7-slide-FunAoes-2018-1

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Funções exponenciais e logaŕıtmicas
Monica Moulin Ribeiro Merkle
Instituto de Matemática, UFRJ, Rio de Janeiro, Brasil
monica@im.ufrj.br
15 de junho de 2018
Monica Merkle - IM/UFRJ 1 / 17
Potências de expoente natural
DEF. Seja a um número real positivo. Para todo n ∈ N, a potência
an, de base a e expoente n, é definida como o produto de n fatores
iguais a a.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Para n = 1: a1 = a.
I A definição indutiva: an+1 = a · an.
I Para quaisquer m, n ∈ N, am · an = am+n.
I Logo para m1,m2, ...,mk , a
m1 · am2 · · · amk = am1+m2+...+mk .
I Se m1 = m2 = ... = mk = m, então (a
m)k = amk .
I Se a > 1 então 1 < a < a2 < ... < an < an+1 < ..., isto é, a sequência
(an) é crescente.
I Se 0 < a < 1 então 1 > a > a2 > ... > an > an+1 > ..., isto é, a
sequência (an) é decrescente.
I Se a = 1, a sequência (an) é constante igual a 1.
I Se a > 1, a sequência (an) é ilimitada superiormente.
I Exemplo. Se a = 1, 000001, para expoentes pequenos, an está próximo
de 1; para an > 106 temos que ter n > 21 milhões.
Monica Merkle - IM/UFRJ 2 / 17
Potências de expoente natural
DEF. Seja a um número real positivo. Para todo n ∈ N, a potência
an, de base a e expoente n, é definida como o produto de n fatores
iguais a a.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Para n = 1: a1 = a.
I A definição indutiva: an+1 = a · an.
I Para quaisquer m, n ∈ N, am · an = am+n.
I Logo para m1,m2, ...,mk , a
m1 · am2 · · · amk = am1+m2+...+mk .
I Se m1 = m2 = ... = mk = m, então (a
m)k = amk .
I Se a > 1 então 1 < a < a2 < ... < an < an+1 < ..., isto é, a sequência
(an) é crescente.
I Se 0 < a < 1 então 1 > a > a2 > ... > an > an+1 > ..., isto é, a
sequência (an) é decrescente.
I Se a = 1, a sequência (an) é constante igual a 1.
I Se a > 1, a sequência (an) é ilimitada superiormente.
I Exemplo. Se a = 1, 000001, para expoentes pequenos, an está próximo
de 1; para an > 106 temos que ter n > 21 milhões.
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Potências de expoente natural
DEF. Seja a um número real positivo. Para todo n ∈ N, a potência
an, de base a e expoente n, é definida como o produto de n fatores
iguais a a.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Para n = 1: a1 = a.
I A definição indutiva: an+1 = a · an.
I Para quaisquer m, n ∈ N, am · an = am+n.
I Logo para m1,m2, ...,mk , a
m1 · am2 · · · amk = am1+m2+...+mk .
I Se m1 = m2 = ... = mk = m, então (a
m)k = amk .
I Se a > 1 então 1 < a < a2 < ... < an < an+1 < ..., isto é, a sequência
(an) é crescente.
I Se 0 < a < 1 então 1 > a > a2 > ... > an > an+1 > ..., isto é, a
sequência (an) é decrescente.
I Se a = 1, a sequência (an) é constante igual a 1.
I Se a > 1, a sequência (an) é ilimitada superiormente.
I Exemplo. Se a = 1, 000001, para expoentes pequenos, an está próximo
de 1; para an > 106 temos que ter n > 21 milhões.
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Potências de expoente natural
DEF. Seja a um número real positivo. Para todo n ∈ N, a potência
an, de base a e expoente n, é definida como o produto de n fatores
iguais a a.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Para n = 1: a1 = a.
I A definição indutiva: an+1 = a · an.
I Para quaisquer m, n ∈ N, am · an = am+n.
I Logo para m1,m2, ...,mk , a
m1 · am2 · · · amk = am1+m2+...+mk .
I Se m1 = m2 = ... = mk = m, então (a
m)k = amk .
I Se a > 1 então 1 < a < a2 < ... < an < an+1 < ..., isto é, a sequência
(an) é crescente.
I Se 0 < a < 1 então 1 > a > a2 > ... > an > an+1 > ..., isto é, a
sequência (an) é decrescente.
I Se a = 1, a sequência (an) é constante igual a 1.
I Se a > 1, a sequência (an) é ilimitada superiormente.
I Exemplo. Se a = 1, 000001, para expoentes pequenos, an está próximo
de 1; para an > 106 temos que ter n > 21 milhões.
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Potências de expoente natural
DEF. Seja a um número real positivo. Para todo n ∈ N, a potência
an, de base a e expoente n, é definida como o produto de n fatores
iguais a a.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Para n = 1: a1 = a.
I A definição indutiva: an+1 = a · an.
I Para quaisquer m, n ∈ N, am · an = am+n.
I Logo para m1,m2, ...,mk , a
m1 · am2 · · · amk = am1+m2+...+mk .
I Se m1 = m2 = ... = mk = m, então (a
m)k = amk .
I Se a > 1 então 1 < a < a2 < ... < an < an+1 < ..., isto é, a sequência
(an) é crescente.
I Se 0 < a < 1 então 1 > a > a2 > ... > an > an+1 > ..., isto é, a
sequência (an) é decrescente.
I Se a = 1, a sequência (an) é constante igual a 1.
I Se a > 1, a sequência (an) é ilimitada superiormente.
I Exemplo. Se a = 1, 000001, para expoentes pequenos, an está próximo
de 1; para an > 106 temos que ter n > 21 milhões.
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Potências de expoente natural
DEF. Seja a um número real positivo. Para todo n ∈ N, a potência
an, de base a e expoente n, é definida como o produto de n fatores
iguais a a.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Para n = 1: a1 = a.
I A definição indutiva: an+1 = a · an.
I Para quaisquer m, n ∈ N, am · an = am+n.
I Logo para m1,m2, ...,mk , a
m1 · am2 · · · amk = am1+m2+...+mk .
I Se m1 = m2 = ... = mk = m, então (a
m)k = amk .
I Se a > 1 então 1 < a < a2 < ... < an < an+1 < ..., isto é, a sequência
(an) é crescente.
I Se 0 < a < 1 então 1 > a > a2 > ... > an > an+1 > ..., isto é, a
sequência (an) é decrescente.
I Se a = 1, a sequência (an) é constante igual a 1.
I Se a > 1, a sequência (an) é ilimitada superiormente.
I Exemplo. Se a = 1, 000001, para expoentes pequenos, an está próximo
de 1; para an > 106 temos que ter n > 21 milhões.
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Potências de expoente natural
DEF. Seja a um número real positivo. Para todo n ∈ N, a potência
an, de base a e expoente n, é definida como o produto de n fatores
iguais a a.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Para n = 1: a1 = a.
I A definição indutiva: an+1 = a · an.
I Para quaisquer m, n ∈ N, am · an = am+n.
I Logo para m1,m2, ...,mk , a
m1 · am2 · · · amk = am1+m2+...+mk .
I Se m1 = m2 = ... = mk = m, então (a
m)k = amk .
I Se a > 1 então 1 < a < a2 < ... < an < an+1 < ..., isto é, a sequência
(an) é crescente.
I Se 0 < a < 1 então 1 > a > a2 > ... > an > an+1 > ..., isto é, a
sequência (an) é decrescente.
I Se a = 1, a sequência (an) é constante igual a 1.
I Se a > 1, a sequência (an) é ilimitada superiormente.
I Exemplo. Se a = 1, 000001, para expoentes pequenos, an está próximo
de 1; para an > 106 temos que ter n > 21 milhões.
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Potências de expoente natural
DEF. Seja a um número real positivo. Para todo n ∈ N, a potência
an, de base a e expoente n, é definida como o produto de n fatores
iguais a a.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Para n = 1: a1 = a.
I A definição indutiva: an+1 = a · an.
I Para quaisquer m, n ∈ N, am · an = am+n.
I Logo para m1,m2, ...,mk , a
m1 · am2 · · · amk = am1+m2+...+mk .
I Se m1 = m2 = ... = mk = m, então (a
m)k = amk .
I Se a > 1 então 1 < a < a2 < ... < an < an+1 < ..., isto é, a sequência
(an) é crescente.
I Se 0 < a < 1 então 1 > a > a2 > ... > an > an+1 > ..., isto é, a
sequência (an) é decrescente.
I Se a = 1, a sequência (an) é constante igual a 1.
I Se a > 1, a sequência (an) é ilimitada superiormente.
I Exemplo. Se a = 1, 000001, para expoentes pequenos, an está próximo
de 1; para an > 106 temos que ter n > 21 milhões.
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Potências de expoente natural
DEF. Seja a um número real positivo. Para todo n ∈ N, a potência
an, de base a e expoente n, é definida como o produto de n fatores
iguais a a.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Para n = 1: a1 = a.
I A definição indutiva: an+1 = a · an.
I Para quaisquer m, n ∈ N, am · an = am+n.
I Logo para m1,m2, ...,mk , a
m1 · am2 · · · amk = am1+m2+...+mk .
I Se m1 = m2 = ... = mk = m, então (a
m)k = amk .
I Se a > 1 então 1 < a < a2 < ... < an < an+1 < ..., isto é, a sequência
(an) é crescente.
I Se 0 < a < 1 então 1 > a > a2 > ... > an > an+1 > ..., isto é, a
sequência (an) é decrescente.
ISe a = 1, a sequência (an) é constante igual a 1.
I Se a > 1, a sequência (an) é ilimitada superiormente.
I Exemplo. Se a = 1, 000001, para expoentes pequenos, an está próximo
de 1; para an > 106 temos que ter n > 21 milhões.
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Potências de expoente natural
DEF. Seja a um número real positivo. Para todo n ∈ N, a potência
an, de base a e expoente n, é definida como o produto de n fatores
iguais a a.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Para n = 1: a1 = a.
I A definição indutiva: an+1 = a · an.
I Para quaisquer m, n ∈ N, am · an = am+n.
I Logo para m1,m2, ...,mk , a
m1 · am2 · · · amk = am1+m2+...+mk .
I Se m1 = m2 = ... = mk = m, então (a
m)k = amk .
I Se a > 1 então 1 < a < a2 < ... < an < an+1 < ..., isto é, a sequência
(an) é crescente.
I Se 0 < a < 1 então 1 > a > a2 > ... > an > an+1 > ..., isto é, a
sequência (an) é decrescente.
I Se a = 1, a sequência (an) é constante igual a 1.
I Se a > 1, a sequência (an) é ilimitada superiormente.
I Exemplo. Se a = 1, 000001, para expoentes pequenos, an está próximo
de 1; para an > 106 temos que ter n > 21 milhões.
Monica Merkle - IM/UFRJ 2 / 17
Potências de expoente natural
DEF. Seja a um número real positivo. Para todo n ∈ N, a potência
an, de base a e expoente n, é definida como o produto de n fatores
iguais a a.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Para n = 1: a1 = a.
I A definição indutiva: an+1 = a · an.
I Para quaisquer m, n ∈ N, am · an = am+n.
I Logo para m1,m2, ...,mk , a
m1 · am2 · · · amk = am1+m2+...+mk .
I Se m1 = m2 = ... = mk = m, então (a
m)k = amk .
I Se a > 1 então 1 < a < a2 < ... < an < an+1 < ..., isto é, a sequência
(an) é crescente.
I Se 0 < a < 1 então 1 > a > a2 > ... > an > an+1 > ..., isto é, a
sequência (an) é decrescente.
I Se a = 1, a sequência (an) é constante igual a 1.
I Se a > 1, a sequência (an) é ilimitada superiormente.
