Matemática no Ensino Fundamental - John A Van de Walle

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Roleta A Roleta B
FIGURA 2.5 Você pode girar A duas vezes, B duas vezes ou A e depois 
B. Qual opção lhe dá a melhor chance de obter um vermelho e um azul?
FIGURA 3.1 Nós usamos as ideias que já temos (pontos azuis) para 
construir uma nova ideia (ponto vermelho), desenvolvendo neste proces-
so uma rede de conexões entre elas. Quanto mais ideias forem usadas e 
mais conexões forem formadas, melhor a nossa compreensão.
V V
Az Az
Am Am
FIGURA 2.6 Um diagrama de árvore para a roleta A na Figura 2.5.
VM AZ VD
Roleta A Roleta B
AM
VM
AZ
AZ
AZ
AM
VD
FIGURA 2.7 Um quadrado mostra a chance de obter cada cor para as 
roletas na Figura 2.5.
azu
l
ver
me
lho
Par
tida
Topo
FIGURA 23.1 Os estudantes fazem um rodízio girando uma roleta e re-
gistrando os resultados. A primeira cor que alcançar o topo é a vencedora.
O mesmo jogo pode ser jogado com outros dispositivos randômicos.
Compreensão
relacional
Compreensão
instrumental
Contínuo da compreensão
FIGURA 3.4 A compreensão é uma medida da qualidade e da quantidade de conexões que uma nova ideia tem com as já existentes. Quanto maior 
o número de conexões a uma rede de ideias já desenvolvida, melhor a compreensão.
Muito improvável Muito provávelIgualmente provável
Chances de obter a cor azul
Impossível Com certeza
FIGURA 23.4 A linha de probabilidade ou “linha das chances”. Use essas diferentes faces de roleta para ajudar os alunos a perceber como a chance 
poder estar em lugares diferentes ao longo de uma quantidade contínua entre o Impossível (0) e a Certeza (1).
www.grupoa.com.br
CONHECIMENTO 
MATEMÁTICO
John A. Van de Walle
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John A. Van de Walle
NO ENSINO FUNDAMENTAL
FORMAÇÃO DE PROFESSORES E APLICAÇÃO EM SALA DE AULA
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6ª edição
MATEMÁTICA
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MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL
FORMAÇÃO DE PROFESSORES E APLICAÇÃO EM SALA DE AULA
Matemática no ensino fundamental apresenta ideias e discussões de profundidade inigualável 
para orientar os estudantes em formação que irão ensinar matemática e para ajudar os 
alunos de ensino fundamental a desenvolver uma compreensão real da disciplina aplicada 
em sala de aula. John A. Van de Walle, um dos principais especialistas em como as crianças 
aprendem matemática, observa que 80% dos estudantes que compram este livro o mantém 
como referência quando começam suas carreiras profissionais como professores. O texto 
reflete os benefícios da instrução construtivista – ou centrada no aluno – em matemática.
Além disso, é estruturado de forma a proporcionar o máximo de flexibilidade, contendo 24 
capítulos compartimentados e breves, que podem ser misturados e combinados para se 
adaptarem a qualquer disciplina ou abordagem de ensino.
Destaques:
• Principal livro-texto mundial para professores de matemática.
• Fundamentação teórica completa para formação de professores.
• Propostas práticas eficazes para ensino em sala de aula.
• Parâmetros para avaliação de aprendizagem.
• Indicação de bibliografia e sites totalmente adaptados 
para a língua portuguesa.
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de 6º a 9º ano – ensino fundamental
SMOLE, DINIZ, PESSOA & ISHIHARA
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SUTHERLAND, R. 
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WALL, E.
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fundamental
03701_VAN-DE-WALLE_Matematica_no_ensino_fundamental.indd 1 07/06/2019 17:22:22
V217m Van de Walle, John A.
 Matemática no ensino fundamental : formação de 
 professores e aplicação em sala de aula [recurso eletrônico] / 
 John A. Van de Walle ; tradução: Paulo Henrique Colonese. – 
 6. ed. – Porto Alegre : Penso, 2009. 
 
 Editado também como livro impresso em 2009.
 ISBN 978-85-8429-028-4
 1. Matemática – Ensino fundamental. 2. Conceitos 
 numéricos. 3. Senso numérico. 4. Operações. I. Título.
CDU 51:373.3
Catalogação na publicação: Karin Lorien Menoncin – CRB 10/2147
capítulo 5
Planejamento em uma 
Sala de Aula Baseada em 
Resolução de Problemas
A aprendizagem natural (...) não ocorre em um esquema de 
horários e em geral requer mais tempo do que as escolas estão 
organizadas para oferecer. As experiências em resolução de pro-
blemas levam tempo. É essencial que os professores forneçam o 
tempo necessário para as crianças trabalharem nas atividades 
por si mesmas e que os professores não terminem retornando ao 
ensino expositivo para assegurar efi ciência. 
Burns (1992, p. 30)
O formato da lição de três fases descrito no Capítulo 4 fornece uma estrutura básica para as lições baseadas 
em resolução de problemas. Aquela estrutura básica é o resultado 
da necessidade de os alunos serem engajados nos problemas, se-
guido de tempo para discussão e refl exão. Porém, muitos dos de-
talhes práticos de se trabalhar com os estudantes nesse ambiente 
não estão claros nesse paradigma geral para uma lição.
Este capítulo começa com um guia passo a passo para o 
planejamento de lições baseadas em resolução de problemas. E 
também se explora aqui algumas variações da estrutura das três 
fases: dicas para lidar com a diversidade em sala de aula, ques-
tões sobre exercício e pratica e trabalho de casa, livros didáticos 
e avaliação. Em resumo, esse capítulo discute os detalhes práti-
cos de um ensino efetivo.
Planejando uma lição 
baseada em resolução
de problemas
Independente de sua experiência, é crucial que você dê uma 
atenção adequada ao planejamento de suas lições. Não existe um 
currículo “à prova de professores” – onde você possa ensinar toda 
lição simplesmente como foi planejado e na ordem em que foi 
proposta. Toda turma é diferente. As escolhas das tarefas e como 
elas serão apresentadas aos estudantes devem ser feitas diaria-
mente para se ajustar melhor às necessidades de seus alunos e 
aos objetivos para os quais você foi contratado para ensinar. O 
esquema na Figura 5.1 ilustra os passos sugeridos para planejar 
uma aula. Os primeiros quatro passos são os mais importantes. 
As decisões tomadas aqui defi nirão os conteúdos e as tarefas 
em que seus alunos trabalharão. Os próximos quatro passos são 
necessários para ter certeza de que a lição corre bem. Por fi m, 
você pode escrever um plano de aula conciso, sabendo que você 
refl etiu sobre ele com rigor. Cada passo é discutido brevemente 
a seguir.
Passo 1: Comece com a matemática! Articule claramente 
as ideias que você quer que os alunos aprendam como resulta-
do da aula. Pense em termos de conceitos matemáticos, não em 
habilidades. Descreva a matemática, não o comportamento dos 
alunos.
