
(E) )13(
16
27
 
 
25 - (ITA-00) Considere uma pirâmide regular com 
altura de cm
3 9
6
. Aplique a esta pirâmide dois cortes 
planos e paralelos à base de tal maneira que a nova 
pirâmide e os dois troncos tenham, os três, o mesmo 
volume. A altura do tronco cuja base é a base da 
pirâmide original é igual a : 
(A) cm)69(2 33  (B) cm)26(2 33  
(C) cm)36(2 33  (D) cm)23(2 33  
(E) cm)39(2 33  
 
26 - (ITA-99) Considere a circunferência C de equação x2 
+ y2 + 2x + 2y + 1 = 0 e a elipse E de equação x2 + 4y2 – 
4x + 8y + 4 = 0. Então: 
a) C e E interceptam-se em dois pontos distintos. 
b) C e E interceptam-se em quatro pontos distintos. 
c) C e E são tangentes exteriormente. 
d) C e E são tangentes interiormente. 
e) C e E têm o mesmo centro e não se interceptam. 
 
27 - (ITA-99) Num cone circular reto, a altura é a média 
geométrica entre o raio da base e a geratriz. A razão 
entre a altura e o raio da base é: 
a) 
2
51 b) 
2
15  c) 
2
15  
d) 
3
153  e) 
2
15  
 
28 - (ITA-99) Um poliedro convexo de 10 vértices 
apresenta faces triangulares e quadrangulares. O 
número de faces quadrangulares, o número de faces 
triangulares e o número total de faces formam, nesta 
ordem, uma progressão aritmética. O número de 
arestas é: 
a) 10 b) 17 c) 20 d) 22 e) 23 
 
29 - (ITA-99) Um triedro tri-retângulo é cortado por um 
plano que intercepta as três arestas, formando um 
triângulo com lados medindo 8m, 10m, e 12m. O 
volume, em m3, do sólido formado é: 
a) 15 6 b) 5 30 c) 6 15 
d) 30 6 e) 45 6 
 
30 - (ITA-98) Uma pirâmide regular tem por base um 
quadrado de lado 2 cm. Sabe-se que as faces formam 
com a base ângulos de 45o . Então, a razão entre a área 
da base e a área lateral é igual a: 
a) 2 b) 
1
3
 c) 6 d) 
2
2 e) 
3
3 
 
31 - (ITA-98) Um poliedro convexo de 16 arestas é 
formado por faces triangulares e quadrangulares. 
Seccionando-o por um plano convenientemente 
escolhido , dele se destaca um novo poliedro convexo, 
que possui apenas faces quadrangulares. Este novo 
poliedro possui um vértice a menos que o original e 
uma face a mais que o número de faces quadrangulares 
do original. Sendo m e n, respectivamente, o número de 
faces e o número de vértices do poliedro original, 
então: 
a) m = 9, n = 7 b) m = n = 9 c) m = 8, n = 10 
d) m = 10 , n = 8 e) m = 7 , n = 9 
 
32 - (ITA-98) Considere um cone circular reto cuja 
geratriz mede 5 cm e o diâmetro da base mede 2 cm. 
Traçam-se n planos paralelos à base do cone, que o 
seccionam determinando n + 1 cones, incluindo o 
original, de modo que a razão entre os volumes do cone 
maior e do cone menor é 2. Os volumes destes cones 
formam uma progressão aritmética crescente cuja 
soma é igual a 2. então, o volume, em cm3, do tronco 
 
 
4 
de cone determinado por dois planos consecutivos é 
igual a: 
a) 
33
 b) 
33
2 c) 
9
 d) 
15
2 e)  
 
33 - (ITA-97) A altura e o raio da base de um cone de 
revolução medem 1 cm e 5 cm respectivamente. Por 
um ponto do eixo do cone situado a d cm de distância 
do vértice, traçamos um plano paralelo à base, obtendo 
um tronco de cone. O volume deste tronco é a média 
geométrica entre os volumes do cone dado e do cone 
menor formado. Então d é igual a: 
a) 3
3
32  b) 3
2
53 c) 3
2
53  
d) 
2
23 e) 
3
33  
 
34 - (ITA-97) Dentro de um tronco de pirâmide 
quadrangular regular, considera-se uma pirâmide 
regular cuja base é a base maior do tronco e cujo 
vértice é o centro da base menor do tronco. As arestas 
das bases medem a cm e 2a cm. As áreas laterais do 
tronco e da pirâmide são iguais. A altura (em cm) do 
tronco mede: 
a) 
5
3a b) 
10
35a c) 
52
3a 
d) 
10
35a e) 
5
7a 
 
35 - (ITA-96) Numa pirâmide regular, a área da base é 
igual ao quadrado da altura H. Seja R o raio da esfera 
inscrita nesta pirâmide. Deste modo, a razão H/R é igual 
a: 
a) 13  b) 13  c) 1331  
d) 1331  e) 13  
 
36 - (ITA-96) A aresta de um cubo mede x cm. A razão 
entre o volume e a área total do poliedro cujos vértices 
são centros das faces do cubo será: 
a) 
9
3
x cm b) 
18
3
x cm c) 
6
3
x cm 
d) 
3
3
x cm e) 
2
3
x cm 
 
37 - (ITA-96) As dimensões x, y e z de um 
paralelepípedo retângulo estão em progressão 
aritmética. Sabendo que a soma dessas medidas é igual 
a 33 cm e que a área total do paralelepípedo é igual a 
694 cm2, então o volume deste paralelepípedo, em cm3, 
é igual a: 
a) 1200 b) 936 c) 1155 d) 728 e) 834 
 
38 - (ITA-95) Um cone reto tem altura 12 cm e raio da 
base 5 cm. O raio da esfera inscrita neste cone mede, 
em cm: 
a) 10/3 b) 4/4 c) 12/5 d) 3 e) 2 
 
39 - (ITA-95) O raio de um cilindro de revolução mede 
1,5m. Sabe-se que a área da base do cilindro coincide 
com a área da secção determinada por um plano que 
contém o eixo do cilindro. Então, a área total do 
cilindro, em m2, vale: 
a) 
4
3 2 b) 
4
2)(9 ππ c) )2(  
d) 
2
2 e) 
2
)1(3  
 
40 - (ITA-95) Dado o prisma hexagonal regular, sabe-se 
que sua altura mede 3 cm e que sua área lateral é o 
dobro da área de sua base. O volume deste prisma, em 
cm3, é: 
a) 27 3 b) 13 2 c) 12 d) 54 3 e) 17 5 
 
41 - (ITA-95) Dada uma pirâmide triangular, sabe-se que 
sua altura mede 3a cm, onde a é a medida da aresta de 
sua base. Então, a área total desta pirâmide, em cm2, 
vale: 
a) 
4
327a2 b) 
2
109a2 c) 
2
3a2 
d) 
2
)332(3a2  e) 
4
)1091(3a2  
 
42 - (ITA-94) Um prismaregular tem como altura o 
dobro da aresta da base. A razão entre o volume deste 
prisma e o volume do cone reto, nele inscrito, é igual a: 
a) (6 2 )/ b) (9 2 )/ c) (3 6 )/ 
d) (6 3 )/ e) (9 3 )/ 
 
43 - (ITA-94) Um tetraedro regular tem área total igual a 
6 3 cm2. Então sua altura, em cm, é igual a: 
a) 2 b) 3 c) 2 2 d) 3 2 e) 2 3 
 
44 - (ITA-94) Num cilindro circular reto sabe-se que a 
altura h e o raio da base r são tais que os números , h, 
r formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de 
soma 6. O valor da área total deste cilindro é: 
a) 3 b) 23 c) 153 d) 203 e) 303 
 
45 - (ITA-94) Um tronco de pirâmide regular tem como 
bases triângulos equiláteros, cujos lados medem, 
respectivamente, 2 cm e 4 cm. Se a aresta lateral do 
 
 
5 
tronco mede 3 cm, então o valor de sua altura h, em 
cm, é tal que: 
a) 7 < h < 8 b) 6 < h < 7 c) 2 3 < h < 3 3 
d) 1 < h < 2 e) 2 2 < h < 3 2 
 
46 - (ITA-93) A área lateral de uma pirâmide 
quadrangular regular de altura 4 m e de área da base 64 
m2 vale: 
a) 128 m2 b) 64 2 m2 c) 135 m2 
d) 60 2 m2 e) 32( 2 + 1) m2 
 
47 - (ITA-93) São dados dois cubos I e II de áreas totais 
S1 e S2 e de diagonais d1 e d2, respectivamente. 
Sabendo-se que S1 – S2 = 54 m2 e que d2 = 3 m, então o 
valor da razão d1/d2 é: 
a) 3/2 b) 5/2 c) 2 d) 7/3 e) 3 
 
48 - (ITA-93) Sabendo-se que um cone circular reto tem 
3 dm de raio e 15 dm2 de área lateral, o valor de seu 
volume em dm3 é: 
a) 9 b) 15 c) 36 d) 20 e) 12 
 
49 - (ITA-92) Num cone de revolução, o perímetro da 
seção meridiana mede 18 cm e o ângulo do setor 
circular mede 288o. Considerando-se o tronco de cone 
cuja razão entre as áreas das bases é 4/9, então sua 
área total mede: 
a) 16 cm2 b) 
9
308 cm2 c) 
3
160 cm2 
d) 
9
100 cm2 e) n.d.a. 
 
50 - (ITA-92) Uma seção plana que contém o eixo de um 
tronco de cilindro é um trapézio cujas bases menor e 
maior medem, respectivamente, h cm e H cm. 
Duplicando-se a base menor, o volume sofre um 
acréscimo de 1/3 em relação ao seu volume original. 
Deste modo: 
a) 2H = 3h b) H = 2h c) H = 3h d) 2H = 5h e) n.d.a. 
 
51 - (ITA-92) Um cone de revolução está circunscrito a 
uma esfera de raio R cm. Se a altura do cone for igual ao 
dobro do raio da base, então a área de sua superfície 
lateral mede: 
a) (1 + 5 )2R2/4 cm2. b)  5 (1 + 5 )2R2/4 cm2. 
c)  5 (1 + 5 )R2/4 cm2. d)  5 (1 + 5 )2R2 cm2. 
e) n.d.a. 
 
52 - (ITA-91) As arestas da base de uma pirâmide 
triangular regular medem  cm e as faces laterais são 
triângulos retângulos. O volume desta pirâmide é: 
a) 3cm3
6
3
 b) 33cm
12
3
 c) 33cm
24
3
 
d) 3cm3
12
2
 e) n.d.a. 
 
53 - (ITA-90) Considere um prisma triangular regular 
cuja aresta da base mede x cm. Sua altura é igual ao 
menor lado de um triângulo ABC inscritível num círculo 
de raio x cm. Sabendo-se que o triângulo ABC é 
semelhante ao triângulo de lados 3 cm, 4 cm e 5 cm, o 
volume do prisma em cm3 é: 
a) 3x
3
2 b) 3x
5
22 c) 3x
10
33 d) 3x
10
3 e) n.d.a. 
 
54 - (ITA-90) Seja V o vértice de uma pirâmide com base 
triangular ABC. O segmento AV, de comprimento 
unitário, é perpendicular à base. Os ângulos das faces 
laterais, no vértice V, são todos de 45 graus. Deste 
modo, o volume da pirâmide será igual a: 
a) 222
6
1
 b) 22
6
1
 c) 22
3
1
 
d) 122
6
1
 e) n.d.a. 
 
55 - (ITA-90) Considere a região do plano cartesiano xOy 
definida pelas desigualdades x – y < 1, x + y > 1 e (x 
– 1)2 + y2 < 2. O volume do sólido gerado pela rotação 
desta região em torno do eixo x é igual a: 
a) 
3
4 b) 
3
8 c)  )22(
3
4 d)  )12(
3
8 e) n.d.a. 
 
56 - (ITA-89) Um cone e um cilindro, ambos retos, 
possuem o mesmo volume e bases idênticas. Sabendo-
se que ambos são inscritíveis em uma esfera de raio R, 
então a altura H do cone será igual a 
a) 6R/5 b) 3R/2 c) 4R/3 d) 2R/3 e) 7R/5 
 
57 - (ITA-89) Justapondo-se as bases de dois cones retos 
e idênticos de altura H, forma-se um sólido de volume 
v. Admitindo-se que a área da superfície deste sólido é 
igual a área da superfície de uma esfera de raio H e 
volume V, a razão v/V vale: 
a) 
4
111 
 d) 
4
117 
 
b) 
4
113 
 e) 
4
119 
 
c) 
4
115 
 
 
 
6 
 
58 - (ITA-89) Os lados congruentes de um triângulo 
isósceles formam um ângulo de 30 graus e o lado 
oposto a este ângulo mede x cm. Este triângulo é a base 
de um pirâmide de altura H cm, que está inscrita em um 
cilindro de revolução. Deste modo, o volume V, em 
centímetros cúbicos, deste cilindro é igual a 
a) 2x2H b) x2H/3 c) 2x2H/3 d) 3x2H e) x2H 
 
59 - (ITA-88) A geratriz de um cone circular reto forma 
com o eixo deste cone um ângulo de 45º. Sabendo-se 
que o perímetro da secção meridiana mede 2 cm, 
podemos afirmar que a área deste cone vale: 
a) )222(
3


 cm2 b) )12(  cm2 
c) )13(  cm2 d) )12(
2


 cm2 
e) )15(  cm2 
 
60 - (ITA-88) As arestas laterais de uma pirâmide regular 
de 12 faces laterais têm comprimento . O raio do 
círculo circunscrito ao polígono da base desta pirâmide 
mede 
2
2
. Então o volume desta pirâmide vale: 
a) 323  b) 23 c) 3
2
3
 d) 32 e) 
3
4
2
 
 
61 - (ITA-88) Considere uma pirâmide qualquer de 
altura h e de base B. Traçando um plano paralelo à base 
B, cuja distância ao vértice da pirâmide é 5h/7 cm, 
obtêm-se uma secção plana de área 7 cm2. Então a área 
da base B da pirâmide vale: 
a) 35 cm2 b) 
3
52
 cm2 c) 
5
77
 cm2 
d) 
5
77
 cm2 e) 
5
7
 cm2 
 
62 - (ITA-87) Se um poliedro convexo possui 20 faces e 
12 vértices, então o número de arestas deste poliedro 
é: 
a) 12 b) 18 c) 28 d) 30 e) 32 
 
63 - (ITA-87) Suponha que (I) é um cubo, tal que a 
medida de sua diagonal é a cm e admita que (II) é um 
cubo, cujo volume é o triplo do volume de (I). 
Designando por x a medida da diagonal de (II), 
concluímos que: 
a) x = a 2 cm b) x = a(1 + 2 ) cm c) x = a 3 2 cm 
d) x = a 3 3 cm e) x = 3 a3 cm 
 
64 - (ITA-87) Seja (T) um cubo com aresta de medida a. 
Considere (P) a pirâmide que tem vértice no centro de 
uma face de (T) e como base a face oposta de (T). 
Sendo x a área lateral de (P), temos: 
a) x = a2. 3 b) x = a2. 5 c) x = (a + 1)2. 5 
d) x = (a + 1)2. 3 e) x = ( 3 + 5 )a2 
 
65 - (ITA-87) Seja (P) um paralelepípedo retângulo de 
dimensões dadas por três números consecutivos. Se a 
área total de (P) é 10 m2, então seu volume é: 
a) 3 m3 b) 5 m3 c) 7 m3 
d) 2 m3 e) 2 3 m3 
 
66 - (ITA-87) Considere (P) um prisma reto de base 
quadrada, cuja altura mede 3 m e tem área total de 80 
m2. O lado dessa base quadrada mede: 
a) 1 m b) 8 m c) 4 m d) 6 m e) 16 m 
 
67 - (ITA-87) A área lateral de um cilindro de revolução, 
de x metros de altura, é igual a área de sua base. O 
volume deste cilindro é: 
a) 2x3 m3 b) 4x3 m3 c) 2 x3 m3 
d) 3 x3 m3 e) 6x3 m3 
 
68 - (ITA-87) O desenvolvimento da superfície lateral de 
um cone reto é um setor circular de raio a e ângulo 
central igual a 60º. O volume deste cone é: 
a) a3/6 b)  35 a3 c) a3/3 
d) (a/6)3 e) [(a/6)3 35 ]/3 
 
69 - (ITA-87) A razão entre o volume de uma esfera de 
raio R e o volume de um cubo nela inscrito é: 
a) 3(2)1/2/2 b) /2 c) 2 d) (2)1/2/3 e) 
(3)1/2/2 
 
70 - (ITA-86) Um cilindro equilátero de raio 3 cm está 
inscrito num prisma triangular reto, cujas arestas da 
base estão em progressão aritmética de razão s, s > 0. 
Sabendo-se que a razão entre o volume do cilindro e do 
prisma é /4 podemos afirmar que área lateral do 
prisma vale 
a) 144 cm2 
b) 12cm2 
c) 24 cm2 
d) /5 da área lateral do cilindro 
e) 5/3 da área lateral do cilindro 
 
 
 
7 
71 - (ITA-86) Seja k uma constante real e considere a 
equação em x 
k
x2
x1
arcsen
2


, sendo x  0 
Então podemos afirmar que: 
a) Para cada k  , a equação admite uma única 
solução. 
b) Para cada k  , a equação admite duas soluções. 
c) Existe k   tal que a equação admite uma infinidade 
de solução. 
d) Não existe k   tal que a equação admita solução. 
e) Existe k   tal que a equação admite uma única 
solução. 
 
72 - (ITA-85) Um tronco de cone reto com bases 
paralelas está inscrito em uma esfera cujo raio mede 2 
m. Se os raios das bases do tronco do cone medirem, 
respectivamente, r m e 2 m. Então o seu volume 
medirá: 
a) )r1r4(r
3
2 222  
b) )r1r4(r
2
3 222  
c) )r12r4(r
3
7 222  
d) )r12r4(r
3
7 222  
e) )r12r4(r
2
3 222  
 
73 - (ITA-85) Uma esfera de raio 3r  cm está inscrita 
num prisma hexagonal regular que, por sua vez, está 
incrito numa esfera de raio R. Pode-se afirmar que a 
medida do raio R vale: 
a) 7 cm b) 
3
7
cm c) 32 cm 
d) 
2
7
cm e) 34 cm 
 
74 - (ITA-84) Sejam as afirmações: 
I. Por um ponto passa uma única reta. 
II. Um ponto e uma reta determinam um plano. 
III. Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, 
então a reta está contida nesse plano. 
IV. Por um ponto situado fora de uma reta, existe uma 
reta paralela à reta dada. 
Podemos garantir que: 
a) apenas III é verdadeira. 
b) I e II são falsas. 
c) apenas I é falsa. 
d) apenas II e III são verdadeiras. 
e) apenas II e IV são verdadeiras. 
 
75 - A figura abaixo é a secção de dois cones retos 
cortados por um plano paralelo às bases. O volume da 
região hachurada é: 
 
a) 
6
5
D3. b) 
12
7
D3. c) 
3
1
D3. d) D3. e) 2D3. 
 
76 - (ITA-83) Ao girarmos o gráfico da função 







]2,1(x;xx2
]1,0[x;x
)x(f
2
 
em torno do eixo das abscissas (eixo dos x), obtemos 
uma superfície de revolução cujo volume é: 
a) /3 b) /2 c)  d) 2 e) 3 
 
77 - (ITA-83) Consideremos uma pirâmide regular cuja 
base quadrada tem área que mede 64 cm2. Numa seção 
paralela à base que dista 30 mm desta, inscreve-se um 
círculo. Se a área deste círculo mede 4 cm2, então a 
altura desta pirâmide mede: 
a) 1 cm b) 2 cm c) 4 cm d) 6 cm e) 60 cm 
 
 
 
 
8 
 
GABARITO 
 
1 A 
2 B 
3 D 
4 A 
5 E 
6 C 
7 D 
8 B 
9 A 
10 E 
11 C 
12 A 
13 C 
14 E 
15 A 
16 E 
17 C 
18 B 
19 A 
20 C 
21 B 
22 C 
23 E 
24 D 
25 D 
26 C 
27 E 
28 C 
29 A 
30 D 
31 B 
32 C 
33 B 
34 B 
35 C 
36 B 
37 C 
38 A 
39 B 
40 E 
41 D 
42 D 
43 A 
44 E 
45 A 
46 B 
47 C 
48 E 
49 B 
50 B 
51 B 
52 E 
53 C 
54 A 
55 B 
56 A 
57 D 
58 E 
59 B 
60 E 
61 C 
62 D 
63 C 
64 B 
65 SR 
66 C 
67 B 
68 E 
69 SR 
70 D 
71 SR 
72 C/D 
73 A 
74 B 
75 A 
76 C 
77 D 
 
 
 
1 
Prova de Geometria Plana – ITA 
 
1 - (ITA-13) Uma reta r tangencia uma circunferência num 
ponto B e intercepta uma reta s num ponto A exterior à 
circunferência. A reta s passa pelo centro desta 
circunferência e a intercepta num 
ponto C, tal que o ângulo 𝐴�̂�𝐶 seja obtuso. 
Então o ângulo 𝐶�̂�𝐵 é igual a 
a) 1/2 𝐴�̂�𝐶 b) 3/2 π − 2 𝐴�̂�𝐶 c) 2/3𝐴�̂�𝐶 
d) 2𝐴�̂�𝐶 −π e) 𝐴�̂�𝐶 – π/2 
 
2 - (ITA-12) Um triângulo ABC tem lados com medidas 
3
a cm
2
 , b 1cm e 
1
c cm
2
 . Uma 
circunferência é tangente ao lado a e também aos 
prolongamentos dos outros dois lados do triângulo, ou 
seja, a circunferência é ex-inscrita ao triângulo. Então, o 
raio da circunferência, em cm , é igual a 
a) 
3 1
4

. b) 
3
4
. c) 
3 1
3

. d) 
3
2
. e) 
3 2
4

. 
 