I Exemplo. Se a = 1, 000001, para expoentes pequenos, an está próximo
de 1; para an > 106 temos que ter n > 21 milhões.
Monica Merkle - IM/UFRJ 2 / 17
Potências de expoente natural
DEF. Seja a um número real positivo. Para todo n ∈ N, a potência
an, de base a e expoente n, é definida como o produto de n fatores
iguais a a.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Para n = 1: a1 = a.
I A definição indutiva: an+1 = a · an.
I Para quaisquer m, n ∈ N, am · an = am+n.
I Logo para m1,m2, ...,mk , a
m1 · am2 · · · amk = am1+m2+...+mk .
I Se m1 = m2 = ... = mk = m, então (a
m)k = amk .
I Se a > 1 então 1 < a < a2 < ... < an < an+1 < ..., isto é, a sequência
(an) é crescente.
I Se 0 < a < 1 então 1 > a > a2 > ... > an > an+1 > ..., isto é, a
sequência (an) é decrescente.
I Se a = 1, a sequência (an) é constante igual a 1.
I Se a > 1, a sequência (an) é ilimitada superiormente.
I Exemplo. Se a = 1, 000001, para expoentes pequenos, an está próximo
de 1; para an > 106 temos que ter n > 21 milhões.
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Um pouco sobre sequências, limites infinitos e no infinito
DEF. Uma sequência (xn) é ilimitada superiormente, quando, dado
qualquer valor c ∈ R, existe n0 tal que xn0 > c .
DEF. Uma sequência (xn) tem limite infinito, quando, dado
qualquer valor c ∈ R, existe n0 tal que para n > n0 temos xn > c .
EXERĆICIO. Mostre que toda sequência crescente e ilimitada tem
limite infinito.
EXERĆICIO. Podemos ter uma sequência com limite infinito, que não
é crescente. Dê um exemplo.
EXERĆICIO. Podemos ter uma sequência ilimitada que não tem
limite infinito. Dê um exemplo.
EXERĆICIO. Se 0 < a < 1 então 1 > a > a2 > ... > an > an+1 > ...
e a sequência (an) se aproxima de 0.
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Um pouco sobre sequências, limites infinitos e no infinito
DEF. Uma sequência (xn) é ilimitada superiormente, quando, dado
qualquer valor c ∈ R, existe n0 tal que xn0 > c .
DEF. Uma sequência (xn) tem limite infinito, quando, dado
qualquer valor c ∈ R, existe n0 tal que para n > n0 temos xn > c .
EXERĆICIO. Mostre que toda sequência crescente e ilimitada tem
limite infinito.
EXERĆICIO. Podemos ter uma sequência com limite infinito, que não
é crescente. Dê um exemplo.
EXERĆICIO. Podemos ter uma sequência ilimitada que não tem
limite infinito. Dê um exemplo.
EXERĆICIO. Se 0 < a < 1 então 1 > a > a2 > ... > an > an+1 > ...
e a sequência (an) se aproxima de 0.
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Um pouco sobre sequências, limites infinitos e no infinito
DEF. Uma sequência (xn) é ilimitada superiormente, quando, dado
qualquer valor c ∈ R, existe n0 tal que xn0 > c .
DEF. Uma sequência (xn) tem limite infinito, quando, dado
qualquer valor c ∈ R, existe n0 tal que para n > n0 temos xn > c .
EXERĆICIO. Mostre que toda sequência crescente e ilimitada tem
limite infinito.
EXERĆICIO. Podemos ter uma sequência com limite infinito, que não
é crescente. Dê um exemplo.
EXERĆICIO. Podemos ter uma sequência ilimitada que não tem
limite infinito. Dê um exemplo.
EXERĆICIO. Se 0 < a < 1 então 1 > a > a2 > ... > an > an+1 > ...
e a sequência (an) se aproxima de 0.
Monica Merkle - IM/UFRJ 3 / 17
Um pouco sobre sequências, limites infinitos e no infinito
DEF. Uma sequência (xn) é ilimitada superiormente, quando, dado
qualquer valor c ∈ R, existe n0 tal que xn0 > c .
DEF. Uma sequência (xn) tem limite infinito, quando, dado
qualquer valor c ∈ R, existe n0 tal que para n > n0 temos xn > c .
EXERĆICIO. Mostre que toda sequência crescente e ilimitada tem
limite infinito.
EXERĆICIO. Podemos ter uma sequência com limite infinito, que não
é crescente. Dê um exemplo.
EXERĆICIO. Podemos ter uma sequência ilimitada que não tem
limite infinito. Dê um exemplo.
EXERĆICIO. Se 0 < a < 1 então 1 > a > a2 > ... > an > an+1 > ...
e a sequência (an) se aproxima de 0.
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Um pouco sobre sequências, limites infinitos e no infinito
DEF. Uma sequência (xn) é ilimitada superiormente, quando, dado
qualquer valor c ∈ R, existe n0 tal que xn0 > c .
DEF. Uma sequência (xn) tem limite infinito, quando, dado
qualquer valor c ∈ R, existe n0 tal que para n > n0 temos xn > c .
EXERĆICIO. Mostre que toda sequência crescente e ilimitada tem
limite infinito.
EXERĆICIO. Podemos ter uma sequência com limite infinito, que não
é crescente. Dê um exemplo.
EXERĆICIO. Podemos ter uma sequência ilimitada que não tem
limite infinito. Dê um exemplo.
EXERĆICIO. Se 0 < a < 1 então 1 > a > a2 > ... > an > an+1 > ...
e a sequência (an) se aproxima de 0.
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Um pouco sobre sequências, limites infinitos e no infinito
DEF. Uma sequência (xn) é ilimitada superiormente, quando, dado
qualquer valor c ∈ R, existe n0 tal que xn0 > c .
DEF. Uma sequência (xn) tem limite infinito, quando, dado
qualquer valor c ∈ R, existe n0 tal que para n > n0 temos xn > c .
EXERĆICIO. Mostre que toda sequência crescente e ilimitada tem
limite infinito.
EXERĆICIO. Podemos ter uma sequência com limite infinito, que não
é crescente. Dê um exemplo.
EXERĆICIO. Podemos ter uma sequência ilimitada que não tem
limite infinito. Dê um exemplo.
EXERĆICIO. Se 0 < a < 1 então 1 > a > a2 > ... > an > an+1 > ...
e a sequência (an) se aproxima de 0.
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Potências de expoente inteiro
Como definir potências para expoente zero e expoentes inteiros
negativos?
Temos que manter a propriedade am · an = am+n. Portanto:
I Para n = 0: a0 = 1.
I Se n ∈ N, a−n = 1/an.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Continua valendo, para n,m ∈ Z, am · an = am+n.
I Se a > 1 então an é crescente para n ∈ Z; em particular, se n > 0
então a−n < 1 < an.
I Se 0 < a < 1 então a sequência an é decrescente para n ∈ Z; em
particular, se n > 0 então an < 1 < a−n.
I Para n,m ∈ Z, (am)n = amn.
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Potências de expoente inteiro
Como definir potências para expoente zero e expoentes inteiros
negativos?
Temos que manter a propriedade am · an = am+n. Portanto:
I Para n = 0: a0 =1.
I Se n ∈ N, a−n = 1/an.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Continua valendo, para n,m ∈ Z, am · an = am+n.
I Se a > 1 então an é crescente para n ∈ Z; em particular, se n > 0
então a−n < 1 < an.
I Se 0 < a < 1 então a sequência an é decrescente para n ∈ Z; em
particular, se n > 0 então an < 1 < a−n.
I Para n,m ∈ Z, (am)n = amn.
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Potências de expoente inteiro
Como definir potências para expoente zero e expoentes inteiros
negativos?
Temos que manter a propriedade am · an = am+n. Portanto:
I Para n = 0: a0 = 1.
I Se n ∈ N, a−n = 1/an.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Continua valendo, para n,m ∈ Z, am · an = am+n.
I Se a > 1 então an é crescente para n ∈ Z; em particular, se n > 0
então a−n < 1 < an.
I Se 0 < a < 1 então a sequência an é decrescente para n ∈ Z; em
particular, se n > 0 então an < 1 < a−n.
I Para n,m ∈ Z, (am)n = amn.
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Potências de expoente inteiro
Como definir potências para expoente zero e expoentes inteiros
negativos?
Temos que manter a propriedade am · an = am+n. Portanto:
I Para n = 0: a0 = 1.
I Se n ∈ N, a−n = 1/an.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Continua valendo, para n,m ∈ Z, am · an = am+n.
I Se a > 1 então an é crescente para n ∈ Z; em particular, se n > 0
então a−n < 1 < an.
I Se 0 < a < 1 então a sequência an é decrescente para n ∈ Z; em
particular, se n > 0 então an < 1 < a−n.
I Para n,m ∈ Z, (am)n = amn.
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Potências de expoente inteiro
Como definir potências para expoente zero e expoentes inteiros
negativos?
Temos que manter a propriedade am · an = am+n. Portanto:
I Para n = 0: a0 = 1.
I Se n ∈ N, a−n = 1/an.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Continua valendo, para n,m ∈ Z, am · an = am+n.
I Se a > 1 então an é crescente para n ∈ Z; em particular, se n > 0
então a−n < 1 < an.
I Se 0 < a < 1 então a sequência an é decrescente para n ∈ Z; em
particular, se n > 0 então an < 1 < a−n.
I Para n,m ∈ Z, (am)n = amn.
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Potências de expoente inteiro
Como definir potências para expoente zero e expoentes inteiros
negativos?
Temos que manter a propriedade am · an = am+n. Portanto:
I Para n = 0: a0 = 1.
I Se n ∈ N, a−n = 1/an.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Continua valendo, para n,m ∈ Z, am · an = am+n.
I Se a > 1 então an é crescente para n ∈ Z; em particular, se n > 0
então a−n < 1 < an.
I Se 0 < a < 1 então a sequência an é decrescente para n ∈ Z; em
particular, se n > 0 então an < 1 < a−n.
I Para n,m ∈ Z, (am)n = amn.
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Potências de expoente inteiro
Como definir potências para expoente zero e expoentes inteiros
negativos?
Temos que manter a propriedade am · an = am+n. Portanto:
I Para n = 0: a0 = 1.
I Se n ∈ N, a−n = 1/an.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Continua valendo, para n,m ∈ Z, am · an = am+n.
I Se a > 1 então an é crescente para n ∈ Z; em particular, se n > 0
então a−n < 1 < an.
I Se 0 < a < 1 então a sequência an é decrescente para n ∈ Z; em
particular, se n > 0 então an < 1 < a−n.
I Para n,m ∈ Z, (am)n = amn.
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Potências de expoente inteiro
Como definir potências para expoente zero e expoentes inteiros
negativos?
Temos que manter a propriedade am · an = am+n. Portanto:
I Para n = 0: a0 = 1.
I Se n ∈ N, a−n = 1/an.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Continua valendo, para n,m ∈ Z, am · an = am+n.
I Se a > 1 então an é crescente para n ∈ Z; em particular, se n > 0
então a−n < 1 < an.
I Se 0 < a < 1 então a sequência an é decrescente para n ∈ Z; em
particular, se n > 0 então an < 1 < a−n.
I Para n,m ∈ Z, (am)n = amn.
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Potências de expoente inteiro
Como definir potências para expoente zero e expoentes inteiros
negativos?
Temos que manter a propriedade am · an = am+n. Portanto:
I Para n = 0: a0 = 1.
I Se n ∈ N, a−n = 1/an.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Continua valendo, para n,m ∈ Z, am · an = am+n.
I Se a > 1 então an é crescente para n ∈ Z; em particular, se n > 0
então a−n < 1 < an.
I Se 0 < a < 1 então a sequência an é decrescente para n ∈ Z; em
particular, se n > 0 então an < 1 < a−n.
