MATEMÁTICA - LOGARITMOS I

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LOGARITMOS: PARTE I
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Equações exponenciais são equações em que 
a incógnita está representada como expoente. 
Por exemplo, 2x = 8 é um exemplo de equação 
exponencial. É fácil perceber que, para essa 
equação, x = 3, pois 3 é o número pelo qual 
elevamos 2 para obter 8. Um dos métodos 
utilizados para resolver equações exponenciais 
consiste em representar potências com uma 
base em comum. Indiretamente, foi o que 
fizemos para resolver a equação que indicamos. 
Resolvemos intuitivamente porque trata de 
valores básicos com que já temos familiaridade. 
Resolvendo a mesma equação pelo método de 
potências de mesma base, precisaríamos pensar 
em uma forma de escrever o número 8 como uma 
potência de base 2. Fatorando o 8 em números 
primos, obtemos 23. Como já temos uma potência 
de base 2, podemos reescrever a equação:
2x = 23
Como consequência dessa igualdade, podemos 
concluir que x = 3, já que as bases são iguais. 
Se dos dois lados da igualdade já tivermos duas 
potências, mas com bases diferentes, podemos 
reescrevê-la a fim de também obter bases iguais. 
Para isso, podemos precisar relembrar algumas 
propriedades de potência, conforme veremos em 
seguida.
Mas há casos em que não conseguimos 
reescrever uma potência com a mesma base de 
outra potência. Veja:
2x = 3
Sabemos que 21 = 2 e que 22 = 4. Para elevarmos 
2 a algum número e obtermos 3 como resultado, 
não poderíamos utilizar um número natural, já 
que não há número natural entre 1 e 2. Mas como 
saber qual seria esse número? Afinal, não é tão 
simples enxergar a qual valor podemos elevar 
2 e obter 3. Para isso, podemos recorrer aos 
logaritmos, que consistem em uma ferramenta 
matemática importantíssima e intimamente 
ligada à potenciação. 
PROPRIEDADES DE POTÊNCIA
Vamos então revisar as propriedades de potências 
e radicais:
P1.ab.ac = ab+c
P2.ab/ac = ab-c, para um valor de a diferente de 
0 (pois divisão por 0 é uma indeterminação 
matemática).
P3.(a.b)c = ac.bc
P4.(a/b)c = ac/bc, para um valor de b diferente 
de 0 (novamente pelo fato de que não podemos 
dividir por 0).
P5.(ab)c = ab.c
P6.a(b/c) = c√ab
P7.(a/b)-c = (b/a)c
Com isso, podemos então obter algumas 
consequências:
a1 = a
a-1 = 1/a, para a diferente de 0.
a0 = 1, para todo a diferente de 0. Essa consequência 
é bastante interessante e podemos perceber que 
ela parte da propriedade P2: se dividirmos duas 
potências iguais, pela propriedade, o expoente 
resultante será 0. Por exemplo: vamos dividir um 
valor qualquer (diferente de 0) por ele mesmo, 
como 83. Já sabemos que, por estarmos dividindo 
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3www.biologiatotal.com.br
um número por ele mesmo, o resultado será 1. E 
pela propriedade, (83) : (83) = 83 – 3 = 80. E como 
vimos, isso é igual a 1.
LOGARITMO
Agora que relembramos algumas propriedades 
de potência que serão úteis no presente 
estudo, vamos começar de fato a trabalhar com 
logaritmos. Comecemos definindo o que é um 
logaritmo.
Definição: considere uma potência da forma 
ab = c. Sabemos que a é chamada de base, b 
é o expoente e c é a potência. Segundo essa 
estrutura, dizemos que o logaritmo de c na base 
a é igual a b e representamos por loga c = b. O 
termo a se chama base do logaritmo, c se chama 
logaritmando e b é o logaritmo. Ou seja, calcular 
um logaritmo significa calcular um expoente b 
que devemos utilizar em uma base a de modo a 
obter uma potência c. 
Em logaritmo, ocorrem as seguintes restrições:
- O logaritmando deve ser um número real positivo. 
Se tivéssemos um logaritmando negativo, 
poderíamos chegar a algumas contradições. Por 
exemplo, log2 – 4 = x. Você consegue pensar em 
um número x a que possamos elevar 2 e obter -4? 
Não há algum valor que satisfaça essa equação.
Observação: o fato de o logaritmando ser um 
número real positivo exclui a possibilidade de o 
0 ser um logaritmando. Veja, por exemplo, log2 0 
= x. Não importa a qual número elevemos 2, o 
resultado x não será 0. 
Portanto, o logaritmando deve ser de fato um 
número real positivo. 
- A base deve ser um número positivo e diferente 
de 1. Imagine que a base fosse negativa. Por 
exemplo, log-4 4 = x. Não há como elevar -4 a 
algum número x e obter 4 como resultado. Se 
a base fosse igual a 0, poderíamos ter casos 
como log0 3 = x. 0
x = 0 para qualquer valor de 
x diferente de 0. A partir disso, percebemos que 
não há como elevar 0 a algum número e obter 3.
E se a base fosse igual a 1, como em log1 4 = x, 
não há algum número x a que possamos elevar 1 
e obter 4 como resultado. Afinal, para qualquer 
valor x que utilizarmos em 1x, nós obteremos 1 
como o resultado. E por isso, se considerássemos 
log1 1 = x, há infinitas possibilidades para x que 
resultariam em 1. 
Com isso, a base deve ser um número positivo e 
diferente de 1.
Dadas as restrições acima, para que analisemos 
as condições de existência de um logaritmo, 
devemos levar essas restrições em consideração 
para apresentar o conjunto solução. Por exemplo:
Quais os valores possíveis de x para log2 (x – 
2)? Como a base é 2 (e é um valor positivo e 
diferente de 1), nossa análise deve se voltar ao 
logaritmando: pela restrição, ele deve ser um 
número real positivo. Portanto x – 2 > 0. Logo, x 
> 2 é o conjunto solução: S = {x ∈R/ x > 2}.
Vejamos alguns exemplos e consequências dessa 
definição:
log28 = 3 pois, pela definição, 2
3 = 8. Basta se 
perguntar “2 elevado a quanto é igual a 8?”. 
Esse “quanto” é o logaritmo e, nesse exemplo, 
é igual a 3.
log48 = 3/2, pois 4
3/2 = (22 )(3/2) = 23 = 8. 
log10 1.000 = 3, pois 10
3 = 1.000.
log6 6 = 1. Veja que se a base e o logaritmando 
são iguais (mas lembre-se das restrições), o 
logaritmo é igual a 1.
log5 1 = 0. Perceba que não há problema algum 
em o logaritmo ser igual a 0, pois as restrições 
dizem respeito à base e ao logaritmando. Quando 
o logaritmando é igual a 1, podemos concluir 
que o logaritmo é igual a 0.
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alogab=b. Confira o motivo dessa consequência: 
queremos descobrir um valor x que seja igual a 
alogab. Vamos chamar loga b de c e, por tanto, temos 
que ac = x. E pela definição de logaritmo, loga x = 
c. Mas chamamos c de loga b. Então é verdadeira a 
seguinte igualdade: loga x = loga b. Como há uma 
igualdade de logaritmos de mesma base, podemos 
afirmar que x = b. Portanto, alogab =b.
logax = logay implica que x = y.
Quando uma expressão logarítmica não indica a 
base, isso significa que sua base é igual a 10. 
Esse tipo de logaritmo se chama logaritmo 
decimal. Por exemplo: ao invés de escrevermos 
log10 100 = 2, podemos simplesmente escrever 
log 100 = 2.
LOGARITMO NATURAL
Um logaritmo natural possui base igual a e, 
sendo e o número de Euler (e = 2,71828...). loge 
x também é escrito como ln x.
ANOTAÇÕES
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novo linknovo link
https://bit.ly/2ABrvZP
https://bit.ly/2ABrvZP
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(MACKENZIE 2018) Se 3m = a e 3n = b, a > 0 e b > 0, 
então o valor de 3m-2n/2 é igual a 
√a - b 
a/2 + b 
a/2 - b 
√a/b 
(a-b)/2 
 