3 - (ITA-11) Sejam ABCD um quadrado e E um ponto 
sobre AB . Considere as áreas do quadrado ABCD, do 
trapézio BEDC e do triângulo ADE. Sabendo que estas 
áreas definem, na ordem em que estão apresentadas, 
uma progressão aritmética cuja soma é 200 cm2, a 
medida do segmento AE , em cm, é igual a 
A ( ) 
10
3
. B ( ) 5. C ( ) 
20
3
. D ( ) 
25
3
. E ( ) 10 
 
4 - (ITA-11) Num triângulo ABC o lado 𝑨𝑩 mede 2 cm, a 
altura relativa ao lado 𝑨𝑩 mede 1 cm, ângulo A�̂�C 
mede 135° e M é o ponto médio de 𝑨𝑩. Então a medida 
de B�̂�C + B�̂�C, em radianos, é igual a 
A) 1/5 π B) 1/4 π C) 1/3 π D) 3/8 π E) 2/5 π 
 
5 - (ITA-11) Um triângulo ABC está inscrito numa 
circunferência de raio 5 cm. Sabe-se ainda que AB é o 
diâmetro, BC mede 6 cm e a bissetriz do ângulo CBA
ˆ
 
intercepta a circunferência no ponto D . Se  é a soma 
das áreas dos triângulos ABC e ABD e β é a área 
comum aos dois, o valor de  - 2β, em cm2, é igual a: 
a)14 b)15 c)16 d)17 e)18 
 
6 - (ITA-09) Considere o triângulo ABC de lados a BC , 
b AC e c AB e ângulos internos BAC ˆ , CBA ˆ e 
ACB ˆ . Sabendo-se que a equação x2 – 2bx cos + b2 – 
a2 = 0 admite c como raiz dupla, pode-se afirmar que . 
a) 90o  b) 60o  c) 90o  
d) O triângulo é retângulo apenas se 45o  
e) O triângulo é retângulo e b é hipotenusa. 
 
7 - (ITA-09) Do triângulo de vértices A, B e C, inscrito em 
uma circunferência de raio R = 2 cm, sabe-se que o lado 
BC mede 2 cm e o ângulo interno CBA ˆ mede 30º. 
Então o raio da circunferência inscrita neste triângulo 
tem o comprimento, em cm, igual a 
a) 2 3 . b) 
1
3
. c) 
2
4
. d) 2 3 3 . e) 
1
2
. 
 
8 - (ITA-09) Os pontos A=(3,4) e B=(4,3) são vértices de 
um cubo, em que AB é uma das arestas. A área lateral 
do octaedro cujos vértices são os pontos médios da face 
do cubo é igual a: 
a) 8 b) 3 c) 12 d) 4 e) 18 
 
9 - (ITA-08) Considere o quadrado ABCD com lados de 
10 m de comprimento. Seja M um ponto sobre o lado 
ABe N um ponto sobre o lado AD, eqüidistantes de A. 
Por M traça-se uma reta r paralela ao lado ADe por N 
uma reta s paralela ao lado AB, que se interceptam no 
ponto O. Considere os quadrados AMON e OPCQ, onde 
P é a intersecção de s com o lado BC e Q é a 
intersecção de r com o lado DC. Sabendo-se que as 
áreas dos quadrados AMON, OPCQ e ABCD constituem, 
nesta ordem, uma progressão geométrica, então a 
distância entre os pontos A e M é igual, em metros, a 
5515)a  5510)b  
510)c  5515)d  5310)e  
 
10 - (ITA-07) Considere: um retângulo cujos lados 
medem B e H, um triângulo isósceles em que a base e a 
altura medem, respectivamente, B e H, e o círculo 
inscrito neste triângulo. Se as áreas do retângulo, do 
triângulo e do círculo, nesta ordem, formam uma 
progressão geométrica, então B/H é uma raiz do 
polinômio 
a) 02xxx 2233  b) 01xxx 2332  
c) 02xxx 2233  d) 01x2xx 223  
e) 01xx2x 223  
 
 
 
2 
11 - (ITA-07) Seja nP um polígono regular de n lados, 
com n > 2. Denote por na o apótema e por nb o 
comprimento de um lado de nP . O valor de n para o 
qual valem as desigualdades nn ab  e 1n1n ab   , 
pertence ao intervalo 
a) 3 < n < 7. b) 6 < n < 9. 
c) 8 < n < 11. d) 10 < n < 13. e) 12 < n < 15. 
 
12 - (ITA-07) Sejam 1P e 2P octógonos regulares. O 
primeiro está inscrito e o segundo está circunscrito a 
uma circunferência de raio R. Sendo 1A a área de 1P e 2A
a área de 2P , então a razão 
2
1
A
A é igual a: 
a) 
8
5 b) 16/29 c)  122  d)   8/124  e)   4/22 
 
13 - (ITA-06) Seja E um ponto externo a uma 
circunferência. Os segmentos EA e ED interceptam 
essa circunferência nos pontos B e A, e, C e D, 
respectivamente. A corda AF da circunferência 
intercepta o segmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 
7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6, então GF vale 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
14 - (ITA-06) Numa circunferência C1 de raio r1 = 3 cm 
está inscrito um hexágono regular H1, em H1 está 
inscrita uma circunferência C2, em C2 está inscrito um 
hexágono regular H2 e, assim,sucessivamente. Se An 
(em cm2) é a área do hexágono Hn, então  1n An (em 
cm2) é igual a 
a) 54 2 b) 54 3 
c) 36 (1+ 3 ) d) 27 / (2+ 3 ) 
e) 30(2 + 3 ) 
 
15 - (ITA-05) Considere o triângulo de vértices A, B e C, 
sendo D um ponto do lado AB e E um ponto do lado 
AC . Se m( AB ) = 8 cm, m( AC ) = 10 cm, m( AD ) = 4 cm e 
m( AE ) = 6 cm, a razão das áreas dos triângulos ADE e 
ABC é 
a) 
2
1
 b) 
5
3
 c) 
8
3
 d) 
10
3
 e) 
4
3
 
 
16 - (ITA-05) Em um triângulo retângulo, a medida da 
mediana relativa à hipotenusa é a média geométrica 
das medidas dos catetos. Então, o valor do cosseno de 
um dos ângulos do triângulo é igual a 
a)
5
4
 b)
5
32 
 c) 32
2
1
 d) 34
4
1
 e) 32
3
1
 
 
17 - (ITA-05) A circunferência inscrita num triângulo 
eqüilátero com lados de 6 cm de comprimento é a 
interseção de uma esfera de raio igual a 4 cm com o 
plano do triângulo. Então, a distância do centro da 
esfera aos vértices do triângulo é (em cm) 
a) 33 b) 6 c) 5 d) 4 e) 52 
 
18 - (ITA-04) Considere um polígono convexo de nove 
lados, em que as medidas de seus ângulos internos 
constituem uma progressão aritmética de razão igual a 
5°. Então, seu maior ângulo mede, em graus. 
a) 120 b) 130 c) 140 d) 150 e) 160 
 
19 - (ITA-04) Duas circunferências concêntricas C1 e C2 
têm raios de 6 cm e 26 cm, respectivamente. Seja AB
uma corda de C2, tangente à C1. A área da menor região 
delimitada pela corda AB e pelo arco AB mede, em 
cm2. 
a) 9 ( - 3) b) 18 ( + 3) c) 18 ( - 2) 
d) 18 ( + 2) e) 16 ( + 3) 
 
20 - (ITA-03) Sejam r e s duas retas paralelas distando 
entre si 5 cm. Seja P um ponto na região interior a estas 
retas, distando 4 cm de r. A área do triângulo equilátero 
PQR, cujos vértices Q e R estão, respectivamente, sobre 
as retas r e s, é igual, em cm2, a: 
a) 3 15 b) 7 3 c) 5 6 d) 
2
15
3 e) 
2
7
15 
 
21 - (ITA-03) Considere três polígonos regulares tais que 
os números que expressam a quantidade de lados de 
cada um constituam uma progressão aritmética. Sabe-
se que o produto destes três números é igual a 585 e 
que a soma de todos os ângulos internos dos três 
polígonos é igual a 3 780°. O número total das diagonais 
nestes três polígonos é igual a: 
a) 63 b) 69 c) 90 d) 97 e)106 
 
22 - (ITA-02) O triângulo ABC, inscrito numa 
circunferência, tem um lado medindo 
π
20
cm, cujo 
ângulo oposto é de 15°. O comprimento da 
circunferência, em cm, é 
a) 20 2 (1 + 3 ). d) 10 (2 3 + 5) 
b) 400 (2 + 3 ). e) 20 (1 + 3 ) 
c) 80 (1 + 3 ). 
 
23 - (ITA-01) Um triângulo tem lados medindo 3, 4 e 5 
centímetros. A partir dele, constrói-se uma seqüência 
de triângulos do seguinte modo: os pontos médios dos 
 
 
3 
lados de um triângulo são os vértices do seguinte. 
Dentre as alternativas abaixo, o valor em centímetros 
quadrados que está mais próximo da soma das áreas 
dos 78 primeiros triângulos assim construídos, incluindo 
o triângulo inicial, é: 
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 
 
24 - (ITA-01) De dois polígonos convexos, um tem a 
mais que outro 6 lados e 39 diagonais. Então, a soma 
total dos números de vértices e de diagonais dos dois 
polígonos é igual a: 
a) 53 b) 65 c) 66 d) 70 e) 77 
 
25 - Num trapézio retângulo circunscritível, a soma dos 
dois lados paralelos é igual a 18 cm e a diferença dos 
dois outros lados é igual a 2 cm. Se r é o raio da 
circunferência inscrita e a é o comprimento do menor 
lado do trapézio, então a soma a + r (em cm) é igual a: 
a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8 
 
26 - (ITA-00) Considere um triângulo isósceles ABC , 
retângulo em A . Seja D a intersecção da bissetriz do 
ângulo  com o lado BC e E um ponto da reta 
suporte do cateto AC de tal modo que os segmentos 
de reta BE e AD sejam paralelos. Sabendo que AD 
mede cm2 , então a área do círculo inscrito no 
triângulo EBC é: 
(A) 2)324( cm (B) 2)223(2 cm 
(C) 2)324(3 cm (D) 2)223(4 cm 
(E) 2)224( cm 
 
27 - (ITA-00) Num triângulo acutângulo ABC , o lado 
oposto ao ângulo  mede cm5 . Sabendo: 
5
3
arccosÂ e 
5
2
arcsenˆ C , 
então a área do triângulo ABC é igual a : 
(A) 2
2
5
cm (B) 212cm (C) 215cm 
(D) 252 cm (E) 2
2
25
cm 
 
28 - (ITA-00) Considere a circunferência inscrita num 
triângulo isósceles com base cm6 e altura de cm4 . 
Seja t a reta tangente a esta circunferência e paralela à 
base do triângulo. O segmento de t compreendido 
entre os lados do triângulo mede : 
(A) cm1 (B) cm5,1 (C) cm2 
(D) cm5,2 (E) cm3 
 
29 - (ITA-98) Seja ABC um triângulo isósceles de base 
BC. Sobre o lado AC deste triângulo considere um ponto 
D tal que os segmentos AD, BD e BC são todos 
congruentes entre si. A medida do ângulo CÂB é igual 
a: 
a) 23o b) 32o c) 36o d) 40o e) 45o 
 
30 - (ITA-98) Considere as afirmações sobre polígonos 
convexos: 
(I) Existe apenas um polígono cujo número de diagonais 
coincide com o número de lados. 
(II) Não existe polígono cujo número de diagonais seja o 
quádruplo do número de lados. 
(III) Se a razão entre o número de diagonais e o de lados 
de um polígono é um número natural, então o número 
de lados do polígono é ímpar. 
Então: 
a) Todas as afirmações são verdadeiras. 
b) Apenas (I) e (III) são verdadeiras. 
c) Apenas (I) é verdadeira. 
d) Apenas (III) é verdadeira. 
e) Apenas (II) e (III) são verdadeiras. 
 
31 - Considere o paralelogramo ABCD onde A = (0 , 0), B 
= ( – 1 , 2) e C = ( – 3 , -4). Os ângulos internos distintos 
e o vértice D deste paralelogramo são, 
respectivamente: 
a) 
4
3
,
4
 e D = ( – 2 , – 5) b) 
3
2
,
3
 e D = ( – 1 , – 5) 
c) 
3
2
,
3
 e D = ( – 2 , – 6) d) 
4
3
,
4
 e D = ( – 2 , – 6) 
e) 
3
2
,
3
 e D = ( – 2 , – 5) 
 
32 - (ITA-97) Em um triângulo ABC, sabe-se que o 
segmento AC mede 2 cm. Sejam  e , 
respectivamente, os ângulos opostos aos segmentos BC 
e AC. A área do triângulo é (em cm2) igual a: 
a) 2 sen2.cotg  + sen 2 b) 2 sen2.tg  – sen 2 
c) 2 cos2.cotg  + sen 2 d) 2 cos2.tg  + sen 2 
e) 2 sen2.tg  – cos 2 
 
33 - (ITA-96) Um hexágono regular e um quadrado 
estão inscritos no mesmo círculo de raio R e o hexágono 
possui uma aresta paralela a uma aresta do quadrado. A 
distância entre estas arestas paralelas será: 
a) R
2
23 
 b) R
2
12 
 c) R
2
13 
 
d) R
2
12 
 e) R
2
13 
 
 
 
4 
 
34 - (ITA-95) Considere C uma circunferência centrada 
em O e raio 2r, e t a reta tangente a C num ponto T. 
Considere também A um ponto de C tal que AÔT =  é 
um ângulo agudo. Sendo B o ponto de t tal que o 
segmento ABé paralelo ao segmento OT , então a área 
do trapézio OABT é igual a: 
a) r2(2 cos  – cos 2) b) 2r2(4 cos  – sen 2) 
c) r2(4 sen  – sen 2) d) r2(2 sen  + cos ) 
e) 2r2(2 sen 2 – cos 2) 
 
35 - (ITA-95) Um dispositivo colocado no solo a uma 
distância d de uma torre dispara dois projéteis em 
trajetórias retilíneas. O primeiro, lançado sob um 
ângulo  (0, /4), atinge a torre a uma altura H. Se o 
segundo, disparado sob um ângulo 2, a atinge a uma 
altura H, a relação entre as duas alturas será: 
a) H = 2hd2/(d2 – h2) b) H = 2hd2/(d2 + h) 
c) H = 2hd2/(d2 – h) d) H = 2hd2/(d2 + h2) 
e) H = hd2/(d2 + h2) 
 
36 - (ITA-95) O comprimento da diagonal de um 
pentágono regular de lado medindo 1 unidade é igual à 
raiz positiva de: 
a) x2 + x – 2 = 0. 
b) x2 – x – 2 = 0 . 
c) x2 – 2x + 1 = 0. 
d) x2 + x – 1 = 0. 
e) x2 – x – 1 = 0. 
 
37 - (ITA-94) Sejam a, b e c as medidas dos lados de um 
triângulo e A, B e C os ângulos internos opostos, 
respectivamente, a cada um destes lados. Sabe-se que 
a, b, c, neta ordem, formam uma progressão aritmética. 
Se o perímetro do triângulo mede 15 cm e 
 
240
77
c
Ccos
b
Bcos
a
Acos
 
Então sua área, em cm2, mede: 
a) (15 7 )/4 b) (4 5 )/3 c) (4 5 )/5 
d) (4 7 )/7 e) (3 5 )/4 
 
38 - (ITA-94) Numa circunferência inscreve-se umquadrilátero convexo ABCD tal que CB̂A = 70o. Se x = 
BĈA + ,CD̂B então: 
a) x = 120o b) x = 110º c) x = 100º 
d) x = 90º e) x = 80o 
 
39 - (ITA-94) Um triângulo ABC, retângulo em A, possui 
área S. Se x = CB̂A e r é o raio da circunferência 
circunscrita a este triângulo, então: 
a) S = r2cos(2x) b) S = r2sen(2x) 
c) S = 
2
1 r2sen(2x) d) S = 
2
1 r2cos2x 
e) S = 
2
1 r2sen2x 
 
40 - (ITA-93) A diagonal menor de um paralelogramo 
divide um dos ângulos internos em dois outros, um  e 
outro 2. A razão entre o lado menor e o maior do 
paralelogramo, é: 
a) 1/cos 2 b) 1/sen 2 c) 1/(2sen ) 
d) 1/(2cos ) e) tg  
 
41 - (ITA-93) Num triângulo ABC, retângulo em A, seja a 
projeção de A sobre BC. Sabendo-se que o segmento BC 
mede 1 cm e que o ângulo DÂC mede  graus, então a 
área do triângulo ABC vale: 
a) (l2/2) sec  tg  b) (l2/2) sec2  tg  
c) (l2/2) sec  tg2  d) (l2/2) cossec  tg  
e) (l2/2) cossec2  cotg  
 
42 - (ITA-93) Calculando-se a área da região limitada por 
y  3(x + 2)/2 e x2 + (y – 3)2  13, obtém-se: 
a) 2 13  b) 13 c) (13)/2 
d) (3 13 )/2 e) 13  
 
43 - (ITA-92) Num triângulo ABC, retângulo em  , 
temos B̂ = 60o. As bissetrizes destes ângulos se 
encontram num ponto D. Se o segmento de reta BD 
mede 1 cm, então a hipotenusa mede: 
a) 
2
31
cm b) 1+ 3 cm c) 2 + 3 cm 
d) 1 + 2 2 cm e) n.d.a. 
 
44 - (ITA-92) A razão entre as áreas de um triângulo 
equilátero inscrito numa circunferência e de um 
hexágono regular, cuja apótema mede 10 cm, 
circunscrito a esta mesma circunferência é: 
a) ½ b) 1 c) 1/3 d) 3/8 e) n.d.a. 
 
45 - (ITA-92) Considere o triângulo PQR ao lado, 
circunscrito a uma circunferência de centro O, cujos 
pontos de tangência são A, B e C. Sabe-se que os 
ângulos Q̂,P̂ e R̂ estão, nesta ordem, em progressão 
aritmética de razão 20o. Os ângulos 1, 2, 3, 4 conforme 
mostrado na figura abaixo medem, nesta ordem: 
 
a) 40o, 120o, 60o e 50o. 
b) 40o, 100o, 50o e 40o. 
c) 60o, 140o, 60o e 40o. 
d) 60o, 120o, 40o e 50o. 
 B 
C D 
 E 
 A 
 P 
 4 3 
 2 
 A 
 B 
 R 
 Q C 
 0 
 1 
 
 
5 
e) n.d.a. 
 
 
46 - (ITA-91) Um triângulo ABC está inscrito num círculo 
de raio 32 . Sejam a, b e c os lados opostos aos 
ângulos A, B e C respectivamente. Sabendo que a = 32 
e (A,B,C) é uma progressão aritmética, podemos afirmar 
que: 
a) C = 4 3 e A = 30º b) C = 33 e A = 30º 
c) B = 6 e C = 85º d) B= 3 e C = 90º 
e) n.d.a. 
 
47 - (ITA-90) Na figura abaixo 0 é o centro de uma 
circunferência. Sabendo-se que a reta que passa por E e 
F é tangente a esta circunferência e que a medida dos 
ângulos 1, 2 e 3 são dadas, respectivamente, por 49º, 
18º, 34º, determinar a medida dos ângulos 4, 5, 6 e 7. 
Nas alternativas abaixo considere os valores dados 
iguais às medidas de 4, 5, 6 e 7, respectivamente. 
a) 97º, 78º , 61º, 26º b) 102º, 79º, 58º, 23º 
c) 92º, 79º, 61º, 30º d) 97º, 79º, 61º, 27º 
e) 97º, 80º, 62º, 29º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 - (ITA-89) Dadas as afirmações: 
 I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero 
são suplementares 
 II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um 
quadrilátero são suplementares 
III. Se as diagonais de um paralelogramo são 
perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto 
médio, então este paralelogramo é um losango 
Podemos garantir que: 
a) todas são verdadeiras 
b) apenas I e II são verdadeiras 
c) apenas II e III são verdadeiras 
d) apenas II é verdadeira 
e) apenas III é verdadeira 
 
49 - (ITA-89) Considere um quadrilátero ABCD cujas 
diagonais AC e BD medem, respectivamente, 5 cm e 6 
cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos lados do 
quadrilátero dado, então o perímetro do quadrilátero 
RSTU vale: 
a) 22 cm b) 5,5 cm c) 8,5 cm d) 11 cm e) 13 cm 
 
50 - (ITA-89) Se num quadrilátero convexo de área S, o 
ângulo entre as diagonais mede /6 radianos, então o 
produto do comprimento destas diagonais é igual a: 
a) S b) 2S C) 3S D) 4S E) 5S 
 
51 - (ITA-89) Se o perímetro de um triângulo inscrito 
num círculo medir 20x cm e a soma dos senos de seus 
ângulos internos for igual a x, então a área do círculo, 
em cm2, será igual a: 
a) 50 b) 75 c) 100 d) 125 e) 150 
 
52 - (ITA-88) Num triângulo ABC, BC = 4 cm, o ângulo C 
mede 30 e a projeção do lado AB sobre BC mede 2,5 
cm. O comprimento da mediana que sai do vértice A 
mede: 
a) 1 cm b) 2 cm c) 0,9 cm d) 3 cm e) 2 cm 
 
53 - (ITA-88) Por um ponto A de uma circunferência, 
traça-se o segmento AA’ perpendicular a um diâmetro 
desta circunferência. Sabendo-se que o ponto AA’ 
determina no diâmetro segmentos de 4 cm e 9 cm, 
podemos afirmar que a medida do segmento AA’ é: 
a) 4 cm b) 12 cm c) 13 cm d) 6 cm e) (13)1/2 cm 
 
54 - (ITA-88) Num losango ABCD, a soma dos ângulos 
obtusos é o triplo da soma das medidas dos ângulos 
agudos. Se a sua diagonal menor mede d cm então sua 
aresta medirá: 
a) 
22
d

 b) 
22
d

 c) 
32
d

 
d) 
33
d

 e) 
23
d

 
 
55 - (ITA-87) O perímetro de um triângulo retângulo 
isósceles é 2p. Nesse triângulo, a altura relativa à 
hipotenusa é: 
a) 2p d)  12p4  
b)   131p  e)  42p8  
c)  12p  
 
56 - (ITA-87) Qual das afirmações abaixo é verdadeira? 
a) Três pontos, distintos dois a dois, determinam um 
plano. 
b) Um ponto e uma reta determinam um plano. 
c) Se dois planos distintos tem um ponto em comum, tal 
ponto é único. 
 E 
 1 
 2 
 4 
 0 
 + 
 3 5 
 
 B 
 C 
 6 
 D 
 7 
 F 
A 
 
 
6 
d) Se uma reta é paralela a um plano e não está contida 
neste plano, então ela é paralela a qualquer reta desse 
plano. 
e) Se  é o plano determinado por duas retas 
concorrentes r e s, então toda reta desse plano, que é 
paralela à r, não será paralela à s. 
 