I Para n,m ∈ Z, (am)n = amn.
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Potências de expoente racional
Como definir potências ar para expoente racional r = m/n?
Temos que manter a propriedade ar · as = ar+s . Portanto:
I OBS. (ar )n = am.
I DEF. am/n = n
√
am.
OBS. Verifique que se m/n = mp/np então n
√
am = np
√
amp, isto é, a
expressão anterior está bem definida.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Continua valendo a propriedade ar · as = ar+s .
I Se a > 1 a função f (r) = ar é crescente para r ∈ Q.
I Se 0 < a < 1 a função f (r) = ar é decrescente para r ∈ Q.
EXERĆICIO. A função f (r) = ar , para r ∈ Q não é sobrejetiva. Dê
um exemplo de um número real que não pode ser escrito como ar ,
para todo r ∈ Q.
Mas vale...LEMA. Fixado o número real positivo a 6= 1, em todo
intervalo de R+ existe alguma potência ar , com r ∈ Q.
Exemplo. Se a = 2 e o intervalo é (2, 3) ⊂ [2, 4] = [21, 22], e existe
expoente racional r ∈ (1, 2): pode ser 23/2 = 2, 82... ∈ (2, 3).
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Potências de expoente racional
Como definir potências ar para expoente racional r = m/n?
Temos que manter a propriedade ar · as = ar+s . Portanto:
I OBS. (ar )n = am.
I DEF. am/n = n
√
am.
OBS. Verifique que se m/n = mp/np então n
√
am = np
√
amp, isto é, a
expressão anterior está bem definida.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Continua valendo a propriedade ar · as = ar+s .
I Se a > 1 a função f (r) = ar é crescente para r ∈ Q.
I Se 0 < a < 1 a função f (r) = ar é decrescente para r ∈ Q.
EXERĆICIO. A função f (r) = ar , para r ∈ Q não é sobrejetiva. Dê
um exemplo de um número real que não pode ser escrito como ar ,
para todo r ∈ Q.
Mas vale...LEMA. Fixado o número real positivo a 6= 1, em todo
intervalo de R+ existe alguma potência ar , com r ∈ Q.
Exemplo. Se a = 2 e o intervalo é (2, 3) ⊂ [2, 4] = [21, 22], e existe
expoente racional r ∈ (1, 2): pode ser 23/2 = 2, 82... ∈ (2, 3).
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Potências de expoente racional
Como definir potências ar para expoente racional r = m/n?
Temos que manter a propriedade ar · as = ar+s . Portanto:
I OBS. (ar )n = am.
I DEF. am/n = n
√
am.
OBS. Verifique que se m/n = mp/np então n
√
am = np
√
amp, isto é, a
expressão anterior está bem definida.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Continua valendo a propriedade ar · as = ar+s .
I Se a > 1 a função f (r) = ar é crescente para r ∈ Q.
I Se 0 < a < 1 a função f (r) = ar é decrescente para r ∈ Q.
EXERĆICIO. A função f (r) = ar , para r ∈ Q não é sobrejetiva. Dê
um exemplo de um número real que não pode ser escrito como ar ,
para todo r ∈ Q.
Mas vale...LEMA. Fixado o número real positivo a 6= 1, em todo
intervalo de R+ existe alguma potência ar , com r ∈ Q.
Exemplo. Se a = 2 e o intervalo é (2, 3) ⊂ [2, 4] = [21, 22], e existe
expoente racional r ∈ (1, 2): pode ser 23/2 = 2, 82... ∈ (2, 3).
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Potências de expoente racional
Como definir potências ar para expoente racional r = m/n?
Temos que manter a propriedade ar · as = ar+s . Portanto:
I OBS. (ar )n = am.
I DEF. am/n = n
√
am.
OBS. Verifique que se m/n = mp/np então n
√
am = np
√
amp, isto é, a
expressão anterior está bem definida.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Continua valendo a propriedade ar · as = ar+s .
I Se a > 1 a função f (r) = ar é crescente para r ∈ Q.
I Se 0 < a < 1 a função f (r) = ar é decrescente para r ∈ Q.
EXERĆICIO. A função f (r) = ar , para r ∈ Q não é sobrejetiva. Dê
um exemplo de um número real que não pode ser escrito como ar ,
para todo r ∈ Q.
Mas vale...LEMA. Fixado o número real positivo a 6= 1, em todo
intervalo de R+ existe alguma potência ar , com r ∈ Q.
Exemplo. Se a = 2 e o intervalo é (2, 3) ⊂ [2, 4] = [21, 22], e existe
expoente racional r ∈ (1, 2): pode ser 23/2 = 2, 82... ∈ (2,3).
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Potências de expoente racional
Como definir potências ar para expoente racional r = m/n?
Temos que manter a propriedade ar · as = ar+s . Portanto:
I OBS. (ar )n = am.
I DEF. am/n = n
√
am.
OBS. Verifique que se m/n = mp/np então n
√
am = np
√
amp, isto é, a
expressão anterior está bem definida.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Continua valendo a propriedade ar · as = ar+s .
I Se a > 1 a função f (r) = ar é crescente para r ∈ Q.
I Se 0 < a < 1 a função f (r) = ar é decrescente para r ∈ Q.
EXERĆICIO. A função f (r) = ar , para r ∈ Q não é sobrejetiva. Dê
um exemplo de um número real que não pode ser escrito como ar ,
para todo r ∈ Q.
Mas vale...LEMA. Fixado o número real positivo a 6= 1, em todo
intervalo de R+ existe alguma potência ar , com r ∈ Q.
Exemplo. Se a = 2 e o intervalo é (2, 3) ⊂ [2, 4] = [21, 22], e existe
expoente racional r ∈ (1, 2): pode ser 23/2 = 2, 82... ∈ (2, 3).
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Potências de expoente racional
Como definir potências ar para expoente racional r = m/n?
Temos que manter a propriedade ar · as = ar+s . Portanto:
I OBS. (ar )n = am.
I DEF. am/n = n
√
am.
OBS. Verifique que se m/n = mp/np então n
√
am = np
√
amp, isto é, a
expressão anterior está bem definida.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Continua valendo a propriedade ar · as = ar+s .
I Se a > 1 a função f (r) = ar é crescente para r ∈ Q.
I Se 0 < a < 1 a função f (r) = ar é decrescente para r ∈ Q.
EXERĆICIO. A função f (r) = ar , para r ∈ Q não é sobrejetiva. Dê
um exemplo de um número real que não pode ser escrito como ar ,
para todo r ∈ Q.
Mas vale...LEMA. Fixado o número real positivo a 6= 1, em todo
intervalo de R+ existe alguma potência ar , com r ∈ Q.
Exemplo. Se a = 2 e o intervalo é (2, 3) ⊂ [2, 4] = [21, 22], e existe
expoente racional r ∈ (1, 2): pode ser 23/2 = 2, 82... ∈ (2, 3).
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Potências de expoente racional
Como definir potências ar para expoente racional r = m/n?
Temos que manter a propriedade ar · as = ar+s . Portanto:
I OBS. (ar )n = am.
I DEF. am/n = n
√
am.
OBS. Verifique que se m/n = mp/np então n
√
am = np
√
amp, isto é, a
expressão anterior está bem definida.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Continua valendo a propriedade ar · as = ar+s .
I Se a > 1 a função f (r) = ar é crescente para r ∈ Q.
I Se 0 < a < 1 a função f (r) = ar é decrescente para r ∈ Q.
EXERĆICIO. A função f (r) = ar , para r ∈ Q não é sobrejetiva. Dê
um exemplo de um número real que não pode ser escrito como ar ,
para todo r ∈ Q.
Mas vale...LEMA. Fixado o número real positivo a 6= 1, em todo
intervalo de R+ existe alguma potência ar , com r ∈ Q.
Exemplo. Se a = 2 e o intervalo é (2, 3) ⊂ [2, 4] = [21, 22], e existe
expoente racional r ∈ (1, 2): pode ser 23/2 = 2, 82... ∈ (2, 3).
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Potências de expoente racional
Como definir potências ar para expoente racional r = m/n?
Temos que manter a propriedade ar · as = ar+s . Portanto:
I OBS. (ar )n = am.
I DEF. am/n = n
√
am.
OBS. Verifique que se m/n = mp/np então n
√
am = np
√
amp, isto é, a
expressão anterior está bem definida.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Continua valendo a propriedade ar · as = ar+s .
I Se a > 1 a função f (r) = ar é crescente para r ∈ Q.
I Se 0 < a < 1 a função f (r) = ar é decrescente para r ∈ Q.
EXERĆICIO. A função f (r) = ar , para r ∈ Q não é sobrejetiva. Dê
um exemplo de um número real que não pode ser escrito como ar ,
para todo r ∈ Q.
Mas vale...LEMA. Fixado o número real positivo a 6= 1, em todo
intervalo de R+ existe alguma potência ar , com r ∈ Q.
Exemplo. Se a = 2 e o intervalo é (2, 3) ⊂ [2, 4] = [21, 22], e existe
expoente racional r ∈ (1, 2): pode ser 23/2 = 2, 82... ∈ (2, 3).
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Potências de expoente racional
Como definir potências ar para expoente racional r = m/n?
Temos que manter a propriedade ar · as = ar+s . Portanto:
I OBS. (ar )n = am.
I DEF. am/n = n
√
am.
OBS. Verifique que se m/n = mp/np então n
√
am = np
√
amp, isto é, a
expressão anterior está bem definida.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Continua valendo a propriedade ar · as = ar+s .
I Se a > 1 a função f (r) = ar é crescente para r ∈ Q.
I Se 0 < a < 1 a função f (r) = ar é decrescente para r ∈ Q.
EXERĆICIO. A função f (r) = ar , para r ∈ Q não é sobrejetiva. Dê
um exemplo de um número real que não pode ser escrito como ar ,
para todo r ∈ Q.
Mas vale...LEMA. Fixado o número real positivo a 6= 1, em todo
intervalo de R+ existe alguma potência ar , com r ∈ Q.
Exemplo. Se a = 2 e o intervalo é (2, 3) ⊂ [2, 4] = [21, 22], e existe
expoente racional r ∈ (1, 2): pode ser 23/2 = 2, 82... ∈ (2, 3).
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Potências de expoente racional
Como definir potências ar para expoente racional r = m/n?
Temos que manter a propriedade ar · as = ar+s . Portanto:
I OBS. (ar )n = am.
I DEF. am/n = n
√
am.
OBS. Verifique que se m/n = mp/np então n
√
am = np
√
amp, isto é, a
expressão anterior está bem definida.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Continua valendo a propriedade ar · as = ar+s .
I Se a > 1 a função f (r) = ar é crescente para r ∈ Q.
I Se 0 < a < 1 a função f (r) = ar é decrescente para r ∈ Q.
EXERĆICIO. A função f (r) = ar , para r ∈ Q não é sobrejetiva. Dê
um exemplo de um número real que não pode ser escrito como ar ,
para todo r ∈ Q.
Mas vale...LEMA. Fixado o número real positivo a 6= 1, em todo
intervalo de R+ existe alguma potência ar , com r ∈ Q.
Exemplo. Se a = 2 e o intervalo é (2, 3) ⊂ [2, 4] = [21, 22], e existe
expoente racional r ∈ (1, 2): pode ser 23/2 = 2, 82... ∈ (2, 3).
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Potências de expoente racional
Como definir potências ar para expoente racional r = m/n?
Temos que manter a propriedade ar · as = ar+s . Portanto:
I OBS. (ar )n = am.
I DEF. am/n = n
√
am.
OBS. Verifique que se m/n = mp/np então n
√
am = np
√
amp, isto é, a
expressão anterior está bem definida.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Continua valendo a propriedade ar · as = ar+s .
I Se a > 1 a função f (r) = ar é crescente para r ∈ Q.