E se uma habilidade for o resultado intencional? Talvez 
você queira que eles dominem os conceitos básicos da subtração 
ou trabalhem no desenvolvimento de um método de multiplicar 
números de dois algarismos. Para toda habilidade, há conceitos e 
relações subjacentes. Identifi que esses conceitos nesse passode 
seu planejamento. As melhores tarefas chegarão às habilidades 
pelos conceitos.
Passo 2: Tenha em mente seus alunos. O que eles sa-
bem ou compreendem sobre esse tópico? Eles estão prontos para 
operar essa parte da matemática ou há algumas ideias fundamen-
tais que eles ainda não desenvolveram? Talvez eles já tenham 
algumas ideias que você tenha trabalhado e essa lição objetiva 
expandir ou refi nar os conceitos preexistentes.
Certifi que-se de que a matemática que você identifi cou no 
passo 1 inclua algo novo ou pelo menos ligeiramente pouco co-
nhecido de seus alunos. Ao mesmo tempo, certifi que-se de que 
seus objetivos não estejam fora do alcance deles. Não há sentido 
em repetir velhas ideias. Nem há valor em propor tarefas que 
os alunos não possam ter acesso sem sua orientação direta. Para 
que a aprendizagem de fato aconteça, deve haver algum desafi o, 
algumas ideias novas – mesmo que seja apenas rever uma ideia 
antiga em um novo formato ou com um modelo diferente. Man-
tenha as novas ideias dentro do alcance de seus alunos. Se neces-
sário, agora é o tempo para revisitar o passo 1 e fazer ajustes em 
seus objetivos.
Passo 3: Escolha uma tarefa. Mantenha a simplicidade! 
Boas tarefas não precisam ser superelaboradas. Normalmente uma 
Matemática no Ensino Fundamental 83
simples história-problema é tudo que é necessário, contanto que a 
sua resolução envolva as crianças na matemática pretendida.
O Capítulo 4 apresentou exemplos de tarefas e sugestões 
para criá-las ou selecioná-las. Este livro está repleto de tarefas. 
Quanto mais experiência você tiver com o conteúdo no passo 
1 e quanto mais tempo você tiver para construir um repertório 
de ideias para tarefas de jornais, livros didáticos, conferências 
e em serviço, mais fácil esse passo importante de planejamento 
se tornará.
Passo 4: Antecipe o que vai acontecer. Você levantou 
hipóteses sobre o que seus alunos sabem. Agora use essa infor-
mação e pense em todas as coisas que provavelmente eles farão 
com essa tarefa. Se você se pegar dizendo, “Bem, eu espero que 
eles...”, então pare. Antecipe, não espere!
Todo estudante em sua turma tem uma chance de se en-
volver neste problema? Embora cada um possa manejar di-
ferentemente a tarefa, não deixe que os alunos que estão se 
esforçando tropecem. Talvez você queira modifi car a tarefa 
para diferentes alunos ou fornecer acomodações que tornem 
a tarefa acessível para aqueles com necessidades especiais. 
(Veja seção sobre diversidade mais adiante neste capítulo.) 
Esse também é um bom momento para pensar se seus alunos 
trabalharão sozinhos, em duplas ou em grupos. O trabalho em 
grupo pode ser um recurso auxiliar aos que necessitam um 
pouco de ajuda extra.
Se suas predições começarem a lhe tornar intranquilo sobre 
sua tarefa, esse é o momento para revê-la. Talvez ela precise ser 
modifi cada, ou apenas seja muito fácil ou muito difícil.
Essas primeiras quatro decisões defi nem a essência de sua 
aula. As próximas quatro decisões defi nem como você executará 
o planejamento em sua sala de aula.
Passo 5: Articule as responsabilidades dos alunos. Você 
sempre vai querer mais do que respostas. Em quase todas as tare-
fas, você vai querer que seus alunos possam lhe dizer:
O que eles fi zeram para obter a resposta. ●
Por que fi zeram isso desse modo. ●
Por que pensam que a solução está correta. ●
Decida como você quer que eles apresentem essa informa-
ção. Se respondendo por escrito, os alunos escreverão individual-
mente ou prepararão uma apresentação de grupo? Eles escre-
verão em seus diários, em papel com tempo delimitado, em uma 
fi cha de trabalho, em um pôster para apresentar à classe, ou em 
acetato para usar em um retroprojetor?
Você pode escolher se eles fazem um relato ou discusão das 
ideias sem escrever. Embora essa opção, às vezes, seja adequa-
da, alguma forma de trabalho escrito que vá além da resposta é 
muito recomendada. Recordar e escrever é uma forma de ensaio 
para as discussões.
Passo 6: Planeje a fase “antes” da lição. Às vezes, você 
pode simplesmente começar com a tarefa e articular as responsa-
bilidades dos alunos. Em outras, você vai querer prepará-los com 
uma rápida tarefa relacionada mais fácil ou com alguns exercí-
cios que orientem o pensamento dos estudantes. Depois de apre-
sentar a tarefa, você deixará que eles “prossigam” ou vai querer 
que façam um brainstorm sobre as resoluções ou estimem as res-
postas? (Leia Capítulo 4, Ações do professor na fase “antes”.)
Refl ita sobre a forma de apresentar a tarefa. As opções in-
cluem escrevê-la em papel, retirar de seus livros ou textos didá-
ticos, mostrá-la no retroprojetor, ou escrevê-la no quadro ou em 
um pôster. E não se esqueça de informar aos alunos sobre as suas 
responsabilidades. (Passo 5).
Passo 7: Pensar sobre a fase “durante” da lição. Reveja 
suas predições. Que dicas ou orientações você pode planejar com 
antecedência para ajudar os que fi carem “bloqueados” ou pre-
cisarem de acomodações? Há grupos particulares ou alunos em 
especial que você deseja observar ou avaliar nessa lição? Faça 
uma anotação para fazer isso. Pense em extensões ou desafi os 
que você possa propor aos que terminam a tarefa primeiro.
1. Determine a matemática.
3. Estabeleça ou selecione 
uma tarefa.
2. Pense no que seus alunos 
trazem de matemática.
4. Antecipe as abordagens dos 
alunos para encontrar uma 
solução.
Decisões de conteúdo
e de tarefas
9. Escreva o plano:
• Objetivos de matemática;
• Tarefas e expectativas;
• Atividades ANTES;
• Dicas e extensões da fase
 DURANTE;
• Formato da fase DEPOIS;
• Anotações de Avaliação.
Plano completo
7. Planeje as sugestões e 
extensões da fase DURANTE.
6. Planeje as atividades da 
fase ANTES.
8. Planeje as discussões da fase 
DEPOIS.
5. Articule as responsabilidades 
dos alunos.
Decisões pedagógicas
FIGURA 5.1 Passos do planejamento para pensar uma aula baseada em resolução de problemas.
84 John A. Van de Walle
Estime quanto tempo deve ser dado aos alunos e informe a 
eles com antecedência. Alguns professores fi xam um cronôme-
tro ou relógio para que todos possam ver. Planeje com um pou-
co de fl exibilidade, mas não reduza o período para discussões.