57 - (ITA-86) Num sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais considere o triângulo ABC, sobre o qual 
sabemos que: 
a. o lado AC está sobre a reta y = x. 
b. o vértice A tem coordenadas (1, 1) e o ângulo A mede 
60o. 
c. o vértice B está no eixo das ordenadas. 
d. o lado BC é paralelo ao eixo das abscissas. 
A área deste triângulo vale: 
a) 9 b) 9/2 + 3 3 c) 3 /2 
d) 9/2 + 5 3 /2 e) 1/2 + 5 3 
 
58 - (ITA-85) Considere um triângulo isósceles inscrito 
em uma circunferência. Se a base e a altura deste 
triângulo medem 8 cm, então o raio deste 
circunferência mede: 
a) 3 cm b) 4 cm c) 5 cm d) 6 cm e) 3 2 cm 
 
59 - (ITA-84) Num triângulo isósceles, a razão entre a 
altura referente à base e esta é 
2
21
. Sobre o ângulo 
 oposto à base, podemos afirmar que: 
a)  = /4 d)  = /6 
b)  = /2 e) não temos dados suficientes 
c)  = /3 para determiná-lo. 
 
 
 
7 
 
GABARITO 
 
1 B 
2 A 
3 C 
4 B 
5 A 
6 E 
7 D 
8 C 
9 D 
10 D 
11 B 
12 E 
13 D 
14 B 
15 D 
16 C 
17 C 
18 E 
19 C 
20 B 
21 D 
22 A 
23 A 
24 B 
25 C 
26 D 
27 E 
28 B 
29 C 
30 B 
31 D 
32 A 
33 A 
34 C 
35 A 
36 E 
37 A 
38 B 
39 B 
40 D 
41 B 
42 C 
43 B 
44 D 
45 A 
46 A 
47 D 
48 C 
49 D 
50 D 
51 C 
52 SR 
53 D 
54 B 
55 C 
56 E 
57 D 
58 C 
59 A 
 
 
 
1 
Prova de Logaritmo e Função Exponencial – ITA 
 
1 - (ITA-99) Seja a   com a > 1. Se b = log2 a, então o 
valor de 
1a
1a
log)a(log
1a
a
loga4logalog
2
2
1
2
822
3
4




 é: 
a) 3b2  b) 2b
18
65
 c) 
2
1b3b2 2 
 
d) 
18
36b63b2 2 
 e) 
9
7b9b2 
 
 
2 - (ITA-98) O valor de y   que satisfaz a igualdade: 
 log y 49 = 7log 2y + log 2y 7 , é: 
a) 
2
1
 b) 
3
1
 c) 3 d) 
8
1
 e) 7 
 
3 - (ITA-98) A inequação: 
4x log5(x + 3) > (x2 + 3)
5
1log (x +3) 
é satisfeita para todo x  S. Então: 
a) S = ] – 3 , – 2]  [ – 1 , + [ 
b) S = ] –  , – 3[  [ – 1 , + [ 
c) S = ] – 3 , – 1] 
d) S = ] – 2 , + ] 
e) S = ] –  , – 3[  ] – 3 , + [ 
 
4 - (ITA-97) Dado um número real a com a > 1, seja S o 
conjunto solução da inequação 
1)(xlog
a
1
loglog 1/a
7x
a1/a 






 
Então S é o intervalo: 
a) [4, + [ b) [4, 7[ c) ]1, 5] 
d) ]1, 4] e) [1, 4[ 
 
5 - (ITA-96) Seja a  , a > 1. Para que: 
]4, 5[ = {x   * ; log1/a [loga(x
2 – 15)] > 0}. O valor de a 
é: 
a) 2 b) 3 c) 5 d) 9 e) 10 
 
6 - (ITA-96) Se (x0, y0) é uma solução real do sistema 





44YX
22Y)(XlogY)(Xlog
22
32 então x0 + y0 é igual a: 
a)
4
7 b)
4
9 c)
4
11 d)
4
13 e)
4
17 
 
7 - (ITA-95) Se x é um número real positivo com x  1 e 
x  1/3, satisfazendo 
)2x(log
xlog1
)2x(log
xlog
xlog2
x
3
x
)2x(
3 





 então x pertence 
ao intervalo I, onde: 
a) I = (0, 1/9) b) I = (0, 1/3) c) I = (1/2, 1) 
d) I = (1, 3/2) e) I = (3/2, 2) 
8 - (ITA-94) Sejam x e y números reais, positivos e 
ambos diferentes de 1, satisfazendo o sistema: 









x
1
logylogxlog
y
1
x
2
y
. Então o conjunto (x, y) está 
contido no intervalo: 
a) [2, 5] b) ]0, 4[ c) [-1, 2] 
d) [4, 8[ e) [5, [ 
 
9 - (ITA-93) O conjunto solução da inequação 
logx [(1 – x)x] < logx [(1 + x)x2] é dado por: 
a) 1 < x < 3/2 c) 0 < x < ( 2 – 1)/2 e) 0 < x < 2 – 
1 
b) 0 < x < 1 d) 0 < x < 2 /2 
 
10 - (ITA-92) Seja 
3log2log
2log
2
1

 . O conjunto solução 
da desigualdade 








3
2
2 xsen no intervalo [0, 2) é: 
a) ]0, /3]  [2/3, 2) b) [0, 7/6]  [11/6, 2) 
c) [0, 4/3]  [5/3, 2) d) [0, /6]  [5/6, 2) 
e) n.d.a. 
 
11 - (ITA-91) O conjunto dos números reais que 
verificam a inequação 3logx + log (2x + 3)3 < 3 log 2, é 
dado por: 
a) {x  : x > 0} b) {x  : 1  x  3} 
c) {x  : 0 < x  
2
1 } d) {x  :
2
1
 x < 1} 
e) n.d.a. 
 
12 - (ITA-91) Sejam A = 
 






n
0 k
k3
n
k
 e B = 


1n
0k
k
1n
k
11][ . 
Se ln B – ln A = ln
4
6561 então n é igual a: 
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) n.d.a. 
 
13 - (ITA-90) Sabendo-se que 3x – 1 é fator de 12x3 – 
19x2 + 8x – 1 então as soluções reais da equação 12(33x) 
– 19(32x) + 8(3x) – 1 = 0 somam: 
a) – log312 b) 1 c)-
3
1
log312 d) – 1 e) log37 
 
14 - (ITA-89) Sobre a expressão 
xlog
1
xlog
1
M
52
 , 
onde 2 < x < 3, qual das afirmações abaixo está correta? 
a) 1  M  2 b) 2 < M < 4 c) 4  M  5 
 
 
2 
d) 5 < M < 7 e) 7  M  10 
 
15 - (ITA-88) Seja  um número real,  > 5 tal que ( + 
1)m = 2p, onde m é um inteiro positivo maior que 1 e p = 
m[log 2] [(log m (2 – 5)]. O valor de  é: 
a) 3 b) 5 c) 37 d) 32 
e) Não existe valor de  nestas condições 
 
16 - (ITA-88) Seja a um número real com 0 < a < 1. 
Então, os valores reais de x para os quais a2x – (a + 
a2)ax + a3 < 0 são: 
a) a2 < x < a b) x < 1 ou x > 2 c) 1 < x < 2 
d) a < x < a e) 0 < x < 4 
 
17 - (ITA-87) Acrescentando 16 unidades a um número, 
seu logaritmo na base 3 aumenta de 2 unidades. Esse 
número é: 
a) 5 b) 8 c) 2 d) 4 e) 3 
 
18 - (ITA-87) Considere u = x.ln(3), v = x.ln(2) e eu.ev = 
36. Nestas condições, temos: 
a) x = – 4 b) x = 12 c) x = – 3 d) x = 9 e) 
x = 2 
 
19 - (ITA-87) Se x e y são números reais e ln[(y2 + 1).ex] 
– ln(y2 + 1)4 = x – 3 então: 
a) y = 1 + 1e  b) y = 10 – 1e  c) y = 
1e  d) y =  1e  e) y = 1e  /2 
 
20 - (ITA-85) Dada a equação 32x + 52x – 15x = 0, 
podemos afirmar que: 
a) Não existe x real que a satisfaça. 
b) x = log3 5 é uma solução desta equação. 
c) x = log5 3 é uma solução desta equação. 
d) x = log3 15 é uma solução desta equação. 
e) x = 3.log5 15 é uma solução desta equação. 
 
21 - (ITA-84) Os valores de a e k reais que tornam 
verdadeira a expressão 
  3loga2loga2log
klog
klog
a2log aaa
a6
a2
a  são: 
a) 
2
2
a  e qualquer valor de k, k > 0 
b) a = 2 e qualquer valor de k, k > 0, k  1 
c) 
2
2
a  e qualquer valor de k, k > 0, k  1 
d) quaisquer valores de a e k com k  6a 
e) qualquer valor de a positivo com a  1 e a  1/6, e 
qualquer valor positivo de k 
 
 
 
 
3 
 
GABARITO 
 
1 D 
2 D 
3 A 
4 D 
5 E 
6 D 
7 B 
8 B 
9 E 
10 D 
11 C 
12 E 
14 B 
15 A 
16 C 
17 C 
18 E 
19 C 
20 A 
21 C 
 
 
 
1 
Prova de Matrizes – ITA 
 
1 - (ITA-13) Considere A∈ M5 × 5(ℝ) com det (A) = √6e α 
∈ℝ\ { 0 } . Se (αATAAT) = √6 α2, o valor de αé 
a) 1/6 b) √6/6 c) √36
3
/6 d) 1 e) √216 
 
2 - (ITA-11) Considere as afirmações abaixo: 
I - Se M é uma matriz quadrada de ordem n > 1, não-
nula e não-inversível, então existe matriz não-nula N, de 
mesma ordem, tal que MN é matriz nula. 
II - Se M é uma matriz quadrada inversível de ordem n 
tal que det(M2 — M) = 0, então existe matriz não-nula 
X, de ordem n x 1, tal que MX = X. 
III – A matriz 
 
 

 
 
 
 
sen
tg
sen2
cos
1 2
sec 2 é inversível, θ /2 + k, k 
Z. 
 
Destas, é(são) verdadeira(s) 
A ( ) apenas II. B ( ) apenas I e II. 
C ( ) apenas I e III. D ( ) apenas II e III. 
E ( ) todas. 
 
3 - (ITA-10) Sobre os elementos da matriz 
 
1 2 3 4
1 2 3 4
4 4
0 0 0 1
1 0 0 0
 
 
  
 
 
 
x
x x x x
y y y y
M 
sabe-se que  1 2 3 4, , , ,x x x x e  1 2 3 4, , ,y y y y são duas 
progressões geométricas de razão 3 e 4 e de soma 80 e 
225, respectivamente. Então, det  1A e o elemento
 1
23
A valem, respectivamente, 
(A) 
1
12
72
e (B) 
1
12
72
 e 
(C) 
1
12
72
 e (D) 
1 1
72 12
 e (E) 
1 1
72 12
e 
 
4 - (ITA-09) Dados )(23 IRMA  e )(13 IRMb  , dizemos 
que )(120 IRMX  é a melhor aproximação quadrática 
do sistema bAX  quando 0 0( ) ( )
tAX b AX b  assume o 
menor valor possível. Então, dado o sistema 
11 0
10 1
11 0
x
y
   
    
    
       
, 
a sua melhor aproximação quadrática é 
a) 
1
1
 
 
 
 b) 
1
1
 
 
 
 c) 
2
0
 
 
 
 d) 
1
0
 
 
 
 e) 
0
1
 
 
 
 
 
5 - (ITA-09) Seja )(22 IRMA  uma matriz simétrica e 
não nula, cujos elementos são tais que 11 12,a a e 22a 
formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de 
razão 1q  e 115trA a . Sabendo-se que o sistema 
AX X admite solução não nula )(12 IRMX  , 
pode-se afirmar que 2 2
11a q é igual a 
a) 
101
25
. B) 
121
25
. C) 5. D) 
49
9
. E) 
25
4
 
 
6 - (ITA-08) Sejam A e C matrizes n x n inversíveis que 
det (I + C-1.A) = 1/3 e det A = 5. Sabendo-se que B = 3.(A-
1 + C-1)t, então o determinante de B é igual a 
a) 3n b) 
2
n
5
3
.2 c) 
5
1
 d) 
5
3 1n
 e) 5 . 3n-1 
 
7 - (ITA-07) Sejam  jkaA  e  jkbB  , duas matrizes 
quadradas nn , onde jka e jkb são, respectivamente, 
os elementos da linha j e coluna k das matrizes A e B , 
definidos por 






k
j
a jk , quando kj  , 






j
k
a jk , quando 
kj  e  










jk
0p
p
jk
p
jk
2b . 
O traço de uma matriz quadrada  jkc de ordem nn é 
definido por 

n
1p
ppc . Quando n for ímpar, o traço de 
BA  é igual a 
a)   31nn  . b)     41n1n  
c)    2n2n3n2  d)   n1n3  e) 
   2n1n  
 
8 - (ITA-06) Se det










zyx
rqp
cba
= –1, então o valor do det












z3y3x3
zr2yq2xp2
c2b2a2
 é igual a 
 
a) 0 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16 
 
 
 
2 
9 - (ITA-04) Seja x  ℝ e a matriz A =  







 
5log2
1x2
2
x
2x
. 
Assinale a opção correta.a) x  ℝ, A possui inversa. 
b) Apenas para x > 0, A possui inversa. 
c) São apenas dois os valores de x para os quais A possui 
inversa. 
d) Não existe valor de x para o qual A possui inversa. 
e) Para x = log25, A não possui inversa. 
 
10 - (ITA-04) Considere as afirmações dadas a seguir, 
em que A é uma matriz quadrada n x n, n  2: 
I – O determinante de A é nulo se e somente se A 
possui uma linha ou uma coluna nula. 
II – Se A = (aij) é tal que aij = 0 para i > j, com i, j = 1, 2, 
..., n, então det A = a11 a22 ... ann. 
III – Se B for obtida de A, multiplicando-se a primeira 
coluna por 12  e a segunda por 12  , mantendo-
se inalteradas as demais colunas, então det B = det A. 
Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s). 
a) apenas II b) apenas III c) apenas I e II 
d) apenas II e III e) todas 
 
11 - (ITA-03) Sejam A e P matrizes n x n inversíveis e B = 
P-1AP. Das afirmações: 
I – BT é inversível e (BT) –1 = (B-1) T. 
II – Se A é simétrica, então B também o é. 
III – det (A - I) = det (B - I),   ℝ) 
é (são) verdadeira(s): 
a) todas. d) apenas I e III. 
b) apenas I. e) apenas II e III. 
c) apenas I e II. 
 
12 - (ITA-02) Seja a matriz 
 





390 cos120sen 
65sen 25 cos
 
O valor de seu determinado é: 
a) 
3
22
 d) 1 
b) 
2
33
 e) 0 
c) 
2
3
 
 
13 - (ITA-02) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 
n tais que AB = A e BA = B. Então, [(A + B)t]2 é igual a: 
a) (A + B)2. d) At + Bt. 
b) 2 (At . Bt). e) At Bt. 
c) 2 (At + Bt). 
 
14 - (ITA-02) Seja A uma matriz real 2 x 2. Suponha que 
 e  sejam dois números distintos, e V e W duas 
matrizes reais 2 x 1 não-nulas, tais que AV = V e AW 
= W. Se a, b  R são tais que aV + bW é igual à matriz 
nula 2 x 1, então a + b vale: 
a) 0 b) 1 c) – 1 d) 
2
1
 e) - 
2
1
 
 
15 - (ITA-01) Sejam A e B matrizes n x n , e B uma matriz 
simétrica. Dadas as afirmações: 
I. AB + BAT é simétrica. 
II. (A + AT + B) é simétrica. 
III. ABAT é simétrica. 
temos que: 
a) apenas I é verdadeira 
b) apenas II é verdadeira 
c) apenas III é verdadeira 
d) apenas I e III são verdadeiras 
e) todas as afirmações são verdadeiras 
 
16 - (ITA-01) Considere a matriz A = 












642781
16941
4321
1111
 
A soma dos elementos da primeira coluna da matriz 
inversa de A é: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
 
 
 
 
17 - (ITA-00) Considere as matrizes 









 

132
010
311
M , 











111
023
201
N , 











0
1
0
P e 











z
y
x
X . 
Se X é solução de PNXM 1 , então 222 zyx  
é igual a: 
(A) 35 (B) 17 (C) 38 (D) 14 (E) 29 
 
18 - (ITA-00) Sendo x um número real positivo, 
considere as matrizes 
 
 
3 










1log0
1loglog
3
2
3131
x
xx
A e 












4log3
01
log0
31
2
31
x
x
B 
A soma de todos os valores de x para os quais 
TABAB )()(  é igual a : 
(A) 
3
25
 (B) 
3
28
 (C) 
3
32
 (D) 
2
27
 (E) 
2
25
 
 
19 - (ITA-00) Considere as matrizes 











c
b
a
M
00
10
00
 e 











100
010
001
I 
em que 0a e ba, e c formam, nesta ordem, uma 
progressão geométrica de razão 0q . Sejam 21, e 
3 as raízes da equação 0)det(  IM  . Se 
a321  e a7321   , 
então 222 cba  é igual a : 
(A) 
8
21
 (B) 
9
91
 (C) 
9
36
 (D) 
16
21
 (E) 
36
91
 
 
20 - (ITA-99) Considere as matrizes 

























2
1
B e 
y
x
X ,
1 0
0 1
I ,
2 1- 0
1- 0 1
A 
Se x e y são soluções do sistema (AA´ – 3I)X = B, então x 
+ y é igual a: 
a) 2 b) 1 c) 0 d) – 1 e) – 2 
 
21 - (ITA-99) Sejam x, y e z números reais com y  0. 
Considere a matriz inversível 











1 1- z
0 0y 
1 1x 
A . 
Então: 
a) A soma dos termos da primeira linha de A-1 é igual a x 
+ 1. 
b) A soma dos termos da primeira linha de A-1 é igual a 
0. 
c) A soma dos termos da primeira coluna de A-1 é igual a 
1. 
d) O produto dos termos da segunda linha de A-1 é igual 
a y. 
e) O produto dos termos da terceira coluna de A-1 é 
igual a 1. 
 
22 - (ITA-98) Sejam A e B matrizes reais quadradas de 
ordem 2 que satisfazem a seguinte propriedade: existe 
uma matriz M inversível tal que: A = M – 1BM. 
Então: 
a) det (– At) = det B 
b) det A = – det B 
c) det (2A) = 2 det B 
d) Se det B  0 então det (– AB) < 0 
e) det (A – I) = – det (I – B) 
 
23 - (ITA-98) Sejam as matrizes de ordem 2, 
 




 

11
aa2
A e 







a2a
11
B 
Então, a soma dos elementos da diagonal principal de 
(AB) – 1 é igual a: 
a) a + 1 b) 4(a + 1) c) 
4
1 (5 + 2a + a2) 
d) 
4
1 (1 + 2a + a2) e) 
2
1 (5 + 2a + a2) 
 
24 - (ITA-97) Sejam A, B e C matrizes reais quadradas de 
ordem n e não nulas. Por O denotamos a matriz nula de 
ordem n. Se AB = AC considere as afirmações: 
I- A2  0 
II- B = C 
III- det B  0 
IV- det(B – C) = 0 
Então: 
a) Todas são falsas. 
b) Apenas a afirmação I é verdadeira. 
c) Apenas a afirmação II é verdadeira. 
d) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras. 
e) Apenas a afirmação III é verdadeira. 
 