I Se 0 < a < 1 a função f (r) = ar é decrescente para r ∈ Q.
EXERĆICIO. A função f (r) = ar , para r ∈ Q não é sobrejetiva. Dê
um exemplo de um número real que não pode ser escrito como ar ,
para todo r ∈ Q.
Mas vale...LEMA. Fixado o número real positivo a 6= 1, em todo
intervalo de R+ existe alguma potência ar , com r ∈ Q.
Exemplo. Se a = 2 e o intervalo é (2, 3) ⊂ [2, 4] = [21, 22], e existe
expoente racional r ∈ (1, 2): pode ser 23/2 = 2, 82... ∈ (2, 3).
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Potências de expoente racional
Como definir potências ar para expoente racional r = m/n?
Temos que manter a propriedade ar · as = ar+s . Portanto:
I OBS. (ar )n = am.
I DEF. am/n = n
√
am.
OBS. Verifique que se m/n = mp/np então n
√
am = np
√
amp, isto é, a
expressão anterior está bem definida.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Continua valendo a propriedade ar · as = ar+s .
I Se a > 1 a função f (r) = ar é crescente para r ∈ Q.
I Se 0 < a < 1 a função f (r) = ar é decrescente para r ∈ Q.
EXERĆICIO. A função f (r) = ar , para r ∈ Q não é sobrejetiva. Dê
um exemplo de um número real que não pode ser escrito como ar ,
para todo r ∈ Q.
Mas vale...LEMA. Fixado o número real positivo a 6= 1, em todo
intervalo de R+ existe alguma potência ar , com r ∈ Q.
Exemplo. Se a = 2 e o intervalo é (2, 3) ⊂ [2, 4] = [21, 22], e existe
expoente racional r ∈ (1, 2): pode ser 23/2 = 2, 82... ∈ (2, 3).
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A função exponencial
Como definir uma função exponencial para x ∈ R?
Seja a 6= 1 um número real positivo. A função exponencial de base
a, f : R→ R+, f (x) = ax , deve ser definida tendo as propriedades
I 1) ax · ay = ax+y .
I 2) a1 = a.
I 3) x < y ⇒ ax < ay quando a > 1 e x < y ⇒ ay < ax quando
0 < a < 1.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Se f tem a propriedade1) então f não pode assumir o valor 0 a menos
que seja identicamente nula.
I Se f tem a propriedade 1) e não é identicamente nula então f (x) > 0
(o que justifica o contradoḿınio ser R+).
I Temos f (r) = n
√
am, quando r = m/n.
Como trabalhamos quando o expoente é irracional?
EXEMPLO.Vamos calcular 2
√
2: Sabemos que
√
2 = 1, 41421356....
Vamos estimar 2
√
2 por aproximações por falta e por excesso.
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A função exponencial
Como definir uma função exponencial para x ∈ R?
Seja a 6= 1 um número real positivo. A função exponencial de base
a, f : R→ R+, f (x) = ax , deve ser definida tendo as propriedades
I 1) ax · ay = ax+y .
I 2) a1 = a.
I 3) x < y ⇒ ax < ay quando a > 1 e x < y ⇒ ay < ax quando
0 < a < 1.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Se f tem a propriedade 1) então f não pode assumir o valor 0 a menos
que seja identicamente nula.
I Se f tem a propriedade 1) e não é identicamente nula então f (x) > 0
(o que justifica o contradoḿınio ser R+).
I Temos f (r) = n
√
am, quando r = m/n.
Como trabalhamos quando o expoente é irracional?
EXEMPLO.Vamos calcular 2
√
2: Sabemos que
√
2 = 1, 41421356....
Vamos estimar 2
√
2 por aproximações por falta e por excesso.
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A função exponencial
Como definir uma função exponencial para x ∈ R?
Seja a 6= 1 um número real positivo. A função exponencial de base
a, f : R→ R+, f (x) = ax , deve ser definida tendo as propriedades
I 1) ax · ay = ax+y .
I 2) a1 = a.
I 3) x < y ⇒ ax < ay quando a > 1 e x < y ⇒ ay < ax quando
0 < a < 1.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Se f tem a propriedade 1) então f não pode assumir o valor 0 a menos
que seja identicamente nula.
I Se f tem a propriedade 1) e não é identicamente nula então f (x) > 0
(o que justifica o contradoḿınio ser R+).
I Temos f (r) = n
√
am, quando r = m/n.
Como trabalhamos quando o expoente é irracional?
EXEMPLO.Vamos calcular 2
√
2: Sabemos que
√
2 = 1, 41421356....
Vamos estimar 2
√
2 por aproximações por falta e por excesso.
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A função exponencial
Como definir uma função exponencial para x ∈ R?
Seja a 6= 1 um número real positivo. A função exponencial de base
a, f : R→ R+, f (x) = ax , deve ser definida tendo as propriedades
I 1) ax · ay = ax+y .
I 2) a1 = a.
I 3) x < y ⇒ ax < ay quando a > 1 e x < y ⇒ ay < ax quando
0 < a < 1.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Se f tem a propriedade 1) então f não pode assumir o valor 0 a menos
que seja identicamente nula.
I Se f tem a propriedade 1) e não é identicamente nula então f (x) > 0
(o que justifica o contradoḿınio ser R+).
I Temos f (r) = n
√
am, quando r = m/n.
Como trabalhamos quando o expoente é irracional?
EXEMPLO.Vamos calcular 2
√
2: Sabemos que
√
2 = 1, 41421356....
Vamos estimar 2
√
2 por aproximações por falta e por excesso.
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A função exponencial
Como definir uma função exponencial para x ∈ R?
Seja a 6= 1 um número real positivo. A função exponencial de base
a, f : R→ R+, f (x) = ax , deve ser definida tendo as propriedades
I 1) ax · ay = ax+y .
I 2) a1 = a.
I 3) x < y ⇒ ax < ay quando a > 1 e x < y ⇒ ay < ax quando
0 < a < 1.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Se f tem a propriedade 1) então f não pode assumir o valor 0 a menos
que seja identicamente nula.
I Se f tem a propriedade 1) e não é identicamente nula então f (x) > 0
(o que justifica o contradoḿınio ser R+).
I Temos f (r) = n
√
am, quando r = m/n.
Como trabalhamos quando o expoente é irracional?
EXEMPLO.Vamos calcular 2
√
2: Sabemos que
√
2 = 1, 41421356....
Vamos estimar 2
√
2 por aproximações por falta e por excesso.
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A função exponencial
Como definir uma função exponencial para x ∈ R?
Seja a 6= 1 um número real positivo. A função exponencial de base
a, f : R→ R+, f (x) = ax , deve ser definida tendo as propriedades
I 1) ax · ay = ax+y .
I 2) a1 = a.
I 3) x < y ⇒ ax < ay quando a > 1 e x < y ⇒ ay < ax quando
0 < a < 1.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Se f tem a propriedade 1) então f não pode assumir o valor 0 a menos
que seja identicamente nula.
I Se f tem a propriedade 1) e não é identicamente nula então f (x) > 0
(o que justifica o contradoḿınio ser R+).
I Temos f (r) = n
√
am, quando r = m/n.
Como trabalhamos quando o expoente é irracional?
EXEMPLO.Vamos calcular 2
√
2: Sabemos que
√
2 = 1, 41421356....
Vamos estimar 2
√
2 por aproximações por falta e por excesso.
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A função exponencial
Como definir uma função exponencial para x ∈ R?
Seja a 6= 1 um número real positivo. A função exponencial de base
a, f : R→ R+, f (x) = ax , deve ser definida tendo as propriedades
I 1) ax · ay = ax+y .
I 2) a1 = a.
I 3) x < y ⇒ ax < ay quando a > 1 e x < y ⇒ ay < ax quando
0 < a < 1.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Se f tem a propriedade 1) então f não pode assumir o valor 0 a menos
que seja identicamente nula.
I Se f tem a propriedade 1) e não é identicamente nula então f (x) > 0
(o que justifica o contradoḿınio ser R+).
I Temos f (r) = n
√
am, quando r = m/n.
Como trabalhamos quando o expoente é irracional?
EXEMPLO.Vamos calcular 2
√
2: Sabemos que
√
2 = 1, 41421356....
Vamos estimar 2
√
2 por aproximações por falta e por excesso.
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A função exponencial
Como definir uma função exponencial para x ∈ R?
Seja a 6= 1 um número real positivo. A função exponencial de base
a, f : R→ R+, f (x) = ax , deve ser definida tendo as propriedades
I 1) ax · ay = ax+y .
I 2) a1 = a.
I 3) x < y ⇒ ax < ay quando a > 1 e x < y ⇒ ay < ax quando
0 < a < 1.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Se f tem a propriedade 1) então f não pode assumir o valor 0 a menos
que seja identicamente nula.
I Se f tem a propriedade 1) e não é identicamente nula então f (x) > 0
(o que justifica o contradoḿınio ser R+).
I Temos f (r) = n
√
am, quando r = m/n.
Como trabalhamos quando o expoente é irracional?
EXEMPLO.Vamos calcular 2
√
2: Sabemos que
√
2 = 1, 41421356....
Vamos estimar 2
√
2 por aproximações por falta e por excesso.
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A função exponencial
Como definir uma função exponencial para x ∈ R?
Seja a 6= 1 um número real positivo. A função exponencial de base
a, f : R→ R+, f (x) = ax , deve ser definida tendo as propriedades
I 1) ax · ay = ax+y .
I 2) a1 = a.
I 3) x < y ⇒ ax < ay quando a > 1 e x < y ⇒ ay < ax quando
0 < a < 1.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Se f tem a propriedade 1) então f não pode assumir o valor 0 a menos
que seja identicamente nula.
I Se f tem a propriedade 1) e não é identicamente nula então f (x) > 0
(o que justifica o contradoḿınio ser R+).
I Temos f (r) = n
√
am, quando r = m/n.
Como trabalhamos quando o expoente é irracional?
EXEMPLO.Vamos calcular 2
√
2: Sabemos que
√
2 = 1, 41421356....
Vamos estimar 2
√
2 por aproximações por falta e por excesso.
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A função exponencial
Como definir uma função exponencial para x ∈ R?
Seja a 6= 1 um número real positivo. A função exponencial de base
a, f : R→ R+, f (x) = ax , deve ser definida tendo as propriedades
I 1) ax · ay = ax+y .
I 2) a1 = a.
I 3) x < y ⇒ ax < ay quando a > 1 e x < y ⇒ ay < ax quando
0 < a < 1.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Se f tem a propriedade 1) então f não pode assumir o valor 0 a menos
que seja identicamente nula.
I Se f tem a propriedade 1) e não é identicamente nula então f (x) > 0
(o que justifica o contradoḿınio ser R+).
I Temos f (r) = n
√
am, quando r = m/n.
Como trabalhamos quando o expoente é irracional?
EXEMPLO.Vamos calcular 2
√
2: Sabemos que
√
2 = 1, 41421356....
Vamos estimar 2
√
2 por aproximações por falta e por excesso.
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A função exponencial
Como definir uma função exponencial para x ∈ R?
Seja a 6= 1 um número real positivo. A função exponencial de base
a, f : R→ R+, f (x) = ax , deve serdefinida tendo as propriedades
I 1) ax · ay = ax+y .
I 2) a1 = a.
I 3) x < y ⇒ ax < ay quando a > 1 e x < y ⇒ ay < ax quando
0 < a < 1.
EXERĆICIO. Verifique que:
I Se f tem a propriedade 1) então f não pode assumir o valor 0 a menos
que seja identicamente nula.
I Se f tem a propriedade 1) e não é identicamente nula então f (x) > 0
(o que justifica o contradoḿınio ser R+).
I Temos f (r) = n
√
am, quando r = m/n.
