Princípio do impulso e quantidade de movimento para um sistema de pontos materiais

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Princípio do impulso e 
quantidade de movimento 
para um sistema de 
pontos materiais
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Relacionar a variação do momento (linear) com o impulso.
  Julgar a variação de momento total de um sistema interagindo com 
outro e isolado.
  Obter as grandezas físicas via aplicação do princípio do impulso e da 
quantidade de movimento.
Introdução
Quando uma partícula sofre a ação de uma força por um determinado 
período de tempo, ele experimenta um impulso que, por sua vez, é capaz 
de alterar a quantidade de movimento linear desse corpo. Esse tipo de 
situação acontece quando uma bola de futebol é chutada, quando o 
rebatedor acerta a bola de baseball e também durante uma freada de 
emergência de um carro. Aliás, entendendo como o impulso é capaz 
de alterar a quantidade de movimento do carro, você compreende por 
que são necessários alguns dispositivos de segurança que encontramos 
nos veículos.
Portanto, neste capítulo, você vai entender a relação entre o impulso 
e a quantidade de movimento linear, denominada princípio do impulso 
e quantidade de movimento linear. Além disso, você aplicará esses con-
ceitos de modo a compreender como trabalhar com eles em situações 
do cotidiano.
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Impulso e quantidade de movimento linear
Quando uma partícula está em movimento, a sua dinâmica pode ser descrita a 
partir da segunda lei de Newton. Geralmente, a segunda lei é utilizada na forma 
, que é um caso particular para m constante da sua forma mais geral:
Na forma como (1) está apresentada, é possível determinar a força resultante 
que age sobre uma partícula a partir da variação em relação ao tempo, da 
quantidade de movimento linear (momento linear) , termo que aparece 
entre parênteses no lado direito de (1).
Se você parar e pensar um momento, perceberá que, quando uma força é 
aplicada a uma partícula, ela não acontece de maneira instantânea, mas age 
durante certo intervalo de tempo, como em uma tacada de golfe, quando uma 
bola de tênis é rebatida pela raquete ou quando um carro é acelerado. Quando 
uma força é aplicada sobre uma partícula em dado intervalo de tempo, essa 
partícula experimenta um impulso (linear), capaz de alterar a sua quantidade 
de movimento linear. Para compreender isso, é necessário resolver a segunda 
lei de Newton para .
A equação (1) é uma equação diferencial separável, de modo que podemos 
resolvê-la separando o momento linear da variável temporal, e integrando ao 
longo do intervalo de tempo em que a força é aplicada:
Em que e . Do lado esquerdo da equação (2), temos 
o impulso:
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E, do lado direito, temos a variação da quantidade de movimento linear:
O momento e o impulso são medidos em:
A equação (2) relaciona o impulso com a variação da quantidade de mo-
vimento linear e é conhecida como princípio do impulso e quantidade de 
movimento linear. A equação (2) pode ser reescrita como:
Essa forma nos permite interpretar o que está acontecendo no movimento. 
Lendo da esquerda para a direita, o primeiro termo, , descreve a quantidade 
de movimento inicial da partícula, que comumente é zero. O segundo termo 
descreve o impulso que esta recebe, que, por sua vez, é capaz de alterar a 
quantidade de movimento inicial da partícula para uma quantidade de mo-
vimento final, , que é o terceiro termo da equação. Essa descrição está 
representada na Figura 1.
Figura 1. Representação da equação (5), mostrando que o impulso linear 
é capaz de alterar a direção e o sentido da quantidade de movimento 
linear inicial.
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Como a equação (5) se trata de uma soma vetorial, é possível trabalhar 
com as suas componentes cartesianas:
Um reboque arrasta uma pedra de 85 kg sobre uma superfície horizontal lisa durante 
8 s, como mostrado na figura abaixo. Se a pedra inicialmente estava em repouso, 
determine a velocidade final da pedra durante o intervalo de tempo determinado.
Fonte: Hibbeler (2005, p. 176).
Solução:
Para encontrar a solução desse problema, o primeiro passo é desenhar o diagrama 
de forças atuando sobre a pedra:
Assim, a força resultante ao longo do eixo x será:
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Como o movimento da pedra ocorre apenas ao longo de x, para os propósitos deste 
exercício não é necessário utilizar a força resultante em y. O próximo passo é utilizar o 
princípio do impulso e quantidade de movimento linear para uma partícula:
Repita o cálculo do exemplo anterior para uma superfície cujo coeficiente de atrito 
cinético vale 0,1.
Solução:
O diagrama de forças para essa situação é:
Assim, a força resultante ao longo do eixo x será:
E, no eixo y:
Como não há movimento ao longo do eixo y, pode-se fazer FRy = 0 e determinar o 
valor da força normal:
Agora é possível determinar a força de atrito:
e a força resultante ao longo de x:
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Sistema de partículas
Em um sistema de partículas, como mostrado na Figura 2, partículas podem 
sofrer a ação de forças externas e internas de modo que cada uma terá a 
sua quantidade de movimento linear de modo que a força resultante atuando 
no sistema seja:
Figura 2. Posição de duas partículas de um sistema de 
partículas, bem como as forças externas e internas atu-
ando sobre elas.
Fonte: Adaptada de Beer, Johnston Junior e Cornwell (2012, p. 861).
Agora é possível utilizar o princípio do impulso e quantidade de movimento linear 
de uma partícula para determinar a velocidade:
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Além disso, podemos notar, pela Figura 2, que cada partícula do sistema 
possui a sua posição e, portanto, velocidade, específica, de modo que a quan-
tidade de movimento linear do sistema é a soma vetorial das quantidades de 
movimento lineares individuais:
Utilizando (9) e (10), a equação do movimento toma a forma:
A soma vetorial de todas as forças internas do sistema se anulam, 
pois estas existem em pares colineares e em sentidos opostos, como no caso 
do acoplamento de um carro-reboque, mostrado na Figura 3. 