25 - (ITA-97) Considere as matrizes 











201
020
102
A e 














101
020
101
B 
Sejam 0, 1 e 2 as raízes da equação det (A – I3) = 0 
com 0  1  2. Considere as afirmações: 
I- B = A – 0I3 
II- B = (A – 1I3)A 
III- B = A(A – 2I3) 
Então: 
a) Todas as afirmações são falsas. 
b) Todas as afirmações são verdadeiras. 
c) Apenas I é falsa. 
d) Apenas II é falsa. 
e) Apenas III é verdadeira. 
 
 
 
4 
26 - (ITA-96) Seja a  , a > 0 e a  1 e considere a 
matriz A: 













1
10
a
a
)a3(
10
1
a
a/1
a
a3
a
log
log
log
log
log
log
A
2
 Para que a característica de A seja 
máxima, o valor de a deve ser tal que: 
a) a  10 e a  1/3 b) a  10 e a  1/3 
c) a  2 e a  10 d) a  2 e a  3 
e) a  2 e a  10 
 
27 - (ITA-96) Considere A e B matrizes reais 2x2, 
arbitrárias. Das afirmações abaixo assinale a verdadeira. 
No seu caderno de respostas, justifique a afirmação 
verdadeira e dê exemplo para mostrar que cada uma 
das demais é falsa. 
a) Se A é não nula então A possui inversa 
b) (AB)t = AtBt 
c) det (AB) = det (BA) 
d) det A2 = 2 det A 
e) (A + B)(A – B) = A2 – B2 
 
28 - (ITA-96) Seja a   e considere as matrizes reais 
2x2. 







 

 a
a
3
1
1
3
A e 











3
3a1a
2
8
7
7
B 
O produto AB será inversível se e somente se: 
a) a2 - 5a + 6  0 b) a2 - 5a  0 c) a2 - 3a  0 
d) a2 - 2a + 1  0 e) a2 - 2a  0 
 
29 - (ITA-95) Dizemos que duas matrizes nxn A e B são 
semelhantes se existe uma matriz nxn inversível P tal 
que B = P– 1AP. Se A e B são matrizes semelhantes 
quaisquer, então: 
a) B é sempre inversível. 
b) Se A é simétrica, então B também é simétrica. 
c) B2 é semelhante a A. 
d) Se C é semelhante a A, então BC é semelhante a A2. 
e) det(I – B) = det(I - A), onde  é um real qualquer. 
 
30 - (ITA-95) Sejam A e B matrizes reais 3x3. Se tr(A) 
denota a soma dos elementos da diagonal principal de 
A, considere as afirmações: 
I- tr(At) = tr(A ) 
II- Se A é inversível, então tr(A)  0. 
III- tr(A + B) = tr(A) + tr(B), para todo   R. 
Temos que: 
a) Todas as afirmações são verdadeiras. 
b) Todas as afirmações são falsas. 
c) Apenas a afirmação I é verdadeira. 
d) Apenas a afirmação II é falsa. 
e) Apenas a afirmação III é falsa. 
 
31 - (ITA-94) Sejam A e I matrizes reais quadradas de 
ordem 2, sendo I a matriz identidade. Por T denotamos 
o traço de A, ou seja T é a soma dos elementos da 
diagonalprincipal de A. Se T  0 e 1, 2 são raízes da 
equação: det(A – I) = det(A) – det(I), então: 
a) 1 e 2 independem de T. b) 1 . 2 = T c) 1 . 2 =1 
d) 1 + 2 = T/2 e) 1 + 2 = T 
 
32 - (ITA-94) Sejam A e P matrizes reais quadradas de 
ordem n tais que A é simétrica(isto é, A = At) e P é 
ortogonal(isto é, PPt = I = PtP), P diferente da matriz 
identidade. Se B = PtAP então: 
a) AB é simétrica. b) BA é simétrica. c) det A = det B 
d) BA = AB e) B é ortogonal. 
 
33 - (ITA-94) Seja a uma matriz real quadrada de ordem 
n e B = I – A, onde I denota a matriz identidade de 
ordem n. supondo que A é inversível e 
idempotente(isto é, A2 = A) considere as afirmações: 
I- B é idempotente. 
II- AB = BA 
III- B é inversível. 
IV- A2 + B2 = I 
V- AB é simétrica. 
Com respeito a estas afirmações temos: 
a) Todas são verdadeiras. 
b) Apenas uma é verdadeira. 
c) Apenas duas são verdadeiras. 
d) Apenas três são verdadeiras. 
e) Apenas quatro são verdadeiras. 
 
34 - (ITA-93) Dadas as matrizes reais 











131
28y
0x2
A e 












2x3x
280
y32
B , analise as afirmações: 
I. A = B  x = 3 e y = 0 
II. A + B =










163
4161
154
  x = 2 e y = 1. 
III. 





















3
3
1
0
1
0
A  x = 1 
e conclua: 
a) apenas a afirmação II é verdadeira 
 
 
5 
b) apenas a afirmação I é verdadeira 
c) as afirmações I e II são verdadeiras 
d) todas as afirmações são falsas 
e) apenas a afirmação I é falsa 
 
35 - (ITA-93) Seja a matriz 3x3 dada por 
A 










1 2 3
1 0 0
3 0 1
. Sabendo-se que B é a inversa de A, 
então a soma dos elementos de B vale: 
a) 1 b) 2 c) 5 d) 0 e) – 2 
 
36 - (ITA-93) Sabendo-se que a soma das raízes da 
equação 
1 1 0 2
0 0
0
2

x x
b x x
b x b
 = 0 é 
 8
3
 e que S é o 
conjunto destas raízes, podemos afirmar que: 
a) S  [-17, -1] d) S  [-10, 0] 
b) S  [1, 5] e) S  [0, 3] 
c) S  [-1, 3] 
 
37 - (ITA-92) Considere a equação: 
 
0
)]x(F[x4)]x(G[
)x(Fx2)x(G
222
det
222











 onde: 
 
2
34
x
1xxx
)x(F

 e 
x
1x
)x(G
2 
 , com x  R, x  0. 
Sobre as raízes reais dessa equação, temos: 
a) Duas delas são negativas. 
b) Uma delas é um número irracional. 
c) Uma delas é um número par. 
d) Uma delas é positiva e outra negativa. 
e) n.d.a. 
 
38 - (ITA-92) Seja A  M3x3 tal que det A = 0. Considere 
as afirmações: 
I- Existe X  M3x1 não nula tal que AX é identicamente 
nula. 
II- Para todo Y  M3x1, existe X  M3x1 tal que AX = Y. 
III- Sabendo que A





















2
1
5
0
0
1
 então a primeira linha da 
transposta de A é  215 . 
Temos que: 
a) Todas são falsas. 
b) Apenas II é falsa. 
c) Todas são verdadeiras. 
d) Apenas I e II são verdadeiras. 
e) n.d.a. 
 
39 - (ITA-92) Seja C = { X  M2x2; X2 + 2X = 0}. Dadas as 
afirmações: 
I- Para todo X  C e C, (X + 2I) é inversível. 
II- Se X  C e det(X + 2I)  0 então X não é inversível. 
III- Se X  C e det X  0 então det X > 0. 
Podemos dizer que: 
a) Todas são verdadeiras. 
b) Todas são falsas. 
c) Apenas II e III são verdadeiras. 
d) Apenas I é verdadeira. 
e) n.d.a. 
 
40 - (ITA-91) Sejam m e n números reais com m  n e as 
matrizes: 
A= 






5 3
1 2
 , B = 






1 0 
1 1
 
Para que a matriz mA + nB seja não inversível é 
necessário que: 
a) m e n sejam positivos. 
b) m e n sejam negativos. 
c) m e n tenham sinais contrários. 
d) n2 = 7m2 . 
e) n.d.a. 
 
41 - (ITA-91) Sejam M e B matrizes quadradas de ordem 
n tais que M – M – 1 = B. Sabendo que Mt = M – 1 
podemos afirmar que: 
a) B2 é a matriz nula. b) B2 = – 2I. 
c) B é simétrica. d) B é anti-simétrica. 
e) n.d.a. 
Notações: Mt e M-1 denotam, respectivamente a matriz 
transposta de M e a matriz inversa de M. Por I 
denotamos a matriz identidade de ordem n. 
 
42 - (ITA-90) Sejam A, B e C matrizes quadradas n x n 
tais que A e B são inversíveis e ABCA = At , onde At é a 
transposta da matriz A. Então podemos afirmar que: 
a) C é inversível e det C = det(AB)-1; 
b) C não é inversível pois det C = 0; 
c) C é inversível e det C = det B; 
d) C é inversível e det C = (det A)2. det B; 
e) C é inversível e det C = 
Bdet
Adet
. 
Nota: det X denota o determinante da matriz quadrada 
X. 
 
43 - (ITA-89) Sendo A, B, C matrizes reais nxn, considere 
as seguintes afirmações: 
1. A(BC) = (AB)C 4. det (AB) = det (A). det (B) 
 
 
6 
2. AB = BA 5. det (A + B) = det (A) + det (B) 
3. A + B = B + A 
Então podemos afirmar que: 
a) 1 e 2 são corretas d) 4 e 5 são corretas 
b) 2 e 3 são corretas e) 5 e 1 são corretas 
c) 3 e 4 são corretas 
 
44 - (ITA-89) Considere a equação 












































0
0
0
3
0
7
z
2
1
5
y
4
16
4
x , onde x, y e z são números 
reais. É verdade que: 
a) a equação admite somente uma solução 
b) em qualquer solução, x2 = z2 
c) em qualquer solução, 16x2 = 9z2 
d) em qualquer solução, 25y2 = 16z2 
e) em qualquer solução, 9y2 = 16z2 
 
45 - (ITA-89) Sendo
213
230
121
A



 então o elemento da 
terceira linha e primeira coluna, de sua inversa, será: 
a) 5/8 b) 9/11 c) 6/11 d) –2/13 e) 1/13 
 
46 - (ITA-88) Seja A uma matriz real que possui inversa. 
Seja n um número inteiro positivo e An o produto de 
matriz A por ela mesma n vezes. Das afirmações a 
verdadeira é: 
a) An possui inversa, qualquer que seja o valor de n 
b) An possui inversa apenas quando n = 1 ou n = 2. 
c) An possui inversa e seu determinante independe de n. 
d) An não possui inversa para valor algum de n, n > 1. 
e) Dependendo da matriz A, a matriz An poderá ou não 
ter inversa. 
 
47 - (ITA-87) Considere P a matriz inversa da matriz M, 
onde M = 





17/1
03/1
. A soma dos elementos da diagonal 
principal da matriz P é: 
a) 9/4 b) 4/9 c) 4 d) 5/9 e) –1/9 
 
48 - (ITA-87) Seja  um número real, I a matriz 
identidade de ordem 2 e A a matriz quadrada de ordem 
2, cujos elementos aij são definidos por: aij = i + j. Sobre 
a equação em  definida por det (A – I) = detA – , 
qual das afirmações abaixo é verdadeira? 
a) Apresenta apenas raízes negativas. 
b) Apresenta apenas raízes inteiras. 
c) Uma raiz é nula e a outra negativa. 
d) As raízes são 0 e 5/2. 
e) Todo  real satisfaz esta equação. 
 
49 - (ITA-87) Quaisquer que sejam os números reais a, b 
e c, o determinante da matriz 
 1 1 1 1 
 1 1+a 1 1 é dada por: 
 1 1 1+b 1 
 1 1 1 1+c 
a) ab + ac + bc b) abc c) zero 
d) abc + 1 e) 1 
 
50 - (ITA-87) Seja P o determinante da seguinte matriz 
real:












3
2
x894
x432
x232
1111
. Para se obter P < 0 é suficiente 
considerar x em , tal que: 
 
a) x = ( 2 + 3 )/2 b) 10 < x < 11 c) 3 < x < 2 
d) 2 < x< 3 e) 9 < x< 10 
 
51 - (ITA-86) Seja x   e A a matriz definida por 






























2
1
2
x
4
cos
2
x
4
senxsen1
A 
Se S é o conjunto dos x tais que A é uma matriz 
inversível, então podemos afirmar que: 
a) S é vazio d) S = {k, k  Z} 
b) S = {k/2, k  Z} e) S = [-/2, /2] 
c) S = [0, 2] 
 
52 - (ITA-86) Dizemos que duas matrizes reais, 2x1, A e 
B quaisquer são linearmente dependentes se e somente 
se existem dois números reais x e y não ambos nulos 
tais que xA + yB = 0, onde 0 é a matriz nula 2x1. 
Se 







1k
1
A n , 







 


2
1k
B
n
 
onde k  R* e n  N = (1, 2, 3, ...}a) A e B são linearmente dependentes,  k  R*. 
b) existe um único k  R* tal que A e B não são 
linearmente dependentes. 
c) existe um único k  R* tal que A e B são linearmente 
dependentes. 
d) existe apenas dois valores de k  R* tais que A e B 
são linearmente dependentes. 
e) não existe valor de k  R* tal que A e B sejam 
linearmente dependentes. 
 
 
7 
 
53 - (ITA-85) Dizemos que um número real  é 
autovalor de uma matriz real Inxn quando existir uma 
matriz coluna Xnx1 não-nula, tal que TX = X. Considere 
uma matriz real Pnxm satisfazendo PP = P. Denote que 1 
um autovalor de P e por 2 um autovalor de PP. 
Podemos afirmar que, necessariamente: 
a) 1 < 2 < 0 
b) 1 > 2 > 1 
c) 1 e 2 pertencem ao conjunto {0, 1} 
d) 1 e 2 pertencem ao conjunto {t  R tal que t < 0 ou 
t > 1} 
e) 1 e 2 pertencem ao intervalo aberto (0, 1) 
 
54 - (ITA-85) Dadas as matrizes: 

























33
2
1
23
1
1
x0x
0x0
00x
Be
1xx
1x0
10x
A 
onde x1, x2 e x3 são raízes da seguinte equação em x: x3 
+ ax2 + bx – 2 = 0. Se det A = 4x1 e det (A – B) = 8, então 
podemos afirmar que: 
a) det (A – B) = 5 e a = 2 b) det A = b e a = 2 
c) det B = 2 e b = 5 d) det (A – B) = a e = det A 
e) det A = a/2 e b = a/2 
 
55 - (ITA-84) Sejam P, Q, R matrizes reais quadradas 
arbitrárias de ordem n. Considere as seguintes 
afirmações: 
I - se PQ = PR, então Q = R 
II - se P3 é a matriz nula, então o determinante de P é 
zero 
III - PQ = QP 
Podemos afirmar que: 
a) I é a única afirmação verdadeira 
b) II e III são afirmações verdadeiras 
b) I e II são afirmações verdadeiras 
a) III é a única afirmação falsa 
b) I e III são afirmações falsas 
 
56 - (ITA-83) Seja a matriz A = 





dc
ba
, onde 
)5log1( 22a

 ; 8log22b  ; 
81logc
3
 e 27logd
3
 . 
Uma matriz real quadrada B, de ordem 2, tal que AB é a 
matriz identidade de ordem 2 é: 
a) 








81log2
227log
3
3 d) 












5log
2
3
2
3
2
2
 
b) 










53
2
2
3
 e) 









81log
32
225
81log35log
 
c) 












2
5
2
2
2
3
 
 
 
 
 
8 
 
GABARITO 
 
1 C 
2 E 
3 C 
4 E 
5 A 
6 D 
7 C 
8 D 
9 A 
10 D 
11 D 
12 E 
13 C 
14 A 
15 E 
16 A 
17 A 
18 B 
19 A 
20 D 
21 C 
22 A 
23 C 
24 SR 
25 E 
26 B 
27 C 
28 E 
29 E 
30 D 
31 D 
32 C 
33 E 
34 A 
35 B 
36 B 
37 E 
38 B 
39 C 
40 C 
41 D 
42 A 
43 C 
44 E 
45 B 
46 A 
47 C 
48 B 
49 B 
50 C 
51 A 
52 D 
53 C 
54 C 
55 E 
56 C 
 
 
 
1 
Prova de Números Complexos – ITA 
 
1 - (ITA-13) A soma das raízes da equação em C, z8 – 17z4 
+ 16 = 0, tais que z - |z| = 0 , é 
a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 
 
2 - (ITA-13) Considere a equação em C, (z – 5 + 3i)4 = 1. Se 
z0 é a solução que apresenta o menor argumento principal 
dentre as quatro soluções, então o valor de |z0| é 
a) √29 b) √41 c) 3√5 d) 4√3 e) 3√6 
 
3 - (ITA-13) Seja λ solução da equação √𝜆 + 9 +
√2𝜆 + 17 = 12. Então a soma das soluções z , com Re z 
>0, da equação z 4= − λ 32 , é 
a) √2 b) 2√2 c) 4√2 d) 4 e) 16 
 
4 - (ITA-12) Dados os pontos  A 0,0 ,  B 2,0 e 
 C 1,1 , o lugar geométrico dos pontos que se 
encontram a uma distância d 2 da bissetriz interna, 
por A , do triângulo ABC é um par de retas definidas 
por 
a) 1,2r : 2y x 2 4 2 0    . 
b) 
1,2
2
r : y x 2 10 2 0
2
    . 
c) 1,2r : 2y x 2 10 2 0    . 
d)  
1,2r : 2 1 y x 2 4 2 0     . 
e)  
1,2r : 2 1 y x 2 4 2 2 0     . 
 
5 - (ITA-12) Se arg z
4

 , então um valor para 
 arg 2iz é 
a) 
2

 b) 
4

 c) 
2

 d) 
3
4

 e) 
7
4

 
 
6 - (ITA-11) Dado 
 1z = -1+ 3i
2 , então 
89
n
n=1
z
é 
igual a 
 
A) 
89
3i
2

 B) – 1 C) 0 D) 1 E) 
89
3i
6 
 
7 - (ITA-11) Das afirmações abaixo sobre números 
complexos z1 e z2 : 
I - |z1 - z2|≤||z1| - |z2|| 
II - |𝑧11 . z 2| = ||𝑧22|.|𝑧22|| (erro no original do ITA) 
III - Se z1 = Iz1| (cos θ + i senθ) ≠ 0, então = | z1|-1 (cos 
θ - i senθ). 
é(são) sempre verdadeira(s) 
A ( ) apenas I B ( ) apenas II C ( ) apenas III 
D ( ) apenas II e III E ( ) todas. 
 
8 - (ITA-11) A soma de todas as soluções da equação em 
C: 
0122  izzz
 é igual a 
A) 2 B) 2
i
 C) 0 D) 2
1

 E) i2 
 
9 - (ITA-10) Se z uma solução de equação em C 
 


      
             
 z z z , 
Pode-se afirmar que 
(A) 
_
0
 
  
 
 z z (B) 
_
0
 
  
 
 z z 
(C)  5,6z (D)  6,7z (E) 
1
8 z
z
 
 
10 - (ITA-10) Os argumentos principais das soluções da 
equação em z 
 
2
3 0     z z z z 
pertencem a 
(A) 
3
,
4 4
 
 
 
 
 (B) 
3 5
,
4 4
 
 
 
 
 (C) 
5 3
,
4 2
 
 
 
 
 
(D) 
3 7
, ,
4 2 2 4
   
   
   
   
 (E) 
7
0, ,2
4 4
   
   
   
 
 
 
11 - (ITA-09) Se a = cos
5

 e b = sen
5

, então, o número 
complexo 
54
5
seni
5
cos 




 


é igual a: 
a) a + bi b) –a + bi 
c) (1+2a²b²) + ab(1+b²) d) a - bi 
e) 1 – 4a2b2 + 2ab(1 –b2)i 
 
12 - (ITA-08) Sejam    C tais que || = || = 1 | - 
| = 2 . Então 2 + 2 é igual a: 
a) -2 b) 0 c) 1 d) 2 e) 2i 
 
 
 
2 
13 - (ITA-07) Considere a equação:16 
3
ix1
ix1







 = 
4
i1
i1
i1
i1










 
Sendo x um número real, a soma dos quadrados das 
soluções dessa equação é 
a) 3. b) 6. c) 9. d) 12. e) 15. 
 
14 - (ITA-06) Se   [0, 2) é o argumento de um 
número complexo z  0 e n é um número natural tal 
que (z/|z|)n = i sen(n), então, é verdade que 
a) 2n é múltiplo de 2. 
b) 2n –  é múltiplo de 2. 
c) n – /4 é múltiplo de /2. 
d) 2n –  é múltiplo não nulo de 2. 
e) n – 2 é múltiplo de . 
 
15 - (ITA-05) Seja z  ℂ com |z| = 1. Então, a expressão 
wz
wz1


 assume valor 
a) maior que 1, para todo w com |w| > 1. 
b) menor que 1, para todo w com |w| < 1. 
c) maior que 1, para todo w com w  z. 
d) igual a 1, independente de w com w  z. 
e) crescente para |w| crescente, com |w| < |z|. 
 
16 - (ITA-04) A soma das raízes da equação z3 + z2 - |z|2 
+ 2z = 0, z  ℂ, é igual a: 
a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2 
 
17 - (ITA-03) Seja z  C. Das seguintes afirmações 
independentes: 
I – Se  = 
z2 z 3 2iz z3 1
i - z5 2iz
22
2

 
, então 
z2 z3 z2i - 3z 1
i 5z z2i -
 ω
2
2
2


 . 
II – Se z  0 e 
 z2i 1
3 3i 2iz
 


 , então 
z5
23 z2
 

 . 
III – Se 
 
4i 34
z2



i 1
 , então 2 arg z + 
12

 é um 
argumento de . 
é (são) verdadeira(s): 
a) todas. d) apenas I e III. 
b) apenas I e II. e) apenas II. 
c) apenas II e III. 
 