(UFJF 2017) A diferença entre o maior e o 
menor valor de x, na equação exponencial 
2x 4x 15
2
( 3 x 6)
125
125
 
 + −
 
 
− +
= é igual a: 
1 
7 
1/2 
7/2 
-3/2 
 
(UNESP 2017) Admita que o número de visitas diárias 
a um site seja expresso pela potência 4n, com n sendo 
o índice de visitas ao site. Se o site S possui o dobro 
do número de visitas diárias do que um site que tem 
índice de visitas igual a S o índice de visitas ao site S 
é igual a 
12 
9 
8,5 
8 
6,5 
 
(PUCRS 2017) Uma turma de uma escola central 
de Porto Alegre recebeu a seguinte questão em sua 
primeira prova no Ensino Médio:
Um dos valores de x que soluciona a equação 
log2(-x
2+32) = 4 é igual ao número de centros 
culturais localizados nas proximidades do centro da 
cidade. Esse número é 
3 
4 
1
2
3
4
5
EXERCÍCIOS
5 
6 
7 
 
(FEEVALE2017) O número de partidos políticos 
registrados no Tribunal Superior Eleitoral (TSE) 
em abril de 2017, no Brasil, está representado na 
equação a seguir por x, onde x = 25 + log 1000. 
Esse número é 
32 
33 
34 
35 
36 
 
(IFAL 2016) Transformando a expressão 3√3√3 em 
uma potência de expoente fracionário, obtemos 
31 
32/3 
31/2 
31/3 
1 
 
(UNISINOS 2016) Se x e y são tais que 
3x 4y2 16,
5x 7y 8
+ =

+ =
 
então x2 + y2 é igual a 
0 
32 
320 
832 
9.536 
 
(IFSUL 2016) O valor da expressão 
2 2
31 1 27
5 5
−
   + + −   
   
 é 
3 
-3 
551/25 
701/25 
 
(MACKENZIE 2018) O sistema 
b
3b
log (9a 35) 6
,
log (27a 81) 3
− =


 − =
 
com b > 1, tem como solução (a, b) igual a 
(2, 11) 
(11, 2) 
(1, 11) 
7
8
9
6
c
c
c
c
c
c
c
c
c
b
b
b
b
b
b
b
b
b
d
d
d
d
d
d
d
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a
a
a
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e
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(11, 1) 
(1, 2) 
 
(UFRGS 2018) Leia o texto abaixo, sobre terremotos.
Magnitude é uma medida quantitativa do tamanho 
do terremoto. Ela está relacionada com a energia 
sísmica liberada no foco e também com a amplitude 
das ondas registradas pelos sismógrafos. Para 
cobrir todos os tamanhos de terremotos, desde 
os microtremores de magnitudes negativas até os 
grandes terremotos com magnitudes superiores a 8.0, 
foi idealizada uma escala logarítmica, sem limites. No 
entanto, a própria natureza impõe um limite superior 
a esta escala, já que ela está condicionada ao próprio 
limite de resistência das rochas da crosta terrestre. 
Magnitude e energia podem ser relacionadas pela 
fórmula descrita por Gutenberg e Richter em 1935: 
log(E) = 11,8 + 1,5 M onde: E = energia liberada em 
Erg; M = magnitude do terremoto.
Disponível em: <http://www.iag.usp.br/siae98/terremoto/
terremotos.htm>.
Acesso em: 20 set. 2017.
Sabendo que o terremoto que atingiu o México em 
setembro de 2017 teve magnitude 8,2, assinale a 
alternativa que representa a melhor aproximação 
para a energia liberada por esse terremoto, em Erg. 
13,3 
20 
24 
1024 
1028 
 
(UEFS 2017) Considerando-se que, sob certas 
condições, o número de colônias de bactérias, t horas 
após ser preparada a cultura, pode ser dado pela 
função N(t) = 9t – 2.3t + 3, t ≥ 0, pode-se estimar 
que o tempo mínimo necessário para esse número 
ultrapassar 678 colônias é de 
2 horas. 
3 horas. 
4 horas. 
5 horas. 
6 horas. 
 
(UFRGS 2017) No estudo de uma população de 
bactérias, identificou-se que o número N de bactérias, 
t horas após o início do estudo, é dado por N(t) = 
20.21,5t.
Nessas condições, em quanto tempo a população de 
bactérias duplicou? 
15 min. 
20 min. 
30 min. 
40 min. 
45 min. 
 
