Resolução Cálculo 2 - Diferenciabilidade e Diferencial

Prévia do material em texto

Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais 
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 124 - 128. 
147 
 
2
543213 )32(
3
xxxxxx
f
����
(�
 
w
w . 
2
543214 )32( xxxxxx
f
����
(�
 
w
w . 
2
543215 )32( xxxxxx
f
����
(
 
w
w . 
 
 
48. Usando a definição, verificar que as funções dadas são diferenciáveis em 2R . 
 
a) 222),( yxyxf � 
 
A função dada possui derivadas parciais em todos os pontos �),( 00 yx R
2 que são dadas 
por 
000 4),( 
 xyx
x
f
 
w
w e 000 2),( 
 yyx
y
f
� 
w
w . 
 Assim, para mostrarmos que f é diferenciável em R 2, resta verificar que para 
qualquer �),( 00 yx R
2, o limite 
2
0
2
0
00000000
)()(
]])[,(])[,(),([),(
 lim
0
0 yyxx
yyyx
y
fxxyx
x
fyxfyxf
yy
xx ���
�
w
w
��
w
w
��
o
o
 é zero. Se chamamos 
de L esse limite, temos: 
L = 
2
0
2
0
0000
2
0
2
0
22
)()(
]][2][42[2 lim
0
0 yyxx
yyyxxxyxyx
yy
xx ���
�������
o
o
 
 = 
2
0
2
0
2
00
2
00
2
0
2
0
22
)()(
]224422 lim
0
0 yyxx
yyyxxxyxyx
yy
xx ���
�������
o
o
 
 = 
2
0
2
0
2
0
2
0
)()(
)()(2 lim
0
0 yyxx
yyxx
yy
xx ���
���
o
o
 
 = 
0 0
0 0
2 2
0 0
2 2 2 2
0 0 0 0
2( ) ( )lim lim 0
( ) ( ) ( ) ( )x x x xy y y y
x x y y
x x y y x x y yo oo o
� �
� 
� � � � � �
 
(usando a definição de limites) 
 
 Logo, f é diferenciável em R 2. 
 
 
b) xyyxf 2),( 
 
A função dada possui derivadas parciais em todos os pontos �),( 00 yx R
2 que são dadas 
por 
Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais 
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 124 - 128. 
148 
 
000 2),( 
 yyx
x
f
 
w
w e 000 2),( 
 xyx
y
f
 
w
w . 
 Assim, para mostrarmos que f é diferenciável em R 2, resta verificar que para 
qualquer �),( 00 yx R
2, o limite 
2
0
2
0
00000000
)()(
]])[,(])[,(),([),(
 lim
0
0 yyxx
yyyx
y
fxxyx
x
fyxfyxf
yy
xx ���
�
w
w
��
w
w
��
o
o
 é zero. Se chamamos 
de L esse limite, temos: 
L = 
2
0
2
0
000000
)()(
]][2][22[2 lim
0
0 yyxx
yyxxxyyxxy
yy
xx ���
�����
o
o
 
 = 
2
0
2
0
00000000
)()(
222222 lim
0
0 yyxx
yxyxxyxyyxxy
yy
xx ���
�����
o
o
 
 = 
2
0
2
0
00
)()(
))((2 lim
0
0 yyxx
yyxx
yy
xx ���
��
o
o
 
 = 0 (usando a definição de limites) 
 
 Logo, f é diferenciável em R 2. 
 
 
49. Verificar se as funções dadas são diferenciáveis na origem. 
 
a) 3
2
3
2
),( yxyxf � 
Vamos primeiro verificar se existem as derivadas parciais na origem. Se existir, 
temos que 
2/3
2/30 0 0
( ,0) (0,0) 0 1(0 , 0) lim lim lim
0x x x
f f x f x
x x x xo o o
w � �
 
w �
. 
Como este limite não existe, segue que a função não é diferenciável na origem. 
 
 
b) 
°
¯
°
®
­
 
z
� 
)0,0(),(,0
)0,0(),(,2
),( 22
5
yx
yx
yx
x
yxf 
x
fxf
x
f
x '
�'�
 
w
w
o'
)0,0()0,0(lim)0,0(
0
 
0)(2lim)(2lim
0
0)(
)(2
lim 2
0
3
0
22
5
0
 ' 
'
'
 
'
�
�'
'
 
o'o'o'
x
x
x
x
x
x
xxx
 
� �
0 0
(0 , 0 ) (0 , 0) 0 00,0 lim lim 0
y y
f f y f
y y y' o ' o
w �' � �
 
w ' '
 
Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais 
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 124 - 128. 
149 
 
Fazendo o limite 
22
0
0 )0()0(
]]0)[0,0(]0)[0,0()0,0([),(
 lim
���
�
w
w
��
w
w
��
 
o
o yx
y
y
fx
x
ffyxf
L
y
x
 temos 
0
)(
2 lim
2
 lim
2222
5
0
022
22
5
0
0
 
��
 
�
� 
o
o
o
o yxyx
x
yx
yx
x
L
y
x
y
x
 (usando a definição de limites) 
 
Assim, existem as derivadas )0,0(
x
f
w
w e )0,0(
y
f
w
w e L=0. Portanto a função dada é 
diferenciável em (0 , 0). 
 
 
c) yxyxf � ),( 
1 
w
w
x
f 1)0,0( 
w
w
?
x
f 
1 
w
w
y
f 1)0,0( 
w
w
?
y
f 
 Como estamos diante de uma função do tipo polinomial, que possui derivadas 
parciais contínuas em todo o plano, podemos afirmar que é diferenciável em (0,0). 
 
 
d) 
°
¯
°
®
­
 
z
�
��
 
)0,0(),(,0
)0,0(),(,
)(
23
),( 222
3224
yx
yx
yx
yxyxy
yxf 
0
0
)(
0
lim)0,0()0,0(lim)0,0(
4
00
 
'
�
' 
'
�'�
 
w
w
o'o' x
x
x
fxf
x
f
xx
 
 
4
4
0 0
( )
(0 , 0 ) (0 , 0) ( )(0,0) lim lim
y y
y
f f y f y
y y y' o ' o
'
w � ' � ' f
w ' '
 
Como )0,0(
y
f
w
w não existe, podemos afirmar que a função dada não é diferenciável 
na origem. 
 
 
e) 
°̄
°
®
­
 
z
� 
)0,0(),(,0
)0,0(),(,1
),( 22
yx
yx
yxyxf 
 
f 
'
 
'
�
' 
'
�'�
 
w
w
o'o'o' 30
2
00 )(
1lim
0
)(
1
lim)0,0()0,0(lim)0,0(
xx
x
x
fxf
x
f
xxx
 
Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais 
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 124 - 128. 
150 
 
 
Como )0,0(
x
f
w
w não existe, podemos afirmar que a função dada não é diferencial na 
origem. 
 
 
50. Identifique a região onde as funções dadas são diferenciáveis. 
 
a) 22),( xyyxyxf � 
22 yxy
x
f
� 
w
w e xyx
y
f 22 � 
w
w 
para qualquer � �,x y . Como as derivadas parciais são contínuas, ( , )f x y é 
diferenciável em 2R 
 
 
b) 
2xyez 
22 ye
x
z xy � 
w
w xye
y
z xy 2
2
� 
w
w 
para quaisquer � �,x y . Como as derivadas parciais são contínuas, 2xyz e é 
diferenciável em 2R . 
 
 
c) 22
2
yx
xyz
�
 
222
224
222
22422
222
2222
)()(
2
)(
2)(
yx
yxy
yx
yxyyx
yx
xxyyyx
x
z
�
�
 
�
��
 
�
���
 
w
w . 
222
3
222
333
222
222
)(
2
)(
222
)(
22)(
yx
yx
yx
xyxyyx
yx
yxyxyyx
y
z
�
 
�
��
 
�
����
 
w
w . 
As derivadas não estão definidas em (0 , 0) ),( yxfz � não é diferenciável em 
(0, 0). Como nos demais pontos as derivadas parciais são contínuas, segue que a 
função da é diferenciável em ^ .̀)0,0(2 �R 
 
 
d) )ln(),( xyyxf 
xxy
y
x
f 1
 
w
w 
yxy
x
y
f 1
 
w
w 
 As derivadas estão definidas e são contínuas em todos os pontos do domínio da 
função. Portanto, a função dada é diferenciável nos pontos do 1º e 3º quadrantes, 
excluindo os eixos coordenados. 
 