18 - (ITA-02) Seja a equação em C 
 z4 – z2 + 1 = 0. 
Qual dentre as alternativas abaixo é igual à soma de 
duas das raízes dessa equação? 
a) 2 3 d) -i 
b) 
2
3
  e) 
2
 
i
 
c) 
2
3
  
 
19 - (ITA-01) Se z = 1 + i 3 , z. w = 1 e   [0, 2] é um 
argumento de z, w, então  é igual a: 
a)
3
 b)  c) 
3
2 d) 
3
5 e) 
2
3 
 
20 - (ITA-01) O número complexo 
a2sen
sen2cos21
cossen
cos1
z




 ; a  ]0,  /2[ tem 
argumento  /4. Neste caso,  é igual a: 
a) 
6
π
 b) 
3
π
 c) 
4
π
 d) 
5
π
 e) 
9
π
 
 
21 - (ITA-00) Seja 0z o número complexo i1 . Sendo 
S o conjunto solução no plano complexo de 
2|||| 00  zzzz , então o produto dos elementos 
de S é igual a : 
(A) )1(4 i (B) )1(2 i (C) )1(2 i 
(D) i2 (E) i2 
 
22 - (ITA-99) Sejam ak e bk números reais com k = 1, 2, 
..., 6. Os números complexos zk = ak + ibk são tais que zk 
= 2 e bk  0, para todo k = 1, 2, ..., 6. Se (a1, a2, ..., a6) é 
uma progressão aritmética derazão -1/5 e soma 9, 
então z3 é igual a: 
a) 2i b) i
5
6
5
8
 c) 3 + i 
d) i
5
73
5
33


 e) i
5
172
5
24
 
 
23 - (ITA-99) O conjunto de todos os números 
complexos z, z  0, que satisfazem à igualdade 
| z + 1 + i | = | | z | – | 1 + i| | é: 
a) {z  C: arg z = 5/4 + 2k, k  Z} 
b) {z  C: arg z = /4 + 2k, k  Z} 
c) {z  C: |z| = 1 e arg z = /6 + k, k  Z} 
d) {z  C: |z| = 2 arg z = /4 + 2k, k  Z} 
e) {z  C: arg z = /4 + k, k  Z} 
 
24 - (ITA-98) Considere, no plano complexo, um 
polígono regular cujos vértices são as soluções da 
 
 
3 
equação z6 = 1. A área deste polígono, em unidades de 
área, é igual a: 
a) 3 b) 5 c)  d) 
2
33 e) 2 
 
25 - (ITA-98) Sejam x e y números reais tais que: 
 






1yyx3
1xy3x
32
23
 
Então, o números complexo z = x + iy é tal que z3 e |z|, 
valem respectivamente: 
a) 1 – i e 6 2 b) 1 + i e 6 2 c) i e 1 
d) – i e 1 e) 1 + i e 3 2 
 
26 - (ITA-97) Considere os números complexos 
z = 2i2  e w = 1 + i 3 . 
m = 
2
32
46
 2i - 6 + w+ z 
 4i + 3z + w
, então m vale 
a) 34 b) 26 c) 16 d) 4 e) 1 
 
27 - (ITA-97) Considere no plano complexo, um 
hexágono regular centrado em z0 = i. Represente z1,z2, 
... z6 seus vértices, quando percorridos no sentido anti-
horário. Se z1 = 1 então 2z3 é igual a: 
a) 2 + 4i b) ( 3 – 1) + ( 3 + 3)i 
c) 6 + ( 2 + 2)i d) (2 3 – 1) + ( 2 3 + 3)i 
e) 2 + ( 6 + 2)i 
 
28 - (ITA-97) Seja S o conjunto dos números complexos 
que satisfazem simultaneamente, às equações: 
 z – 3i = 3 e z + i = z – 2 – i 
O produto de todos os elementos de S é igual a: 
a) – 2 + i 3 b) 2 2 + 3i 3 c) 3 3 – 2i 3 
d) – 3 + 3i e) – 2 + 2i 
 
29 - (ITA-96) O valor da potência 
93
i1
2









é: 
a)
2
i1 b)
2
i1 c)
2
i1 d)   i2 93 e)   i2 93  
 
30 - (ITA-95) Seja z um número complexo satisfazendo 
Re(z) > 0 e ( z + i)2 +  z + i 2 = 6. Se n é o menor natural 
para o qual z n é um número imaginário puro, então n é 
igual a: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
31 - (ITA-95) Sejam z1 e z2 números complexos com 
z1=z2= 4. Se 1 é uma raiz da equação z1z6 + z2z3 – 8 
= 0 então a soma das raízes reais é igual a: 
a) – 1 b) – 1 + 21/2 c) 1 – 21/3 
d) 1 + 31/2 e) – 1 + 31/2 
 
32 - (ITA-94) Considere as afirmações: 
I- (cos  + i sen )10 = cos(10) + sen(10), para todo   
R. 
II- (5i)/(2 + i) = 1 + 2i 
III- (1 – i)4 = – 4 
IV- Se z2 =( z )2 então z é real ou imaginário puro. 
V- O polinômio x4 + x3 - x - 1 possui apenas raízes reais. 
Podemos concluir: 
a) Todas são verdadeiras. 
b) Apenas quatro são verdadeiras. 
c) Apenas três são verdadeiras. 
d) Apenas duas são verdadeiras. 
e) Apenas uma é verdadeira. 
 
33 - (ITA-93) Seja a o módulo do número complexo 
 2 2 3
10
 i . Então o valor de x que verifica a 
igualdade (4a)x = a é: 
a) 10/11 b) –2 c) 5/8 d) 3/8 e) /15 
 
34 - (ITA-93) Resolvendo a equação zz  22 no 
conjunto dos números complexos, conclui-se sobre as 
suas soluções que: 
a) nenhuma delas é um número inteiro. 
b) a soma delas é dois. 
c) estas são em número de 2 e são distintas. 
d) estas são em número de quatro e são 2 a 2 distintas. 
e) uma delas é da forma z = bi com b real não-nulo. 
 
35 - (ITA-92) Considere o número complexo z = a + 2i 
cujo argumento está no intervalo (0, /2). Sendo S o 
conjunto dos valores de a para os quais z6 é um número 
real, podemos afirmar que o produto dos elementos de 
S vale: 
a) 4 b) 4/ 3 c) 8 d) 8/ 3 e) n.d.a. 
 
36 - (ITA-92) Sabe-se que 2(cos /20 + i sen /20) é uma 
raiz quíntupla de w. Seja S o conjunto de todas as raízes 
de z4 – 2z2 + 
28
i216w 
= 0. Um subconjunto de S é: 
a) {21/2(cos 7/8 + i sen 7/8), 21/2(cos /8 + i sen /8)} 
b) {21/2(cos 9/8 + i sen 9/8), 21/2(cos 5/8 + i sen 
5/8)} 
c) {21/4(cos 7/8 + i sen 7/4), 21/4(cos /4 + i sen /4)} 
d) {21/4(cos 7/8 + i sen 7/8), 21/4(cos /8 + i sen /4)} 
e) n.d.a. 
 
 
 
4 
37 - (ITA-91) Sejam w = a + bi com b  0 e a, b, c . O 
conjunto dos números complexos z que verificam a 
equação wz + wz + c = 0, descreve: 
a) Um par de retas paralelas. 
b) Uma circunferência. 
c) Uma elipse. 
d) Uma reta com coeficiente angular m = 
b
a . 
e) n.d.a. 
 
38 - (ITA-91) Se z = cos t + i sen t, onde 0 < t < 2 , então 
podemos afirmar que w = 
z1
z1

 é dado por: 
a) i cotg
2
t b) i tg
2
t c) i cotg t 
d) i tg t e) n.d.a. 
 
39 - (ITA-90) Considere as equações z3 = i e z2 + (2 + i)z + 
2i = 0, onde z é complexo. Seja S1 o conjunto das raízes 
da primeira equação e S2 o da segunda. Então 
a) S1  S2 é vazio; 
b) S1  S2  R; 
c) S1 possui apenas dois elementos distintos; 
d) S1  S2 é unitário; 
e) S1  S2 possui dois elementos. 
 
40 - (ITA-90) A igualdade 1 + z + 1 = z , onde z  C, é 
satisfeita: 
a) Para todo z  C tal que Rez = 0 e Imz<0; 
b) Para todo z  C tal que Rez  0 e Imz = 0; 
c) Para todo z  C tal que 1 = z ; 
d) Para todo z  C tal que Imz = 0; 
e) Para todo z  C tal que 1 < z . 
Nota : C denota o conjunto dos números complexos, 
Rez a parte real de z e Imz a parte imaginária de z. 
 
41 - (ITA-89) O valor da expressão |1 – z|2 + |1 + z|2, 
sendo z um número complexo, é: 
a) 5, se |z|  1 d) 2, para todo z 
b) 4, se |z| = 1 e) 3, se Re(z) = 0 
c) 0, se Im(z) = 0 
 
42 - (ITA-89) O produto dos números complexos z = x + 
yi, que têm módulo igual a 2 e se encontram sobre a 
reta y = 2x – 1 contida no plano complexo, é igual a: 
a) i
5
8
5
6
 b) i
5
2
5
4
 c) i
5
8
5
8
 d) i22 
e) não existe nenhum número complexo que pertença à 
reta y = 2x – 1 e cujo módulo seja 2 . 
 
43 - (ITA-88) Seja a equação z4 – a – bi = 0, onde a e b 
são reais não nulos. Sobre as raízes desta equação 
podemos afirmar que: 
a) uma delas é um imaginário puro. 
b) os seus módulos formam uma progressão aritmética 
de razão (a + bi)1/4. 
c) o seu produto é um imaginário puro. 
d) cada uma tem argumento igual a [arg(a + bi)]/4 
e) a sua soma é zero. 
 
44 - (ITA-88) O número natural n tal que (2i) n + (1 + i) 2n 
= -16i, onde i é a unidade imaginária do conjunto dos 
números complexos, vale: 
a) n = 6 b) n = 3 c) n = 7 d) n = 4 e) não 
existe n nestas condições 
 
45 - (ITA-87) Seja S a coleção de todos os números 
complexos z, que são raízes da equação |z| – z = 1 + 2i, 
onde i é a unidade imaginária. Então podemos garantir 
que: 
a) S = {3/2 – 2i} b) S = {1/2 + 2i, -1/2 – 2i} c) S = 
{1/2 + 4k; k = 1, 2, 3} 
d) S = {1/4 + 3i} e) S = {1 + 2ki; k = 1, 2, 3} 
 
46 - (ITA-87) A soma de todas as raízes da equação z3 – 
1 = 0 é: 
a) 1 b) 2 c) zero d) i22 e) i32  
 
47 - (ITA-87) Considerando z e w números complexos 
arbitrários e w.zw.zu  , então o conjugado de u 
será necessariamente: 
a) igual a |z| |w| 
b) um número imaginário puro 
c) igual ao dobro da parte real de z + w 
d) igual ao dobro da parte real do número z.w 
e) diferente de u 
 
48 - (ITA-86) No conjunto C dos números complexos 
seja a tal que |a| < 1. O lugar geométrico dos pontos z 
 C que satisfazem a igualdade 1
za1
az



 é: 
a) Uma circunferência de centro na origem e raio 1. 
b) Uma hipérbole. 
c) Uma elipse de semi-eixo maior igual a 1. 
d) Uma parábola. 
e) Formado por duas retas concorrentes. 
 
49 - (ITA-85) Seja a um número real. Os valores de z  C 
que satisfazem 
 




















i1
za
i1
za
1010
  são 
 
 
5 
a) 10 aiaz  
b) Não é possível determiná-los 
c) 10 aiz  
d) Não existe z  C tal que isto aconteça 
e) todo z  R 
 
50 - (ITA-84) Sabendo-se que n é um número natural tal 
que 

i3
i3
n

 é um número real, podemos afirmar que: 
a) n = 6k, k = 1, 2, 3, … 
b) n = 3(2k + 1), k = 0, 1, 2, 3, … 
c) n = 3k, k = 0, 1, 2, 3, … 
d) n = k, k = 1, 2, 3, … 
e) não existe valor de n natural tal que o número dado 
seja real. 
 
51 - (ITA-84) Sabendo-se que z1, = i, z2 e z3 são as raízes 
da equação z3 + az2 + bz + c = 0, onde a, b, c são reais 
não-nulos, podemos afirmar que: 
a) z1, z2 e z3 são imaginários puros 
b) z2 e z3 são reais 
c) z1z2z3 = c 
d) z1 + z2 + z3 = a 
e) pelo menos uma das raízes é real. 
 
52 - (ITA-83) Consideremos um número complexo z tal 
que 
i.z
z2
 tem argumento igual a /4 e 3)2zz(log2 
. Nestas condições, podemos afirmar que: 
a) Não existe 







 
i
zz
ln . 
b) 324
i
zz
lnz4 







 
 . 
c) z2z  é um número real. 
d) )i1(
10
1
z
1
3
3






. 
e) )i1(
108
1
z
1
3






. 
 
 
 
 
6 
 
GABARITO 
 
1 C 
2 B 
3 B 
4 B 
5 E 
6 B 
7 C 
8 E 
9 E 
10 C 
11 B 
12 B 
13 B 
14 B 
15 D 
16 A 
17 A 
18 D 
19 C 
20 A 
21 E 
22 B 
23 A 
24 D 
25 B 
26 A 
27 B 
28 D 
29 A 
30 B 
31 C 
32 B 
33 A 
34 C 
35 A 
36 D 
37 D 
38 A 
39 D 
40 B 
41 B 
42 A 
43 E 
44 B 
45 A 
46 C 
47 B 
48 A 
49 E 
50 B 
51 E 
52 SR 
 
 
 
1 
Prova de Polinômios – ITA 
 
1 - (ITA-13) Seja n > 6 um inteiro positivo não divisível por 
6. Se, na divisão de n2 por 6, o quociente é um número 
ímpar, então o resto da divisão de n por 6 é 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
2 - (ITA-12) As raízes 1x , 2x e 3x do polinômio 
    2 3p x 16 ax 4 2 x x     estão relacionadas 
pelas equações: 31 2
x
x 2x 2
2
   e 
1 2 3x 2x 2x 0   . Então, o coeficiente a é igual a 
a)  2 1 2 b)  2 2 2 c)  4 2 1 
d) 4 2 e) 2 4 
 
3 - (ITA-12) Considere um polinômio  p x , de grau 5 , 
com coeficientes reais. Sabe-se que 2i e i 3 são 
duas de suas raízes. Sabe-se, ainda, que dividindo-se 
 p x pelo polinômio  q x x 5  obtém-se resto 
zero e que    p 1 20 5 2 3  . Então,  p 1 é igual 
a 
a)  5 5 2 3 b)  15 5 2 3 c)  30 5 2 3 
d)  45 5 2 3 e)  50 5 2 3 
 
4 - (ITA-11) Se 1 é raiz de multiplicidade 2 da equação 
024  baxxx , com Rba , , então 32 ba  é 
igual a 
A) -64 B) -36 C) -28 D) 18 E) 27 
 
5 - (ITA-11) Com respeito à equação polinomial 2x4 — 
3x3 — 3x2 + 6x — 2 = 0 é correto afirmar que 
A ( ) todas as raízes estão em ℚ. 
B ( ) uma única raiz está em ℤ e as demais estão em ℚ 
\ ℤ. 
C ( ) duas raízes estão em ℚ e as demais têm parte 
imaginária não-nula. 
D ( ) não é divisível por 2x — 1. 
E ( ) uma única raiz está em ℚ \ ℤ e pelo menos uma 
das demais está em 𝓡\ ℚ. 
 
6 - (ITA-10) Sabe-se que o polinômio p(x) = x5 – ax3 + ax2 
-1, a, admite a raiz –i. Considere as seguintes 
afirmações sobre as raízes de p: 
I. Quatro das raízes são imaginárias puras. 
II. Uma das raízes tem multiplicidade dois. 
III. Apenas uma das raízes é real. 
Destas, é (são) verdadeira (s) apenas 
(A) I. (B) II. (C) III. 
(D) I e III. (E) II e III. 
 
7 - (ITA-10) Um polinômio real  
5
0
 nn
n
p x a x , com 
5 4a , tem três raízes reais distintas, a, b e c, que 
satisfazem o sistema 
2 5 0
4 2 6
2 2 2 5
  

  
   
a b c
a b c
a b c
 
Sabendo que a maior das raízes é simples e as demais 
têm multiplicidade dois, pode-se afirmar que  1p é 
igual a 
(A) - 4. (B) - 2. (C) 2. (D) 4. (E) 6. 
 
8 - (ITA-10) Considere o polinômio  
15
0
n
n
n
p x a x

 
com coeficientes 0 1a   e 11n na ia   , 
1,2,3,...,15n  . Das afirmações: 
 
I.  1p R  
II.    4 3 2 5p x    , x[-1,1] 
III. 8 4a a 
 
é(são) verdadeira(s) apenas 
(A) I. (B) II. (C) III. (D) I e II. (E) II e III. 
 
9 - (ITA-09) O polinômio de grau 4 
)(2)2()()()2( 234 caxcbaxbaxcbaxcba 
 
com IRcba ,, , é uma função par. Então, a soma dos 
módulos de suas raízes é igual a 
a) 33  b) 332  c) 22  
d) 221 e) 222  
 
10 - (ITA-09) Suponha que os coeficientes reais a e b 
equação 4 3 2 1 0x a x b x a x     são tais que a 
equação admite solução não real r com 1r  . Das 
seguintes afirmações: 
I. A equação admite quatro raízes distintas, sendo todas 
não reais. 
II. As raízes podem ser duplas. 
III. Das quatro raízes, duas podem ser reais. 
é (são) verdadeira (s) 
 
 
2 
a) apenas I. b) apenas II. 
c) apenas III. d) apenas II e III. e) nenhuma. 
 
11 - (ITA-08) Um polinômio P é dado pelo produto de 5 
polinômios cujos graus formam uma progressão 
geométrica. Se o polinômio de menor grau tem grau 
igual a 2 e o grau de P é 62, então o de maior grau tem 
grau igual a: 
a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38 
 
12 - (ITA-08) Considere o polinômio p(x)= a5x5 + a4x4 + 
a3x3 + a2x2 – a1, em que uma das raízes é x = -1. 
Sabendo-se que a1, a2, a3 a4 e a5 são reais e formam, 
nesta ordem, uma progressão aritmética com a4 = ½, 
então p(-2) é igual a: 
a) – 25 b) – 27 c) – 36 d) – 39 e) – 40 
 
13 - (ITA-08) Sobre a equação polinomial 2x4 + ax3 + bx2 
– cx – 1 = 0, sabemos que os coeficientes a, b, c são 
reais, duas de suas raízes são inteiras e distintas e ½-i/2 
também é sua raiz. Então, o máximo de a, b, c é igual a: 
a) -1 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
14 - (ITA-08) É dada a equação polinomial 
(a + c + 2)x3 + (b + 3c + 1)x2 + (c – a)x + (a + b + 4) = 0 
Com a, b, c reais, sabendo-se que esta equação é 
recíproca de primeira espécie e que 1 é uma raiz, então 
o produto abc é igual a: 
a) -2 b) 4 c) 6 d) 9 e) 12 
 
15 - (ITA-07) Seja Q(z) um polinômio do quinto grau, 
definido sobre o conjunto dos números complexos, cujo 
coeficiente de z5 é igual a 1. Sendo z3 + z2 + z + 1 um 
fator de Q(z), Q(0) = 2 e Q(1) = 8, então, podemos 
afirmar que a soma dos quadrados dos módulos das 
raízes de Q(z) é igual a 
a) 9 b) 7 c) 5 d) 3 e) 1 
 
16 - (ITA-07) Sendo c um número real a ser 
determinado, decomponha o polinômio cx63x9 2  , 
numa diferença de dois cubos 33 )bx()ax(  
Neste caso, a b c  é igual a 
a) 104 b) 114 c) 124 d) 134 e) 144 
 
17 - (ITA-06) Seja p um polinômio com coeficientes 
reais, de grau 7, que admite 1 – i como raiz de 
multiplicidade 2. Sabe-se que a soma e o produto de 
todas as raízes de p são, respectivamente, 10 e – 40. 
Sendo afirmado que três raízes de p são reais e distintas 
e formam uma progressão aritmética, então, tais raízes 
são 
a) 3/2 – 193/6, 3, 3/2 + 193/6 
b) 2 – 4 13 , 2, 2 + 4 13 
c) – 4, 2, 8 d) –2, 3, 8 e) –1, 2, 5 
 
18 - (ITA-06) Sobre o polinômio p(x) = x5 – 5x3 + 4x2 – 3x 
– 2 podemos afirmar que 
a) x = 2 não é raiz de p. 
b) p só admite raízes reais, sendo uma delas inteira, 
duas racionais e duas irracionais. 
c) p admite uma única raiz real, sendo ela uma raiz 
inteira. 
d) p só admite raízes reais, sendo duas delas inteiras. 
e) p admite somente 3 raízes reais, sendo uma delas 
inteira e duas irracionais. 
 