(FGVRJ 2017) Em uma experiência de Física, para 
cada valor da variável contínua x, obteve-se, no 
laboratório, um resultado y. A tabela a seguir mostra 
os resultados de cinco medidas realizadas para 
valores inteiros de x:
x y
1 2,97
2 9,05
3 26,8
4 81,6
5 241
Os resultados sugeriram que, para os valores de x do 
intervalo [1,5], uma função adequada para modelar 
essa experiência é exponencial, ou seja, da forma y 
= ax. De fato, para certo valor inteiro de a, os valores 
encontrados na experiência e os valores dados por 
essa função diferem muito pouco. 
Usando essa função, determine, aproximadamente, 
para que valor de x encontra-se y = 100. 
Utilize o que for necessário: 
log2 = 0,301
log3 = 0,477
log5 = 0,699 
(UERJ 2017) Uma calculadora tem duas teclas 
especiais, A e B. Quando a tecla A é digitada, o 
número que está no visor é substituído pelo logaritmo 
decimal desse número. Quando a tecla B é digitada, o 
número do visor é multiplicado por 5. 
Considere que uma pessoa digitou as teclas BAB, 
nesta ordem, e obteve no visor o número 10. 
Nesse caso, o visor da calculadora mostrava 
inicialmente o seguinte número: 
20 
30 
40 
50 
10
11
12
13
14
c
c
c
c
b
b
b
b
d
d
d
d
d
a
a
a
a
e
e
e
e
8
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(UFRGS 2017) Se log5 x = 2 e log10 y = 4, então log20 
y/x é 
2 
4 
6 
8 
10 
 
(UPE 2016) Os técnicos de um laboratório observaram 
que uma população de certo tipo de bactérias cresce 
segundo a função B(t) = 109.43t com “t” sendo 
medido em horas. Qual o tempo necessário para que 
ocorra uma reprodução de 6,4.1010 bactérias? 
1h 
3h 
4h 
6h 
16h 
 
(UERJ 2016) Admita que a ordem de grandeza de uma 
medida x é uma potência de base 10, com expoente n 
inteiro, para 
1 1n n
2 210 x 10 .
− +
≤ <
Considere que um terremoto tenha liberado uma 
energia E, em joules, cujo valor numérico é tal que 
log10E = 15,3. 
A ordem de grandeza de E, em joules, equivale a: 
1014 
1015 
1016 
1017 
 
(FAC. ALBERT EINSTEIN - MEDICINA 2016) Uma 
pesquisa foi desenvolvida a partir de 250 bactérias 
de uma cultura. Estimou-se então, de maneira 
aproximada, que, durante certo tempo, o aumento 
percentual do número de bactérias na cultura poderia 
ser obtido pela expressão B(t) = -30.log3(t+21)+150, 
em que t é o tempo decorrido, em minutos, após o 
início da pesquisa, Nessas condições, ao fim da 
primeira hora da pesquisa, quantas bactérias havia 
em tal cultura? 
325 
400 
450 
525 
 
(IFSUL 2015) Considere a equação exponencial 2.3x-4 
= 150. Sobre o valor de x, é verdade afirmar que 
x ∈ [4,6[ 
x ∈ [6,8[
x ∈ [8,10[ 
x ∈ [10,13[ 
 
(UDESC 2015) Seja x a solução real da equação 
4x+2x+1/2 = 3/2. Localizando na reta real os valores de 
1m x ,
4
= − 1n 3 x
10
 = + 
 
 e 1p 2x ,
8
= + torna-se 
correto afirmar que: 
m e n são equidistantes de p. 
m está situado entre n e p. 
n está situado entre m e p. 
p está situado entre n e m. 
m, n e p estão todos situados à direita de x. 
 
(UEPB 2014) Sendo 
x10 0,00115 ,
0,2 2,3
−
= o valor de x2 
é igual a: 
25 
4 
9 
1 
16 
 
(CEFET MG 2014) O conjunto dos valores de x ∈ para 
que log(1-2x)(2 – x – x
2) exista como número real é 
{ }x | x 2 ou x 1 .∈ < − >� 
1x * | 2 x .
2
 ∈ − < < 
 
� 
1x | x 2 ou x .
2
 ∈ < − > 
 
� 
{ }x | 2 x 1 .∈ − < <� 
1x * | x .
2
 ∈ < 
 
� 
 
(UEM 2016) Sobre equações logarítmicas e sistemas 
assinale o que for correto. 
01) A equação 6x
1log 3
3
= tem solução x = √3. 
02) A equação 1
16
1log x
3
= tem solução x = 1/2√2 
04) A equação 5log | 1 x | 1− = tem duas soluções. 
08) O sistema 
x y 145
log(x 2y) 2
+ =
 − =
 tem uma única solução. 
16) O sistema 
2
y
x y 32
log x 2
 + =