Passo 8: Pense sobre a fase “depois” da lição. Como 
começar a discussão? Uma opção é listar todas as respostas di-
ferentes dos grupos ou indivíduos, sem comentários, e retornar 
aos alunos ou grupos para que expliquem suas soluções e justifi -
quem suas respostas. Você também pode começar com explica-
ções completas de cada grupo ou indivíduo antes de obter todas 
as respostas. Se você aceitar relatórios orais, pense sobre como 
registrar no quadro o que está sendo dito.
Planeje uma quantidade de tempo adequada para sua discus-
são. Cinco minutos quase nunca é sufi ciente. Reserve no mínimo 
20 minutos para os problemas mais ricos. Uma boa média é de 
15 a 20 minutos.
Passo 9: Escreva seu planejamento da lição. Se você 
refl etiu sobre todos esses passos, um planejamento é simples-
mente uma listagem das decisões críticas que você já tomou. 
O esquema apresentado aqui é um possível formato para o pla-
nejamento:
A matemática ou objetivos. ●
A tarefa e as expectativas. ●
Os materiais e a preparação necessários. ●
As atividades da fase “antes”. ●
As sugestões da fase “durante” e as extensões para os que ●
completarem as tarefas primeiro.
O formato das discussões da fase “depois” da lição. ●
As anotações de avaliação (quem e como você quer ava- ●
liar).
Amostras de lições
Muita atenção para os primeiros dois passos neste livro, a 
matemática em seu currículo e as necessidades específi cas de 
seus alunos relativas à matemática, são críticas para uma lição de 
sucesso. Então, planejar uma lição sem uma turma real em men-
te é um pouco artifi cial. Porém, apresentamos duas amostras de 
lições, chamadas Lições expandidas, ao término deste capítulo 
para ilustrar o raciocínio envolvido.A primeira dessas amostras de lições foi projetada como 
uma lição para turma toda em uma 4
a
 ou 5
a
 série. A segunda 
amostra de lição ilustra o modelo de três fases em uma ativi-
dade baseada em um Centro de Aprendizagem para a educação 
infantil ou 1
a
 série. As tarefas em cada lição foram extraídas de 
atividades no livro.
Variações da lição de três fases
A estrutura básica de lição discutida assume que será dada 
uma tarefa ou problema a uma turma e ela irá investigar e tra-
balhar em sua resolução e terminar com uma discussão. Cer-
tamente, nem toda lição é desenvolvida ao redor de uma tarefa 
dada a uma turma inteira. Porém, o conceito básico de tarefas e 
discussões pode ser adaptado à maioria das lições baseadas em 
resolução de problemas.
Minilições
Muitas tarefas não requerem um período completo de aula. 
O formato de três fases pode ser reduzido para somente 10 minu-
tos. Você poderia planejar dois ou três ciclos em uma única lição. 
Por exemplo, considere estas tarefas:
EI-1
a
 série Compor duas perguntas que podemos responder 
usando a informação em nosso gráfi co.
2
a
 – 3
a
 séries Suponha que você não saiba a resposta para o 
problema 14. Como você poderia começar a 
descobri-la?
4
a
 – 5
a
 séries Em seu geoplano, faça uma fi gura que tenha si-
metria de espelho, mas não simetria rotacional. 
Faça uma segunda fi gura que tenha simetria rota-
cional, mas não simetria de espelho.
6
a
 –7
a
 séries Margie tem esse desenho do primeiro piso de sua 
casa. (Distribua o desenho.) Ela quer reduzi-lo na 
máquina de fotocópia de modo que tenha uma es-
cala de 1 cm para um pé. Para que porcentagem 
ela deve reduzi-lo?
Essas são tarefas que valem a pena, mas provavelmente não 
requerem um período completo para serem feitas e discutidas.
Uma estratégia proveitosa para pequenas tarefas é pensar 
em duplas. Os alunos primeiro são orientados a passar um minu-
to desenvolvendo seus próprios pensamentos e ideias em como 
abordar a tarefa ou até mesmo no que eles pensam possa ser uma 
boa solução. Então formam uma dupla com um colega e discu-
tem suas ideias entre si. Isso fornece uma oportunidade para tes-
tar ideias, praticar e articulá-las. O último passo é compartilhar 
a ideia com o resto da turma. A dupla pode, de fato, apresentar 
duas ideias diferentes ou pode ser dito que eles devem chegar a 
uma única decisão. O processo inteiro inclui alguma discussão e 
pode levar menos de 15 minutos.
Estações de aprendizagem (trabalho) 
e jogos
É quase sempre útil que os alunos trabalhem em tarefas dife-
rentes ou jogos em vários locais ao redor da sala. As estações de 
aprendizagem (ou de trabalho) são um bom modo de administrar 
materiais sem a necessidade de distribuí-los ou de colecioná-los. 
Elas também ajudam quando é desaconselhável ou impossível 
que todos tenham acesso aos materiais exigidos para uma ati-
vidade ao mesmo tempo. Existem boas tarefas de computador, 
especialmente applets encontrados na internet, que são bons para 
essas atividades. Também lhe permitem diferenciar tarefas quan-
do seus alunos estão em fases diferentes de desenvolvimento do 
conceito em questão.
Seus alunos podem trabalhar nas estações em pequenos 
grupos ou individualmente. Então, para um determinado tópico 
você pode preparar de quatro a oito atividades diferentes. Nem 
toda estação de trabalho tem que ser diferente. Os materiais 
requeridos para a atividade ou jogo, incluindo qualquer folha 
de registro especial, são colocados em uma caixa-arquivo ou 
pasta de papéis a serem posicionadas em diferentes locais na 
sala de aula.
Matemática no Ensino Fundamental 85
Uma boa ideia para crianças nas primeiras séries ou para jo-
gos e atividades de computador é explicar ou ensinar a atividade 
para toda turma previamente. Deste modo, as crianças não de-
vem desperdiçar tempo ao chegarem à estação de trabalho e você 
não terá que correr ao redor da sala para explicar o que fazer. A 
segunda amostra de lição ao fi nal do capítulo é um exemplo do 
uso de estações.
Muitas estações de atividades podem ser proveitosamente 
repetidas várias vezes. Por exemplo, os alunos podem estar subs-
tituindo números perdidos em um quadro de centenas ou fazendo 
um jogo onde um aluno cobre parte de um número conhecido de 
contadores e o outro estudante nomeia a parte coberta. O jogo 
Fraction-Track* nos e-standards do NCTM (e-exemple 5.1) pode 
ser jogado várias vezes proveitosamente.
Um jogo ou outra atividade repetível podem não se parecer 
com um problema, mas podem, entretanto, estar fundamentados 
em um problema. O fator determinante é este: a atividade torna 
os alunos refl exivos sobre as novas relações matemáticas ou em 
desenvolvimento? Lembre-se de que é o pensamento refl exivo 
que causa o desenvolvimento. Se a atividade os faz minimamente 
repetirem um procedimento sem lutar com uma ideia emergente, 
não é uma experiência baseada em resolução de problemas. Po-
rém, os poucos exemplos mencionados e muitos outros fazem as 
crianças refl etirem sobre as ideias que elas ainda não formularam 
muito bem. Nesse sentido, elas se ajustam à defi nição de uma 
tarefa baseada em resolução de problemas.
