aula_11

Prévia do material em texto

Cálculo Diferencial I 
Aula 11: Funções Hiperbólicas e Hiperbólicas Inversas 
Tópico 01: Funções Hiperbólicas
Algumas funções dependentes dos termos exponenciais ex e e-x são 
indispensáveis em cursos de Equações Diferenciais e aparecem numa variedade de 
problemas da Matemática Aplicada, devido a isso é de grande relevância estudá-las 
separadamente e dar a elas nomes especiais. Essas funções são chamadas de 
funções hiperbólicas e serão apresentadas neste tópico. Inicialmente as funções 
hiperbólicas serão definidas e algumas identidades serão estabelecidas, 
posteriormente serão vistas as derivadas e apresentados os gráficos tais funções.
As funções hiperbólicas são designadas por: seno hiperbólico, co-seno hiperbólico, 
tangente hiperbólica, co-tangente hiperbólica, secante hiperbólica e co-secante hiperbólica. 
As funções seno e co-seno hiperbólico estão relacionadas com a hipérbole  x2 - y2 = 1, assim 
como as funções trigonométricas seno e co-seno estão relacionadas com a circunferência  
x2 + y2 = 1 o que justifica os nomes atribuídos, veja o exercício  2  do exercitando desta aula. 
FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 
As funções seno hiperbólico e co-seno hiperbólico são indicadas pelos símbolos 
senh e cosh, e definidas por respectivamente.
As funções tangente hiperbólica, co-tangente hiperbólica, secante hiperbólica e 
co-secante hiperbólica, são indicadas e definidas por:
IDENTIDADE COM FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 
As identidades a seguir, decorrem diretamente das definições:
Como ilustração a identidade  (a)  é demonstrada a seguir:
As relações
são úteis nas demonstrações das identidades  (d)  e  (e), estas decorrem 
diretamente das definições de seno e co-seno hiperbólicos.
As identidades
são obtidas da identidade (a) dividindo esta por 
respectivamente.
As identidades são obtidas das 
identidades  (d)  e  (e), respectivamente, considerando u=v.
Combinando as identidades  (a)  e a última obtida, encontram-se as identidades
DERIVADAS DO SENO E CO-SENO HIPERBÓLICOS 
Como as funções seno e co-seno hiperbólicos são definidas a partir da função 
exponencial na base neperiana, suas derivadas são estabelecidas usando a fórmula de 
derivação de tal funçãofórmula de derivação de tal função e outras da relação de 
fórmulas de derivação (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.) 
obtidas no tópico 1 da aula 06. Tais fórmulas de derivação são as seguintes:   
FÓRMULA DE DERIVAÇÃO DE TAL FUNÇÃO
Dxe
u = euDxu
Demonstração
NULLA MOLLIT EST ELIT.
Seja u uma função de  x  e derivável, então: como
substituindo por tem-se 
Demonstração
DEMONSTRAÇÃO
Como
substituindo por obtém-se 
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Exemplo resolvido 1
Calcular Dxy se 
SOLUÇÃO 
Tem-se : 
assim (usando a fórmula para derivar a função logarítmica natural dada por 
)
Como
substituindo, obtém-se
EXEMPLO PROPOSTO 1
Se mostrar que 
Como o restante das funções hiperbólicas são definidas a partir do seno e co-seno 
hiperbólicos, suas derivadas podem ser encontradas usando as fórmulas das derivadas do 
seno e co-seno hiperbólicos. As fórmulas de derivação das funções tangente hiperbólica, co-
tangente hiperbólica, secante hiperbólica e co-secante hiperbólica, são dadas a seguir:
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Calcular Dxy se 
SOLUÇÃO 
Tem-se : 
mas 
e 
logo 
EXEMPLO PROPOSTO 2
Exemplo proposto 2
Se provar que 
Em seguida serão apresentados os gráficos das funções hiperbólicas, suas 
justificativas estão propostas no exercício 22 do exercitando deste tópico.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá na  seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo Exercitando 
(Aula11_Top1).doc" ou (Clique aqui) (Visite a aula online para realizar download deste 
arquivo.) e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder, individualmente ou em 
grupo. Os exercícios 7, 10 e 13 do exercitando são as respectivas questões 1 até 3 do 
trabalho a ser postado no Portfólio Individual do ambiente Solar. As questões 4 e 5 do 
trabalho, serão indicadas no tópico seguinte desta aula. É exigido que o trabalho desta 
aula seja postado no Portfólio, no período indicado na Agenda do ambiente Solar, num 
único documento de texto (pdf, doc ou docx) ou manuscrito e escaneado.