=
 tem duas soluções. 
15
16
17
18
19
20
21
22
23
c
c
c
c
c
c
c
c
b
b
b
b
b
b
b
b
d
d
d
d
d
d
d
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a
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e
e
e
e
R
R
R
R
R
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24 25(UEPB 2014) No conjunto dos números reais, a 
desigualdade 
2
2 1
3
x 1log log 0
3 3
  
 − >     
 é verdadeira 
para 
|x| > √2 
1 < |x| < √2 
|x| < 2 
|x| > 2 
|x| > 1 
 
(IME 2014) Resolver o sistema de equações 
3
x 2 x y
yx y log
x
2 8 5 4+
 − =

 + = ⋅
 
c
b
d
a
e
ANOTAÇÕES
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GABARITO
1: [D]
Calculando:
( )
( )
m 2n 1
m 2n 2 m 2n m2
2 2n
1 1 a3 3 3 3 3 a
bb3
−
− −= = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
 
2: [B]
Calculando:
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
x x4x 15 4x 15
2 2
( 3 x 6) ( 3 x 6) ( 3 x 6)
x x4x 15 2 4x 15
2 2( 3 x 6) ( 3 x 6) ( 3 x 6) 2 ( 3 x 6)
x 8x 30 3x 6 6x 12 x x 12
2
1 125 25
125 5 25
25 5 25 1 5 5 5 1
5 1 5 1
x '
x x 12 0
   
   + − + −
   
   
− + − + − +
   
   + − ⋅ + −
   − + − + − + ⋅ − +   
+ − − + − + − −
= → =
⋅
⋅ ⋅ = → ⋅ ⋅ =
= → =
=
− − = →
4
3 ( 4) 7
x '' 3
−  − − == 
 
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
x x4x 15 4x 15
2 2
( 3 x 6) ( 3 x 6) ( 3 x 6)
x x4x 15 2 4x 15
2 2( 3 x 6) ( 3 x 6) ( 3 x 6) 2 ( 3 x 6)
x 8x 30 3x 6 6x 12 x x 12
2
1 125 25
125 5 25
25 5 25 1 5 5 5 1
51 5 1
x '
x x 12 0
   
   + − + −
   
   
− + − + − +
   
   + − ⋅ + −
   − + − + − + ⋅ − +   
+ − − + − + − −
= → =
⋅
⋅ ⋅ = → ⋅ ⋅ =
= → =
=
− − = →
4
3 ( 4) 7
x '' 3
−  − − == 
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
x x4x 15 4x 15
2 2
( 3 x 6) ( 3 x 6) ( 3 x 6)
x x4x 15 2 4x 15
2 2( 3 x 6) ( 3 x 6) ( 3 x 6) 2 ( 3 x 6)
x 8x 30 3x 6 6x 12 x x 12
2
1 125 25
125 5 25
25 5 25 1 5 5 5 1
5 1 5 1
x '
x x 12 0
   
   + − + −
   
   
− + − + − +
   
   + − ⋅ + −
   − + − + − + ⋅ − +   
+ − − + − + − −
= → =
⋅
⋅ ⋅ = → ⋅ ⋅ =
= → =
=
− − = →
4
3 ( 4) 7
x '' 3
−  − − == ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
x x4x 15 4x 15
2 2
( 3 x 6) ( 3 x 6) ( 3 x 6)
x x4x 15 2 4x 15
2 2( 3 x 6) ( 3 x 6) ( 3 x 6) 2 ( 3 x 6)
x 8x 30 3x 6 6x 12 x x 12
2
1 125 25
125 5 25
25 5 25 1 5 5 5 1
5 1 5 1
x '
x x 12 0
   
   + − + −
   
   
− + − + − +
   
   + − ⋅ + −
   − + − + − + ⋅ − +   
+ − − + − + − −
= → =
⋅
⋅ ⋅ = → ⋅ ⋅ =
= → =
=
− − = →
4
3 ( 4) 7
x '' 3
−  − − == 
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
x x4x 15 4x 15
2 2
( 3 x 6) ( 3 x 6) ( 3 x 6)
x x4x 15 2 4x 15
2 2( 3 x 6) ( 3 x 6) ( 3 x 6) 2 ( 3 x 6)
x 8x 30 3x 6 6x 12 x x 12
2
1 125 25
125 5 25
25 5 25 1 5 5 5 1
5 1 5 1
x '
x x 12 0
   