O período durante o qual os alunos estão trabalhando nas 
estações é análogo à fase “durante” de uma lição. Que tipos de 
coisas você poderia fazer para a fase “depois” da lição? As dis-
cussões com os que trabalharam em uma tarefa também são im-
portantes para os jogos e as estações. Porém, essas discussões em 
geral acontecerão em pequenos grupos. Você poderia se sentar 
com os alunos em uma estação e perguntar sobre o que eles têm 
feito, que estratégias eles descobriram, ou como eles em geral 
estão se saindo na atividade. Tente chegar ao raciocínio pelo que 
eles estão fazendo. Outra possibilidade é esperar até que todos na 
turma tenham trabalhado no mesmo jogo ou estação. Agora você 
pode ter uma discussão com toda a turma sobre a aprendizagem 
decorrente daquela atividade (O que aprendemos?).
Da mesma maneira que com qualquer tarefa, alguma forma 
de registro ou escrita deve ser incluída com as estações sempre 
que for possível. Os alunos que resolvem um problema em um 
computador podem escrever o que eles fi zeram e explicar o que 
eles aprenderam. As crianças que jogam um jogo podem manter 
registros e então contar sobre como jogaram – quais os raciocí-
nios ou estratégias que usaram no jogo.
Lide com a diversidade em 
sala de aula
Talvez um dos maiores desafi os para os professores, atual-
mente, seja atingir todos os alunos em suas salas de aula cada vez 
mais diversas. Todo professor enfrenta esse dilema porque toda 
 * N. de T.: O exemplo eletrônico está disponível na página dos Padrões na 
internet http://standards.nctm.org/document/eexamples/chap5/5.1/
sala de aula contém uma variedade de habilidades e backgrounds 
de seus alunos. Estudantes da língua inglesa
**
 (chamados ELLs) 
são encontrados, em quase todas as salas de aula e apresentam 
desafi os sem igual.
De maneira interessante e talvez surpreendente para alguns, 
a abordagem de ensino baseada na resolução de problemas é o 
melhor modo para ensinar matemática e atender à diversidade de 
estudantes. Na sala de aula baseada em resolução de problemas, 
as crianças dão sentido à matemática ao seu modo, trazendo aos 
problemas só as habilidades e ideias que possuem. Ao contrário, 
em uma lição tradicional, altamente dirigida, é assumido que todos 
os alunos compreenderão e usarão as mesmas abordagem e ideias. 
Aqueles que não estão prontos para compreender as ideias apre-
sentadas têm que focar sua atenção em seguir as regras ou orien-
tações do professor de uma maneira instrumental. Isso, é claro, 
conduz a infi nitas difi culdades e deixa muitos estudantes para trás 
ou com grave necessidade de recuperação.
Além de usar uma abordagem baseada na resolução de pro-
blemas, há coisas específi cas que você pode fazer para atender àdiversidade em sua sala de aula.
Verifi que se os problemas têm múltiplos pontos de par- ●
tida.
Planeje tarefas diferenciadas. ●
Forme grupos heterogêneos. ●
Faça acomodações e modifi cações para os aprendizes de ●
língua inglesa.
Escute os estudantes com cuidado. ●
Planeje múltiplos pontos de partida
Como sugerido nas diretrizes de planejamento, ao selecio-
nar uma tarefa, é importante pensar sobre como provavelmente 
todos os alunos na turma a abordarão. Muitas tarefas podem ser 
resolvidas com uma variedade de métodos. Isso é especialmen-
te verdade em tarefas computacionais em turmas onde os méto-
dos inventados pelos alunos são encorajados e estimados (veja 
Capítulo 13). Em muitas tarefas, o uso ou não uso de modelos 
manipulativos é tudo que é necessário para variar o ponto de par-
tida. Geralmente deve-se permitir que eles usem modelos com os 
quais estejam familiarizados sempre que sentirem necessidade. 
Outros alunos podem ser desafi ados a inventar regras ou usar 
métodos que sejam menos dependente de materiais manipulati-
vos ou desenhos.
Planeje tarefas diferenciadas
A ideia aqui é planejar uma tarefa com múltiplas versões; 
algumas menos difíceis, outras mais. Há vários modos com os 
quais você pode fazer isso.
Para muitos problemas que envolvem computações, você 
pode inserir múltiplos conjuntos numéricos. Nos seguintes pro-
blemas, os alunos são desafi ados a selecionar o primeiro, segun-
do ou terceiro número em cada parêntese.
 ** N. de T.: ELL (English language learners) é a sigla norte-americana para 
aqueles que estudam inglês como língua estrangeira.
86 John A. Van de Walle
Eduardo tinha (12, 60, 121) bolas de gude. Ele deu (5, 15, 46) 
bolas de gude para Érica. Quantas bolas de gude Eduardo pos-
sui, agora?
Os estudantes tendem a selecionar os números que lhes pro-
porcionam o maior desafi o sem ser difícil demais. Nas discus-
sões, todas as crianças se benefi ciam e se sentem como tendo 
trabalhado na mesma tarefa.
Outro modo para diferenciar uma tarefa é apresentar uma si-
tuação com questões relacionadas, mas diferentes que podem ser 
feitas. A situação poderia ser os dados em um tabela ou gráfi co, 
uma tarefa de medida ou uma tarefa de geometria. Aqui temos 
um exemplo:
Os estudantes recebem uma coleção de paralelogramos in-
cluindo quadrados e retângulos como também paralelogra-
mos não retangulares. Estas questões podem ser apresentadas 
da seguinte forma:
Selecione uma forma e desenhe pelo menos mais três ■
formas que sejam, de algum modo, semelhantes à forma 
selecionada. E conte como as suas formas novas são seme-
lhantes e diferentes da forma que você selecionou.
Desenhe diagonais nestas formas e as meça. E veja que ■
relações você pode descobrir sobre as diagonais.
Faça uma lista de todas as propriedades que você conse- ■
guir pensar que todos os paralelogramos neste conjunto 
possuam.
Nessa tarefa há um desafi o para envolver quase todos os alu-
nos de 5
a
 à 8
a
 série.
Ainda outro método de diferenciar as tarefas em sua sala 
de aula é usar estações de trabalho como descrito na seção ante-
rior. Por exemplo, se uma turma na 4
a
 série está trabalhando com 
frações equivalentes, uma variedade de tarefas sobre frações 
equivalentes podem ser projetadas, todas para o mesmo concei-
to. Como você experimentará no Capítulo 16, nem todas essas 
tarefas são igualmente difíceis. Elas são diferenciadas tanto pe-
los tipos de materiais usados quanto pelos números envolvidos. 
Podem ser indicadas as estações que melhor se ajustem às suas 
necessidades e ainda assim, todos estarão trabalhando no mes-
mo conceito.