Como trabalhamos quando o expoente é irracional?
EXEMPLO.Vamos calcular 2
√
2: Sabemos que
√
2 = 1, 41421356....
Vamos estimar 2
√
2 por aproximações por falta e por excesso.
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A função exponencial
Como trabalhamos quando o expoente é irracional?
EXEMPLO.Vamos calcular 2
√
2:
Sabemos que
√
2 = 1, 41421356....
Vamos estimar 2
√
2 por aproximações por falta e por excesso.
I 1 < 1, 4 < 2⇒ 2 = 21 < 21,4 < 22 = 4.
I 1, 4 < 1, 41 < 1, 5⇒ 2, 639... = 21,4 < 21,41 < 21,5 = 2, 828....
I 1, 41 < 1, 414 < 1, 42⇒ 2, 6573... = 21,41 < 21,414 < 21,42 = 2, 6758....
I 1, 414 < 1, 4142 < 1, 415⇒
2, 66474... = 21,414 < 21,4142 < 21,415 = 2, 66511....
I 1, 4142 < 1, 41421 < 1, 415⇒
2, 66511... = 21,4142 < 21,41421 < 21,4143 = 2, 66530....
I Repare que se precisamos de três casas decimais,
2
√
2 ∼= 2, 665.
Logo se x = a0, a1a2...an... então a
x = lim arn , onde rn = a0, a1a2...an.
E obtemos a função exponencial desejada!
Monica Merkle - IM/UFRJ 7 / 17
A função exponencial
Como trabalhamos quando o expoente é irracional?
EXEMPLO.Vamos calcular 2
√
2:
Sabemos que
√
2 = 1, 41421356....
Vamos estimar 2
√
2 por aproximações por falta e por excesso.
I 1 < 1, 4 < 2⇒ 2 = 21 < 21,4 < 22 = 4.
I 1, 4 < 1, 41 < 1, 5⇒ 2, 639... = 21,4 < 21,41 < 21,5 = 2, 828....
I 1, 41 < 1, 414 < 1, 42⇒ 2, 6573... = 21,41 < 21,414 < 21,42 = 2, 6758....
I 1, 414 < 1, 4142 < 1, 415⇒
2, 66474... = 21,414 < 21,4142 < 21,415 = 2, 66511....
I 1, 4142 < 1, 41421 < 1, 415⇒
2, 66511... = 21,4142 < 21,41421 < 21,4143 = 2, 66530....
I Repare que se precisamos de três casas decimais,
2
√
2 ∼= 2, 665.
Logo se x = a0, a1a2...an... então a
x = lim arn , onde rn = a0, a1a2...an.
E obtemos a função exponencial desejada!
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A função exponencial
Como trabalhamos quando o expoente é irracional?
EXEMPLO.Vamos calcular 2
√
2:
Sabemos que
√
2 = 1, 41421356....
Vamos estimar 2
√
2 por aproximações por falta e por excesso.
I 1 < 1, 4 < 2⇒ 2 = 21 < 21,4 < 22 = 4.
I 1, 4 < 1, 41 < 1, 5⇒ 2, 639... = 21,4 < 21,41 < 21,5 = 2, 828....
I 1, 41 < 1, 414 < 1, 42⇒ 2, 6573... = 21,41 < 21,414 < 21,42 = 2, 6758....
I 1, 414 < 1, 4142 < 1, 415⇒
2, 66474... = 21,414 < 21,4142 < 21,415 = 2, 66511....
I 1, 4142 < 1, 41421 < 1, 415⇒
2, 66511... = 21,4142 < 21,41421 < 21,4143 = 2, 66530....
I Repare que se precisamos de três casas decimais,
2
√
2 ∼= 2, 665.
Logo se x = a0, a1a2...an... então a
x = lim arn , onde rn = a0, a1a2...an.
E obtemos a função exponencial desejada!
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A função exponencial
Como trabalhamos quando o expoente é irracional?
EXEMPLO.Vamos calcular 2
√
2:
Sabemos que
√
2 = 1, 41421356....
Vamos estimar 2
√
2 por aproximações por falta e por excesso.
I 1 < 1, 4 < 2⇒ 2 = 21 < 21,4 < 22 = 4.
I 1, 4 < 1, 41 < 1, 5⇒ 2, 639... = 21,4 < 21,41 < 21,5 = 2, 828....
I 1, 41 < 1, 414 < 1, 42⇒ 2, 6573... = 21,41 < 21,414 < 21,42 = 2, 6758....
I 1, 414 < 1, 4142 < 1, 415⇒
2, 66474... = 21,414 < 21,4142 < 21,415 = 2, 66511....
I 1, 4142 < 1, 41421 < 1, 415⇒
2, 66511... = 21,4142 < 21,41421 < 21,4143 = 2, 66530....
I Repare que se precisamos de três casas decimais,
2
√
2 ∼= 2, 665.
Logo se x = a0, a1a2...an... então a
x = lim arn , onde rn = a0, a1a2...an.
E obtemos a função exponencial desejada!
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A função exponencial
Como trabalhamos quando o expoente é irracional?
EXEMPLO.Vamos calcular 2
√
2:
Sabemos que
√
2 = 1, 41421356....
Vamos estimar 2
√
2 por aproximações por falta e por excesso.
I 1 < 1, 4 < 2⇒ 2 = 21 < 21,4 < 22 = 4.
I 1, 4 < 1, 41 < 1, 5⇒ 2, 639... = 21,4 < 21,41 < 21,5 = 2, 828....
I 1, 41 < 1, 414 < 1, 42⇒ 2, 6573... = 21,41 < 21,414 < 21,42 = 2, 6758....
I 1, 414 < 1, 4142 < 1, 415⇒
2, 66474... = 21,414 < 21,4142 < 21,415 = 2, 66511....
I 1, 4142 < 1, 41421 < 1, 415⇒
2, 66511... = 21,4142 < 21,41421 < 21,4143 = 2, 66530....
I Repare que se precisamos de três casas decimais,
2
√
2 ∼= 2, 665.
Logo se x = a0, a1a2...an... então a
x = lim arn , onde rn = a0, a1a2...an.
E obtemos a função exponencial desejada!
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A função exponencial
Como trabalhamos quando o expoente é irracional?
EXEMPLO.Vamos calcular 2
√
2:
Sabemos que
√
2 = 1, 41421356....
Vamos estimar 2
√
2 por aproximações por falta e por excesso.
I 1 < 1, 4 < 2⇒ 2 = 21 < 21,4 < 22 = 4.
I 1, 4 < 1, 41 < 1, 5⇒ 2, 639... = 21,4 < 21,41 < 21,5 = 2, 828....
I 1, 41 < 1, 414 < 1, 42⇒ 2, 6573... = 21,41 < 21,414 < 21,42 = 2, 6758....
I 1, 414 < 1, 4142 < 1, 415⇒
2, 66474... = 21,414 < 21,4142 < 21,415 = 2, 66511....
I 1, 4142 < 1, 41421 < 1, 415⇒
2, 66511... = 21,4142 < 21,41421 < 21,4143 = 2, 66530....
I Repare que se precisamos de três casas decimais,
2
√
2 ∼= 2, 665.
Logo se x = a0, a1a2...an... então a
x = lim arn , onde rn = a0, a1a2...an.
E obtemos a função exponencial desejada!
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A função exponencial
Como trabalhamos quando o expoente é irracional?
EXEMPLO.Vamos calcular 2
√
2:
Sabemos que
√
2 = 1, 41421356....
Vamos estimar 2
√
2 por aproximações por falta e por excesso.
I 1 < 1, 4 < 2⇒ 2 = 21 < 21,4 < 22 = 4.
I 1, 4 < 1, 41 < 1, 5⇒ 2, 639... = 21,4 < 21,41 < 21,5 = 2, 828....
I 1, 41 < 1, 414 < 1, 42⇒ 2, 6573... = 21,41 < 21,414 < 21,42 = 2, 6758....
I 1, 414 < 1, 4142 < 1, 415⇒
2, 66474... = 21,414 < 21,4142 < 21,415 = 2, 66511....
I 1, 4142 < 1, 41421 < 1, 415⇒
2, 66511... = 21,4142 < 21,41421 < 21,4143 = 2, 66530....
I Repare que se precisamos de três casas decimais,
2
√
2 ∼= 2, 665.
Logo se x = a0, a1a2...an... então a
x = lim arn , onde rn = a0, a1a2...an.
E obtemos a função exponencial desejada!
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A função exponencial
Como trabalhamos quando o expoente é irracional?
EXEMPLO.Vamos calcular 2
√
2:
Sabemos que
√
2 = 1, 41421356....
Vamos estimar 2
√
2 por aproximações por falta e por excesso.
I 1 < 1, 4 < 2⇒ 2 = 21 < 21,4 < 22 = 4.
I 1, 4 < 1, 41 < 1, 5⇒ 2, 639... = 21,4 < 21,41 < 21,5 = 2, 828....
I 1, 41 < 1, 414 < 1, 42⇒ 2, 6573... = 21,41 < 21,414 < 21,42 = 2, 6758....
I 1, 414 < 1, 4142 < 1, 415⇒
2, 66474... = 21,414 < 21,4142 < 21,415 = 2, 66511....
I 1, 4142 < 1, 41421 < 1, 415⇒
2, 66511... = 21,4142 < 21,41421 < 21,4143 = 2, 66530....
I Repare que se precisamos de três casas decimais,
2
√
2 ∼= 2, 665.
Logo se x = a0, a1a2...an... então a
x = lim arn , onde rn = a0, a1a2...an.
E obtemos a função exponencial desejada!
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A função exponencial
Como trabalhamos quando o expoente é irracional?
EXEMPLO.Vamos calcular 2
√
2:
Sabemos que
√
2 = 1, 41421356....
Vamos estimar 2
√
2 por aproximações por falta e por excesso.
I 1 < 1, 4 < 2⇒ 2 = 21 < 21,4 < 22 = 4.
I 1, 4 < 1, 41 < 1, 5⇒ 2, 639... = 21,4 < 21,41 < 21,5 = 2, 828....
I 1, 41 < 1, 414 < 1, 42⇒ 2, 6573... = 21,41 < 21,414 < 21,42 = 2, 6758....
I 1, 414 < 1, 4142 < 1, 415⇒
2, 66474... = 21,414 < 21,4142 < 21,415 = 2, 66511....
I 1, 4142 < 1, 41421 < 1, 415⇒
2, 66511... = 21,4142 < 21,41421 < 21,4143 = 2, 66530....
I Repare que se precisamos de três casas decimais,
2
√
2 ∼= 2, 665.
Logo se x = a0, a1a2...an... então a
x = lim arn , onde rn = a0, a1a2...an.
E obtemos a função exponencial desejada!
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A função exponencial
Como trabalhamos quando o expoente é irracional?
EXEMPLO.Vamos calcular 2
√
2:
Sabemos que
√
2 = 1, 41421356....
Vamos estimar 2
√
2 por aproximações por falta e por excesso.
I 1 < 1, 4 < 2⇒ 2 = 21 < 21,4 < 22 = 4.
I 1, 4 < 1, 41 < 1,5⇒ 2, 639... = 21,4 < 21,41 < 21,5 = 2, 828....
I 1, 41 < 1, 414 < 1, 42⇒ 2, 6573... = 21,41 < 21,414 < 21,42 = 2, 6758....
I 1, 414 < 1, 4142 < 1, 415⇒
2, 66474... = 21,414 < 21,4142 < 21,415 = 2, 66511....
I 1, 4142 < 1, 41421 < 1, 415⇒
2, 66511... = 21,4142 < 21,41421 < 21,4143 = 2, 66530....
I Repare que se precisamos de três casas decimais,
2
√
2 ∼= 2, 665.
Logo se x = a0, a1a2...an... então a
x = lim arn , onde rn = a0, a1a2...an.