   + − + −
   
   
− + − + − +
   
   + − ⋅ + −
   − + − + − + ⋅ − +   
+ − − + − + − −
= → =
⋅
⋅ ⋅ = → ⋅ ⋅ =
= → =
=
− − = →
4
3 ( 4) 7
x '' 3
−  − − == 
3: [E]
Seja k o índice de visitas ao site S. Desse modo, temos
4k = 2.46 ⇔ 4k = 40,5.46 ⇔ 4k = 46,5. 
A resposta é k = 6,5. 
4: [B]
Desde que x é um número inteiro positivo, temos:
2 2
2
2
log ( x 32) 4 x 32 16
x 16.
x 4.
− + = ⇔ − + =
⇔ =
⇒ =
 
5: [D]
Calculando:
x = 25 + log.1000 = 32 + 3 = 35 
6: [C]
Reescrevendo, tem-se:
33 11 1333 3 22 2 23 3 3 3 3 3 3
⋅
= ⋅ = = =
 
7: [B]
Tem-se que
DJOW
LOGARITMOS: PARTE I
3x 4y 3x 4y 42 16 2 2
5x 7y 8 5x 7y 8
3x 4y 4
5x 7y 8
15x 20y 20
15x 21y 24
x 4
.
y 4
+ +  = =⇔ 
+ = + =  
+ =
⇔  + =
− − = −
⇔  + =
= −
⇔  =
Por conseguinte, vem x2 + y2 = (-4)2 + 42 = 32. 
8: [C]
Calculando:
( )
( )
2 2
33 3
2
1 1 1 1 1 625 1 75 55127 3 25 3
5 5 25 25 25 251
5
− + −   + + − = + + − = + − = =   
   
 
( )
( )
2 2
33 3
2
1 1 1 1 1 625 1 75 55127 3 25 3
5 5 25 25 25 251
5
− + −   + + − = + + − = + − = =   
   
9: [B]
Calculando:
( )
{ }
b
3b
6 3 3
2 2 2
3 3
2
3
3
log (9a 35) 6
log (27a 81) 3
b 9a 35 b b 9a 35
a 3 9a 35 a 6a 9 9a 35 a 15a 44 0
27b 27a 81 b a 3
( 15) 4 1 44 49
a 11 b 11 3 b 2 S 11, 2
15 49a ou
2
a 4 b 4 3 b 1
− =


 − =
= − ⇒ ⋅ = −
⇒ − = − ⇒ − + = − ⇒ − + =
= − ⇒ = −
∆ = − − ⋅ ⋅ =
 = ⇒ = − ⇒ = ⇒ =
± = = 

= ⇒ = − ⇒ =
 
( )
{ }
b
3b
6 3 3
2 2 2
3 3
2
3
3
log (9a 35) 6
log (27a 81) 3
b 9a 35 b b 9a 35
a 3 9a 35 a 6a 9 9a 35 a 15a 44 0
27b 27a 81 b a 3
( 15) 4 1 44 49
a 11 b 11 3 b 2 S 11, 2
15 49a ou
2
a 4 b 4 3 b 1
− =


 − =
= − ⇒ ⋅ = −
⇒ − = − ⇒ − + = − ⇒ − + =
= − ⇒ = −
∆ = − − ⋅ ⋅ =
 = ⇒ = − ⇒ = ⇒ =
± = = 

= ⇒ = − ⇒ =
( )
{ }
b
3b
6 3 3
2 2 2
3 3
2
3
3
log (9a 35) 6
log (27a 81) 3
b 9a 35 b b 9a 35
a 3 9a 35 a 6a 9 9a 35 a 15a 44 0
27b 27a 81 b a 3
( 15) 4 1 44 49
a 11 b 11 3 b 2 S 11, 2
15 49a ou
2
a 4 b 4 3 b 1
− =


 − =
= − ⇒ ⋅ = −
⇒ − = − ⇒ − + = − ⇒ − + =
= − ⇒ = −
∆ = − − ⋅ ⋅ =
 = ⇒ = − ⇒ = ⇒ =
± = = 

= ⇒ = − ⇒ =
10: [D]
Do enunciado, temos:
24,1 24
logE 11,8 1,5 8,2
logE 24,1
E 10 10
= + ⋅
=
= ≅
 