Forme grupos heterogêneos de alunos
Evite agrupar por habilidade! Tentar dividir uma turma em 
grupos de habilidades é inefi caz, pois todos os grupos ainda apre-
sentarão diversidade. Além disso, é humilhante para aqueles que 
não estão nos grupos de maior habilidade. Os estudantes nos gru-
pos com maior difi culdade não experimentarão o raciocínio nem a 
linguagem utilizados pelos grupos de maior habilidade e os mais 
habilidosos não ouvirão as normalmente não convencionais, mas 
interessantes abordagens para as tarefas dos grupos com maior di-
fi culdade. Além disso, ter dois ou mais grupos signifi ca que você 
diminui o tempo que você pode passar com cada grupo.
É muito mais proveitoso apostar na diversidade em sua sala 
de aula usando duplas ou grupos cooperativos que sejam hete-
rogêneos. Alguns professores gostam de usar grupos fortuitos 
ou permitir que os estudantes escolham aqueles com os quais 
querem trabalhar. Essas técnicas podem ser ocasionalmente di-
vertidas, mas é aconselhável refl etir sobre como você vai agrupar 
seus alunos. Tente agrupar os que têm difi culdades com os mais 
capazes, mas que também sejam compatíveis e estejam dispostos 
a colaborar. O que todos os estudantes vão descobrir é que todos 
têm ideias para contribuir.
Faça acomodações e modifi cações
Há dois caminhos para tornar uma determinada tarefa aces-
sível a todos: acomodação e modifi cação. Uma acomodação é 
fornecer um ambiente diferente ou circunstância preparada com 
alunos específi cos em mente. Por exemplo, você pode escrever 
instruções em vez de simplesmente lhes dizer oralmente. As aco-
modações não alteram a tarefa. Uma modifi cação se refere a uma 
mudança no problema ou na tarefa. Por exemplo, suponha que a 
tarefa inicie com a determinação da área de uma forma composta 
como mostrado aqui.
5
10
3
8
Se você, ao contrário, decidir focar em regiões retangu-
lares simples, então isso é uma modifi cação. Porém, se você 
decide começar com regiões retangulares e construir formas 
compostas conectadas formadas de retângulos, você estabele-
ceu uma plataforma para a lição de modo que os alunos pos-
sam escalar e chegar à tarefa original. Estabelecer plataformas 
em uma tarefa dessa maneira é uma acomodação. Ao planejar 
acomodações e modifi cações, a meta é permitir que cada crian-
ça alcance seus objetivos de aprendizagem prosperamente, e 
não modifi car os objetivos. Isso é como a equidade é alcançada 
em sala de aula.
Ensine para equidade
Pense em seus alunos, o passo 2 no guia de planejamento, 
signifi ca considerar todos, o que é a base do ensino equitativo. 
O princípio de equidade nos Princípios e padrões do NCTM se 
refere às “altas expectativas e forte apoio para todos os alunos” 
(NCTM, p. 12). Note que equidade não é igualdade. Como Tho-
mas Jefferson disse, “Não há nada mais desigual do que o tra-
tamento igual de pessoas desiguais”. As estratégias comumente 
usadas para equidade incluem chamar os alunos desenhando eti-
Matemática no Ensino Fundamental 87
quetas com os nomes e estabelecer os grupos ou trabalhos rando-
micamente. Apesar de encorajar igualmente a participação seja 
importante, não pode ser a única estratégia usada para criar salas 
de aula equitativas. Temos de criar acomodações que ajudem 
cada criança a ter êxito.
Voltando ao exemplo de desenhar etiquetas de nomes. Os 
alunos que estão confrontando a matemática ou uma segunda lín-
gua podem não responder bem ao serem chamados inesperada-
mente ou podem não conseguir propor uma resposta verbal sobre 
o mesmo problema. Os estudantes de língua inglesa precisam de 
oportunidades não ameaçadoras para compor em particular suas 
ideias mentalmente antes de conseguir falar. Como uma estraté-
gia, você pode, primeiro, pedir que cada criança escreva sua ideia 
e, então trabalhar com estudantes que possam não ter compreen-
dido a pergunta, reformulando a questão ou pode ilustrá-la picto-
ricamente ou com gestos. Outra abordagem é “pensar por etapas” 
onde os alunos primeiro compartilham suas ideias com um cole-
ga, criando um ambiente não ameaçador para eles falarem. Isso 
permite que eles articulem uma resposta enquanto esclarecem 
concepções errôneas que possam ter. Assim, eles estarão mais 
preparados ao serem chamados a explicar suas respostas.
Como você avaliaos alunos é outra oportunidade para ser 
equitativo em seu ensino. Os professores com a equidade em 
mente podem ter avaliações nas quais alguns mostrem o que sa-
bem por escrito enquanto outros usam fi guras. Permitindo res-
postas que usem palavras, fi guras, números ou modelos pode 
acomodar a atividade a uma variedade de indivíduos.
Altas expectativas com forte apoio
No princípio de equidade do NCTM, as duas frases “altas 
expectativas” e “forte apoio” são um único conceito. No exemplo 
seguinte, a professora usa várias técnicas que fornecem apoio aos 
alunos de língua inglesa enquanto mantém altas expectativas.
A Professora Steimer está trabalhando em uma lição na 3
a
 
série envolvendo os conceitos de calcular comprimentos (em po-
legadas) e medir com a precisão de meia polegada. A tarefa pede 
que os estudantes usem a estimativa para encontrar três objetos 
que tenham aproximadamente 6 polegadas de comprimento, três 
objetos com 1 pé de comprimento e três objetos com 2 pés de 
comprimento. Uma vez identifi cados, os alunos vão medir os 
nove objetos com precisão de meia polegada e comparar as suas 
medidas com as suas estimativas. A Profa. Steimer tem um aluno 
coreano que só sabe um pouco de inglês e uma criança mexicana 
que fala bem o inglês, mas é nova para as escolas dos EUA. Esses 
dois estudantes não estão familiarizados com pés ou polegadas, 
assim eles provavelmente terão difi culdades para tentar estimar 
ou medir em polegadas.
A Profa. Steimer dedicou um tempo para abordar a lingua-
gem e os incrementos na régua para toda a turma. Como a palavra 
pé tem dois signifi cados, a Profa. Steimer decide abordá-la expli-
citamente antes de iniciar a lição. Ela começa perguntando aos 
estudantes o que é um “pé”. Então estabelece um tempo para eles 
discutirem a palavra com um colega e, então, compartilhar suas 
respostas com a turma. Após explicar que hoje eles vão usar a 
unidade de medida de um pé (enquanto segura a régua), pergunta 
aos alunos que outras unidades de medida podem ser usadas para 
medir. Em particular, ela pede aos estudantes de língua inglesa 
que compartilhem quais unidades de medida eles utilizam em 
seus países de origem. Ela pede a eles para estudarem a régua e 
comparar o centímetro à polegada propondo estas questões: Você 
pode determinar quantos centímetros uma polegada possui? Em 6 
polegadas? E em um pé?”.