Figura 3. O acoplamento A de um sistema carro–reboque. Devido ao aco-
plamento, a tração é uma força interna do sistema, de modo que a soma 
vetorial das trações desenvolvidas se anula.
Fonte: Adaptada de Hibbeler (2005, p. 180).
A tração que o carro exerce no reboque é exatamente igual em intensi-
dade, mas tem sentido contrário, à tração que o reboque exerce no carro. 
Desse modo, a soma vetorial dessas forças se anula, não influenciando na 
quantidade de movimento do sistema carro–reboque. Por isso, em geral 
omitimos as forças internas nos cálculos. Entretanto, se você quiser estudar 
o que acontece dentro do sistema, como a resistência, então deve considerar 
as forças internas.
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Retornando ao cálculo e substituindo na equação (11),a sua 
expressão simplifica para:
De maneira análoga ao caso de uma única partícula, podemos resolver 
a equação diferencial (11) e obter o princípio do impulso e quantidade de 
movimento linear para um sistema de partículas:
Para evitar os somatórios na equação, podemos trabalhar com o centro de 
massa do sistema. Lembrando que:
em que . Desse modo, o princípio do impulso e da quantidade de 
movimento linear para um sistema de partículas é:
A figura abaixo mostra dois vagões A e B, de massas 15.000 kg e 12.000 kg, respec-
tivamente, que se movem em direções opostas. Determine a força que age sobre 
A 0,8 s após os vagões se conectarem.
Fonte: Adaptado de Wang (c1999-2010).
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Solução:
Inicialmente, o vagão A e o vagão B se movem com a velocidade dos seus respectivos 
centros de massa. Após o acoplamento, os dois vagões passarão a se mover com a 
velocidade do centro de massa do sistema A + B. Portanto, o primeiro passo para 
resolver esse problema é determinar a velocidade do centro de massa do sistema A 
+ B. Isso pode ser feito utilizando (13). Como o movimento ocorre somente ao longo 
de x, e definindo o sentido positivo como para a direita, obtemos:
Após o acoplamento, a velocidade do vagão A será a igual à velocidade do centro de 
massa do sistema A + B, de modo que você pode utilizar (15) para encontrar o impulso:
Note que o impulso foi negativo, pois o vagão B se movimentava para a esquerda, 
no sentido negativo de x. Como a força que B exerce sobre A é constante:
1. Uma caixa de 80 kg partindo do 
repouso é arrastada por uma 
corda, como mostra a figura. Se o 
coeficiente de atrito entre o solo 
e a caixa é de 0,18, determine a 
velocidade da caixa após 5 s.
a) 21,0 m/s.
b) 18,2 m/s.
c) 11,7 m/s.
d) 25,3 m/s.
e) 15,0 m/s.
2. Para um bloco de 5 kg, é dada uma 
velocidade inicial de 3,5 m/s em um 
aclive liso de 30º. Determine o tempo 
que o bloco levará para parar ao 
mover-se para cima antes de parar.
a) 0,714 s.
b) 1,40 s.
c) 7,00 s.
d) 0,500 s.
e) 3,12 s.
3. Em uma obra de terraplanagem, 
utiliza-se uma escavadeira de 
30.000 kg, que originalmente está 
em repouso. Ao movimentar-se, a 
tração horizontal F exercida varia 
ao longo do tempo, de acordo com 
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o gráfico mostrado. Determine a 
velocidade da escavadeira em t = 5 s.
a) 65,3 m/s.
b) 0,0653 m/s.
c) 0,653 m/s.
d) 6,530 m/s.
e) 0,00653 m/s.
4. Um carro A de 1.500 kg que 
possui uma velocidade de 10 m/s 
atinge um carro B, de 1.000 kg, 
inicialmente parado. Após a colisão 
eles, acoplam-se e se movem 
conjuntamente com uma velocidade 
v’. Determine o impulso sofrido pelo 
carro B se o tempo da colisão foi 0,1 s.
a) 1,4 kN.
b) 7,00 kN.
c) 11,2 kN.
d) 15,4 kN.
e) 19,6 kN.
5. Um trem é composto por uma 
locomotiva de 50.000 kg e três 
vagões que possuem massas 
iguais a 30.000 kg. Se, partindo 
do repouso, o trem leva 100 s 
para atingir a velocidade de 14 
m/s, determine a força resultante 
agindo nas rodas do trem. 
Assuma que ela é constante.
a) 12,0 kN.
b) 11,2 kN.
c) 15,4 kN.
d) 1,4 kN.
e) 19,6 kN.
BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R.; CORNWELL, P. J. Mecânica vetorial para engenheiros: 
dinâmica. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 2012.
HIBBELER, R. C. Dinâmica: mecânica para engenharia. 10. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2005.
WANG, W. ME 230 kinematics and dynamics. Seattle: University of Washington, c1999-
2010. Disponível em: <http://courses.washington.edu/engr100/me230/week5.pdf>. 
Acesso em: 05 mar. 2018.
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http://courses.washington.edu/engr100/me230/week5.pdf
Leituras recomendadas
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: mecânica. 10. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2016. v. 1.
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para engenharia: estática. 6. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2009.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica 1: mecânica. 4. ed. São Paulo: Blucher, 2002. v. 1.
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros: mecânica, oscilações e 
ondas, termodinâmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
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