11: [B]
Vamos determinar t de modo que N(t) seja 678, resolvendo a 
equação abaixo:
11www.biologiatotal.com.br
EX
ER
CÍ
CI
O
S
( )
t t
2t t
t
t t
t
9 2 3 3 678
3 2 3 675 0
( 2) 27043
2 1
3 27 3 3
ou
3 25 (não convém)
− ⋅ + =
− ⋅ − =
− − ±
=
⋅
= ⇒ =
= −
Resposta: t = 3 horas. 
12: [D]
Calculando o número inicial de bactérias, temos:
N(0) = 20.21,5.0 = 20
Vamos determinar o valor de t em horas de modo que o número 
de bactérias seja 40.
1,5 t
1,5 t
40 20 2 .
2 2
1,5 t 1
1 2t h
1,5 3
2 2 60minh 40 min
3 3
⋅
⋅
= ⋅
=
⋅ =
= =
⋅
= =
 
13: A variável y se aproxima das potências de 3, como se pode 
perceber na tabela a seguir:
x y Aprox. y = 33
1 2,97 3
2 9,05 9
3 26,8 27
4 81,6 81
5 241 243
Assim, pode-se calcular:
y = 100 ≈ 3x = 100 → x.log3 = log100 → 0,477x = 2 → x ≈ 4,2 
14: [A]
( )
( )( ) ( )
10
2
10 10
Número inicial no visor x
Tecla B 5x
Tecla A log 5x
100Tecla B 5 log 5x 10 log 5x 2 5x 10 x 20
5
=
=
=
= ⋅ = → = → = → = =
 ( )
( )( ) ( )
10
2
10 10
Número inicial no visor x
Tecla B 5x
Tecla A log 5x
100Tecla B 5 log 5x 10 log 5x 2 5x 10 x 20
5
=
=
=
= ⋅ = → = → = → = =
15: [A]
2
5
4
10
20 20 20
log x 2 x 5 x 25
log y 4 y 10 y 10000
y 10000log log log 400 2
x 25
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ =
= = =
 
16: [A]
Considerando B(t) = 6,4.1010, temos a seguinte equação:
10
10 9 3t 3t 3t 3t 3
9
6,4 106,4 10 10 4 4 4 64 4 4 3t 3 t 1h.
10
⋅
⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
 
10
10 9 3t 3t 3t 3t 3
9
6,4 106,4 10 10 4 4 4 64 4 4 3t 3 t 1h.
10
⋅
⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
17: [B]
loge = 15,3 → E = 1015,3
Como, 1014,5 < 1015,3 < 1015,5, a ordem de grandeza será 1015. 
18: [A]
Determinando o aumento percentual depois de 60 minutos (1 
hora), temos:
B(60) = -30.log3(60+21) + 150 = -30.4 + 150 = 30
Portanto, o número de bactérias após uma hora será dado por:
30250 1 250 1,3 325
100
 ⋅ + = ⋅ = 
 
 
19: [B]
2.3x-4 = 150
3x-4 = 75
Como 27 < 75 < 81, podemos escrever:
27 < 3x-4 < 81
33 < 3x-4 < 34
3 < x – 4 < 4
7 < x < 8
A alternativa correta é a [B], pois [6, 8[contém o intervalo]7,8[. 
20: [D]
Lembrando que ay > 0 para todo y real, com a > 0, vem 
1
2xx 2x x
2
x
x
3 34 2 2 2 2
2 2
22 2
2
22 2
2
1x .
2
+
+ = ⇔ + ⋅ =
 
⇔ + = 
 
⇔ = ± −
⇒ = −
Portanto, tem-se que 48n ,
40
= − 35p
40
= − e 
30m .
40
= − O resultado 
segue de imediato. 
21: [E]
x
1 5
x
1
1 5
x
1
x 4
10 0,00115
0,2 2,3
2 10 115 1010
23 10
10 10 1010
10
10 10
x 4
−
− −
−
−
− −
−
−
− −
=
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅
⋅ ⋅
=
=
=
Logo, x2 = 42 = 16. 
12
EX
ER
CÍ
CI
O
S
22: [B]
Das condições de existência dos logaritmos, deve-se ter
22 x x 0 (x 2)(x 1) 0
e e
1 1 2x 0 1x e x 0
2
2 x 1
e
1x e x 0
2
12 x e x 0.
2
− − > + − <
⇔
≠ − >  < ≠ 
 
− < <
⇔
 < ≠ 
 
⇔ − < < ≠
Portanto, o conjunto dos valores reais de x para que log(1-2x) (2-x-
x2) seja um número real é 
1x | 2 x .
2
∗ ∈ − < < 
 