 
Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais 
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 124 - 128. 
151 
 
e) 
22
2
yx
xysenz
�
 
)(
2)(
2
1222cos 22
2
1
2222
22 yx
xyxxyyyx
yx
xy
x
z
�
������
�
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
�
 
w
w
�
 
Analogamente encontra-se f
y
w
w
. 
As derivadas estão definidas e são contínuas em todos os pontos do domínio da 
função. Portanto, a função dada é diferenciável em ^ `)0,0(2 �R . 
 
 
f) 
22
),( yxeyxf � 
xe
x
f yx 2
22
� 
w
w � 
)2(
22
ye
y
f yx �� 
w
w � 
 Assim, a função dada é diferenciável em 2R . 
 
 
g) )()(),( 2222 yxsenyxyxf �� 
xyxsenxyxyx
x
f 2)(2)cos()( 222222 ����� 
w
w 
yyxsenyyxyx
y
f 2)(2).cos()( 222222 ����� 
w
w 
 Assim, a função dada é diferenciável em 2R . 
 
 
h) xytgarcyxf 2),( 
2241
2
yx
y
x
f
�
 
w
w e 2241
2
yx
x
y
f
�
 
w
w 
 As derivadas parciais são contínuas em todo 2R . Assim, a função dada é 
diferenciável em 2R . 
 
 
i) 
x
yz 
 Temos uma função racional que é diferenciável em todos os pontos do seu 
domínio. Portanto, a função dada é diferenciável em ^ `0),( 2 z� xRyx . 
 
 
j) 22 )1()1(
1
���
 
yx
z 
Temos uma função racional que é diferenciável em todos os pontos do seu 
domínio. Portanto, a função dada é diferenciável em )1,1(2 �R . 
Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais 
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 124 - 128. 
152 
 
 
 
k) 
°̄
°
®
­
t�
����
 
10
11
),(
22
2222
yxse
yxseyx
yxf 
 
Nos pontos da circunferência 2 2 1x y� , a função não é contínua, não sendo 
diferenciável. Nos demais pontos as derivadas parciais existem esão contínuas. 
Assim, temos que a função dada é diferenciável em ^ 1̀|),( 2222 ��� yxRyxR 
 
 
l) 
°
¯
°
®
­
 
z
� 
)0,0(),(,0
)0,0(),(,
),( 22
3
yx
yx
yx
yx
yxf 
 
Em todos os pontos � � � �, 0,0x y z as derivadas parciais de f existem e são contínuas. 
Portanto, f é diferenciável nestes pontos. Vejamos o que ocorre na origem. 
Usando a definição temos que 0)0,0( 
w
w
x
f e 0)0,0( 
w
w
y
f . 
Além disso, 
2 20
0
( , ) [ (0,0) (0,0)[ 0] (0,0)[ 0]]
lim 0
( 0) ( 0)xy
f ff x y f x y
x yL
x yoo
w w
� � � � �
w w 
� � �
 
Portanto a função dada é diferenciável em 2R . 
 
51. Dada a função 
¯
®
­
zz
 ��
 
11,3
11,32
),(
yexse
youxseyx
yxf 
a) Calcular )1,1(
x
f
w
w . 
 
b) Calcular )1,1(
y
f
w
w . 
 
c) f é diferenciável em (1 , 1)? 
 
 Usando a definição, temos que: 
2)1,1( 
w
w
x
f e 1)1,1( 
w
w
y
f . 
 No entanto a função dada não é contínua no ponto � �1,1 . De fato, 
 
� �
1 1
1 1
lim ( , ) lim 2 1 3 0 (1,1)
x x
y y
f x y x f
o o
 
 � � 
 
Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais 
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 124 - 128. 
153 
 
 mas 
1 1
lim ( , ) lim3 3 (1,1)
x x
y x y x
f x y f
o o
 
 z 
 Portanto, a função não é diferenciável em (1,1). 
52. Determinar, se existir, o plano tangente ao gráfico das funções dadas, nos pontos 
indicados. 
 
a) 2 2( , ) 1f x y x y � � ; )1,0,0(1P e .2
2,
2
1,
2
1
2 ¸̧
¹
·
¨̈
©
§
P 
Temos: 
22
2
1
22
1
)2()1(
2
1
yx
xxyx
x
f
��
�
 ���� 
w
w � 
221 yx
y
y
f
��
�
 
w
w 
 
0)0,0( 
w
w
y
f e 0)0,0( 
w
w
y
f 
Plano tangente no ponto )1,0,0(1P é dado por: 
)00000000 )(,())(,(),(),( yyyxy
fxxyx
x
fyxfyxh �
w
w
��
w
w
� 
1
01
)0(0)0(01
 
 �
��� �
z
z
yxz
 
 
Para o ponto .
2
2,
2
1,
2
1
2 ¸̧
¹
·
¨̈
©
§
P temos: 
2
2
2
1
2
1
2
1,
2
1 �
 
�
 ¸
¹
·
¨
©
§
w
w
x
f 
2
2
2
1,
2
1 �
 ¸
¹
·
¨
©
§
w
w
y
f 
 
Equação do plano: 
¸
¹
·
¨
©
§ ��¸
¹
·
¨
©
§ �
�
 �
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1 yxz 
 