19 - (ITA-06) Considere o polinômio p(x) = x3 – (a + 1), 
onde a ∈ Z. O conjunto de todos os valores de a, para 
os quais o polinômio p (x) só admite raízes inteiras, é 
a) {2n, n  IN} b) { 4n2,n  IN} 
c) {6n – 4n, n  IN} d) {n (n +1), n  IN} 
e) IN 
 
20 - (ITA-05) No desenvolvimento de (ax2 – 2bx + c + 1)5 
obtém-se um polinômio p(x) cujos coeficientes somam 
32. Se 0 e –1 são raízes de p(x), então a soma a + b + c é 
igual a 
a) 
2
1
 b) 
4
1
 c) 
2
1
 d) 1 e) 
2
3
 
 
21 - (ITA-05) O número complexo 2 + i é raiz do 
polinômio f(x) = x4 + x3 + px2 + x + q 
com p, q  IR. Então, a alternativa que mais se 
aproxima da soma das raízes reais de f é 
a) 4 b) –4 c) 6 d) 5 e) –5 
 
22 - (ITA-04) Para algum número real r, o polinômio 8x3 
– 4x2 – 42x + 45 é divisível por (x – r)2. Qual dos 
números abaixo está mais próximode r? 
a) 1,62 b) 1,52 c) 1,42 d) 1,32 e) 1,22 
 
 
 
 
23 - (ITA-04) Dada a equação x3 + (m + 1) x2 + (m + 9) x + 
9 = 0, em que m é uma constante real, considere as 
seguintes afirmações: 
I – Se m  ] –6, 6[, então existe apenas uma raiz real. 
II – Se m = -6 ou m = +6. então existe raiz com 
multiplicidade 2. 
III -  m  ℝ, todas as raízes são reais. 
 
 
 
3 
Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s) 
apenas. 
a) I b) II c) III d) II e III e) I e II 
 
24 - (ITA-03) Dividindo-se o polinômio P(x) = x5 + ax4 + 
bx2 + cx + 1 por (x – 1), obtém-se resto igual a 2,. 
Dividindo-se P(x) por (x + 1), obtém-se resto igual a 3. 
Sabendo que P(x) é divisível por (x – 2), tem-se que o 
valor de 
c
ab
 é igual a: 
a) – 6 b) – 4 c) 4 d) 7 e) 9 
 
25 - (ITA-02) A divisão de um polinômio (x) por (x – 1) 
(x – 2) tem resto x + 1. Se os restos das divisões de (x) 
por x – 1 e x – 2 são, respectivamente, os números a e 
b, então a2 + b2 vale 
a) 13 b) 5 c) 2 d) 1 e) 0 
 
26 - (ITA-02) Sabendo que a equação 
 x3 – px2 = qm, p, q > 0, q  1, m  N, 
possui três raízes reais positivas a, b, e c, então 
  



 

c b a2
c 
2
b 
2
a abc qlog 
é igual a: 
a) p qlog p m 2  d) p qlog p - m 
b) p qlog p 2 m  e) p qlog 2p - m 
c) p qlog p m  
 
27 - (ITA-01) O valor da soma a + b para que as raízes do 
polinômio 4x4 – 20x3 + ax2 – 25x + b estejam em 
progressão aritmética de razão 1/2 é. 
a) 36 b) 41 c) 26 d) – 27 e) –20 
 
28 - (ITA-01) Sabendo que é de 1024 a soma dos 
coeficientes do polinômio em x e y, obtido pelo 
desenvolvimento do binômio (x + y)m, temos que o 
número de arranjos sem repetição de m elementos, 
tomados 2 a 2, é: 
a) 80 b) 90 c) 70 d) 100 e) 60 
 
29 - (ITA-01) O polinômio com coeficientes reais 
P(x) = x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 
tem duas raízes distintas, cada uma delas com 
multiplicidade 2, e duas de suas raízes são 2 e i. Então, a 
soma dos coeficientes é igual a: 
a) – 4 b) – 6 c) – 1 d) 1 e) 4 
 
30 - (ITA-00) Sendo 1 e i21 raízes da equação 
023  cbxaxx , em que ba, e c são números 
reais, então: 
(A) 4 cb (B) 3 cb (C) 2 cb 
(D) 1 cb (E) 0 cb 
 
31 - (ITA-00) Seja )(xp um polinômio divisível por 
1x . Dividindo-o por xx 2 , obtêm-se o quociente 
3)( 2  xxQ e o resto )(xR . Se 10)4( R , então o 
coeficiente do termo de grau 1 de )(xP é igual a : 
(A) – 5 (B) – 3 (C) – 1 (D) 1 (E) 3 
 
32 - (ITA-99) Seja p(x) um polinômio de grau 3 tal que 
p(x) = p(x + 2) – x2 – 2, para todo x  R. Se – 2 é uma raiz 
de p(x), então o produto de todas as raízes de p(x) é: 
a) 36 b) 18 c) – 36 d) – 18 e) 1 
 
33 - (ITA-99) A equação polinomial p(x) = 0 de 
coeficientes reais e grau 6 é recíproca de 2a espécie e 
admite i como raiz. Se p(2) =
8
105
 e p(– 2) = 
8
255 , então 
a soma de todas as raízes de p(x) é igual a: 
a) 10 b) 8 c) 6 d) 2 e) 1 
 
34 - (ITA-98) Seja a um número real tal que o polinômio 
 p(x) = x6 + 2x5 + ax4 - ax2 - 2x - 1 
admite apenas raízes reais. Então: 
a) a  [2 , [ b) a  [ – 1 , 1] c) a  ] –  , – 7] 
d) a  [– 2, – 1[ e) a  ]1 , 2[ 
 
35 - (ITA-98) Seja p(x) um polinômio de grau 4 com 
coeficientes reais. Na divisão de p(x) por x – 2 obtém-se 
um quociente q(x) e resto igual a 26. Na divisão de p(x) 
por x2 + x – 1 obtém-se um quociente h(x) e resto 8x – 
5. Sabe-se que q(0) = 13 e q(1) = 26. Então, h(2) + h(3) é 
igual a: 
a) 16 b) zero c) – 47 d) – 28 e) 1 
 
36 - (ITA-97) Seja S o conjunto de todas as raízes da 
equação 2x6 – 4x5 + 4x – 2 = 0. Sobre os 
elementos de S podemos afirmar que: 
a) Todos são números reais. 
b) 4 são números reais positivos. 
c) 4 não são números reais. 
d) 3 são números reais positivos e 2 não são reais. 
e) 3 são números reais negativos. 
 
37 - (ITA-97) Sejam p1(x), p2(x) e p3(x) polinômios na 
variável real x de graus n1, n2 e n3, respectivamente, 
com n1 > n2 > n3. Sabe-se que p1(x) e p2(x) são divisíveis 
 
 
4 
por p3(x). Seja r(x) o resto da divisão de p1(x) por p2(x). 
Considere as afirmações: 
I - r(x) é divisível por p3(x). 
II - p1(x) – ½ p2(x) é divisível por p3(x). 
III - p1(x) r(x) é divisível por {p3(x)}2. 
Então, 
a) Apenas I e II são verdadeiras 
b) Apenas II é verdadeira. 
c) Apenas I e III são verdadeiras. 
d) Todas as afirmações são verdadeiras 
e) Todas as afirmações são falsas 
 
38 - (ITA-96) Considere o polinômio: 
P(z) = z6 + 2z5 + 6z4 + 12z3 + 8z2 + 16z 
a) Apenas uma é real. 
b) Apenas duas raízes são reais e distintas. 
c) Apenas duas raízes são reais e iguais. 
d) Quatro raízes são reais, sendo duas a duas distintas. 
e) Quatro raízes são reais, sendo apenas duas iguais. 
 
39 - (ITA-95) A divisão de um polinômio P(x) por x2 – x 
resulta no quociente 6x2 + 5x + 3 e resto – 7x. O resto da 
divisão de P(x) por 2x + 1 é igual a: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
40 - (ITA-95) Sabendo que 4 + i 2 e 5 são raízes do 
polinômio 2x5 – 22x4 + 74x3 + 2x2 - 420x + 540, então a 
soma dos quadrados de todas as raízes reais é: 
a) 17 b) 19 c) 21 d) 23 e) 25 
 
41 - (ITA-94) Seja P(x) um polinômio de grau 5, com 
coeficientes reais, admitindo 2 e i como raízes. Se 
P(1)P(– 1) < 0, então o número de raízes reais de P(x) 
pertencentes ao intervalo ] – 1, 1[ é: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
42 - (ITA-93) Sabendo-se que a equação de coeficientes 
reais 
x6 – (a + b + c)x5 + 6x4 + (a – 2b)x3 – 3cx2 + 6x – 1 = 0 
é uma equação recíproca de segunda classe, então o 
número de raízes reais desta equação desta equação é: 
a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 
 
43 - (ITA-93) Considere a equação de coeficientes reais 
x mx
P
m
x x x P5 4 3 22 316 688 0      , m  0 
para a qual 1 + 3i é raiz. Sabendo-se que a equação 
admite mais de uma raiz real e que suas raízes reais 
formam uma progressão geométrica de razão inteira q 
cujo produto é igual a 64, podemos afirmar que P/m é 
igual a: 
a) 20 b) 30 c) 40 d) 120 e) 160 
 
44 - (ITA-92) Sejam a e b constante reais. Sobre a 
equação: x4 – (a + b)x3 + (ab + 2)x2 – (a + b)x + 1 = 0 
podemos afirmar que: 
a) Não possui raiz real se a < b < -3. 
b) Não possui raiz real se a > b > 3. 
c) Todas as raízes são reais se a 2 e b 2. 
d) Possui pelo menos uma raiz real se – 1 < a  b < 1. 
e) n.d.a. 
 
45 - (ITA-91) Os valores de m de modo que a equação x3 
– 6x2 – m2x + 30 = 0 tenha duas de suas raízes somando 
um, são: 
a) 0 b) 3 e 3 c) 1 e – 1 
d) 2 e – 2 e) nda 
 
46 - (ITA-91) Seja S o conjunto de todas as raízes da 
equação 12x3 – 16x2 – 3x + 4 = 0 . Podemos afirmar que: 
a) S  ] – 1 , 0[  ]0 , 1[  ]1 , 2[ 
b) S  ] – 2 , – 1[  ]0 , 1[  ]3 , 4[ 
c) S  [0 , 4] 
d) S  ] – 2 , – 1[  ]1 , 2[  ]3 , 4[ 
e) n.d.a. 
 
47 - (ITA-91) Considere as afirmações: 
I - A equação 3x4 – 10x3 + 10x – 3 = 0 só admite raízes 
reais. 
II - Toda equação recíproca admite um número par de 
raízes. 
III - As raízes da equação x3 + 4x2 – 4x – 16 = 0. São 
exatamente o dobro das raízes de x3 + 2x2 – x – 2 = 0 . 
Então: 
a) Apenas I é verdadeira. 
b) Apenas II é falsa. 
c) Apenas III é verdadeira. 
d) Todas são verdadeiras. 
e) n.d.a. 
 
48 - (ITA-90) Seja p(x) = 16x5 – 78x4 + ... + x – 5 um 
polinômio de coeficientes reais tal que a equação p(x) = 
0 admite mais do que uma raiz real e ainda, a + bi é uma 
raiz complexa desta equação com ab  0. Sabendo-se 
que 
a
1 é a razão da progressão geométrica formada 
pelas raízes reais de p(x) = 0 e que a soma destas raízes 
reais vale 
8
7 enquanto que o produto é
6
1 , o valor de  
é: 
a) 32 b) 56 c) 71 d) 11 e) 0 
 
 
 
5 
49 - (ITA-90) Sabendo-se que 3x – 1 é fator de 12x3 – 
19x2 + 8x – 1 então as soluções reais da equação 12(33x) 
– 19(32x) + 8(3x) – 1 = 0 somam:a) – log312 b) 1 c)-
3
1 log312 d) – 1 e) log37 
 
50 - (ITA-88) Se P(x) e Q(x) são polinômios com 
coeficientes reais, de graus 2 e 4 respectivamente, tais 
que P(i) = 0 e Q(i) = 0 então podemos afirmar que: 
a) P(x) é divisível por x + 1. 
b) P(x) é divisível por x – 1. 
c) P(x).Q(x) é divisível por x4 + 2x2 + 1. 
d) P(x) e Q(x) são primos entre si. 
e) Q(x) não é divisível por P(x). 
 
51 - (ITA-87) Multiplicando-se por 2 as raízes da 
equação x3 – 2x2 + 2x – 1 = 0 vamos obter raízes da 
seguinte equação: 
a) 2y3 – 6y2 + 6y – 4 = 0 b) y3 – 4y2 + 8y – 8 = 0 c) 
8y3 – 8y2 + 4y – 1 = 0 
d) y3 – 8y2 + 8y + 8 = 0 e) 4y3 – 4y2 – 4y – 8 = 0 
 
52 - (ITA-85) Como ax4 + bx3 + 5x + 3 = 0 é recíproca e 
tem o 1 como raiz, o produto das raízes reais desta 
equação é: 
a) 2 b) –1 c) 1 d) 3 e) 4 
 
53 - (ITA-83) Dado o polinômio P definido por P(x) = sen 
 – (tg )x + (sec2 )x2, os valores de  no intervalo [0, 
2] tais que P admita somente raízes reais são: 
a) 0    /2 
b) /2 <  <  ou  <  < 3/2 
c)     3/2 ou 3/2 < x  2 
d) 0  x  3/2 
e) /2  x < 3/2 
 
54 - (ITA-83) Determine o polinômio P de 3o grau que 
representa uma raiz nula e satisfaz a condição P(x – 1) = 
P(x) + (2x)2 para todo x real. Com o auxílio deste, 
podemos calcular a soma 22 + 42 + … + (2n)2, onde n é 
um número natural, que é igual a: 
a) n
3
2
n2n
3
4 23  d) nn2n4 23  
b) n
3
2
n2n
3
4 23  e) n2nn 23  
c) n
3
2
n2n
3
4 23  
 
55 - (ITA-83) As equações x3 + ax2 + 18 = 0 e x3 + nbx + 12 = 0, onde a e b são constantes reais e n um inteiro, têm duas 
raízes comuns. Das afirmativas abaixo, qual é a verdadeira? 
a) As raízes não comuns às equações têm sinais opostos. 
b) As raízes não comuns às equações são negativas quando a é negativo. 
c) A soma das raízes não comuns às equações é 5. 
d) b e n possuem o mesmo sinal. 
e) As raízes comuns às equações dependem de n. 
 
 
 
 
 
 
6 
 
GABARITO 
 
1 C 
2 C 
3 C 
4 C 
5 E 
6 C 
7 A 
8 E 
9 E 
10 A 
11 B 
12 A 
13 C 
14 E 
15 B 
16 B 
17 E 
18 E 
19 D 
20 A 
21 E 
22 B 
23 E 
24 E 
25 A 
26 B 
27 B 
28 B 
29 A 
30 C 
31 C 
32 C 
33 C 
34 C 
35 A 
36 D 
37 D 
38 B 
39 E 
40 B 
41 B 
42 D 
43 SR 
44 C 
45 C 
46 A 
47 B 
48 C 
49 A 
50 C 
51 B 
52 B 
53 C 
54 B 
55 D 
 
 
 
 
1 
Prova de Progressões – ITA 
 
1 - (ITA-13) Considere a equação ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛5
𝑛=0 = 0em que 
a soma das raízes é igual a - 2 e os coeficientes a0 , a1 , a2 , 
a3 , a4 , a5 formam, nesta ordem, uma progressão 
geométrica com a0 = 1. Então ∑ 𝑎𝑛
5
𝑛=0 igual a 
a) −21 b) -2/3 c) 21/32 d) 63/32 e) 63 
 
2 - (ITA-12) Sabe-se que 
 x 2y,3x 5y,8x 2y,11x 7y 2z     é uma 
progressão aritmética com o último termo igual a 127
. Então, o produto xyz é igual a 
a) 60 b) 30 c) 0 d) 30 e) 60 
 
3 - (ITA-11) Considere a equação algébrica 
3
4
1
( ) 0k
k
k
x a 

   . Sabendo que x = 0 é uma das 
raízes e que (a1, a2, a3) é uma progressão geométrica 
com a1 = 2 e soma 6, pode-se afirmar que 
a) a soma de todas as raízes é 5. 
b) o produto de todas as raízes é 21. 
c) a única raiz real é maior que zero. 
d) a soma das raízes não reais é 10. 
e) todas as raízes são reais. 
 
4 - (ITA-10) Considere a progressão aritimética (a1, a2, ... 
, a50 ) de razão d. 
Se 
10
1
10 25n
n
a d

  e
50
1
4550n
n
a

 , d - a1 é igual a 
(A) 3. (B) 6. (C) 9. (D) 11. (E) 14. 
 
5 - (ITA-10) Considere a matriz 
A =  
1 2 3
4 5 3 3
6
0
0 0
 
 

 
  
x
a a a
a a M
a
 
Em que 4a =10, det A=-1000 e 1a 2a 3a 4a 5a e 6a 
formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de 
razão d > 0. Pode-se afirmar que 1
a
d
 
(A) - 4 (B) - 3 (C) - 2 (D) - 1 (E) 1 
 
6 - (ITA-09) Se as soluções da equação algébrica 
0542 23  bxaxx , com coeficientes IRba , , 0b , 
formam, numa determinada ordem, uma progressão 
geométrica, então, 
b
a é igual a: 
a) -3 b) 
3
1
 c) 
3
1 d) 1 e) 3 
 
7 - (ITA-07) Se A , B , C forem conjuntos tais que 
  23BAn  ,   12ABn  ,   10ACn  , 
  6CBn  e   4CBAn  , então  An ,  CAn  , 
 CBAn  , nesta ordem, 
a) formam uma progressão aritmética de razão 6. 
b) formam uma progressão aritmética de razão 2. 
c) formam uma progressão aritmética de razão 8, cujo 
primeiro termo é 11. 
d) formam uma progressão aritmética de razão 10, cujo 
primeiro termo é 31. 
e) não formam uma progressão aritmética. 
 
8 - (ITA-07) Se as medidas dos lados de um triângulo 
obtusângulo estão em progressão geométrica de razão 
q, então q pertence ao intervalo: 
a)  2/)21(,0  b) 





 2/)51(,2/)21( 
c) 





 2/)51(,2/)51( d) 





 2/)22(,2/)51( 
e) 





 ,2/)31(,2/)22( 
 
9 - (ITA-06) Considere as seguintes afirmações sobre a 
expressão S =   
101
0k
k
8 24log : 
I – S é a soma dos termos de uma progressão 
geométrica finita. 
II – S é a soma dos termos de uma progressão 
aritmética finita de razão 2/3. 
III – S = 3451. 
IV – S 3434 + log8 2 . 
 
Então, pode-se afirmar que é(são) verdadeira(s) apenas 
a) I e III b) II e III c) II e IV 
d) II e) III 
 
10 - (ITA-03) O valor de y2 – xz para o qual os números 
sen 
12

; x, y, z e sen 75°, nesta ordem, formam uma 
progressão aritmética, é: 
a) 3-4 b) 2-6 c) 6-2 d) 2-5 e) 
4
3 - 2
 
 
11 - (ITA-03) Considere o polinômio P(x) = 2x + a2x2 + ... 
+ anxn, cujos coeficientes 2, a2, ... , an formam, nesta 
ordem, uma progressão geométrica de razão q > 0. 
 
 
2 
Sabendo que 
2
1
  é uma raiz de P e que P(2) = 5 460, 
tem-se que o valor de 
4
32
q
q - n
 é igual a: 
a) 
4
5
 b) 
2
3
 c) 
4
7
 d) 
6
11
 e) 
8
15
 
 
12 - (ITA-00) O valor de n que torna a seqüência 
nnn 41,5,32  
uma progressão aritmética pertence ao intervalo: 
(A) ]1,2[  (B) ]0,1[ (C) ]1,0[ 
(D) ]2,1[ (E) ]3,2[ 
 
13 - (ITA-99) O conjunto de todos os números reais q > 
1, para os quais a1, a2 e a3, formam, nesta ordem, uma 
progressão geométrica de razão q e representam as 
medidas dos lados de um triângulo, é: 
a) ]1, 
2
51 [ b) ]1, 
2
51 ] 
c) ]1, 
5
51 ] d) ]1, 
4
51 [ 
e) ]1, 1+ 5 [ 
 
 
 
14 - (ITA-98) Seja (a1 , a2 , a3 ,...) uma progressão 
geométrica infinita de razão a1, 0 < a1 < 1, e soma igual 
a 3a1 . A soma dos três primeiros termos desta 
progressão geométrica é: 
a) 
27
8 b) 
27
20 c) 
27
26 d) 
27
30 e) 
27
38 
 
15 - (ITA-97) Sejam a1, a2, a3 e a4 números reais 
formando, nesta ordem, uma progressão geométrica 
crescente com a1  0. Sejam x1, x2 e x3 as raízes da 
equação a1x3 + a2x2 + a3x + a4 = 0. Se x1 = 2i, então: 
a) x1 + x2 + x3 = -2 b) x1 + x2 + x3 = 1 
c) x 21 + x 2
2 + x 23 = 4 d) x1 . x2 . x3 = 8 
e) x1 . x2 + x1 . x3 + x2 . x3 = 5 
 
16 - (ITA-97) Os números reais x, y e z formam, nesta 
ordem, uma progressão aritmética de razão r. Seja  
um número real com  > 0 e   1 satisfazendo 
3ax + 2ay – az = 0 . Então r é igual a 
a) a2 b) (½)a c) log2a4 d) loga (3/2) e) loga3 
 
17 - (ITA-95) Se a soma dos termos da progressão 
geométrica dada por 0,3 : 0,03 : 0,003 : ... é igual ao 
termo médio de uma progressão aritmética de três 
termos, então a soma dos termos da progressão 
aritmética vale: 
a) 1/3 b) 2/3 c) 1 d) 2 e) 1/2 
 
18 - (ITA-94) Seja (a1, a2, .... , an) uma progressão 
geométrica com um número ímpar de termos e razão q 
> 0. O produto de seus termos é igual a 225 e o termo do 
meio é 25. Se a soma dos (n - 1) primeiros termos é igual 
a 2(1 + q)(1 + q2), então: 
a) a1 + q = 16 b) a1 + q = 12 c) a1 + q = 10 
d) a1 + q + n = 20 e) a1 + q + n = 11 
 
19 - (ITA-94) Seja (a, b, c, d, e) uma progressão 
geométrica de razão a, com a  0 e a  1. Se a soma de 
seus termos é igual a (13a + 12) e x é um número real 
positivo diferentede 1 tal que: 

xlog
1
a

xlog
1
b

xlog
1
c

xlog
1
d

xlog
1
e 2
5
 
então x é igual a: 
a) 33 b) 23 c) (5/2)2 d) (5/2)3/2 e) 
(2/5)2 
 
20 - (ITA-93) Numa progressão aritmética com 2n + 1 
termos, a soma dos n primeiros é igual a 50 e a soma 
dos n últimos é 140. Sabendo-se que a razão desta 
progressão é um inteiro entre 2 e 13, então seu último 
termo será igual a: 
a) 34 b) 40 c) 42 d) 48 e) 56 
 
21 - (ITA-93) A soma dos 5 primeiros termos de uma 
progressão aritmética de razão r é 50 e a soma dos 
termos de uma progressão geométrica infinita de razão 
q é 12. Se ambas as progressões tiverem o mesmo 
termo inicial menor do que 10 e sabendo-se que q = r2, 
podemos afirmar que a soma dos 4 primeiros termos da 
progressão geométrica será: 
a) 623/11 b) 129/32 c) 25/2 d) 765/64 e) 13 
 
22 - (ITA-92) Numa progressão geométrica de razão 
inteira q > 1. Sabe-se que a1an = 243, nq alog e nq alog = 6, 
onde na é o enésimo termo de progressão geométrica e 
an é o produto dos n primeiros termos. Então a soma 
dos n primeiros termos é igual a: 
a) 
6
139 
 b) 
6
1310 
 c) 
6
138 
 d) 
3
139 
 e) n.d.a. 
 