� 
23: 01 + 04 + 08 = 13.
[01] Verdadeira.
1
26 63x
1log 3 x 3 x 3 x 3
3
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ±
mas como x > 0, temos x = √3. 
[02] Falsa.
1
3
1 3 3
16
1 1 1 1log x x x
3 16 16 2 2
 = ⇒ = ⇒ = = 
  ⋅
[04] Verdadeira
log5 |1-x| = 1 → |1-x| = 5 → x = -4 ou x = 6. 
[08] Verdadeira.
x y 145 x y 145
log(x 2y) 2 x 2y 100
+ = + = 
⇒ − = − = 
Multiplicando a primeira equação por 2 e somando com a 
segunda, obtemos:
3x = 390 → x = 130 e y = 15
Portanto, o sistema possui apenas a solução (130, 15). 
[16] Falsa.
22
2y
x y 32x y 32
log x 2 x y
 + =+ = ⇒ 
= =  
Por substituição, temos:
2y2 = 32 → y = ±4
sabendo que y > 0, temos y = 4 e x = 16, logo a equação possui 
apenas a solução (16, 4). 
24: [B]
De acordo a definição de logaritmos, temos as seguintes 
condições:
2
2x 1 0 x 1 0 x 1 ou x 1
3 3
− > ⇒ − > ⇒ < − >
(condição 1)
2 2 2
2
1 1 1
3 3 3
x 1 x 1 x 1log 0 log log 1 1 x 4 x 2 ou x 2
3 3 3 3 3 3
     
− > ⇒ − > ⇒ − < ⇒ < ⇒ < − >          
     
2 2 2
2
1 1 1
3 3 3
x 1 x 1 x 1log 0 log log 1 1 x 4 x 2 ou x 2
3 3 3 3 3 3
     
− > ⇒ − > ⇒ − < ⇒ < ⇒ < − >          
     
(condição 2)
Fazendo, agora, a intersecção entre as condições 1 e 2, temos:
-2 < x < -1 ou 1 < x < 2 (condição de existência)
Resolvendo a equação pedida, temos:
2 2 2 2 1
2 2 1 2 1 1 1
1 3 3 3 3
3
2
2
x 1 x 1 x 1 x 1log log 0 log log log 1 log 1 log log
3 3 3 3 3 3 3 3 3
x 1 1 x 2 0 2 x 2
3 3 3
       
− > ⇒ − > ⇒ − > ⇒ − >⇒              
       
 
− > ⇒ − < ⇒ − < <  
 
2 2 2 2 1
2 2 1 2 1 1 1
1 3 3 3 3
3
2
2
x 1 x 1 x 1 x 1log log 0 log log log 1 log 1 log log
3 3 3 3 3 3 3 3 3
x 1 1 x 2 0 2 x 2
3 3 3
       
− > ⇒ − > ⇒ − > ⇒ − > ⇒              
       
 
− > ⇒ − < ⇒ − < <  
 
2 2 2 2 1
2 2 1 2 1 1 1
1 3 3 3 3
3
2
2
x 1 x 1 x 1 x 1log log 0 log log log 1 log 1 log log
3 3 3 3 3 3 3 3 3
x 1 1 x 2 0 2 x 2
3 3 3
       
− > ⇒ − > ⇒ − > ⇒ − > ⇒              
       
 
− > ⇒ − < ⇒ − < <  
 
Fazendo a intersecção desse resultado com a condição de 
existência, temos:
2 x 1 ou 1 x 2 1 x 2− < < − < < ⇒ < <
 
25:
 x y
3
y yx y log 3
x x
−− = ⇒ =
y > x, temos: x y y3 1 e 1 (contradição)
x 
− < >
y < x, temos: x y y3 1 e 1 (contradição)
x 
− > <
Portanto, a única opção válida é x = y. 
Logo,
( )
x 2 x x
x x 2 x
x 2x x
2 8 5 4
4 2 (2 ) 5 2 0
2 2 5 2 4 0
+ + = ⋅
⋅ − − ⋅ =
⋅ − ⋅ + =
Resolvendo a equação, temos:
x
x
x
2 0 não existe x real.
2 1 x 0 (não convém)
2 4 x 2 e y 2
S={(2, 2)}
= ⇒
= ⇒ =
= ⇒ = =
 
ANOTAÇÕES