 
 
22222 �� zyx 
 
 
b) xyyxf ),( ; )0,0,0(1P e )1,1,1(2P 
Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais 
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 124 - 128. 
154 
 
Para o ponto )0,0,0(1P temos: 
y
x
f
 
w
w x
y
f
 
w
w 
 
0)0,0( 
w
w
x
f 0)0,0( 
w
w
y
f 
Equação do plano: 
0
)0(0)0(00
 
��� �
z
yxz 
 
Para o ponto )1,1,1(2P temos: 
1)1,1( 
w
w
x
f 1)1,1( 
w
w
y
f 
Equação do Plano: 
)1()1(1 ��� � yxz 
1 �� zyx 
 
 
c) 22 )1()1( ��� yxz ; )0,1,1(1P )1,2,1(2P 
Para o ponto )1,2,1(2P temos: 
> @ )1(2)1()1(
2
1
2
1
22 ����� 
w
w � xyx
x
z 
 
22 )1()1(
1
���
�
 
w
w
yx
y
y
z 
 
0)2,1( 
w
w
x
f 1
1
1)2,1( 
w
w
y
f 
Equação do plano no ponto )1,2,1(2P : 
)(1)(01 00 yyxxz ��� � 
 21 � � yz 
1
1
 �
� 
zy
yz
 
 
 Não existe plano tangente em )0,1,1(1P , pois não existem as derivadas
z
x
w
w
 e 
z
y
w
w
 em (1 , 1). 
 
 
d) 22 32 yxz � ; )0,0,0(1P )1,1,1(2 �P 
Para o ponto )0,0,0(1P temos: 
Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais 
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 124 - 128. 
155 
 
x
x
z 4 
w
w y
y
z 6� 
w
w 
 
0)0,0( 
w
w
x
f 0)0,0( 
w
w
y
f 
Equação do Plano: 
0
)(0)(00 00
 
��� �
z
yyxxz 
 
Para o ponto )1,1,1(2 �P temos: 
4)1,1( 
w
w
x
f 6)1,1( � 
w
w
y
f 
Equação do Plano: 
)1)(6()1(41 ���� � yxz 
164
66441
�� 
��� �
yxz
yxz
 
164 � �� zyx 
 
 
e) 
22
1
yx
z
�
 ; )
2
1,1,1(1P e )1,1,0(2P 
Para o ponto )
2
1,1,1(1P temos: 
222222
22
22
2
1
22
)(
2)(
2
1
yxyx
x
yx
yx
x
yx
xyx
x
z
��
�
 
�
�
�
 
�
���
�
�
 
w
w
�
 
 
2222 )( yxyx
y
y
z
��
�
 
w
w 
 
22
1)1,1( � 
w
w
x
f 
22
1)1,1( � 
w
w
y
f 
Equação do Plano: 
1 1 1( 1) ( 1)
2 2 2 2 2
z x y�� � � � 
2 2 4z x y� � 
 
Para o ponto )1,1,0(2P temos: 
0)1,0( 
w
w
x
f 1)1,0( � 
w
w
y
f 
Equação do Plano: 
)1(1)0(01 ��� � yxz 
2 � zy 
Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais 
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 124 - 128. 
156 
 
 
 
f) yxxez � ; � �)1,1(,1,11 fP � �)0,1(,0,12 fP 
Para o ponto � �)1,1(,1,11 fP temos: 
yxyx eex
x
z �� �� 
w
w 
yxex
y
z �� 
w
w 
 
222 21)1,1( eee
x
f
 �� 
w
w 
221)1,1( ee
y
f
 � 
w
w 
Equação do Plano: 
2 2 22 ( 1) ( 1)z e e x e y� � � � 
222 22 ezyexe �� 
 
Para o ponto � �)0,1(,0,12 fP temos: 
eee
x
f 2)0,1( � 
w
w 
e
y
f
 
w
w )0,1( 
Equação do Plano: 
2 ( 1) ( 0)z e e x y� � � � 
ezeyex ��2 
 
 
53. Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados: 
 
a) 22 yxxz � , )1,1(P 
1 1
2 2 2 2 2 22 21 1( ) 2 , ( ) 2
2 2
z x x y x x y x x y y
� �§ ·
� � � � � � � � �¨ ¸
© ¹
 
 
� � 3 2 21,1 ,
2 2
z
§ ·
� ¨ ¸¨ ¸
© ¹
 
 
 
b) )3,0(,3 22 Pyxyyxz �� 
� �
2(2 3 , 3 2 )
0,3 (9 , 6)
z xy y x x y
z
� � � �
� 
 
 
 
Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais 
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 124 - 128. 
157 
 
c) )3sen( yxz � , )
2
,0( SP 
))3cos(,)3cos(3( yxyxz �� � 
0 , 3 cos , cos (0 , 0)
2 2 2
z S S S§ · § ·� � ¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹
 
 
 
d) 224 yxz �� , P (0 , 0) 
� �
1 1
2 2 2 22 21 1(4 ) ( 2 ) , (4 ) ( 2 )
2 2
0,0 (0 , 0)
z x y x x y y
z
� �§ ·
� � � � � � � � �¨ ¸
© ¹
� 
. 
 
 
e) 322 �� yxz , P (0 , 0) 
)2,2( yxz � 
)0,0()0,0( �z . 
 
f) )sen( yxxyz �� ¸
¹
·
¨
©
§ 0,
2
SP 
))cos(,)cos(( yxxyxyz ���� � 
¸
¹
·
¨
©
§ ¸
¹
·
¨
©
§�
2
,00,
2
SSz . 
 
 
g) uvwwvuwvuf ��� 222),,( , P (0 , 1 , 0) 
� �uvwuwvvwuf ���� � 2,2,2 
)0,2,0( 0) , 1 , (0 �f . 
 
 
h) )sen()( 2222 yxyxz �� , P (0 , 0) 
� �yyxsenyyxyxxyxsenxyxyxz 2)(2)cos()(,2)(2)cos()( 222222222222 �������������� �
)0,0()0,0( �z . 
 
 
i) )2ln(,)2(),( txtxtxf �� P (e , 1) 
¸
¹
·
¨
©
§ ���
�
����
�
�� � 2)2ln(
2
2)2(,)2ln(
2
1)2( tx
tx
txtx
tx
txf 
( ,1) (1 ln( 2) , 2 2ln( 2))f e e e� � � � � . 
 
 
j) 431214321 ),,,( xxxxxxxxxf �� , P (2 , 2 , 1 , 3) 
Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais 
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 124 - 128. 
158 
 
2 3 1 1( , , ,1)
(2,2,1,3) (1, 2 , 2 ,1)
f x x x x
f
� � �
� �
 
 
 
 
54. Determinar o vetor gradiente das seguintes funções: 
 
a) 
y
xz
3
 
¸̧
¹
·
¨̈
©
§ �
 � 2
32
,3
y
x
y
xz 
 
 
b) 222 yxz � 
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
��
 
¸̧
¹
·
¨̈
©
§
������ �
��
2222
2
1
222
1
22
2,2
2)(
2
12,2)(
2
12
yx
y
yx
x
yyxxyxz
 
 
 
c) zyxw 522 
� �52425 2,10,4 yxzyxzxyz � 
 
 
d) 4)cos( � xyz 
� �xxyyxyz ���� � )sen(,)sen( 
� �)sen(,)sen( xyxxyy �� 
 
 
e) 222),,( wvuuvwwvuf ��� 
( 2 , 2 , 2 )f vw u uw v uv w� � � � 
 
 
f) xzyxzyxf sen),,( 222 � 
)2,2,cos2( 222222 zyxyzxxzxyf � � 
 
 
55. Encontrar a equação da reta perpendicular à curva 
x
y 1 , nos pontos )1,1(0P e 
¸
¹
·
¨
©
§
2
1,21P . 
Temos: 
Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais 
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007,p. 124 - 128. 
159 
 
01 �
x
y 
¸
¹
·
¨
©
§ � 1,12x
f 
)1,1()1,1( �f 
O coeficiente angular é igual a 1. 
 
0111
1
 ?�� 
�� 
bb
bxy
 
Equação da reta no ponto )1,1(0P : xy . 
 
Para ¸
¹
·
¨
©
§
2
1,21P temos: 
¸
¹
·
¨
©
§ ¸
¹
·
¨
©
§� 1,
4
1
2
1,2f 
O coeficiente angular é igual a 4. 
 
Equação da reta no ponto ¸
¹
·
¨
©
§
2
1,21P : 
bxy � 4 
b�� 24
2
1 
1 8
2
b � 
1 1 16 158
2 2 2
b � � � 
2
154 � xy . 
 