23 - (ITA-92) Sejam a, b, c, d números reais não nulos 
que estão nesta ordem em progressão aritmética. 
Sabendo que o sistema a seguir: 
 
 
3 







81y.3.9x.3
2.
3
2
y.2x.2.4
bd
bca
 é possível e indeterminado, 
podemos afirmar que a soma desta progressão 
aritmética é: 
a) 13 b) 16 c) 28 d) 30 e) n.d.a. 
 
24 - (ITA-91) Na divisão de P(x) = a5x5 + 2x4 + a4x3 + 8x2 - 
32x + a3 por x – 1, obteve-se o quociente Q(x) = b4x4 + 
b3x3 + b2x2 + b1x + b0 e o resto – 6. Sabe-se que (b4, b3, 
b2, b1) é uma progressão geométrica de razão q > 0 e q 
 1. Podemos afirmar: 
a) b3 + a3 = 10 b) b4 + a4 = 6 c) b3 + b0 = 12 
d) b4 + b1 = 16 e) n.d.a. 
 
25 - (ITA-91) Numa progressão geométrica de razão q, 
sabe-se que: 
I- o produto do logaritmo natural do primeiro termo a1 
pelo logaritmo natural da razão é 24. 
II- a soma do logaritmo natural do segundo termo com 
o logaritmo natural do terceiro termo é 26. 
Se ln q é um número inteiro então o termo geral an vale: 
a) e6n – 2 b) e4 + 6n c) e24n d) n64e  e) nda 
Notação: ln q denota o logaritmo natural (ou 
neperiano) de q 
 
26 - (ITA-90) Numa progressão geométrica de três 
termos a razão é e – 2a , a soma dos termos é 7 enquanto 
que a diferença do último termo com o primeiro é 3. 
Nestas condições o valor de a é: 
a) ln 2 b) – ln
2
5 c) ln 3 d) – ln 2 
e) não existe número real a nestas condições 
 
27 - (ITA-89) Numa progressão geométrica de razão q 
sabemos que a1 = 1/q, a1an = (2/3)5 e o produto dos n 
primeiros termos é q20. Então a soma dos n primeiros 
termos é igual a: 
a) 
6
88
3
23
2
1  b) 
6
66
3
23
2
1 
 c) 
6
88
3
23
4
1 
 
d) 
6
66
3
23
4
1 
 e) 
8
66
3
23
4
1  
 
28 - (ITA-89) Numa progressão aritmética com n 
termos, n > 1, sabemos que o primeiro é igual a (1 + 
n)/n e a soma deles vale (1 + 3n)/2. Então o produto da 
razão desta progressão pelo último termo é igual a: 
a) 2n b) 2/n c) 3n d) 3/n e) 5n 
 
29 - (ITA-88) Suponha que os números 2, x, y e 1458 
estão, nesta ordem, em progressão geométrica. Desse 
modo o valor de x + y é: 
a) 90 b) 100 c) 180 d) 360 e) 1460 
 
30 - (ITA-88) Sejam a, b e c constantes reais com a  0 
formando, nesta ordem, uma progressão aritmética e 
tais que a soma das raízes da equação ax2 + bx + c = 0 é 
2 . Então uma relação válida entre b e c é: 
a) )12(
2
b
c  b) )22(bc  c) )12(bc  
d) 2bc  e) )24(
2
b
c  
 
31 - (ITA-86) Sejam os números reais x > 0, a > b > 1. Os 
três números reais 
 )bx(log,blogx,x aa 
 são, nesta ordem, os três primeiros termos de uma 
progressão geométrica infinita. A soma S desta 
progressão vale: 
a) S = 2x/(1 – loga b) 
b) S = (x + 1)/(1 – 1/2loga b) 
c) S = 1/(1 – loga b) 
d) S = 1/(1 – loga b) 
e) impossível determinar S pois é finito. 
 
32 - (ITA-86) Sejam a, b e c números reais que nesta 
ordem formam uma progressão aritmética de soma 12. 
Sabendo-se que os restos das divisões de x10 + 8x8 + ax5 
+ bx3 + cx por x – 2 e x +2 são iguais, então a razão 
desta progressão aritmética é: 
a) 1 b) 28/5 c) 37/5 d) 44/15 e) – 3 
 
33 - (ITA-85) Sejam a1, a2, ..., an números reais positivos 
e pn = a1. a2 ...an. Se a > 0 é uma constante real tal que 
Pn = 
n
nn
2
p
2 
, então podemos afirmar que os números a1, 
a2, ..., an, nesta ordem: 
a) Formam uma progressão geométrica de razão q = p e 
an = (p2n)/2 
b) Formam uma progressão geométrica de razão q = p e 
an = (pn)/2 
c) Formam uma progressão geométrica de razão q = p2 
e an = (pn)/2 
d) Formam uma progressão geométrica de razão q = p2 
e an = (p2n)/2 
e) Não formam uma progressão geométrica. 
 
34 - (ITA-84) Os coeficientes do trinômio x2 + bx + c 
constituem, nesta ordem, uma progressão aritmética de 
 
 
4 
razão não nula 
2
q
r  , onde q é a razão da progressão 
aritmética b2 – 1, c2 – b2. Nestas condições podemos 
afirmar que o trinômio apresenta: 
a) uma raiz nula b) duas raízes reais distintas 
c) duas raízes iguais d) duas raízes complexas 
e) nenhuma raiz 
 
35 - (ITA-83) Considere os números reais não nulos a, b, 
c e d em progressão geométrica tais que a, b e c são 
raízes da equação (em x) x3 + Bx2 – 2Bx + D = 0, onde B 
e D são números reais e B > 0. Se cd – ac = –2B, então: 
a) (a2 + b2 + c2)(b2 + c2 + d2) = (ab + bc + cd)2 e b2 + c2 + 
d2 = 
B4B
B16
2
2

 
b) (a2 + b2 + c2)(b2 + c2 + d2) = (ab + bc + cd)2 e a2 + b2 + 
c2 = 
4B
B16
2 
 
c) (a2 + b2 + c2)(b2 + c2 + d2) = (ab + bc + cd) e b2 + c2 + 
d2 = 
4B
B16

 
d) (a2 + b2 + c2)(b + c + d) = (ab + bc + cd) e a2 + b2 + c2 = 
4B
B16

 
e) (a2 + b2 + c2)(b + c + d) = (ab + bc + cd)2 e a2 + b2 + c2 
= 
B16
4B 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
GABARITO 
 
1 D 
2 A 
3 A 
4 D 
5 D 
6 B 
7 D 
8 C 
9 B 
10 D 
11 C 
12 B 
13 A 
14 E 
15 A 
16 E 
17 C 
18 E 
19 A 
20 A 
21 D 
22 C 
23 E 
24 B 
25 A 
26 D 
27 A 
28 B 
29 C 
30 E 
31 C 
32 B 
33 D 
34 D 
35 A 
 
 
 
1 
Prova de Sistemas Lineares – ITA 
 
1 - (ITA-11) O sistema 
x + 2y + 3z = a
y + 2z = b
3x - y - 5cz = 0





 
A ( ) é possível, a, b, c  IR 
B ( ) é possível quando 
7
3
b
a  ou c  1 
C ( ) é impossível quando c = 1, a,b  IR 
D ( ) é impossível quando 
7
3
b
a  , c  IR 
E ( ) é possível quando c = 1 e 
7
3
b
a  
 
2 - (ITA-09) O sistema 
IRccbbaa
cybxa
cybxa






212121
222
111
,,,,,, 
Com 
1 2( , ) (0,0)c c  , 1 1 2 2 1 1 2 2 0a c a c bc b c    , é 
a) determinado. 
b) determinado somente quando c1  0 e c2  0. 
c) determinado somente quando c1  0 e c2 = 0 ou c1 = 0 
e c2  0. 
d) impossível. 
e) indeterminado. 
 
3 - (ITA-08) Considere o sistema Ax = b, em que: 
,
3k31
6k2
321
A












 b= 










0
6
1
 e k  R. 
Sendo T a soma de todos os valores de k que tornam o 
sistema impossível e sendo S a soma de todos os 
valores de k que tornam o sistema possível e 
indeterminado, então o valor de T – S é: 
a) – 4 b) – 3 c) 0 d) 1 e) 4 
 
4 - (ITA-06) A condição para que as constantes reais a e 
b tornem incompatível o sistema linear 








bazy2x2
1z5y2x
2z3yx
 é 
 
a) a – b  2 b) a + b = 10 c) 4a – 6b = 0 
d) a/b = 3/2 e) a . b = 24 
 
5 - (ITA-06) Seja o sistema linear nas incógnitas x e y, 
com a e b reais, dado por 





1y)ba(x)ba(
1y)ba(x)ba(
 
 
Considere as seguintes afirmações: 
I – O sistema é possível e indeterminado se a = b = 0. 
II – O sistema é possível e determinado se a e b não são 
simultaneamente nulos.III – x2 + y2 = (a2 + b2)–1, se a2 + b2  0. 
 
Então, pode-se afirmar que é(são) verdadeira(s) apenas 
a) I b) II c) III d) I e II e) II e III 
 
6 - (ITA-05) Em uma mesa de uma lanchonete, o 
consumo de 3 sanduíches, 7 xícaras de café e 1 pedaço 
de torta totalizou R$ 31,50. Em outra mesa, o consumo 
de 4 sanduíches, 10 xícaras de café e 1 pedaço de torta 
totalizou R$ 42,00. Então, o consumo de 1 sanduíche, 1 
xícara de café e 1 pedaço de torta totaliza o valor de 
a) R$ 17,50 b) R$ 16,50 c) R$ 12,50 
d) R$ 10,50 e) R$ 9,50 
 
7 - (ITA-05) O sistema linear 








1bzx
1zby
1ybx
 
não admite solução se e somente se o número real b for 
igual a 
a) –1 b) 0 c) 1 d) 2 e) –2 
 
8 - (ITA-03) O número de todos os valores de a  [0, 
2], distintos, para os quais o sistema nas incógnitas x, y 
e z, dado por 








a cos 2 -z4y36x
2asen z5y2x
3a cosz6y4x 
, é 
possível e não-homogêneo, é igual a: 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
9 - (ITA–01) Seja m  R, m  0. Considere o sistema 









0z)m(logyx
0z2yx)m(log
0z5y)m(logx2
2
2
2
4
 
O produto dos valores de m para os quais o sistema 
admite solução não-trival é: 
a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 2 log25 
 
 
 
2 
10 - (ITA-99) A soma de todos os valores de a  [0, 2[ 
que tornam o sistema 








02a) sen 2 a sen 3 (1 za cosy a senx 
0a) cosa sen (2 za cosy a senx 
0zyx
222
 
possível e indeterminado é: 
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e)  
 
11 - (ITA-98) Sejam a, b  . Considere os sistemas 
lineares em x, y e z: 
 








azy2
1zy3x
0zyx
 e 








0z3byx2
0zy2x
0yx
 
Se ambos admitem infinitas soluções reais, então: 
a) 11
b
a
 b) 22
a
b
 c) ab = 
4
1 
d) ab = 22 e) ab = 0 
 
12 - (ITA-97) Seja a, b, c   * com a
2 = b2 + c2. Se x, y e z 
satisfazem o sistema 








cycosaxcosb
bzcosaxcosc
azcosbycosc
 , então cos x + cos y + cos z é igual 
a: 
a) (a - b)/c b) (a + b)/c c) (b + c)/a 
d) (c + a)/b e) (b2 + c2)/a 
 
13 - (ITA-97) A seqüência (a1, a2, a3 e a4) é uma 
progressão geométrica de razão q  * com q  1 e a1  
0. Com relação ao sistema: 
 





dyaxa
cyaxa
43
21 , podemos afirmar que: 
a) É impossível para c, d  [ – 1, 1] 
b) É possível e determinado somente se c = d. 
c) É indeterminado quaisquer que sejam c, d  . 
d) É impossível quaisquer que sejam c, d  *. 
e) É indeterminado somente se d = cq2. 
 
14 - (ITA-96) Seja a  R [-/4, /4] um número real 
dado. A solução (x0, y0) do sistema de equações: 





1x)a(seny)a(cos
tgax)a(cosy)a(sen
 é tal que: 
a) x0. y0 = tg a b) x0. y0 = - sec a c) x0. y0 = 0 
d) x0. y0 = sen2 a e) x0. y0 = sen a 
 
15 - (ITA-96) Sejam a1, a2, a3 e a4 quatro números reais 
(com a1  0), formando nessa ordem uma progressão 
geométrica. 
Então, o sistema em x e y 





24121
31
axaaxaa
1xaxa
é um 
sistema: 
a) Impossível. 
b) Possível e determinado. 
c) Possível e indeterminado. 
d) Possível determinado para a1 > 1. 
e) Possível determinado para a1 < -1. 
 
16 - (ITA-95) Se S é o conjunto dos valores de a para os 
quais o sistema 








0z)
a
27(logy2x2
0zy.)a(logx
0zyx
3
2
3 em que há indeterminação, 
então: 
a) S  [-3, 3]. b) S é vazio. c) S  [2, 4]. 
d) S  [1, 3]. e) S  [0, 1]. 
 
17 - (ITA-94) O sistema indicado abaixo, nas incógnitas 
x, y e z, 
3ax – 9ay + 3z = 2a 
3a+1x – 5y + 9z = 2a + 1 
x + 3a-1y + 3a+1z = 1 
É possível e determinado quando o número a é 
diferente de: 
a) log32 e 
2
1 (-1 + log25). b) log23 e 
2
1 ( log25). 
c) log21 e 
2
1 ( log23). d) 
2
1 (-1 + log21) e 
2
1 (-1 + log23). 
e) log31 e 
2
1 (-1 + log35). 
 
18 - (ITA-93) Analisando o sistema 








1z2yx2
0zyx
7zy2x3
 
concluímos que este é: 
a) possível e determinado com xyz = 7 
d) possível e indeterminado 
b) possível e determinado com xyz = -8 
e) impossível 
c) possível e determinado com xyz = 6 
19 - (ITA-91) Considere o sistema: 
(P) 











2kwzx
1wz)1k(x
1wkkyx
0wzx
2
 
Podemos afirmar que (P) é possível e determinado 
quando: 
a) k  0 b) k  1 c) k  – 1 
d) k  0 e k  – 1 e) n.d.a. 
 
 
3 
 
20 - (ITA-91) Se (x , y , z , t) é solução dos sistema: 








0t5zyx
0tz3yx3
0tz2yx
 
Qual das alternativas abaixo é verdadeira ? 
a) x + y + z + t e x tem o mesmo sinal. 
b) x + y + z + t e t tem o mesmo sinal. 
c) x + y + z + t e y tem o mesmo sinal. 
d) x + y + z + t e z tem sinais contrários. 
e) n.d.a. 
 
21 - (ITA-90) Dizemos que dois sistemas de equações 
lineares são equivalentes se, e somente se, toda 
solução de um qualquer dos sistemas for também uma 
solução do outro. Considere as seguintes afirmações: 
I- Dois sistemas de equações lineares 3x3, ambos 
homogêneos, são equivalentes. 
II- Dois sistemas de equações lineares, 3x3, ambos 
indeterminados, não são equivalentes. 
III- Os dois sistemas de equações lineares dados a seguir 
são equivalentes: 








10zyx
8z y
5y x
 








142zy4x
4zyx
3z2yx
 
De acordo com a definição dada podemos dizer que: 
a) As três afirmações são verdadeiras; 
b) Apenas a afirmação (I) é verdadeira; 
c) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras; 
d) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras; 
e) As três afirmações são falsas. 
 
22 - (ITA-90) Considere o sistema linear homogêneo nas 
incógnitas x1 , x2 , ..., xn dado por 










01)xn(a...1)x(axa
............................................................
01)xn(a...1)x(axa
01)xn(a...1)x(axa
nn2n1n
n22212
n12111
 
onde a1 , a2 , ..., an são números reais dados. Sobre a 
solução deste sistema podemos afirmar que: 
a) Se ai > 0 , i = 1, 2, ..., n o sistema possui uma única 
solução; 
b) Se ai < 0 , i = 1, 2, ..., n o sistema possui uma única 
solução; 
c) Se ai > 0 , i = 1, 2, ..., n o sistema é impossível; 
d) Se ai < 0 , i = 1, 2, ..., n o sistema é impossível; 
e) O sistema possui infinitas soluções quaisquer que 
sejam os valores dos números a1 , ..., an dados. 
 
23 - (ITA-88) Sobre o sistema 








0z3y2x
0z3yx7
0z2yx8
 
Podemos afirmar que: 
a) é possível e determinado 
b) é impossível 
c) é possível e qualquer solução (x, y, z) é tal que os 
números x, y, z formam nesta ordem, uma progressão 
aritmética de razão igual a x. 
d) é possível e qualquer solução (x, y, z) é tal que y = (x 
+ z)/3 
e) é possível e qualquer solução (x, y, z) é tal que os 
números x, y, z formam nesta ordem, uma progressão 
aritmética de razão igual a (x + y + z)/3. 
 
24 - (ITA-87) Suponha que x e y são números reais, 
satisfazendo simultaneamente às equações 2x + 3y = 21 
e 7x – 4x = 1. Nestas condições, se S = x + y, então: 
a) S = 10 b) S = 8 c) S = 5 d) S = -8 e) S = 
15 
 
25 - (ITA-84) Os valores reais de a, que tornam o 
sistema 









1yx)310.3(
0yx
1yx.3
a
1a2
 possível e determinado, são: 
a) qualquer valor de a. 
b) apenas a = 0 e a = 3. 
c) apenas a = 2. 
d) apenas a = 1 e a = –1. 
e) não existe valor de a nestas condições. 
 
 
 
 
 
4 
 
GABARITO 
 
1 B 
2 D 
3 A 
4 A 
5 E 
6 D 
7 A 
8 A 
9 A 
10 A 
11 B 
12 C 
13 E 
14 C 
15 C 
16 A 
17 E 
18 C 
19 E 
20 C 
21 E 
22 SR 
23 C 
24 B 
25 D 
 
 
 
1 
Prova de Trigonometria – ITA 
 
1 - (ITA-12) Sejam a um número real e n o número de 
todas as soluções reais e distintas x∈[0, 2π] da equação 
cos8 x- sen8 x + 4sen6 x = a. Das afirmações: 
I. Se a = 0 , então n = 0 
II. Se a = 1/2 , então n = 8 
III. Se a =1, então n = 7 
IV. Se a = 3, então n = 2 
é (são) verdadeira(s) 
a) apenas I b) apenas III c)apenas I e III 
d) apenas II e IV e) todas 
 
2 - (ITA-12) Se cos 2x = 1/2 , então um possível valor de 
cot 𝑔(𝑥) − 1
cos 𝑠𝑒𝑥(𝑥−𝜋)−sec (𝜋−𝑥)
é 
a) √3/2 b) 1 c) √2 d) √3 e) 2 
 
3 - (ITA-12) A soma  
n
k 0
cos k

  , para todo 
 0,2  , vale 
a)  cos  quando n é par. 
b)  sen  quando n é ímpar. 
c)  cos  quando n é ímpar. 
d)  sen  quando n é par. 
e) zero quando n é ímpar. 
 