Voltando aos objetivos da lição, a Profa. Steimer pede aos 
estudantes que comparem como os pontos médios estão mar-
cados nas polegadas e nos centímetros. Então, ela pede a eles 
que recortem uma tira de papel que a considerem como aproxi-
madamente meio pé de comprimento, sem usar uma régua. Os 
alunos medem a tira de papel para ver o quanto as suas tiras se 
aproximaram de 6 polegadas. Agora ela os considera prontos e 
preparados para começar a estimar e a medir.
 Faça uma pausa e refl ita
Reveja a lição da Profa. Steimer. Quais estratégias específi cas para 
apoiar os estudantes de língua inglesa você consegue identifi car?
A discussão do signifi cado da palavra “pé”, usando a técnica 
de “pensar em duplas” reconheceu a potencial confusão de lin-
guagem e deu aos estudantes a chance de falar sobre isso antes de 
fi carem confusos na tarefa. Os esforços para usar modelos visuais 
e modelos concretos (a régua e as tiras de papel) e para elaborar 
a partir das experiências anteriores dos alunos (uso do sistema 
métrico na Coreia e no México) fornecem apoio de modo que os 
“ELLs” possam ter sucesso nessa tarefa. E o mais importante, a 
Profa. Steimer não reduziu o desafi o da tarefa com essas estraté-
gias. Se ela tivesse alterado a tarefa, por exemplo, não esperando 
que os ELLs estimassem, pois eles não conheciam muito bem a 
polegada, ela teria reduzido as expectativas sobre esses estudan-
tes. Da mesma forma, se ela apenas tivesse proposto o problema 
sem dedicar tempo para estudar a régua ou fornecer elementos 
visuais, teria mantido suas expectativas elevadas, mas não teria 
fornecido apoio que permitisse que todos os alunos tivessem êxi-
to. Finalmente, ao fazer uma conexão para todos os estudantes 
com o sistema métrico, ela mostrou respeito pelas culturas deles 
e ampliou os horizontes dos outros estudantes para a medida em 
outros países.
Escute os estudantes com cuidado
Independente da sala de aula, é sempre importante escutar 
seus alunos. Tente descobrir como eles estão raciocinando, que 
ideias eles têm, como eles estão abordando os problemas que 
lhes causam difi culdade e, em geral, desenvolva uma hipótese 
sobre as ideias que eles têm sobre o tópico atual, o mais acura-
damente possível. Escutar as crianças foi mencionado como uma 
estratégia para o ensino efetivo no Capítulo 3. Ela também é um 
modo efetivo de avaliar os alunos. Essa é uma ideia importante 
enquanto você se esforça para ajudar todas as crianças em sua 
sala de aula. Toda criança é capaz. Escutando cuidadosamente 
você estará em uma posição melhor para colocar em prática as 
outras sugestões nesta seção.
88 John A. Van de Walle
Planeje as refl exões para 
aprendizes de língua 
inglesa*
Nós já vimos algumas estratégias que promovem equidade 
para todos os alunos. Sendo um professor equitativo, você tem 
de manter seu olhar nas metas matemáticas para suas lições e 
ao mesmo tempo tem que atender às necessidades de aprendiza-
gem específi cas de cada criança. Atenção para as necessidades 
do aprendiz de língua inglesa que deve ser considerada a cada 
passo dos noves passos do guia de planejamento como detalhado 
no quadro 5.1.
Examine as duas lições expandidas ao término do capítu-
lo. Procure evidências dentro da lição que já sejam de apoio aos 
ELLs. Que oportunidades adicionais você pode encontrar nas li-
ções para fornecer apoio aos ELLs?
 Faça uma pausa e refl ita
Confi ra essas lições agora. A lição de área e de perímetro já possui 
uma boa modelagem de ideias e sugestões úteis de suporte. Consul-
te o Quadro 5.1 para sugestões que não são mencionadas explicita-
mente nas lições, se houver ELLs em sua sala de aula.
Informações adicionais para trabalhar com os ELLs em ma-
temática podem ser encontradas no Capítulo 7.
Exercício ou prática?
O uso de listas de exercícios e prática, se não uma marca dos 
métodos de ensino americanos de matemática, é uma estratégia 
usada regularmente em quase todas as salas de aula. A maioria 
das lições em livros didáticos tradicionais termina com uma se-
ção que consiste em exercícios, normalmente de uma natureza 
semelhante e sempre completamente alinhados com as ideias que 
há pouco foram ensinadas no início da lição. Supõe-se que esse 
trabalho procedural repetitivo
**
 fi xe as ideias recém-aprendidas. 
Superfi cialmente, esta ideia parece fazer sentido. Além dessa 
abordagem de livro didático muito comum, são abundantes os 
livros de exercícios de repetição e prática e programas de exercí-
cios de computador.
Uma questão que vale a pena levantar é, “O que todos 
esses exercícios nos fi zeram?”. Eles têm sido um componen-
te sempre presente nas aulas de matemática durante décadas e 
ainda assim, a população adulta atual está repleta de pessoas 
que quase orgulhosamente proclamam “Eu nunca fui bom em 
matemática” e que compreendem muito pouco sobre o assunto, 
além da aritmética básica. Esta seção oferece uma perspectiva 
diferente.
 * N. de R.: O livro trata do contexto norte-americano e dos imigrantes que 
chegam nos EUA com conhecimentos de inglês como língua estrangeira, 
não como língua materna.
 ** N. de T.: Também chamados exercícios de fi xação.
Novas defi nições de exercício de 
fi xação e prática
Os termos “exercícios de fi xação e prática” saltam da boca 
tão rápido que as duas palavras “exercícios” e “prática” parecem 
ser sinônimas – e, na maior parte do tempo, foram. No interesse 
de desenvolver uma nova ou diferente perspectiva sobre exer-
cícios e pratica, considere as defi nições que diferenciamesses 
termos como tipos diferentes de atividades em vez de reuni-los.
A prática se refere a diferentes tarefas ou experiências ba-
seadas em problemas, distribuídos em vários períodos de 
aula, cada um abordando as mesmas ideias básicas.
Os exercícios de fi xação se referem a exercícios repetiti-
vos, os quais não são baseados em resolução de problemas 
projetados para melhorar as habilidades ou procedimen-
tos já adquiridos.
 Faça uma pausa e refl ita
Como essas duas defi nições são diferentes? E qual está mais de acor-
do com a visão de repetição e de prática (como um termo singular) 
com que você está familiarizado? A defi nição de exercícios repeti-
tivos requer que as habilidades já tenham sido adquiridas antes de 
deles serem exercitados. O que você pensa sobre isso?
Usando essas defi nições como um ponto de partida, é agora 
útil examinar que benefícios podemos obter com cada tipo e o 
quanto cada tipo de atividade é apropriado.
O que os exercícios de 
fi xação promovem
Os exercícios repetitivos podem proporcionar:
Uma maior facilidade com uma estratégia, mas apenas com ●
uma estratégia já aprendida.
Um enfoque em um método singular e uma exclusão de al- ●
ternativas fl exíveis.