 
56. Determinar o plano que contém os pontos (1 ,1 , 0) , (2 , 1 , 4) e que seja 
tangente ao gráfico de 22),( yxyxf � 
 
Temos: 
2 , 2f fx y
x y
w w
 
w w
 
)0000
2
0
2
0 (2)(2 yyyxxxyxz ��� �� 
 
°̄
°
®
­
��� ��
��� ��
)1(2)2(24
)1(2)1(20
0000
2
0
2
0
0000
2
0
2
0
yyxxyx
yyxxyx
 
 
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2 2 2 2
4 4 2 2 2
x y x x y y
x y x x y y
­� � � � �°
®
� � � � �°̄
 
Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais 
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 124 - 128. 
160 
 
 
°̄
°
®
­
 ������
 ������
022244
02222
2
00
2
00
2
0
2
0
2
0
2
00
2
0
2
0
yyxxyx
yyxxyx
 
 
°̄
°
®
­
� ���
 ���
424
022
00
2
0
2
0
00
2
0
2
0
yxyx
yxyx
 
 
°̄
°
®
­
 ����
 ���
424
022
00
2
0
2
0
00
2
0
2
0
yxyx
yxyx
 
 
2
42
0
0
 
 
x
x
 
 
022 00
2
0
2
0 ��� yxyx 
0244 0
2
0 ��� yy 
02 0
2
0 � yy 
0
0)2(
0
00
 
 �
y
yy
 
2
02
0
0
 
 �
y
y
 
Temos os pontos: 
 (2 , 0) e (2 , 2) 
Equação dos planos: 
4 4( 2)
4 4 8
4 8 4
4 4
z x
z x
z x
z x
� �
� �
 � �
 �
 
 
844
16448
84848
)2(4)2(48
�� 
�� �
��� �
��� �
yxz
yxz
yxz
yxz
 
 
 
57. Dada a função yxyxyxf �� 2),( calcular 
a) df 
b) f' 
Mostrar que ( , )f df R x y' � ' ' e que 0),(lim
)0,0(),(
 ''
o''
yxR
yx
. 
yxyxyxf �� 2),( 
 
Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais 
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 124 - 128. 
161 
 
a) dyxdxyxdf )1()2( ��� 
b) ),(),( yxfyyxxff �'�'� ' 
 yxyxyyyyxxxx ���'��'�'��'� 22 )())(()( 
 yxxyxxyx ''�'�'��'� 2)()1()2( 
 
Assim, ( , )f df R x y' � ' ' , sendo yxxyxR ''�' '' 2)(),( , com 
> @ 0)(lim 2
00
 ''�'
o'o'
yxx
yx
. 
 
 
58. Calcular )1,1(df e )1,1(f' da função 2),( xyyxyxf �� considerando 
1,01,0 ' ' yx . Comparar os resultados obtidos. 
Temos: 
yxyxydf '��'� )21()1( 2 . 
 
11)1(0)1,1( � ��� df . 
 
),(),( yxfyyxxff �'�'� ' 
),())(()()( 2 yxfyyxxyyxx �'�'��'��'� 
 
2(1,1) (1 0,01) (1 1) (1 0,01)(1 1) (1 1 1)f' � � � � � � � � � 
1401,1201,1 ���� 
2,03 � . 
A diferença é relativamente grande porque y' é grande. 
 
 
Nos exercícios de 59 a 62 calcular a diferencial das funções dadas nos pontos 
indicados. 
 
59. yeyxf x cos),( ; ¸
¹
·
¨
©
§
4
,1 SP 
dysenyeydxedf xx )(cos �� 
.
2
2
2
2
2
2
2
2
4
,1
dyedxe
dyedxedf
� 
¸̧
¹
·
¨̈
©
§ �
� ¸
¹
·
¨
©
§ S
 
 
 
60. )ln( 22 yxz � ; P (1 , 1) 
dy
yx
ydx
yx
xdz 2222
22
�
�
�
 
� � 2 21,1
2 2
dz dx dy
dx dy
 �
 �
 
Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais 
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 124 - 128. 
162 
 
 
 
61. yxew z � 2 ; P (1 , 2 , 0) 
dzexdydxedw zz 222 ���� 
� � 01,2,0 2 2dw e dx dy dz dx dy dz � � � � 
 
 
62. 222 zyxw �� ; P (2 , 1 , 2) 
1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 21 1 1( ) 2 ( ) 2 ( ) 2
2 2 2
dw x y z xdx x y z ydy x y z zdz
� � �
 � � � � � � � � � � � 
 � � 2 1 22,1,2
3 3 3
dw dx dy dz � 
 
 
 
Nos exercícios de 63 a 69 calcular a diferencial das funções dadas: 
 
