Questão resolvida - obtenha os pontos da reta r_2yzxy2 que distam 3 do ponto A(0,2,1) - distância ponto reta - Álgebra Linear I

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• obtenha os pontos da reta que distam 3 do ponto .r : 2y + z = x + y = 2 A = 0, 2, 1( )
 
Resolução:
 
Primeiro, é preciso encontrar uma equação paramétrica para a reta r;
 
2y + z = 2 z = 2 - 2y→
 
x + y = 2 x = 2 - y→
 
trocando y por 𝜆, temos a seguinte equação :
 
x = 2 -𝜆
y = 𝜆
z = 2 - 2𝜆
 
Queremos o ponto que dista 3 da reta r ao ponto A, como visto no esquema a seguir;Pr
 
 
 
Um ponto qualquer da reta é dado por;
 
P = 2 -𝜆,𝜆, 2 - 2𝜆r ( )
 
 
PrA 0, 2, 1( )
d = 3
x
y
z
r
(1)
 
A distância entre esse ponto qualquer e o ponto A é dado por;
 
d =p Ar 2 -𝜆- 0 + 𝜆- 2 + 2 - 2𝜆- 1( )
2 ( )2 ( )2
 
d = =p Ar 2 -𝜆 +𝜆 - 4𝜆+ 4 + -2𝜆+ 1( )
2 2 ( )2 4 - 4λ+λ +𝜆 - 4𝜆+ 4 + 4𝜆 - 4λ+ 12 2 2
 
d =p Ar 6λ - 12λ+ 9
2
 
Como queremos o ponto da reta que dista 3 do ponto A, fazemos , então;d = 3p Ar
 
= 3 = 9 = 6λ - 12λ+ 95 6λ - 12λ+ 92 → ( )2 6λ - 12λ+ 92
2
→
2
 
6λ - 12λ+ 9 = 9 6λ - 12λ = 9 - 9 6λ - 12λ = 0 λ 6λ- 12 = 02 → 2 → 2 → ( )
 
λ = 0 ou 6λ- 12 = 0 6λ = 12 λ = λ = 2→ →
12
6
→
Subsituindo na relação 1, temos que os pontos das retas em quando e é são;λ = 2 λ = 0
 
λ = 2 P = 2 - 2, 2, 2 - 2 ⋅ 2 P = 0, 2, 2 - 4 P = 0, 2, -2 1 → r1 ( ) → r1 ( ) → r1 ( )
 
λ = 0 P = 2 - 0, 0, 2 - 2 ⋅ 0 P = 2, 0, 2 - 0 P = 2, 0, 2 2 → r2 ( ) → r2 ( ) → r2 ( )
 
 
(Resposta - 1)
(Resposta - 2)