E obtemos a função exponencial desejada!
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A função exponencial
Propriedades da função exponencial f : R→ R+, f (x) = ax :
I A função f é ilimitada.
I A função f é cont́ınua.
I A funçãof é sobrejetiva. Como construir uma sequência de potências
convergindo para um número real b dado?
I A função f é injetiva.
EXERĆICIO. Esboçar gráfico de f (x) = ax , quando a > 1 e
0 < a < 1.
EXERĆICIO. O que se pode dizer sobre o crescimento da função
exponencial quando a > 1?
EXERĆICIO. Seja f (x) = bax , b uma constante real e a 6= 1, a > 0.
Mostre que se x1, x2, ..., xn, ... é uma progressão aritmética de razão h
então f (x1), f (x2), ..., f (xn), ... é uma progressão geométrica de razão
ah.
Como f : R→ R+, f (x) = ax é bijetiva, podemos definir sua função
inversa!!!
Monica Merkle - IM/UFRJ 8 / 17
A função exponencial
Propriedades da função exponencial f : R→ R+, f (x) = ax :
I A função f é ilimitada.
I A função f é cont́ınua.
I A funçãof é sobrejetiva. Como construir uma sequência de potências
convergindo para um número real b dado?
I A função f é injetiva.
EXERĆICIO. Esboçar gráfico de f (x) = ax , quando a > 1 e
0 < a < 1.
EXERĆICIO. O que se pode dizer sobre o crescimento da função
exponencial quando a > 1?
EXERĆICIO. Seja f (x) = bax , b uma constante real e a 6= 1, a > 0.
Mostre que se x1, x2, ..., xn, ... é uma progressão aritmética de razão h
então f (x1), f (x2), ..., f (xn), ... é uma progressão geométrica de razão
ah.
Como f : R→ R+, f (x) = ax é bijetiva, podemos definir sua função
inversa!!!
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A função exponencial
Propriedades da função exponencial f : R→ R+, f (x) = ax :
I A função f é ilimitada.
I A função f é cont́ınua.
I A funçãof é sobrejetiva. Como construir uma sequência de potências
convergindo para um número real b dado?
I A função f é injetiva.
EXERĆICIO. Esboçar gráfico de f (x) = ax , quando a > 1 e
0 < a < 1.
EXERĆICIO. O que se pode dizer sobre o crescimento da função
exponencial quando a > 1?
EXERĆICIO. Seja f (x) = bax , b uma constante real e a 6= 1, a > 0.
Mostre que se x1, x2, ..., xn, ... é uma progressão aritmética de razão h
então f (x1), f (x2), ..., f (xn), ... é uma progressão geométrica de razão
ah.
Como f : R→ R+, f (x) = ax é bijetiva, podemos definir sua função
inversa!!!
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A função exponencial
Propriedades da função exponencial f : R→ R+, f (x) = ax :
I A função f é ilimitada.
I A função f é cont́ınua.
I A funçãof é sobrejetiva. Como construir uma sequência de potências
convergindo para um número real b dado?
I A função f é injetiva.
EXERĆICIO. Esboçar gráfico de f (x) = ax , quando a > 1 e
0 < a < 1.
EXERĆICIO. O que se pode dizer sobre o crescimento da função
exponencial quando a > 1?
EXERĆICIO. Seja f (x) = bax , b uma constante real e a 6= 1, a > 0.
Mostre que se x1, x2, ..., xn, ... é uma progressão aritmética de razão h
então f (x1), f (x2), ..., f (xn), ... é uma progressão geométrica de razão
ah.
Como f : R→ R+, f (x) = ax é bijetiva, podemos definir sua função
inversa!!!
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A função exponencial
Propriedades da função exponencial f : R→ R+, f (x) = ax :
I A função f é ilimitada.
I A função f é cont́ınua.
I A funçãof é sobrejetiva. Como construir uma sequência de potências
convergindo para um número real b dado?
I A função f é injetiva.
EXERĆICIO. Esboçar gráfico de f (x) = ax , quando a > 1 e
0 < a < 1.
EXERĆICIO. O que se pode dizer sobre o crescimento da função
exponencial quando a > 1?
EXERĆICIO. Seja f (x) = bax , b uma constante real e a 6= 1, a > 0.
Mostre que se x1, x2, ..., xn, ... é uma progressão aritmética de razão h
então f (x1), f (x2), ..., f (xn), ... é uma progressão geométrica de razão
ah.
Como f : R→ R+, f (x) = ax é bijetiva, podemos definir sua função
inversa!!!
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A função exponencial
Propriedades da função exponencial f : R→ R+, f (x) = ax :
I A função f é ilimitada.
I A função f é cont́ınua.
I A funçãof é sobrejetiva. Como construir uma sequência de potências
convergindo para um número real b dado?
I A função f é injetiva.
EXERĆICIO. Esboçar gráfico de f (x) = ax , quando a > 1 e
0 < a < 1.
EXERĆICIO. O que se pode dizer sobre o crescimento da função
exponencial quando a > 1?
EXERĆICIO. Seja f (x) = bax , b uma constante real e a 6= 1, a > 0.
Mostre que se x1, x2, ..., xn, ... é uma progressão aritmética de razão h
então f (x1), f (x2), ..., f (xn), ... é uma progressão geométrica de razão
ah.
Como f : R→ R+, f (x) = ax é bijetiva, podemos definir sua função
inversa!!!
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A função exponencial
Propriedades da função exponencial f : R→ R+, f (x) = ax :
I A função f é ilimitada.
I A função f é cont́ınua.
I A funçãof é sobrejetiva. Como construir uma sequência de potências
convergindo para um número real b dado?
I A função f é injetiva.
EXERĆICIO. Esboçar gráfico de f (x) = ax , quando a > 1 e
0 < a < 1.
EXERĆICIO. O que se pode dizer sobre o crescimento da função
exponencial quando a > 1?
EXERĆICIO. Seja f (x) = bax , b uma constante real e a 6= 1, a > 0.
Mostre que se x1, x2, ..., xn, ... é uma progressão aritmética de razão h
então f (x1), f (x2), ..., f (xn), ... é uma progressão geométrica de razão
ah.
Como f : R→ R+, f (x) = ax é bijetiva, podemos definir sua função
inversa!!!
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A função exponencial
Propriedades da função exponencial f : R→ R+, f (x) = ax :
I A função f é ilimitada.
I A função f é cont́ınua.
I A funçãof é sobrejetiva. Como construir uma sequência de potências
convergindo para um número real b dado?
I A função f é injetiva.
EXERĆICIO. Esboçar gráfico de f (x) = ax , quando a > 1 e
0 < a < 1.
EXERĆICIO. O que se pode dizer sobre o crescimento da função
exponencial quando a > 1?
EXERĆICIO. Seja f (x) = bax , b uma constante real e a 6= 1, a > 0.
Mostre que se x1, x2, ..., xn, ... é uma progressão aritmética de razão h
então f (x1), f (x2), ..., f (xn), ... é uma progressão geométrica de razão
ah.
Como f : R→ R+, f (x) = ax é bijetiva, podemos definir sua função
inversa!!!
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A função exponencial
Propriedades da função exponencial f : R→ R+, f (x) = ax :
I A função f é ilimitada.
I A função f é cont́ınua.
I A funçãof é sobrejetiva. Como construir uma sequência de potências
convergindo para um número real b dado?
I A função f é injetiva.
EXERĆICIO. Esboçar gráfico de f (x) = ax , quando a > 1 e
0 < a < 1.
EXERĆICIO. O que se pode dizer sobre o crescimento da função
exponencial quando a > 1?
EXERĆICIO. Seja f (x) = bax , b uma constante real e a 6= 1, a > 0.
Mostre que se x1, x2, ..., xn, ... é uma progressão aritmética de razão h
então f (x1), f (x2), ..., f (xn), ... é uma progressão geométrica de razão
ah.
Como f : R→ R+, f (x) = ax é bijetiva, podemos definir sua função
inversa!!!
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A função logaŕıtmo
DEF. A inversa da função exponencial de base a é a função
logaŕıtimo de x, loga : R+ → R que satisfaz
y = loga x ⇔ ay = x .
Como logaŕıtmo e exponencial de base a são funções inversas então:
aloga x = x e loga(a
x) = x .
EXERĆICIO. Verifique que:
I loga(xy) = loga x + loga y .
I Afunção logaŕıtmo é crescente quando a > 1 e decrescente quando
0 < a < 1.
I A função logaŕıtmo é ilimitada.
I Fórmula de mudança de base:
loga x = loga b · logb x .
Monica Merkle - IM/UFRJ 9 / 17
A função logaŕıtmo
DEF. A inversa da função exponencial de base a é a função
logaŕıtimo de x, loga : R+ → R que satisfaz
y = loga x ⇔ ay = x .
Como logaŕıtmo e exponencial de base a são funções inversas então:
aloga x = x e loga(a
x) = x .
EXERĆICIO. Verifique que:
I loga(xy) = loga x + loga y .
I A função logaŕıtmo é crescente quando a > 1 e decrescente quando
0 < a < 1.
I A função logaŕıtmo é ilimitada.
I Fórmula de mudança de base:
loga x = loga b · logb x .
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A função logaŕıtmo
DEF. A inversa da função exponencial de base a é a função
logaŕıtimo de x, loga : R+ → R que satisfaz
y = loga x ⇔ ay = x .
Como logaŕıtmo e exponencial de base a são funções inversas então:
aloga x = x e loga(a
x) = x .
EXERĆICIO. Verifique que:
I loga(xy) = loga x + loga y .
I A função logaŕıtmo é crescente quando a > 1 e decrescente quando
0 < a < 1.
I A função logaŕıtmo é ilimitada.
I Fórmula de mudança de base:
loga x = loga b · logb x .
Monica Merkle - IM/UFRJ 9 / 17
A função logaŕıtmo
DEF. A inversa da função exponencial de base a é a função
logaŕıtimo de x, loga : R+ → R que satisfaz
y = loga x ⇔ ay = x .
Como logaŕıtmo e exponencial de base a são funções inversas então:
aloga x = x e loga(a
x) = x .
EXERĆICIO. Verifique que:
I loga(xy) = loga x + loga y .
I A função logaŕıtmo é crescente quando a > 1 e decrescente quando
0 < a < 1.
I A função logaŕıtmo é ilimitada.
I Fórmula de mudança de base:
loga x = loga b · logb x .
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A função logaŕıtmo
DEF. A inversa da função exponencial de base a é a função
logaŕıtimo de x, loga : R+ → R que satisfaz
y = loga x ⇔ ay = x .
Como logaŕıtmo e exponencial de base a são funções inversas então:
aloga x = x e loga(a
x) = x .
EXERĆICIO. Verifique que:
I loga(xy) = loga x + loga y .
I A função logaŕıtmo é crescente quando a > 1 e decrescente quando
0 < a < 1.
I A função logaŕıtmo é ilimitada.
I Fórmula de mudança de base:
loga x = loga b · logb x .
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A função logaŕıtmo
DEF. A inversa da função exponencial de base a é a função
logaŕıtimo de x, loga : R+ → R que satisfaz
y = loga x ⇔ ay = x .
Como logaŕıtmo e exponencial de base a são funções inversas então:
aloga x = x e loga(a
x) = x .
EXERĆICIO. Verifique que:
I loga(xy) = loga x + loga y .
I A função logaŕıtmo é crescente quando a > 1 e decrescente quando
0 < a < 1.
I A função logaŕıtmo é ilimitada.
I Fórmula de mudança de base:
loga x = loga b · logb x .
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A função logaŕıtmo
DEF. A inversa da função exponencial de base a é a função
logaŕıtimo de x, loga : R+ → R que satisfaz
y = loga x ⇔ ay = x .