4 - (ITA-11) Entre duas superposições consecutivas dos 
ponteiros das horas e dos minutos de um relógio, o 
ponteiro dos minutos varre um ângulo cuja medida, em 
radianos, e igual a 
 
A( ) 23/11π B( ) 3/6π C( ) 24/11π D( ) 25/11π 
E( ) 7/3π 
 
5 - (ITA-11) Seja ABC um triângulo retângulo cujos 
catetos AB e BC medem 8 cm e 6 cm, 
respectivamente. Se D é um ponto sobre AB e o 
triângulo ADC é isósceles, a medida do segmento AD , 
em cm, é igual a 
a) 
3
4
. b) 
15
6
. c) 
15
4
. d) 
25
4
. e) 
25
2
. 
 
6 - (ITA-10) A equação em x , 
   ,0\,
41
cot2
2
IRx
e
e
garcearctg
x
x
x 








 
(A) admite infinitas soluções, todas positivas. 
(B) admite uma única solução, e está é positiva. 
 
(C) admite três soluções que se encontram no intervalo 
]-5/2,3/2[ 
(D) admite apenas soluções negativas. 
(E) não admite solução. 
 
7 - (ITA-10) O valor da soma 
 

sen
2
3n




sen

3n




n1
6
 , para 
todo   IR é igual a 
(A) 
 

1
2
cos

729




 cos





 (B) 
 

1
2
sen

243




 sen

729









 
(C) 
 

cos

243




 cos

729




 (D) 
 

1
2
cos

729




 cos

243









 
(E) 
 

cos

729




 cos 
 
8 - (ITA-10) Se os números reais  e , com  +  = 
4/3, 0 ≤  ≤ , maximizam a soma sen + sen, então 
 é igual a 
(A) 
3
3
 (B) 
3
2
 (C) 
5
3
 (D) 
8
5
 (E) 
12
7
 
 
9 - (ITA-09) A expressão 
2
2
11
2 cot
2 2
1
2
x
sen x g x tg
x
tg

  
   
  

 
é equivalente a 
a) 2cos cotx sen x gx   b)  cossenx x tgx 
c) 2 2cos cotx senx g x   d) 
21 cotg x senx   
e)  21 cot cosg x senx x    
 
10 - (ITA-08) Sendo [-/2, /2] o contradomínio da 
função arcoseno e [0,] o contradomínio da função 
arcocosseno, assinale o valor de .
5
4
arccos
5
3
cos 





arcsen 
a) 
12
1
 b) 
25
7
 c) 
15
4
 d) 
5
1
 e) 
52
1
 
 
11 - (ITA-08) O conjunto imagem e o período de f(x) = 2 
sen2(3x) + sen(6x) – 1 são, respectivamente, 
a) [-3,3] e 2 b) [-2,2] e 
3
2
 
c)  
3
e2,2

 d) [-1,3] e 
3

 e) [-1,3] e 
3
2
 
 
 
 
2 
12 - (ITA-08) A soma de todas as soluções distintas da 
equação 
cos 3x + 2 cos6x + cos 9x = 0, 
que estão no intervalo 0  x  /2, é igual a: 
a) 2 b) 
12
23
 c) 
6
9
 d) 
6
7
 e) 
12
13
 
 
13 - (ITA-08) Considere o triângulo ABC isósceles, em 
que o ângulo distinto dos demais, BÂC, mede 40º. Sobre 
o lado AB, tome o ponto E tal que º.15ECA
^
 Sobre o 
lado ,A C tome o ponto D tal que CBD
^
=35º Então, o 
ângulo 
^
E DB vale: 
a) 35° b) 45° c) 55º d) 75º e) 85º 
 
14 - (ITA-07) Assinale a opção que indica o módulo do 
número complexo 
)x(gcoti1
1

,  kx , k . 
a) )xcos( b)   2)x(sen1 
c) )x(cos2 d) )xsec(cos e) )x(sen 
 
15 - (ITA-07) Seja x um número real no intervalo 0 < x < 
/2. Assinale a opção que indica o comprimento do 
menor intervalo que contém todas as soluções da 
desigualdade .0)xsec(
2
1
2
x
cos3x
2
tg
2
1 2 












 : 
a) 
2
 b) 
3
 c) 
4
 d) 
6
 e) 
12
 
 
16 - (ITA-07) Assinale a opção que indica a soma dos 
elementos de BA  , sendo:
















 
 2,1k:
24
k
senxA
2
2
k e 
 











 
 2,1k:
24
5k3
senyB 2k . 
a) 0 b) 1 c) 2 
d) 3322 





 e) 3322 





 
 
17 - (ITA-06) O conjunto solução de (tg2x – 1)(1 – cotg2x) 
= 4, x  k/2, k  Z, é 
a) {/3 + k/4, k  Z} b) {/4 + k/4, k  Z} 
c) {/6 + k/4, k  Z} d) {/8 + k/4, k  Z} 
e) {/12 + k/4, k  Z} 
 
18 - (ITA-05) O intervalo I  IR que contém todas as 
soluções da inequação 
62
x1
arctan
2
x1
arctan





 é 
a) [–1, 4] b) [–3, 1] c) [–2, 3] d) [0, 5] e) [4, 6] 
 
19 - (ITA-04) Considerando as funções arc sen: 
  






2
π
,
2
π
11, e arc cos: [-1, +1]  [0, ], assinale o 
valor de cos 






5
4
arccos
5
3
arcsen . 
a) 
25
6
 b) 
25
7
 c) 
3
1
 d) 
5
2
 e) 
12
5
 
 
20 - (ITA-04) O conjunto de todos os valores de ,   







2
π
,
2
π
, tais que as soluções da equação (em x) x4 - 
24 x48 + tg = 0 são todas reais, é: 
a) 




 
 0,
3
 b) 




 

4
,
4
 c) 




 

6
,
6
 
d) 




 
3
,0 e) 




 
3
,
12
 
 
21 - (ITA-03) Para todo x  IR, a expressão [cos (2x)]2 
[sen (2x)]2 sen x é igual a: 
a) 2-4 [sen (2x) + sen (5x) + sen (7x)]. 
b) 2-4 [2 sen x + sen (7x) - sen (9x)]. 
c) 2-4 [- sen (2x) - sen (3x) + sen (7x)]. 
d) 2-4 [- sen x + 2 sen (5x) - sen (9x)]. 
e) 2-4 [sen x + 2 sen (3x) + sen (5x)]. 
 
22 - (ITA-01) Sendo  e  os ângulos agudos de um 
triângulo retângulo, e sabendo que sen22 – 2 cos2 = 
0, então sen  é igual a: 
a) 
2
2
 b) 
2
24
 c) 
2
84
 d) 
4
84
 e) zero 
 
23 - (ITA-01) A parte imaginária de 
((1 + cos 2x) + i sen 2x)k, k inteiro positivo, x real é 
2 senk x. cosk x 
senkx. coskx 
2ksen kx. coskx 
2k senkx. coskx 
sen kx . coskx 
 
24 - (ITA-00) Sabe-se que x é um número real 
pertencente a ao intervalo [2,0]  e que o triplo da 
sua secante, somado ao dobro da sua tangente, é igual 
a 3. Então, cosseno de x é igual a : 
(A) 
4
3
 (B) 
7
2
 (C) 
13
5
 (D) 
26
15
 (E) 
49
13
 
 
25 - (ITA-00) Para x no intervalo ]2,0[  , o conjunto 
de todas as soluções da inequação 
 
 
3 
0)
2
3sen()2sen( 

xx 
é o intervalo definido por 
(A) 
210

 x (B) 
412

 x 
(C) 
36

 x (D) 
24

 x 
(E) 
34

 x 
 
26 - (ITA-99) Se x  [0, /2[ é tal que 4 tg4x = 
xcos
1
4
+ 4, 
então o valor de sen 2x + sen 4x 
a) 
4
15 b) 
8
15 c) 
8
53 
d) ½ e) 1 
 
27 - (ITA-99) Seja a  R com 0 < a < 
2
 . A expressão 






























a
2
sena
4
3
sena
4
3
sen 
é idêntica a: 
a) 
acotg1
acotg2
2
2

 b) 
acotg1
cotga2
2
 c) 
acotg1
2
2
 
d) 
2
3cotga1
 e) 
cotga1
2cotga1


 
 
28 - (ITA-98) O valor de: 
tg10x - 5tg8x sec2x + 10tg6x sec4x - 10tg4x sec6x + 5tg2x 
sec8x – sec10x , para todo x  [0 , /2[, é: 
a) 1 b) 
xsen1
xsec
2
2

 c) – sec x + tg x d) –1 e) zero 
 
29 - (ITA-98) A soma das raízes da equação 
 0x2cosx2sen3tgx3  
que pertencem ao intervalo [0 , 2], é: 
a) 
4
17 b) 
3
16 c) 
4
15 d) 
3
14 e) 
4
13 
 
30 - (ITA-97) Seja  um valor fixado no intervalo ]0, /2[. 
Sabe-se que a1 = cotg  é o primeiro termo de uma 
progressão geométrica infinita de razão q = sen2. A 
soma de todos os termos dessa progressão é: 
a) cosec . tg  b) sec . tg  c) sec . cosec  
d) sec2 e) cosec2 
 
31 - (ITA-97) Seja S o conjunto de todas as soluções 
reais da equação 
 
2
5
)earctg(1
e1
1
arctgsec x
x








 
Então: 
a) S =  b) S = R c) S  [1, 2] 
d) S  [-1, 1] e) S = [-1, 2[ 
 
32 - (ITA-96) Seja  um número real tal que  > )21(2  
e considere a equação x2 - x +  + 1 = 0. Sabendo queas raízes dessa equação são cotangentes de dois dos 
ângulos internos de um triângulo, então o terceiro 
ângulo interno desse triângulo vale: 
a) 30o b) 45o c) 60o d) 135o e) 120o 
 
33 - (ITA-96) Seja   [0, /2], tal que: 
(sen x + cos x) = m. 
Então, o valor de 



33 cossen
2sen
y será: 
a) 
)m4(m
)1m(2
2
2

 b) 
)m4(m
)1m(2
2
2

 c) 
)m3(m
)1m(2
2
2

 
d) 
)m3(m
)1m(2
2
2

 e) 
)m3(m
)1m(2
2
2

 
 
34 - (ITA-95) A expressão 


cos1
sen , 0 <  < , idêntica a: 
a) sec/2 b) cosec/2 c) cotg/2 d) tg/2 e) cos/2 
 
35 - (ITA-94) A expressão trigonométrica 
 
22
2
22 )xtg1(
xtg4
)xsenx(cos
1



 
Para x  ]0, x/2[ , x  /4, é igual a: 
a) )x2sen( b) )x2cos( c) 1 d) 0 e) )x2sec( 
 
36 - (ITA-93) O conjunto das soluções da equação sen 5x 
= cos 3x contém o seguinte conjunto: 
a) {/16 + k/5, k  Z} b) {/16 + k/3, k  Z} 
c) {/4 + k/3, k  Z} d) {/4 + k/2, k  Z} 
e) {/4 + 2k, k  Z} 
 
37 - (ITA-92) Sabendo-se que x e y são ângulos do 
primeiro quadrante tais que cos x = 5/6 e cos y = 4/5, 
então se  = x – y e T = 

 2
2
2
sen
tg1
tg1
, temos que: 
a)  está no 4o quadrante e T = 2/3. 
b)  está no 1o quadrante e T = 2/3. 
c)  está no 1o quadrante e T = 2/3 + 10/11 . 
d)  está no 4o quadrante e T = 2/3 – 10/11 . 
e) n.d.a. 
 
 
 
4 
38 - (ITA-91) Se a   com a > 0 e arc sen 
1a
1a


 está no 
primeiro quadrante, então o valor de 
tg [arc sen 
1a
1a

 + arc tg 
a2
1 ] é: 
a) 
a2
1a 
 b) 
1a3
aa

 c) 
1a3
aa2

 
d) 
1a3
a2

 e) n.d.a. 
 
39 - (ITA-91) Sejam a e b constantes reais positivas. Para 
que a equação cos3x + (a – 1)cos2x – (a + b)cosx + b = 0 
tenhas duas raízes reais distintas no intervalo [0 , 
2
 ] 
devemos ter: 
a) 0 < b < a – 1 b) 0 < b < a + 1 c) a < b < a + 2 
d) a + 1 < b < a + 2 e) n.d.a. 
 
40 - (ITA-90) O conjunto das soluções reais da equação 
| ln (sen2x) | = ln (sen2x) é dado por: 
a) }Zk ,k
2
x: x{ 

 
b) }Zk ,
2
kx: x{ 

 
c) }Zk ,k2x: x{  
d) }1x1: x{  
e) }0x: x{  
 
41 - (ITA-90) Sejam os números reais  e x onde 0 <  <
2
 e x  0. Se no desenvolvimento de 
((cos )x + (sen )
x
1
)8 o termo independente de x vale 
8
35 , então o valor de  é: 
a) 
6
 b) 
3
 c) 
12

 d) 
4
 e) n.d.a. 
 
42 - (ITA-90) Sejam a e b constantes reais positivas. 
Considere x = a2 tg t + 1 e y2 = b2 sec2t - b2 onde 0  t  
/2. Então uma relação entre x e y é dada por: 
a) ax ,)1x(
a
b
y 2  b) 1x ,)1x(
a
b
y 2
4
2
 
c)  x ),1x(
a
b
y
2
 d) 1x ),1x(
a
b
y
2


 
e) 1x ),1x(
b
a
y
2
2
 
 
43 - (ITA-90) Sabendo-se que  é um ângulo tal que 2 
sen( - 60o) = cos ( + 60o), então tg  é um número da 
forma a + b 3 onde 
a) a e b são reais negativos; b) a e b são inteiros; 
c) a + b = 1; d) a e b são pares; 
e) a2 + b2 = 1. 
 
44 - (ITA-90) Considere a matriz A = 





2senx 10log
2 x sen
3
 
onde x é real. Então podemos afirmar que: 
a) A é inversível apenas para x > 0; 
b) A é inversível apenas para x = 0; 
c) A é inversível para qualquer x; 
d) A é inversível apenas para x da forma (2k + 1) , k 
inteiro; 
e) A é inversível apenas para x da forma 2k, k inteiro. 
 
45 - (ITA-89) Se tg (2A) = 5 então tg(/4 + A) – tg(/4 – 
A) é igual a: 
a) – 40/21 b) – 2 c) 5 d) 8 e) 10 
 
46 - (ITA-88) Sejam as matrizes: 
5
2
sintan
4
cos
2
sin
A



 e 
2
cotcos
5
2
cos
5
2
sec
B



 
Se a = det A e b = det B então o número complexo a + 
bi tem módulo igual a: 
a) 1 b) sin 2/5 + cos 2/5 c) 4 d) 2(2)1/2 
e) 0 
 
47 - (ITA-88) A pergunta “Existe x real tal que os 
números reais ex, 1 + ex, 1 – ex são as tangentes dos 
ângulos internos de um triângulo?” admite a seguinte 
resposta: 
a) Não existe x real nestas condições. 
b) Todo x real, x  1, satisfaz estas condições. 
c) Todo x real, x  - 1, satisfaz estas condições. 
d) Todo x real, - 1 < x < 1, satisfaz estas condições. 
e) Apenas x inteiro par satisfaz estas condições. 
 
48 - (ITA-88) Sobre a equação tg x + cotg x = 2 sen 6x, 
podemos afirmar que: 
a) apresenta uma raiz no intervalo 0 < x < /4 
b) apresenta duas raízes no intervalo 0 < x < /2 
c) apresenta uma raiz no intervalo /2 < x <  
d) apresenta uma raiz no intervalo  < x < 3/2 
e) não apresenta raízes reais 
 
49 - (ITA-88) Seja a equação sen3 x.cos x – sen x.cos3 x = 
1/m onde m é um número real não nulo. 
Podemos afirmar que: 
a) A equação admite solução qualquer que seja m, m  
0. 
 
 
5 
b) Se | m | < 4 esta equação não apresenta solução 
real. 
c) Se m > 1 esta equação não apresenta solução real. 
d) Se | m | > 2 esta equação sempre apresenta solução 
real. 
e) Se m < 4 esta equação não apresenta solução real. 
 
50 - (ITA-88) A respeito da solução da equação 
sen x + 3 cos x = 2, 0  x < 2, podemos afirmar que: 
a) existe apenas uma solução no primeiro quadrante 
b) existe apenas uma solução no segundo quadrante 
c) existe apenas uma solução no terceiro quadrante 
d) existe apenas uma solução no quarto quadrante 
e) existem duas soluções no intervalo 0  x < 2 
 
51 - (ITA-87) Seja N o número de soluções reais da 
equação sen x = 2 + 3i então, temos: 
a) N > 50 b) N = zero c) N = 2 d) N = 1 e) N > 2 e 
N < 10 
 
52 - (ITA-87) O número de soluções reais da equação: 
sen2 x + sen4 x + sen6 x + sen8 x + sen10 x = 5 é: 
a) um número maior que 12 b) zero c) 2 
d) 10 e) 1 
 
53 - (ITA-87) O valor de x > 0 que satisfaz a equação x
= tg /12 é: 
a) x = 4 3 b) x = 5 – 4 3 c) x = 7 – 3 
d) x = 7 – 4 3 e) x = 9 – 4 3 
 
54 - (ITA-87) Se cos4 4x – sen4 4x = a  0, então cos 8x 
vale: 
a) 2a b) a c) 4a d) zero e) a + 4 
 
55 - (ITA-87) Seja a um número real não nulo, 
satisfazendo –1  a  1. Se dois ângulos agudos em um 
triângulo são dados por arc sen a e arc sen 1/a então 
o seno trigonométrico do terceiro ângulo desse 
triângulo é: 
a) 1/2 b) 1/3 c) 3 /2 d) 1 e) 2 /2 
 
56 - (ITA-86) Os valores de x  , x  /2 + k, k  Z e 
de n  N para os quais a igualdade 
 










n
1i
ni
in
)xtanx(sec
255
)xtanx(sec
1
xtanxsec
i
n
 
se verifica são: 
a)  x  , x  (– /2, /2) e n = 5. 
b)  x  , x  /2 + k, k  Z  n  N. 
c)  x  , x  /2 + k, x  /4 + k, k  Z e n = 6. 
d)  x  , x  /2 + k, k  Z e n = 8. 
e) Não existe n  N tal que a igualdade seja verdadeira. 
 
57 - (ITA-86) Considere um prisma hexagonal regular tal 
que a razão entre a aresta da base e a aresta lateral é 
3/3 . Sabendo-se que se a aresta da base for 
aumentada de 2 cm, o volume V do prisma ficará 
aumentado de 108 cm3 considerando que aresta lateral 
permanece a mesma, podemos afirmar que o volume 
do prisma é: 
10 cm3 d) 36 cm3 
12 cm3 e) 27/2 cm3 
3/2 cm3 
 
58 - (ITA-85) Num triângulo ABC considere conhecidos 
os ângulos BAC e CDA e a medida d do lado A. Nestas 
condições, a área S deste triângulo é dada pela relação: 
a) S = 
)CDABAC(sen2
d2

 d) S = 
)CDABACcos(2
)BAC(send2

 
b) S = 
)CDABAC(sen2
)BAC(sen)CDA(send2

 e) 
)CDABACcos(2
)BAC(sen)CDA(send2

 
c) S = 
)CDABAC(sen2
)CDA(send2

 
 
59 - (ITA-84) Sendo z = cos [arc tg (a2 + b2) + arc cotg (a2 
+ b2)], podemos afirmar que: 
a) z = 0 d) z = cos (a2 + b2), se a2 + b2  1 
b) z = 1 e) é impossível determinar o valor de z. 
c) z = 
2
3
 
 
60 - (ITA-83) A solução da equação arc tg x + arc tg
41x
x 


 definida no conjunto dos reais diferentes de -
1 é: 
a) 1 b) 1/2c) 1/2 e 1 d) 2 e) 2 e 1 
 
61 - (ITA-83) Dados A, B e C, ângulos internos de um 
triângulo, tais que 2B + C   e   (4/3, 5/3)  
(5/3, 2), o sistema: 












 






 

2
C
cosBcosAcos
2
C
sensenBsenA
 admite como solução: 
a) A =  – /2, B = /2 – 2/3 e C = 2/3 
b) A =  – /2, B = /2 e C = 0 
c) A = 2/3, B = /2 e C = /3 – /2 
d) A =  – /2, B = 2/3 e C = /2 – 2/3 
e) A = , B = /2 e C = – /2 
 
 
6 
 
62 - (ITA-83) Seja a um número real tal que a  /2 + k, 
onde k  Z. Se (x0, y0) é solução do sistema 





0y)asec3(x)atan2(
acos2y)atan3(x)asec2(
 então podemos 
afirmar que: 
a) x0 + y0 = 3 – 2sen a 
b) 2acos
9
4
yx
3
2 22
0
2
0 





 
c) x0 – y0 = 0 
d) x0 + y0 = 0 
e) acos
9
4
yx
3
2 22
0
2
0 





 
 
 
 
 
7 
 
GABARITO 
 
1 B 
2 B 
3 E 
4 C 
5 D 
6 B 
7 A 
8 B 
9 A 
10 B 
11 C 
12 E 
13 D 
14 E 
15 D 
16 C 
17 D 
18 C 
19 B 
20 D 
21 B 
22 C 
23 C 
24 C 
25 A 
26 B 
27 A 
28 D 
29 B 
30 C 
31 D 
32 D 
33 C 
34 D 
35 C 
36 E 
37 E 
38 C 
39 B 
40 A 
41 D 
42 D 
43 B 
44 C 
45 E 
46 A 
47 A 
48 E 
49 B 
50 A 
51 B 
52 A 
53 D 
54 B 
55 D 
56 D 
57 E 
58 B 
59 A 
60 B 
61 A 
62 E