Cálculo Diferencial I 
Aula 11: Funções Hiperbólicas e Hiperbólicas Inversas 
Tópico 02: Funções Hiperbólicas Inversas
VERSÃO TEXTUAL 
O objetivo deste tópico é apresentar as funções que são chamadas de funções 
hiperbólicas inversas, tais funções serão aplicadas no próximo módulo no Cálculo 
Integral. O problema de definir as inversas das funções co-seno hiperbólico e secante 
hiperbólica é análogo ao das funções trigonométricas inversas definidas no tópico 2 da 
aula 09, pois essas funções não são injetivas em seus domínios; já as inversas das 
funções hiperbólicas restantes, são definidas sem quaisquer restrições em seus 
domínios.
As funções hiperbólicas inversas estão definidas a seguir, com os respectivos domínios 
e imagens, observe que se fez a troca de posição das variáveis x e y nas equações das 
funções hiperbólicas, a fim de obter as funções hiperbólicas inversas diretamente com a 
variável independente x:
FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS 
se e somente se, y=arcsenh x
 se e somente se, y=arccosh x
 se e somente se, y=arctgh x
 se e somente se, y=arcctgh x
 se e somente se, y=arcsech x
 se e somente se, y=arccsech x
As funções hiperbólicas inversas podem ser expressas em termos do logaritmo natural, 
da seguinte forma:
a) para todo x;
c) para todo |x|<1;
d) para todo |x|>1;
e) para todo 0< x ≤1;
f) para 0 ≠ 0;
Demonstração da fórmula (a) as demonstrações das fórmulas (b) até (f) são similares 
e estão propostas no exercício 2 do exercitando deste tópico.
DEMONSTRAÇÃO DA FÓRMULA (A)
Se y = arcsenhx, então
ou seja,
e2y-2xey-1 = 0,
esta última equação é uma equação do segundo grau em ey, que resolvendo dá
Como ey > 0, tem-se
Tomando o logaritmo natural em ambos os lados da última equação, resulta a 
expressão para o arcsenh.
As fórmulas de derivação das funções hiperbólicas inversas, são deduzidas de modo 
análogo ao das fórmulas de derivação das funções trigonométricas inversas. Se u é uma 
função de x e derivável, as fórmulas estão relacionadas a seguir:
DEMONSTRAÇÃO DA FÓRMULA (1) 
fórmula da derivada do seno hiperbólico
FÓRMULA DA DERIVADA DO SENO HIPERBÓLICO
Dxsenh u = cosh u Dxu
Dxu = Dxsenh y = cosh y Dxy,
ou seja,
mas y = arcsenhu e , logo substituindo y e cosh y no 
último resultado, obtém-se 
EXEMPLO RESOLVIDO
Calcular a derivada da função dada:
Solução
a)
mas (usando a fórmula para derivar arcsenh com u = x2)
e (usando a fórmula para derivar arccosh com u = x2)
logo (substituindo 
b)
g'(x) = Dx ascsech (cos x) (usando a fórmula para derivar arcsech com u = cosx)
 (substituindo D xcosx = -sen x 
(substituindo )
EXEMPLO PROPOSTO
Mostrar que:
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá na  seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o 
arquivo Exercitando(Aula11_Top2).doc" ou (Clique aqui) (Visite a aula online para 
realizar download deste arquivo.) e resolva a quantidade máxima de exercícios 
que puder, 
individualmente ou em grupo. Os exercícios 6 e 7 do exercitando são as respectivas 
questões 4 e 5 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio Individual do 
ambiente Solar. É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio, no 
período indicado na Agenda do ambiente Solar, num único documento de texto (pdf, 
doc ou docx) ou manuscrito e escaneado.
Fontes das Imagens