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Estat́ıstica Aplicada - 2o Semestre 2009
Professor Lúıs Gustavo Vinha
Lista 2
Probabilidade e Variáveis Aleatórias
1. Identifique o espaço amostral em cada um dos seguintes casos:
(a) realizar um exame de matemática e registrar as notas obtidas (0
a 100);
(b) um exame médico para ingresso em um clube de futebol (passar
ou não passar);
(c) pesar certo número de recém nascidos e anotar-lhes o peso. A
experiência indica que o peso não é inferior a 1 kg nem superior a 6 kg.
2. Defina um espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos
aleatórios:
(a) lançamento de um dado e uma moeda;
(b) investigam-se famı́lias com 4 crianças, anotando-se a configuração
segundo o sexo;
(c) de um grupo de 5 pessoas: A, B, C, D e E sorteiam-se duas, uma
após a outra, com reposição, e anota-se a configuração formada.
3. Um produto alimentar é inspecionado na fábrica ao qual é atribúıdo
um grau de qualidade A,B,C ou D. O produto tipo A é vendido
em grandes supermercados; os produtos B e C são vendidos em
mercearias; e os produtos tipo D são vendidos para uso em rações de
animais. Descreva espaços amostrais que descrevam:
a) o grau de qualidade do produto;
b) os canais de distribuição de vendas;
c) os consumidores do produto.
4. Defina ou exemplifique:
a) experimento aleatório
b) espaço amostral
c) evento
d) diagrama de Venn
e) complemento de um evento
f) eventos mutuamente exclusivos
5. Quais dos seguintes pares de eventos são mutuamente exclusivos:
(a) chover / não chover
(b) grau B em estat́ıstica /grau C no mesmo teste
(c) dirigir um carro / andar a pé
(d) dirigir um carro / falar
(e) nadar / sentir frio
(f) ganhar num jogo / perder no mesmo jogo
(g) extrair uma dama de um baralho / extrair uma carta vermelha
de um baralho
6. Se P (A) = 1/2 e P (B) = 1/4 e A e B são eventos mutuamente
exclusivos, calcule:
(a) P (AC) (b) P (BC) (c) P (A ∩ B)
(d) P (A ∪ B)
7. São lançados dois dados. Qual a probabilidade de:
a) obter-se um par de pontos iguais?
b) um par de pontos diferentes?
c) um par em que o primeiro é menor que o segundo?
d) a soma dos pontos ser um número par?
e) obter-se soma 7, se o par de pontos é diferente?
f) obter-se soma 6, dado que o par de pontos é igual?
g) a soma ser 14 ?
8. Qual a probabilidade de acidentes de trabalho, por ano, em uma
determinada indústria se uma amostra aleatória de 10 firmas, que
empregam um total de 8.000 pessoas, mostrou que ocorreram 400
acidentes de trabalho durante os últimos doze meses?
9. Um grupo de 60 pessoas apresenta a seguinte composição:
Condição Homens Mulheres TOTAL
Menores 15 17 32
Adultos 18 10 28
TOTAL 33 27 60
Uma pessoa é escolhida ao acaso. Pergunta-se:
a) qual a probabilidade de ser homem?
b) qual a probabilidade de ser adulto?
c) qual a probabilidade de ser menor e ser mulher?
d) sabendo-se que a pessoa escolhida é adulto, qual a probabilidade
de ser homem?
e) dado que a escolhida é mulher, qual a probabilidade de ser menor?
10. Em um jogo deve-se acertar um número entre 0 e 999 previamente
sorteado. Pede-se a um participante do jogo que diga um número
nesse intervalo. Qual a probabilidade dessa pessoa acertar o número
sorteado? Qual a probabilidade de dizer um número incorreto?
11. Carlos chega atrasado à universidade 25% das vezes, e esquece o
material da aula 20% das vezes. Admitindo que essas ocorrências
sejam independentes, determine a probabilidade de:
a) Carlos chegar atrasado 2 dias seguidos
b) Carlos chegar atrasado e sem o material de aula
c) Carlos chegar na hora e com o material de aula
d) Carlos chegar na hora e sem o material de aula
12. A probabilidade de que você resolva corretamente a 1 questão de uma
prova é 1/3 e de que seu colega resolva corretamente é 2/5, sendo
que ambos tentam, sozinhos, resolvê-la. Considere o experimento em
que se verifica se a questão foi resolvida corretamente ou não pelos
dois.
a) descreva um espaço amostral adequado
b) os eventos você resolver corretamente e seu colega resolver
corretamente são:
b1) mutuamente exclusivos? Justifique.
b2) independentes ? Justifique.
c) qual a probabilidade de pelo menos um resolver a questão
corretamente?