Como logaŕıtmo e exponencial de base a são funções inversas então:
aloga x = x e loga(a
x) = x .
EXERĆICIO. Verifique que:
I loga(xy) = loga x + loga y .
I A função logaŕıtmo é crescente quando a > 1 e decrescente quando
0 < a < 1.
I A função logaŕıtmo é ilimitada.
I Fórmula de mudança de base:
loga x = loga b · logb x .
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Gráfico da função logaŕıtmo
EXERĆICIO. Esboce o gráfico de loga x , quando a > 1 e 0 < a < 1.
EXERĆICIO. O que se pode dizer sobre o crescimento da função
logaŕıtmo quando a > 1?
EXERĆICIO. Qual a relação entre os gráficos de loga x e logb x ,
quando a, b > 1?
Qual é a melhor base para se trabalhar?
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Gráfico da função logaŕıtmo
EXERĆICIO. Esboce o gráfico de loga x , quando a > 1 e 0 < a < 1.
EXERĆICIO. O que se pode dizer sobre o crescimento da função
logaŕıtmo quando a > 1?
EXERĆICIO. Qual a relação entre os gráficos de loga x e logb x ,
quando a, b > 1?
Qual é a melhor base para se trabalhar?
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Gráfico da função logaŕıtmo
EXERĆICIO. Esboce o gráfico de loga x , quando a > 1 e 0 < a < 1.
EXERĆICIO. O que se pode dizer sobre o crescimento da função
logaŕıtmo quando a > 1?
EXERĆICIO. Qual a relação entre os gráficos de loga x e logb x ,
quando a, b > 1?
Qual é a melhor base para se trabalhar?
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Gráfico da função logaŕıtmo
EXERĆICIO. Esboce o gráfico de loga x , quando a > 1 e 0 < a < 1.
EXERĆICIO. O que se pode dizer sobre o crescimento da função
logaŕıtmo quando a > 1?
EXERĆICIO. Qual a relação entre os gráficos de loga x e logb x ,
quando a, b > 1?
Qual é a melhor base para se trabalhar?
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Logaŕıtmo natural
DEF 1. Considere a área A(b) da região limitada pelo gráfico de
y = 1/x , o eixo x e as retas x = 1 e x = b > 1. Varie o valor de b. A
constante, indicada por e tal que A(e) = 1, é chamada constante de
Euler, é um número irracional e tem valor aproximado
e = 2, 718281828459.
DEF. Quando a base do logaŕıtmo é a constante de Euler chamamos
de logaŕıtmo natural de x e indicamos por loge x = ln x .
DEF 1′. A constante de Euler também pode ser definida a partir do
limite
e = lim
n→∞
(
1 +
1
n
)n
.
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Logaŕıtmo natural
DEF 1. Considere a área A(b) da região limitada pelo gráfico de
y = 1/x , o eixo x e as retas x = 1 e x = b > 1. Varie o valor de b. A
constante, indicada por e tal que A(e) = 1, é chamada constante de
Euler, é um número irracional e tem valor aproximado
e = 2, 718281828459.
DEF. Quando a base do logaŕıtmo é a constante de Euler chamamos
de logaŕıtmo natural de x e indicamos por loge x = ln x .
DEF 1′. A constante de Euler também pode ser definida a partir do
limite
e = lim
n→∞
(
1 +
1
n
)n
.
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Logaŕıtmo natural
DEF 1. Considere a área A(b) da região limitada pelo gráfico de
y = 1/x , o eixo x e as retas x = 1 e x = b > 1. Varie o valor de b. A
constante, indicada por e tal que A(e) = 1, é chamada constante de
Euler, é um número irracional e tem valor aproximado
e = 2, 718281828459.
DEF. Quando a base do logaŕıtmo é a constante de Euler chamamos
de logaŕıtmo natural de x e indicamos por loge x = ln x .
DEF 1′. A constante de Euler também pode ser definida a partir do
limite
e = lim
n→∞
(
1 +
1
n
)n
.
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Caracterização da função exponencial e logaŕıtmica
CARACTERIZAÇÃO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL Seja f : R→ R+
uma função monótona injetiva (crescente ou decrescente). Então as
seguintes condições são equivalentes:
(1) f (nx) = f (x)n para todo n ∈ Z e todo x ∈ R;
(2) f (x) = ax para todo x ∈ R, onde a = f (1);
(3) f (x + y) = f (x) · f (y) para quaisquer x , y ∈ R.
CARACTERIZAÇÃO DA FUNÇÃO LOGAŔITMICA. Seja
f : R+ → R uma função monótona injetiva (crescente ou
decrescente), tal que f (xy) = f (x) + f (y) para quaisquer x , y ∈ R+.
Então existe a > 0 tal que f (x) = loga x para todo x ∈ R+.
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Caracterização da função exponencial e logaŕıtmica
CARACTERIZAÇÃO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL Seja f : R→ R+
uma função monótona injetiva (crescente ou decrescente). Então as
seguintes condições são equivalentes:
(1) f (nx) = f (x)n para todo n ∈ Z e todo x ∈ R;
(2) f (x) = ax para todo x ∈ R, onde a = f (1);
(3) f (x + y) = f (x) · f (y) para quaisquer x , y ∈ R.
CARACTERIZAÇÃO DA FUNÇÃO LOGAŔITMICA. Seja
f : R+ → R uma função monótona injetiva (crescente ou
decrescente), tal que f (xy) = f (x) + f (y) para quaisquer x , y ∈ R+.
Então existe a > 0 tal que f (x) = loga x para todo x ∈ R+.
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Caracterização da função de tipo exponencial
DEF. Dizemos que a função é de tipo exponencial quando
g(x) = bax , onde a e b são constantes positivas.
EXERĆICIO. Mostre que se g éde tipo exponencial então
g(x+h)−g(x)
g(x) só depende de h.
Primeira CARACTERIZAÇÃO DA FUNÇÃO de tipo EXPONENCIAL.
Seja g : R→ R+ uma função monótona injetiva (crescente ou
decrescente). Suponha que g(x+h)−g(x)g(x) só depende de h. Então se
b = g(0) e a = g(1)/g(0), temos g(x) = bax , para todo x ∈ R.
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Caracterização da função de tipo exponencial
DEF. Dizemos que a função é de tipo exponencial quando
g(x) = bax , onde a e b são constantes positivas.
EXERĆICIO. Mostre que se g é de tipo exponencial então
g(x+h)−g(x)
g(x) só depende de h.
Primeira CARACTERIZAÇÃO DA FUNÇÃO de tipo EXPONENCIAL.
Seja g : R→ R+ uma função monótona injetiva (crescente ou
decrescente). Suponha que g(x+h)−g(x)g(x) só depende de h. Então se
b = g(0) e a = g(1)/g(0), temos g(x) = bax , para todo x ∈ R.
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Caracterização da função de tipo exponencial
DEF. Dizemos que a função é de tipo exponencial quando
g(x) = bax , onde a e b são constantes positivas.
EXERĆICIO. Mostre que se g é de tipo exponencial então
g(x+h)−g(x)
g(x) só depende de h.
Primeira CARACTERIZAÇÃO DA FUNÇÃO de tipo EXPONENCIAL.
Seja g : R→ R+ uma função monótona injetiva (crescente ou
decrescente). Suponha que g(x+h)−g(x)g(x) só depende de h. Então se
b = g(0) e a = g(1)/g(0), temos g(x) = bax , para todo x ∈ R.
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Caracterização da função de tipo exponencial
Segunda CARACTERIZAÇÃO DA FUNÇÃO de tipo EXPONENCIAL.
Para cada b e cada t reais, suponhamos dado um número f (b, t) > 0
que satisfaz:
1.a) f (k · b, t) = k · f (b, t) (depende linearmente de b);
1.b) f (b, t) é monótona e injetiva em relação a t;
2) f (f (b, s), t) = f (b, s + t) (se começarmos a medir a grandeza f a
partir do instante s, com valor inicial f (b, s), depois de um tempo t
teremos o mesmo que se começarmos a medir no instante 0, com
valor inicial b depois de um tempo s + t).
Então pondo a = f (1, 1), temos f (b, t) = b · at .
EXERĆICIO. Mostre que se f (b, t) = at + b então f satisfaz as
condições 1.b) e 2).
EXERĆICIO. Mostre que se f (b, t) = at + b então f não satisfaz a
condição 1.a).
Monica Merkle - IM/UFRJ 14 / 17
Caracterização da função de tipo exponencial
Segunda CARACTERIZAÇÃO DA FUNÇÃO de tipo EXPONENCIAL.
Para cada b e cada t reais, suponhamos dado um número f (b, t) > 0
que satisfaz:
1.a) f (k · b, t) = k · f (b, t) (depende linearmente de b);
1.b) f (b, t) é monótona e injetiva em relação a t;
2) f (f (b, s), t) = f (b, s + t) (se começarmos a medir a grandeza f a
partir do instante s, com valor inicial f (b, s), depois de um tempo t
teremos o mesmo que se começarmos a medir no instante 0, com
valor inicial b depois de um tempo s + t).
Então pondo a = f (1, 1), temos f (b, t) = b · at .
EXERĆICIO. Mostre que se f (b, t) = at + b então f satisfaz as
condições 1.b) e 2).
EXERĆICIO. Mostre que se f (b, t) = at + b então f não satisfaz a
condição 1.a).
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Caracterização da função de tipo exponencial
Segunda CARACTERIZAÇÃO DA FUNÇÃO de tipo EXPONENCIAL.
Para cada b e cada t reais, suponhamos dado um número f (b, t) > 0
que satisfaz:
1.a) f (k · b, t) = k · f (b, t) (depende linearmente de b);
1.b) f (b, t) é monótona e injetiva em relação a t;
2) f (f (b, s), t) = f (b, s + t) (se começarmos a medir a grandeza f a
partir do instante s, com valor inicial f (b, s), depois de um tempo t
teremos o mesmo que se começarmos a medir no instante 0, com
valor inicial b depois de um tempo s + t).
Então pondo a = f (1, 1), temos f (b, t) = b · at .
EXERĆICIO. Mostre que se f (b, t) = at + b então f satisfaz as
condições 1.b) e 2).
EXERĆICIO. Mostre que se f (b, t) = at + b então f não satisfaz a
condição 1.a).
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Aplicações da função de tipo exponencial - capital a juros
fixos
Seja c(c0, t) o capital existente após o tempo t da aplicação do
capital c0, a juros fixos.
Temos que:
I c(c0, t) é linear em relação a c0 (aplicando kc0 multiplicamos nosso
capital por k);
I c(c0, t) é crescente em t (o ganho de capital é crescente);
I c(c(c0, s), t) = c(c0, s + t) ( se no tempo s resgatamos o que
investimos sobre c0 e reaplicamos novamente por mais tempo t,
obtemos o mesmo ganho que ao investir c0 por um tempo s + t.
Logo, existe a > 0 tal que
c(c0, t) = c0a
t = c0e
(ln a)t.
Na fórmula, ln a é o valor da taxa de juros.
Monica Merkle - IM/UFRJ 15 / 17
Aplicações da função de tipo exponencial - capital a juros
fixos
Seja c(c0, t) o capital existente após o tempo t da aplicação do
capital c0, a juros fixos.
Temos que:
I c(c0, t) é linear em relação a c0 (aplicando kc0 multiplicamos nosso
capital por k);
I c(c0, t) é crescente em t (o ganho de capital é crescente);
I c(c(c0, s), t) = c(c0, s + t) ( se no tempo s resgatamos o que
investimos sobre c0 e reaplicamos novamente por mais tempo t,
obtemos o mesmo ganho que ao investir c0 por um tempo s + t.
Logo, existe a > 0 tal que
c(c0, t) = c0a
t = c0e
(ln a)t.
Na fórmula, ln a é o valor da taxa de juros.
