AP3PriSem-2010Sols

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Instituto de F́ısica
UFRJ
3a Avaliação Presencial de Fı́sica 3A - AP3 - Soluç̃oes v2
Primeiro Semestre de 2010
Pólo : Data:
Nome :
Assinatura :
1o Q
2o Q
3o Q
4o Q
Nota
Problema 1 Considere duas cargas puntiformes de mesma magnitude e sinal algébricoq. As cargas são obrigadas
a mover-se sobre uma circunferência de raioR. Suponha as cargas inicialmente em posições arbitrárias sobre a
circunferência, separadas por uma distância angularθ, veja a Figura 2.
(a) Calcule a intensidadade da força eletrostática entreas duas cargas puntiformes em função deq, R eθ.
(b) Para que valores deθ a força é um extremo, isto é: um máximo ou um mı́nim0?
(c) Calcule o trabalho realizado por um agente externo para aproximar as cargas uma da outra desdeθ = π até
θ = θfinal.
b
b
q
q
R
θ
Figura 1: Cargas puntiformes idênticas sobre um aro de raioR.
1
SOLUÇÃO 1:
(a) A distânciad entre as duas cargas se escreve:
d =
(
R2 + R2 − 2RR cos θ
)1/2
=
√
2R (1 − cos θ)1/2 . (1)
Segue que:
F =
1
4πε0
q2
2R2 (1 − cos θ)
=
1
4πε0
q2
4R2 sen(θ/2)
. (2)
(b) Para determinarθextremoescreve-se:
dF (θ)
dθ
= 0. (3)
Segue queθextremo = nπ, onden = ±1,±2,±3, . . ..
(c) O trabalho do agente externo é dado por:
W =
∫
Ft (s) ds = R
∫
F (θ/2) cos (θ/2) dθ, (4)
onde usamosds = R dθ. Segue que:
W =
q2
4πε0(4R)
θmı́n
∫
π
cot (θ/2) dθ =
q2
4πε0(2R)
ln sen(θmı́n/2). (5)
b
b
q
q
R
θ/2
Figura 2:
Problema 2 Uma cargaQ0 é distribuı́da no volume de esfera de raioa de tal forma que a sua densidade vo-
lumétrica de carga é dada por:
ρ(r) = C (a − r) , 0 ≤ r ≤ a (6)
onder é a distância radial ao centro da esfera eC é uma constante.
2
(a) Calcule a constanteC em função deQ0 ea.
(b) CalculeQ(r), a carga contida em uma esfera de raior ≤ a, em função da carga totalQ0, a e r.
(c) Determine o campo elétrico dentro da esfera.
(d) Determine o campo elétrico fora da esfera.
SOLUÇÃO 2:
(a)
Q0 = C
a
∫
0
(a − r)4πr2dr =
4πa4C
6
; (7)
logo:
C =
12Q0
4πa4
. (8)
(b)
Q(r) = 12Q0
(
r3
3a3
−
r4
4a4
)
. (9)
(c) A lei de Gauss combinada com a simetria esférica do problema permitem escrever:
E(r) 4πr2 =
Q(r)
ε0
. (10)
Segue que:
E(r) =
12Q0
4πε0
(
r
3a3
−
r2
4a4
)
, (11)
para0 ≤ r ≤ a.
(d)
E(r) =
Q0
4πε0r2
, (12)
parar ≥ a.
Problema 3 Uma carga puntiforme de valorq e massam pode mover-se apenas ao longo do eixox. Uma segunda
carga puntiforme de valor igual a−q ′ é mantida a uma distância perpendicularD fixa do eixox, veja a figura.
(a) Calcule a energia eletrostática do sistema como funç˜ao dex.
(b) Suponha que as condições iniciais para cargaq sejam:x(0) = 2D, vx(0) = 0; calcule a velocidade com que
a cargaq passa pela posição de equiĺıbrio.
3
−q ′
q
(fixa)b
b
x
D
SOLUÇÃO 3:
(a)
U(x) = −
1
4πε0
qq′
(D2 + x2)1/2
. (13)
(b) A energia mecânica é uma constante de movimento, logo:
1
2
mv2x −
1
4πε0
qq′
D
= −
1
4πε0
qq′√
5D
. (14)
Segue que:
vx = q
√
√
√
√
1
2πε0mD
(√
5 − 1√
5
)
. (15)
Problema 4 Considere um capacitor esférico formado por duas cascas esféricas concêntricas muito finas de raios
R1 eR2, comR2 > R1, e cargasQ1 = Q eQ2 = −Q.
(a) Calcule a capacitância do capacitor esférico.
(b) Faça as aproximações necessária e calcule a capacitância da Terra. O raio da Terra vale aproximadamente
6.000 km.
(c) A partir do resultado obtido no item anterior obtenha a capacitância de um capacitor de placas paralelas.
SOLUÇÃO 4:
(a)
C = 4πε0
R1R2
R2 − R1
. (16)
(b) SejaR1 o raio da Terra eR2 o raio da esfera externa. ParaR2 ≫ R1, podemos escrever:
C ≈ 4πε0 R1. (17)
4
(c) Basta tomar o limiteR1, R2, → ∞ com a condiçãoR2 − R1 = d, onded é constante. Nesse caso, podemos
fazerR2 ≈ R1 = R, e obter:
C = 4πε0
R1R2
R2 − R1
→ 4πε0
R2
d
= ε0
A
d
. (18)
5