13. Considere a distribuição de uma população de 120 famı́lias segundo
uso de programas de alimentação popular por grau de instrução do
chefe da famı́lia:
Uso de programas Grau de instrução do chefe
de alimentação da famı́lia
popular Nenhum 1o. Grau 2o. Grau Total
Sim 31 22 25 78
Não 7 16 19 42
TOTAL 38 38 44 120
Sorteando-se uma famı́lia nessa população, calcule a probabilidade:
a) de ser famı́lia usuária de programas de alimentação popular;
b) de ser famı́lia cujo chefe tenha segundo grau;
c) de ser famı́lia usuária de programas de alimentação popular e o
chefe da famı́lia tenha segundo grau;
d) de ser famı́lia cujo chefe tenha segundo grau, sabendo-se que a
famı́lia é usuária de programas de alimentação popular;
e) de ser famı́lia usuária de programas de alimentação popular e o
chefe da famı́lia não tenha segundo grau.
1
f) Verifique se existe associação entre o uso de programas de
alimentação popular e o grau de instrução do chefe da famı́lia.
14. Uma pesquisa médica indica que 20% da população em geral sofre
efeitos colaterais negativos com o uso de uma nova droga. Se um
médico receita o produto a três pacientes, qual a probabilidade de:
a) nenhum sofrer efeito colateral negativo?
b) um sofrer efeito colateral negativo?
c) dois sofrerem efeito colateral negativo?
d) três sofrerem efeito colateral negativo?
e) ao menos um sofrer efeito colateral negativo?
15. Pesquisas indicaram que 75% dos eleitores de uma cidade são alfa-
betizados. Entre 16 eleitores dessa cidade, determine a probabilidade
de:
a) no máximo 1 ser analfabeto;
b) 2 ou mais serem analfabetos;
c) 3 ou mais serem analfabetos;
d) pelo menos 1 ser analfabeto.
16. Dos experimentos abaixo, verifique quais são binomiais e justifique.
Quando posśıvel, identifique os parâmetros n e p.
a) De uma sala com 5 mulheres e 3 homens, selecionar aleatoriamente
e com reposição, três pessoas. A variável aleatória de interesse é o
número de mulheres selecionadas na amostra.
b) Idem ao item a, mas considerando a amostragem sem reposição
c) De uma população de milhares de pessoas, selecionar aleatoria-
mente 20 pessoas,
c1) com reposição;
c2) sem reposição.
A variável de interesse é o número de mulheres na amostra.
17. O Ministério da Saúde relata que 15% dos adultos do páıs serão
atingidos por determinado tipo de gripe nos próximos 12 meses.
Para uma cidade de 250000 adultos, quantos podemos esperar serem
afetados? O que significa este resultado?
18. Muitas companhias concessionárias do fornecimento de energia têm
promovido campanhas de economia de energia, oferecendo descontos
aos consumidores que mantêm seus ı́ndices de consumo abaixo de
certo ı́ndice pré-estabelecido. Em recente relatório revelou que
70% dos habitantes de determinada cidade reduziram o consumo
de eletricidade suficientemente, merecendo os descontos. Se 5
domićılios foram escolhidos aleatoriamente da população desta
cidade. Determine:
a) a probabilidade de todos terem conseguido desconto.
b) a probabilidade de pelo menos 4 terem contas reduzidas.
c) o número esperado de domićılios com contas reduzidas.
19. Um teste de múltipla escolha apresenta 4 opções por questão, e 14
questões. Se a aprovação depende de 9 ou mais respostas corretas:
a) qual a probabilidade de um estudante que responde no chute ser
aprovado?
b) se 200 estudantes fazem o teste, qual o número esperado de
estudantes aprovados, tendo chutado as respostas?
20. Seja Z tem distribuição N(0, 1). Calcule:
a) P (0 ≤ Z ≤ 1, 2)
b) P (−0, 9 ≤ Z ≤ 0)
c) P (1, 21 ≤ Z ≤ 1, 75)
d) P (Z ≥ −0, 75)
e) P (Z ≤ 1, 35)
f) P (−1, 44 ≤ Z ≤ 0)
21. Determinar z0 tal que:
a) P (Z > z0) = 0, 5
b)P (Z < z0) = 0, 8645
c) P (−z0 ≤ Z ≤ z0) = 0, 90
22. A idade de uma população tem distribuição normal com média 50
anos e desvio padrão de 4 anos . Qual a probabilidade de uma pessoa
dessa população ter:
a) 55 anos ou menos? b) menos de 55 anos?
c) menos de 42 anos? d) 50 anos ou menos?
e) exatamente 50 anos? f) mais de 55 anos?
g) menos de 30 anos? h) 30 anos ou mais?
i)80 anos ou menos? j) mais de 80 anos?
l) entre 55 e 57 anos? m)entre42 e 50 anos?
n) idade entre a média e mais ou menos 1 desvio padrão?
o) idade entre a média e mais ou menos 2 desvios padrões?
p) idade entre a média e mais ou menos 3 desvios padrões?