63. )(2 yxsenz � 
dyyxyxsendxyxyxsendz )cos()(2)cos()(2 ������ 
 
 
64. yxez yx � � 
dyxedxeexdz yxyxyx )1()( ���� ��� 
dyxedxxe yxyx )1()1( ��� �� 
 
 
65. 22 ln),,( wvuwvuf �� 
dwwdv
v
duudf 212 �� 
 
 
66. xyezyxf xyz � ),,( 
dzxyedyxxzedxyyzedf xyzxyzxyz )()()( ������� 
 
 
67. 
321
2
3
2
2
2
1
321 ),,( xxx
xxx
xxxf
��
��
 
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3
1 22 2
1 2 3 1 2 3
( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )
( ) ( )
x x x x x x x x x x x x x xdf dx dx
x x x x x x
� � � � � � � � � � � �
 �
� � � �
2 2 2
1 2 3 3 1 2 3
32
1 2 3
( ) 2 ( )
( )
x x x x x x x dx
x x x
� � � � � �
�
� �
 
 
Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais 
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 124 - 128. 
163 
 
= 22
321
3221
2
3
2
1
2
2
12
321
3121
2
3
2
2
2
1
)(
22
)(
22
dx
xxx
xxxxxxx
dx
xxx
xxxxxxx
��
����
�
��
����
 
32
321
3231
2
2
2
1
2
3
)(
22
dx
xxx
xxxxxxx
��
����
� 
 
 
68. 
2
),,( zyxezyxf �� 
dzezdyedxedf zyxzyxzyx
222
2 ������ �� 
 
 
69. 
y
xtgarc
x
ytgarcz � 
dy
y
x
y
x
x
y
xdx
y
x
y
x
y
x
y
dz
¸̧
¸
¸
¸
¹
·
¨̈
¨
¨
¨
©
§
�
�
�
�
�
¸̧
¸
¸
¸
¹
·
¨̈
¨
¨
¨
©
§
�
�
�
�
 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
11
1
1
1
1
 
 
dy
yx
xdx
yx
y
2222
22
�
�
�
�
 . 
 
 
70. Determinar o erro decorrente de tomarmos a diferencial dz como uma 
aproximação do acréscimo z' , para as seguintes situações: 
 
a) 22 yxz � ; ),( yx passando de (1 , 2) para (1 , 01 ; 2 , 01). 
 
06,0
04,002,0
01,02201,012
22
 
� 
����� 
� ydyxdxdz
 
 
)2,1()01,2;01,1( ffz � ' 
)41()01,2()01,1( 22 ��� 
0,0602 
Erro: 41020002,006,00602,0 �� � . 
 
 
b) 22 yxz � ; ),( yx passando de (1 , 2) para (1,01 ; 2,01). 
ydyyxxdxyxdz 2)(
2
12)(
2
1 2
1
222
1
22 ����� 
��
 
01,0
5
201,0
5
1
��� 
Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais 
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 124 - 128. 
164 
 
0,013416407865 
 
5)01,2()01,1( 22 �� 'z 
0134209,0 
Erro: 6105 �u . 
 
 
c) yxz 2 ; ),( yx passando de (2 , 4) para (2,1 ; 4,2). 
dyxxydxdz 22 � 
2 2 4 0,1 4 0,2dz � � � � � 
8,01,016 �� 
4,28,06,1 � 
 
44)2,4()1,2( 2 ��� 'z 
162,441,4 �� 
522,216522,18 � 
Erro 122,04,2522,2 � 
 
 
71. A energia consumida em um resistor elétrico é dada por 
R
VP
2
 watts. Se 
120 V volts e R = 12 ohms, calcular um valor aproximado para a variação de 
energia quando V decresce de 0,001 volt e R aumenta de 0,02 ohm. 
R
VP
2
 
dR
R
VdV
R
VdP 2
22 �
� 
)02,0(
12
)120()001,0(
12
1202
2
2
����
�
 
 
2,002 � 
 
 
72. Um terreno tem a forma retangular. Estima-se que seus lados medem 1200 m e 
1800m, com erro máximo de 10 metros e 15 cm respectivamente. Determinar o 
possível erro no cálculo da área do terreno. 
 
 Temos que a área é dada por xyA , considerando-se x e y as dimensões da 
forma retangular. 
xyA 
xdyydxdA � 
151200101800 ��� dA 
2360001800018000 m � 
Observa-se que o erro máximo ocorre quando e x y' ' têm o mesmo sinal. 
Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais 
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 124 - 128. 
165 
 
 
73. Usando diferencial, obter o aumento aproximado do volume de um cilindro 
circular reto, quando o raio da base varia de 3 cm para 3,1cm e a altura varia de 
21cm até 21,5cm. 
 
