Questão resolvida - Existe um rio que faz um percurso atendendo a função_ f(x) x 8x 48; Existe uma estrada que é indicada pela função_ g(x) x 10 Represente o rio Cálculo II - UNISA

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• Existe um rio que faz um percurso atendendo a função: ; existe f x = x² - 8x - 48( )
uma estrada que é indicada pela função: . Represente o rio e a estrada g x = x + 10( )
no mesmo plano cartesiano, dentro do intervalo .–4; 12[ ]
 
Resolução:
 
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas x dos pontos que toca o eixo x, para isso, f x( )
devemos igualar a expressão de a zero;f x( )
 
x² - 8x - 48 = 0 Equação do 2° grau, resolvendo;→
 
x = x' = = = = = 12
- -8 ±
2 ⋅ 1
( ) -8 - 4 ⋅ 1 ⋅ -48( )2 ( )
→
8 +
2
64 + 192 8 +
2
256 8 + 16
2
24
2
 
 x" = = = = = - 4
8 -
2
64 + 192 8 -
2
256 8 - 16
2
-8
2
 
Perceba que as raízes coincidem com os extremos do intervalo que faremos a 
representação gráfica das cruvas!
A parabóla toca o eixo y em;f x( )
 
f 0 = 0 ² - 8 ⋅ 0 - 48 f 0 = 0 - 0 - 48 f 0 = - 48( ) ( ) → ( ) → ( )
 
O ponto mínimo de ocorre na coordenada x para a derivada zero já que a função é uma f x( )
parábola com concavidade voltada para cima e só possui ponto de mínimo, vamos achar 
;f' x = 0( )
 
f x = x² - 8x - 48 f' x = 2x - 8( ) → ( )
Igualando a zero;
 
2x - 8 = 0 2x = 8 2x - 8 = 0 x = x = 4→ → →
8
2
→
Substituindo a coordenada x do ponto de mínimo, encontramos a coordenada y;
 
f 4 = 4 ² - 8 ⋅ 4 - 48 f 4 = 16 - 32 - 48 f 4 = - 64( ) ( ) → ( ) → ( )
 
 
 
Com isso, o ponto de mínimo de é; f x( ) 4, -64( )
 
Agora, vamos analizar a reta que representa o trecho da estrada. A reta intercepta o g x( )
eixo y em;
 
g 0 = 0 + 10 g 0 = 10( ) → ( )
 
Nos extremos do intervalo os pontos em são;–4; 12[ ] g x( )
 
x = –4 g -4 = - 4 + 10 g -4 = 6 ponto = -4, 6→ ( ) → ( ) → ( )
 
x = 12 g 12 = 12 + 10 g 12 = 22 ponto = 12, 22→ ( ) → ( ) → ( )
 
Perceba que a reta no intervalo não intercepta o eixo x, assim, não há a g x( ) –4; 12[ ]
necessidade de acharmos .g x = 0( )
 
Com as informações obtidas, podemos traçar o trecho do rio e da estrada representado 
pelas curvas no intervalo ;–4; 12[ ]