Uma falsa aparência de compreensão. ●
Uma visão orientada de regras da natureza da matemática. ●
A convicção popular é que de alguma maneira os alunos apren-
dem pelas listas de exercícios. Na realidade, os exercícios só podem 
ajudar os estudantes a fi carem mais rápidos no que eles já sabem. 
Os que só contam com os seus dedos para responder questões sobre 
fatos básicos se tornam muito bons em contar com os seus dedos. 
Os exercícios de fi xação não são uma atividade refl exiva. A nature-
za deles pede que os alunos façam o que já sabem fazer, mesmo que 
eles tenham acabado de aprender isso. O enfoque dos exercícios 
está nas habilidades processuais.
Para a maioria da matemática de nível escolar, inclusive o 
cálculo, há numerosos modos de fazer as coisas. Por exemplo, 
você pode pensar em quantos métodos mentais diferentes para so-
mar 48 + 35? Para achar 25% de R$ 84,00, você pode dividir por 
4 e pode subtrair em vez de multiplicar por 0,25. Que abordagem 
você usaria para achar 17% de R$ 84,00? Encontramos facilmente 
exemplos semelhantes sobre o valor do pensamento fl exível. Os 
Matemática no Ensino Fundamental 89
QUADRO 5.1
Refl exões sobre o planejamento para todos os estudantes
Fases de 
planejamento Refl exões para qualquer lição
Refl exões adicionais para estudantes
de língua inglesa (ELL)
Comece com a 1. 
matemática.
Identifi que os conceitos matemáticos. ●
Alinhe com os padrões estaduais. ●
Estabeleça objetivos de linguagem (ler, escrever, falar e escutar) ●
no plano da lição.
Escreva e exponha os objetivos de conteúdo e de linguagem e ●
use termos amigáveis às crianças.
Pense em seus 2. 
alunos.
Relacione os conceitos a conceitos e ex- ●
periências prévias.
A matemática deve estabelecer desafi os, ●
ao alcance de todos os estudantes.
Construa uma base cognitiva ligando a base sociocultural dos ●
estudantes ao conteúdo e vocabulário já aprendidos.
Escolha uma 3. 
tarefa.
Selecione uma tarefa que permitirá aos ●
estudantes explorar os conceitos selecio-
nados na fase 1.
Use elementos visuais e objetos de realidade. ●
Incorpore problemas da vida real a serem resolvidos, pesquisas, ●
simulações, modelagem e dados.
Antecipe o que 4. 
acontecerá.
Prepare acomodações e modifi cações ●
para os estudantes que precisam articu-
lar ou confrontar ideias com a tarefa.
Analise a tarefa para as armadilhas de linguagem. ●
Identifi que palavras que precisam ser discutidas para eliminar ●
termos difíceis e desnecessários à lição.
Procure por homônimos, homófonos e termos que tenham sig- ●
nifi cados especiais em matemática (por exemplo, média, seme-
lhante, produto), há muitos termos desses tipos.
Articule as res-5. 
ponsabilidades 
dos estudantes.
Comunique informando as expectativas. ●
Inclua como eles resolveram isso, por 
que eles escolheram aquela estratégia e 
como sabem que a resposta está correta.
Use um organizador gráfi co. As ideias incluem sentenças iniciais ●
(“Eu resolvi o problema por...”), tabelas de registro e mapas 
conceituais.
Maximize o uso da linguagem de modos não ameaçadores. ●
Considere o compartilhar em duplas (falar, escutar) e grupos co-
laborativos; registre as suas estratégias e resoluções (escrever).
Se for necessário, encoraje os alunos a registrar (escrever) em ●
sua língua materna.
Planeje a fase 6. 
antes
Determine como você introduzirá a ●
tarefa.
Pense em aquecimentos que orientem a ●
refl exão dos estudantes.
Construa uma base! Relacione as tarefas às aprendizagens an- ●
teriores e a contextos familiares.
Incorpore a revisão de vocabulário chave para a lição no aque- ●
cimento.
Estabeleça tarefas em formato escrito e oral. Discuta o vocabu- ●
lário-chave.
Peça que os alunos compartilhem, em duplas, o que eles devem ●
fazer.
Use tradutores, se necessário. ●
Forneça elementos visuais e objetos reais. ●
Planeje a fase 7. 
durante.
Pense em sugestões ou auxílios que ●
você poderia dar enquanto os alunos 
trabalham.
Considere extensões ou desafi os. ●
Agrupe os alunos em termos de auxílio de linguagem e de pro- ●
ximidade acadêmica.
Use demonstrações, atividades manipulativas, modelagem, etc. ●
Potencialize a linguagem. Peça que os estudantes expliquem e ●
defendam suas ideias.
Encoraje os estudantes a desenhar fi guras e/ou modelar com ●
objetos.
Planeje a fase 8. 
depois.
Como os estudantes informarão as suas ●
descobertas?
Determine como você formatará a dis- ●
cussão da tarefa.
Que perguntas você fará? ●
Encoraje o uso de elementos visuais em relatórios. ●
Avise antes que os estudantes irão apresentar oralmente, de ●
modo que possam se planejar.
Encoraje os estudantes a escolher o idioma que desejam usar e ●
a usar um tradutor, se possível.
Escreva o plano 9. 
de aula.
Os objetivos ●
A tarefa ●
O plano de três fases ●
Os materiais e a preparação ●
A avaliação ●
Liste o uso de vocabulário-chave. ●
Incorpore oportunidades para revisar o vocabulário e os concei- ●
tos-chave em cada uma das três fases da lição.
Incorpore questões para diagnosticar se os estudantes estão ●
compreendendo. Use tradutores, se necessário.
Avaliação: distinga as questões de linguagem e de conteúdo ●
matemático.
90 John A. Van de Walle
exercícios têm uma tendência a estreitar o que a pessoa está pen-
sando em vez de promover a fl exibilidade.
Quando os estudantes completam uma página de exercícios 
rotineiros com sucesso, os professores (e até mesmo os alunos) 
com frequência acreditam que essa é uma indicação de que eles ad-
quiriram as ideias envolvidas. De fato, o que eles têm normalmente 
é uma habilidade temporária para reproduzir um procedimento re-
cém mostrado a eles. A memória de curto prazo requerida de um 
estudante ao completar os exercícios em uma lição tradicional não 
indica compreensão. De modo superfi cial, os procedimentos ensi-
nados são fácil e rapidamente esquecidos e confundidos.
Quando os exercícios repetitivos são um componente preva-
lecente na sala de aula de matemática, não é surpresa que tantos 
estudantes e adultos odeiem matemática. A matemática verdadei-
ra é sobre atribuir sentido (signifi cados) e raciocinar – ela é uma 
ciência do padrão e da ordem. Os estudantes não podem obter 
essa visão da disciplina quando estão sendo constantemente obri-
gados, sempre e sempre, a repetir habilidades processuais.
O que é muito importante para compreender é que: os exer-
cícios não ajudarão em nada a compreensão conceitual. Os exer-
cícios não fornecerão quaisquer habilidades ou estratégias novas. 
Os exercícios só enfocam sobre o que já é conhecido.