 O volume é dado por hrV 2S . 
 A diferencial fica: 
hdrdrhrdV 22 SS � 
5,091,02132 ������ SS 
SS 5,46,12 � 
31,17 cmS . 
 
 
74. Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica. 
Num dado instante o raio da base é de 12 cm e a altura é 8 cm. Usando 
diferencial, obter uma aproximação da variação do volume, se o raio da base 
varia para 12,5cm e a altura para 7,8cm. Comparar o resultado obtido com a 
variação exata do volume. 
 
 O volume é dado por 
3
2hrV S . 
 A diferencial fica:dhrdrhrdV
33
2 2SS
� 
)2,0(
3
1445,0
3
8122
��
�
��
��
 
SSdV 
S4,22 dV . 
 A variação exata é dada por 12 VVV � ' , sendo que 3
8.144
1
S
 V e 
3
8,7.)5,12( 2
2
S
 V . Assim, S25,22 'V . 
 Para comparar, temos a diferença entre os resultados S15,0� �' dVV . 
 
 
75. Considerar o retângulo com lados a = 5 cm e b = 2 cm. Como vai variar, 
aproximadamente, a diagonal desse retângulo se o lado a aumentar 0,002cm e o lado b 
diminuir 0,1cm. 
 
 A diagonal é dada por: 
222 bad � 
22 bad � 
Assim, 
bdbbaadabadd 2)(
2
12)(
2
1 2
1
222
1
22 ����� 
��
 
21052811,3)1,0(
29
2002,0
425
5 ��� ����
�
 
Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais 
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 124 - 128. 
166 
 
 
 
76. Encontrar um valor aproximado para as seguintes expressões: 
 
a) 7015,0 )01,1( e� 
yy exexyxf 777)(),( � � 
7)(),( yyexxyyyxf '��'� '�'� 
Fazendo: 
°
°
¯
°
°
®
­
 '
 
 '
 
015,0
0
01,0
1
y
y
x
x
 
temos: 
fdf '# 
dfyxfyyxxff #�'�'� ' ),(),( 
dfyxfyyxxf �#'�'� ),(),( 
 dyexdxexe yy 77)1( 777670 ������ 
 015,071101,01171 �������� 
 175,1 . 
 
 
b) 34 )001,2()995,0( � 
Temos: 
34),( yxyxf � . 
Fazendo 
°
°
¯
°
°
®
­
 '
 
� '
 
001,0
2
005,0
1
y
y
x
x
 
temos: 
dfyxf �#� ),()001,2()995,0( 34 
= dyydxx 2334 3421 ��� 
1 8 4 1 0,005 3 4 0,001 � � � � � � � 
992,8 . 
 
 
c) 22 )01,4()99,3( � 
Temos 22),( yxyxf � . 
Fazendo 
Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais 
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 124 - 128. 
167 
 
 
4
4
0,01
0,01
x
y
x
y
 ­
° °
®' �°
°' ¯
 
temos: 
� �2 2 1(3,99) (4,01) 16 16 4. 0,01 4.0,01
32
ª º� � � � �¬ ¼ 
= 6568,5 
d) 222 )99,1()01,4()99,3( �� 
Temos 222),,( zyxzyxf �� 
Fazendo 
4 0,01
4 0,01
2 0,01
x e x
y e y
z e z
 ' �­
° ' ®
° ' �¯
 
temos: 
1
2 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 2 2 2 22 2
1(3,99) (4,01) (1,99) 16 16 4 ( ) 2
2
1 1( ) 2 ( ) 2
2 2
x y z xdx
x y z ydy x y z zdz
�
� �
� � � � � � � �
� � � � � � � �
 
> @136 4.( 0,01) 4.(0,01) 2.( 0,01)
36
� � � � � 
=5,9966. 
 
 
e) 02,1 
Temos yxyxf ),( . Fazendo, 
°
°
¯
°
°
®
­
 '
 '
 
 
001,0
02,0
3
1
y
x
y
x
 
obtemos: 
3,001 3 11,02 1 lny yy x dx x x dy� � � � � 
1 3 1 0,02 1.ln1.0,001 � � � � 
06,1
06,01
 
� 
 
 
 
f) 22 )9,2()03,4( � 
Temos que 22),( yxyxf � . Fazendo 
Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais 
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 124 - 128. 
168 
 
°
°
¯
°
°
®
­
 
 
 '
� '
3
4
03,0
)1,0(
y
x
x
y
 
obtemos: 
dy
yx
ydx
yx
x
2222
22 5)9,2()03,4(
�
�
�
� � 
)1,0(
5
303,0
5
45 ����� 
964,4 .