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Aplicações da função de tipo exponencial - capital a juros
fixos
Seja c(c0, t) o capital existente após o tempo t da aplicação do
capital c0, a juros fixos.
Temos que:
I c(c0, t) é linear em relação a c0 (aplicando kc0 multiplicamos nosso
capital por k);
I c(c0, t) é crescente em t (o ganho de capital é crescente);
I c(c(c0, s), t) = c(c0, s + t) ( se no tempo s resgatamos o que
investimos sobre c0 e reaplicamos novamente por mais tempo t,
obtemos o mesmo ganho que ao investir c0 por um tempo s + t.
Logo, existe a > 0 tal que
c(c0, t) = c0a
t = c0e
(ln a)t.
Na fórmula, ln a é o valor da taxa de juros.
Monica Merkle - IM/UFRJ 15 / 17
Aplicações da função de tipo exponencial - capital a juros
fixos
Seja c(c0, t) o capital existente após o tempo t da aplicação do
capital c0, a juros fixos.
Temos que:
I c(c0, t) é linear em relação a c0 (aplicando kc0 multiplicamos nosso
capital por k);
I c(c0, t) é crescente em t (o ganho de capital é crescente);
I c(c(c0, s), t) = c(c0, s + t) ( se no tempo s resgatamos o que
investimos sobre c0 e reaplicamos novamente por mais tempo t,
obtemos o mesmo ganho que ao investir c0 por um tempo s + t.
Logo, existe a > 0 tal que
c(c0, t) = c0a
t = c0e
(ln a)t.
Na fórmula, ln a é o valor da taxa de juros.
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Aplicações da função de tipo exponencial - desintegração
radioativa
Uma substância radioativa sofre desintegração de sua massa. Seja m0
a sua massa no tempo inicial (t = 0). Seja m(m0, t) sua massa após
o tempo t. Temos que:
I m(m0, t) é linear em relação a m0 (iniciando com km0 teremos
km(m0, t) após o tempo t);
I m(m0, t) é decrescente em t;
I m(m(m0, s), t) = m(m0, s + t) (a taxa de desintegração é constante e
independe do momento em que ocorre a observação inicial, seja no
instante 0 ou no instante s).
Logo, existe a > 0 tal que
m(m0, t) = m0a
t = m0e
(ln a)t.
Na fórmula, ln a é a taxa de desintegração da substância radioativa.
OBS. Repare que 0 < a < 1.
DEF. Chamamos de meia vida de uma substância radioativa, o
tempo necessário para desintegrar a metade da massa existente.
EXERĆICIO. Mostre que a meia vida é calculada por t0 = − ln 2/ ln a.
metadeMonica Merkle - IM/UFRJ 16 / 17
Aplicações da função de tipo exponencial - desintegração
radioativa
Uma substância radioativa sofre desintegração de sua massa. Seja m0
a sua massa no tempo inicial (t = 0). Seja m(m0, t) sua massa após
o tempo t. Temos que:
I m(m0, t) é linear em relação a m0 (iniciando com km0 teremos
km(m0, t) após o tempo t);
I m(m0, t) é decrescente em t;
I m(m(m0, s), t) = m(m0, s + t) (a taxa de desintegração é constante e
independe do momento em que ocorre a observação inicial, seja no
instante 0 ou no instante s).Logo, existe a > 0 tal que
m(m0, t) = m0a
t = m0e
(ln a)t.
Na fórmula, ln a é a taxa de desintegração da substância radioativa.
OBS. Repare que 0 < a < 1.
DEF. Chamamos de meia vida de uma substância radioativa, o
tempo necessário para desintegrar a metade da massa existente.
EXERĆICIO. Mostre que a meia vida é calculada por t0 = − ln 2/ ln a.
metadeMonica Merkle - IM/UFRJ 16 / 17
Aplicações da função de tipo exponencial - desintegração
radioativa
Uma substância radioativa sofre desintegração de sua massa. Seja m0
a sua massa no tempo inicial (t = 0). Seja m(m0, t) sua massa após
o tempo t. Temos que:
I m(m0, t) é linear em relação a m0 (iniciando com km0 teremos
km(m0, t) após o tempo t);
I m(m0, t) é decrescente em t;
I m(m(m0, s), t) = m(m0, s + t) (a taxa de desintegração é constante e
independe do momento em que ocorre a observação inicial, seja no
instante 0 ou no instante s).
Logo, existe a > 0 tal que
m(m0, t) = m0a
t = m0e
(ln a)t.
Na fórmula, ln a é a taxa de desintegração da substância radioativa.
OBS. Repare que 0 < a < 1.
DEF. Chamamos de meia vida de uma substância radioativa, o
tempo necessário para desintegrar a metade da massa existente.
EXERĆICIO. Mostre que a meia vida é calculada por t0 = − ln 2/ ln a.
metadeMonica Merkle - IM/UFRJ 16 / 17
Aplicações da função de tipo exponencial - desintegração
radioativa
Uma substância radioativa sofre desintegração de sua massa. Seja m0
a sua massa no tempo inicial (t = 0). Seja m(m0, t) sua massa após
o tempo t. Temos que:
I m(m0, t) é linear em relação a m0 (iniciando com km0 teremos
km(m0, t) após o tempo t);
I m(m0, t) é decrescente em t;
I m(m(m0, s), t) = m(m0, s + t) (a taxa de desintegração é constante e
independe do momento em que ocorre a observação inicial, seja no
instante 0 ou no instante s).
Logo, existe a > 0 tal que
m(m0, t) = m0a
t = m0e
(ln a)t.
Na fórmula, ln a é a taxa de desintegração da substância radioativa.
OBS. Repare que 0 < a < 1.
DEF. Chamamos de meia vida de uma substância radioativa, o
tempo necessário para desintegrar a metade da massa existente.
EXERĆICIO. Mostre que a meia vida é calculada por t0 = − ln 2/ ln a.
metadeMonica Merkle - IM/UFRJ 16 / 17
Aplicações da função de tipo exponencial - desintegração
radioativa
Uma substância radioativa sofre desintegração de sua massa. Seja m0
a sua massa no tempo inicial (t = 0). Seja m(m0, t) sua massa após
o tempo t. Temos que:
I m(m0, t) é linear em relação a m0 (iniciando com km0 teremos
km(m0, t) após o tempo t);
I m(m0, t) é decrescente em t;
I m(m(m0, s), t) = m(m0, s + t) (a taxa de desintegração é constante e
independe do momento em que ocorre a observação inicial, seja no
instante 0 ou no instante s).
Logo, existe a > 0 tal que
m(m0, t) = m0a
t = m0e
(ln a)t.
Na fórmula, ln a é a taxa de desintegração da substância radioativa.
OBS. Repare que 0 < a < 1.
DEF. Chamamos de meia vida de uma substância radioativa, o
tempo necessário para desintegrar a metade da massa existente.
EXERĆICIO. Mostre que a meia vida é calculada por t0 = − ln 2/ ln a.
metadeMonica Merkle - IM/UFRJ 16 / 17
Aplicações da função de tipo exponencial - desintegração
radioativa
Uma substância radioativa sofre desintegração de sua massa. Seja m0
a sua massa no tempo inicial (t = 0). Seja m(m0, t) sua massa após
o tempo t. Temos que:
I m(m0, t) é linear em relação a m0 (iniciando com km0 teremos
km(m0, t) após o tempo t);
I m(m0, t) é decrescente em t;
I m(m(m0, s), t) = m(m0, s + t) (a taxa de desintegração é constante e
independe do momento em que ocorre a observação inicial, seja no
instante 0 ou no instante s).
Logo, existe a > 0 tal que
m(m0, t) = m0a
t = m0e
(ln a)t.
Na fórmula, ln a é a taxa de desintegração da substância radioativa.
OBS. Repare que 0 < a < 1.
DEF. Chamamos de meia vida de uma substância radioativa, o
tempo necessário para desintegrar a metade da massa existente.
EXERĆICIO. Mostre que a meia vida é calculada por t0 = − ln 2/ ln a.
metadeMonica Merkle - IM/UFRJ 16 / 17
Aplicações da função de tipo exponencial - desintegração
radioativa
Uma substância radioativa sofre desintegração de sua massa. Seja m0
a sua massa no tempo inicial (t = 0). Seja m(m0, t) sua massa após
o tempo t. Temos que:
I m(m0, t) é linear em relação a m0 (iniciando com km0 teremos
km(m0, t) após o tempo t);
I m(m0, t) é decrescente em t;
I m(m(m0, s), t) = m(m0, s + t) (a taxa de desintegração é constante e
independe do momento em que ocorre a observação inicial, seja no
instante 0 ou no instante s).
Logo, existe a > 0 tal que
m(m0, t) = m0a
t = m0e
(ln a)t.
Na fórmula, ln a é a taxa de desintegração da substância radioativa.
OBS. Repare que 0 < a < 1.
DEF. Chamamos de meia vida de uma substância radioativa, o
tempo necessário para desintegrar a metade da massa existente.
EXERĆICIO. Mostre que a meia vida é calculada por t0 = − ln 2/ ln a.
metadeMonica Merkle - IM/UFRJ 16 / 17
Aplicações da função de tipo exponencial - concentração
de uma solução
Considere um tanque, inicialmente, com um volume b de sal
misturado na água. A mistura começa a escoar, na mesma velocidade
em que água limpa começa a ser jogada no tanque. Após o tempo t
o volume do sal restante é calculado por f (b, t). Temos que:
I f (b, t) é linear em relação a b;
I f (b, t) é decrescente em t;
I f (f (b, s), t) = f (b, s + t).
Logo, existe a > 0 tal que
f (b, t) = bat = be(ln a)t.
Na fórmula, ln a é a velocidade de escoamento da mistura e
0 < a < 1.
Monica Merkle - IM/UFRJ 17 / 17
Aplicações da função de tipo exponencial - concentração
de uma solução
Considere um tanque, inicialmente, com um volume b de sal
misturado na água. A mistura começa a escoar, na mesma velocidade
em que água limpa começa a ser jogada no tanque. Após o tempo t
o volume do sal restante é calculado por f (b, t). Temos que:
I f (b, t) é linear em relação a b;
I f (b, t) é decrescente em t;
I f (f (b, s), t) = f (b, s + t).
Logo, existe a > 0 tal que
f (b, t) = bat = be(ln a)t.
Na fórmula, ln a é a velocidade de escoamento da mistura e
0 < a < 1.
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Aplicações da função de tipo exponencial - concentração
de uma solução
Considere um tanque, inicialmente, com um volume b de sal
misturado na água. A mistura começa a escoar, na mesma velocidade
em que água limpa começa a ser jogada no tanque. Após o tempo t
o volume do sal restante é calculado por f (b, t). Temos que:
I f (b, t) é linear em relação a b;
I f (b, t) é decrescente em t;
I f (f (b, s), t) = f (b, s + t).
Logo, existe a > 0 tal que
f (b, t) = bat = be(ln a)t.
Na fórmula, ln a é a velocidade de escoamento da mistura e
0 < a < 1.
Monica Merkle - IM/UFRJ 17 / 17
Aplicações da função de tipo exponencial - concentração
de uma solução
Considere um tanque, inicialmente, com um volume b de sal
misturado na água. A mistura começa a escoar, na mesma velocidade
em que água limpa começa a ser jogada no tanque. Após o tempo t
o volume do sal restante é calculado por f (b, t). Temos que:
I f (b, t) é linear em relação a b;
I f (b, t) é decrescente em t;
I f (f (b, s), t) = f (b, s + t).
Logo, existe a > 0 tal que
f (b, t) = bat = be(ln a)t.
Na fórmula, ln a é a velocidade de escoamento da mistura e
0 < a < 1.
Monica Merkle - IM/UFRJ 17 / 17