23. Suponha que a renda de uma comunidade possa ser razoavelmente
aproximada por uma distribuição normal com média de R$1500,00 e
desvio padrão de R$300,00.
a) Que porcentagem da população terá renda superior a R$ 1860,00?
b) Em uma amostra de 50 pessoas dessa comunidade, quantos
podemos esperar com renda inferior a R$ 1050,00?
24. As notas de Estat́ıstica dos alunos de uma determinada Universidade
(X) distribuem-se de acordo com uma distribuição normal com
média 6,8 e desvio padrão 0,6. O professor atribui menções A, B e C
da seguinte forma:
X Menção
X < 5 C
5 ≤ X < 7, 5 B
X ≥ 7, 5 A
Em uma turma de 90 alunos, qual o número esperado de alunos com
grau A ? B ? C ?
25. Um avaliador do governo calcula que sua capacidade de estimar
custos de projetos tem distribuição normal em torno do custo
verdadeiro, com desvio padrão de 10000 unidades monetárias (u.m.).
Em tal caso, em que porcentagem das vezes sua estimativa estará:
a) em torno de 15000 u.m. do verdadeiro custo
b) em torno de 20000 u.m. do verdadeiro custo
26. Refaça o exerćıcio 15, considerando agora 200 eleitores.
27. Calcule a probabilidade de aparecerem 7 caras e 7 coroas em 14
jogadas de um moeda não viciada,
a) usando a distribuição binomial
b) usando a aproximação da binomial para a normal
GABARITO
1) a) Ω = {X : 0 ≤ X ≤ 100} onde X é a nota obtida;
b) Ω = {passar,não passar}
c) Ω = {X : 1 ≤ X ≤ 6} onde X é o peso no recém nascido.
2) a) Ω = {(i, j), i = cara, coroa, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) Ω = {MMMM, MMMF, MMFM, MFMM, FMMM, ..., FFFF} (16
eventos)
c) Ω = {AA, AB, BA, AC, CA, ..., EE} (25 eventos)
3) a) Ω = {A, B, C, D}
b) Ω = {supermercados, mercearias, ração de animais}
c) Ω = {humanos, animais}
5) eventos mutuamente exclusivos : a, b, c, f
6) a) 0,5 b) 0,75 c) 0 d) 0,75
2
7) a) 6/36 b) 30/36 c) 15/36 d) 18/36 e) 6/30 f) 1/6 g) 0
8) 1/20
9) a) 33/60 b) 28/60 c) 17/60 d) 18/28 e) 17/27
10) a) 0,001 b) 0,999
11) a) 0,0625 b) 0,05 c) 0,60 d) 0,15
12) a) Ω = {(V, C), (V c, C), (V, Cc), (V c, Cc)} onde V : você resolve
corretamente a questão; e C: seu colega resolve corretamente a questão.
b1) no b2) sim c) 0,6
13) a) 78/120 b) 44/120 c) 25/120 d) 25/78 e) 53/120 f) C* = 0,325
14) a) 0,512 b) 0,384 c) 0,0960 d) 0,0080 e) 0,488
15) a) 0,0635 b) 0,9365 c) 0,8029 d) 0,99
16) a, p=3/8; c1, c2
17) 37500
18) a) 0,16807 b) 0,52822 c)3,5
19) a) 0,0022 b)0,44
20) a) 0,3849 b) 0,3159 c) 0,073 d) 0,7734 e) 0,9115 f) 0,4251
21) a) 0 b) 1,10 c) 1,65
22) a) 0,8944 b) 0,8944 c) 0,0228 d) 0,5 e) 0 f)0,1056 g) 0 h)1
i) 1 j) 0 l) 0,0655 m) 0,4772 n) 0,6826 o) 0,9544 p) 0,9973
23) a)11,51 b)3,34
24) 0 ; 79; 11
25) a) 0,8664 b)0,9544
26) a) 0 b) 1 c) 1 d) 1
27) a) 0,2095 b) 0,2128
3