Questão resolvida - Encontre o ponto da reta de equação y 3x 4 mais próximo do ponto (1, 2) Qual é a distância entre esses dois pontos_ - cálculo I - UFMG

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• Encontre o ponto da reta de equação mais próximo do ponto . Qual y = 3x + 4 1, −2( )
é a distância entre esses dois pontos? 
 
Resolução:
 
A reta dada é crescente, toca o eixo em e o eixo em;y 4 x
 
y = 0 3x + 4 = 0 3x = -4 x = -→ → →
4
3
 
Com essas informações, podemos montar o gráfico esquemático do que desejamos 
encontrar;
 
 
A distância entre um ponto qualquer da reta e o ponto dado é;
 
 
 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 90
-2
-1
1
2
3
4
5
1, -2( )
x
y
d
y = 3x + 4
d = x - 1 + y - -2 d = x - 1 + y + 2 d =2 ( )2 ( ( ))2 → 2 ( )2 ( )2 → x - 1 + y + 2( )2 ( )2
 
d x, y = x - 1 + y + 2( ) ( )2 ( )2
1
2
 
Veja que a distância vária em função de e , usando a equação da reta;d x y
 
y = 3x + 4
 
Colocamos a distância apenas em função de , substituindo o , como feito na sequência;d x y
 
d x = x - 1 + 3x + 4 + 2( ) ( )2 ( )2
1
2
 
d x = x - 1 + 3x + 6( ) ( )2 ( )2
1
2
 
Agora, vamos encontrar a coordenada do ponto crítico da função , para isso, x d x( )
derivamos e igualamos a derivada a ;d x( ) 0
 
d x = x - 1 + 3x + 6 d' x = x - 1 + 3x + 6 ⋅ 2 x - 1 + 2 3x + 6 ⋅ 3( ) ( )2 ( )2
1
2
→ ( )
1
2
( )2 ( )2
-1
1
2
( ( ) ( ) ))
d' x = x - 1 + 3x + 6 ⋅ 2 x - 1 + 6 3x + 6( )
1
2
( )2 ( )2
1 - 2
2
( ( ) ( ))
 
d' x = x - 1 + 3x + 6 ⋅ 2x - 2 + 18x + 36 = ⋅ 20x + 34( )
1
2
( )2 ( )2
-
1
2
( )
1
2 x - 1 + 3x + 6( )2 ( )2
1
2
( )
 
d' x = d' x = 0 = 0( )
20x + 34
2 x - 1 + 3x + 6( )2 ( )2
→ ( ) →
20x + 34
2 x - 1 + 3x + 6( )2 ( )2
 
Resolvendo para ;x
 
 
(1)
(2)
 
20x + 34 = 0 20x = -34 x = x = -→ →
-34
20
→
17
10
 
Logo, essa é a coordenada do ponto da reta dada mais próximo do ponto dado, x
substituindo na equação 1, temos que a coordenada é;y
 
x = - y = 3 - + 4 y = - + 4 y = y = -
17
10
→
17
10
→
51
10
→
-51 + 40
10
→
11
10
 
Assim, temos que o ponda da reta mais próximo do ponto dado é:
 
- , - ou -1, 7; -1, 1
17
10
11
10
( )
 
Usando a coordenada do ponto encontrado na equação 2, encontramos a distância x
mínima;
d - = - - 1 + 3 ⋅ - + 6 d - = + - + 6
17
10
17
10
2
17
10
2
1
2
→
17
10
-17 - 10
10
2
51
10
2
1
2
d - = + d - = +
17
10
-27
10
2
-51 + 60
10
2
1
2
→
17
10
27
10
2
2
9
10
2
1
2
d - = ⋅ =
17
10
9
10
10
10
9 10
10
2
 
d - = u. m.
17
10
9
10
10
 
 
= 0 20x + 34 = 0 ⋅ 2
20x + 34
2 x - 1 + 3x + 6( )2 ( )2
→ x - 1 + 3x + 6( )2 ( )2
d - = + = = = = =
17
10
27
10
2
2
9
10
2
2
1
2
729 + 81
102
1
2
810
100
1
2
81
10
1
2
81
10
81
10
(Resposta - 1)
(Resposta - 2)