O que a prática promove
Em essência, a prática é sobre o que este livro trata – pro-
porcionar aos estudantes amplas e variadas oportunidades para 
refl etir sobre ou criar novas ideias por meio de tarefas baseadas 
em resoluçãode problemas. A seguinte lista de resultados da prá-
tica não deve ser surpreendente:
Uma oportunidade ampliada para desenvolver ideias concei- ●
tuais e conexões mais elaboradas e úteis.
Uma oportunidade para desenvolver estratégias alternativas ●
e fl exíveis.
Uma chance maior de todos os estudantes compreenderem, ●
e não apenas alguns.
Uma mensagem clara de que a matemática é compreender e ●
dar sentido às coisas.
Cada um dos benefícios precedentes foi explorado neste ou 
em capítulos anteriores e não devem requerer discussão adicional. 
Porém, é importante apontar que práticas podem e desenvolvem 
habilidades. O medo de que os estudantes sem exercícios exten-
sivos não dominem as “habilidades básicas” não é fundamentado 
pelas pesquisas recentes sobre currículos e práticas baseados nos 
Padrões do NCTM (veja Capítulo 1). Esses programas incluem 
muitas práticas como defi nidas aqui e a maioria inclui quantida-
des mínimas de exercícios. Os estudantes desses programas apre-
sentam resultados tão bons quanto os de programas tradicionais 
em habilidades computacionais e muito melhores em quase todas 
as demais medidas.
Quando os exercícios de 
fi xação são apropriados?
Sim, há um lugar para exercícios de fi xação em matemáti-
ca, mas eles não precisam ocorrer com tanta frequência quanto 
a maioria parece acreditar. Pense nestes dois critérios propostos 
para o uso proveitoso de exercícios.
Uma estratégia efi ciente para a habilidade a ser exercitada ●
já exista.
A automação com a habilidade ou estratégia é um resultado ●
desejado.
É possível ter uma habilidade e ainda precisar aperfeiçoá-la 
ou exercitá-la? Claramente, isso acontece todo o tempo fora da 
matemática com os jogos esportivos e a música. Nós aprendemos 
a driblar um jogador de futebol ou a tocar as cordas apresenta-
das em uma pauta musical. No início da instrução, recebemos as 
partes necessárias de informação para executar essas habilidades. 
Inicialmente, as habilidades são fracas e imperfeitas. Elas devem 
ser repetidas para afi ná-las a um estado de efi ciência. Porém, se a 
habilidade não estiver lá desde o início, nenhuma quantidade de 
exercícios irá criá-la.
A automação signifi ca que a habilidade pode ser executa-
da rápida e “sem pensar”. A maioria dos adultos tem automação 
com fatos básicos e operações simples da matemática. Eles exe-
cutam a divisão longa sem pensar no signifi cado por trás de cada 
um de seus passos.
 Faça uma pausa e refl ita
Faça uma lista mental das coisas em matemática da EI à 8a série que 
você acredita que os estudantes devam ter automação.
Provavelmente sua lista inclui como contar, ler e escrever 
números. Deveria incluir o domínio de fatos básicos (por exem-
plo, 3+9 ou 8x6). Se você for como a maioria das pessoas, pode 
incluir a operação com números inteiros e até mesmo com fra-
ções e decimais em sua lista. O que pode lhe surpreender é que a 
automação com habilidades computacionais quase não é tão im-
portante quanto costumava ser. Queremos que os alunos tenham 
habilidades em computação, mas não como um método singular 
ou infl exível. Há mais itens candidatos à lista de automação de-
sejada, mas em geral esses são detalhes pequenos da matemática, 
e não ideias importantes. De fato, a lista de coisas para as quais a 
automação é requerida é bem pequena.
Quando as crianças não entendem
Como discutido, a diversidade em sala de aula é um desa-
fi o para todos os professores. Para os alunos que não capturam 
novas ideias tão depressa quanto a maioria da turma, há uma 
tentação opressiva para ceder e “apenas exercitá-los”. Antes 
de chegar a essa solução, pergunte-se: Isso já funcionou an-
tes? O que isso está dizendo à criança? A criança que tinha 
difi culdades foi exercitada no passado. É ingênuo acreditar que 
o exercício que você fornecerá será mais benéfi co que os in-
fi nitos exercícios que essa criança sem dúvida já suportou no 
passado. Embora os exercícios possam fornecer um pouco de 
sucesso a curto prazo, uma refl exão honesta sugere que no fi nal 
das contas os exercícios têm pouco efeito. O que essas crianças 
aprendem com mais exercícios é simples: “Eu não sou bom em 
matemática. Eu não gosto de matemática. A matemática é ape-
nas fórmulas e regras”.
Matemática no Ensino Fundamental 91
A seção anterior deste capítulo, “Lide com a diversidade”, 
sugere que uma abordagem conceitual é o melhor modo para aju-
dar os estudantes que estão confusos. Apenas exercícios não é a 
resposta.
A tarefa de casa
Os dados do TIMSS sugerem que estudantes da 4
a
 série dos 
EUA recebem tanta tarefa de casa quanto os da maioria de outros 
países (Departamento Norte-Americano de Educação, 1997c). 
Os estudantes da 8
a
 série dos EUA recebem mais tarefa de casa e 
dedicam mais tempo em sala de aula do que os estudantes japo-
neses que os superam signifi cativamente nos testes (Departamen-
to Norte-Americano de Educação, 1996). O valor real da tarefa 
de casa não está claro. Muitos pais esperam ver tarefas de casa e 
a maioria dos professores as utiliza.
Mas em que deveria consistir a tarefa de casa? Como você 
lida com ela, uma vez que tenha sido estabelecida? A distinção 
entre exercício e prática como descrita na seção anterior fornece 
uma abordagem útil para olhar a tarefa de casa.
A prática como tarefa de casa
A tarefa de casa é um modo perfeitamente apropriado para 
envolver os alunos em atividades de prática baseadas em resolu-
ção de problemas. Essas tarefa são semelhantes às descritas no 
Capítulo 4 e podem proveitosamente ser indicadas para trabalho 
de casa desde que a difi culdade da tarefa esteja ao alcance da 
maioria dos alunos. A diferença é que, em casa, os estudantes 
estarão trabalhando sozinhos em vez de com um colega ou com 
um grupo.
No dia seguinte a um trabalho de casa envolvendo prática ou 
resolução de problemas, comece imediatamente com uma discus-
são sobre a tarefa – a fase “depois” de uma lição. A fase “antes” 
deve ter ocorrido no momento de indicar a tarefa. Alguma forma 
de trabalho escrito deve ser requerida de modo que os estudantes 
se mantenham responsáveis pela tarefa e estejam preparados para 
a discussão com a turma.
O trabalho de casa desse tipo comunica aos pais a natureza 
de resolução de problemas ou de construir signifi cados em sua 
sala de aula e pode ajudá-los a perceber o valor dessa abordagem. 
Os pais querem ver trabalho de casa, mas poucos terão alguma 
noção sobre o tipo de ensino que você desenvolve.
Exercícios de fi xação como 
tarefa de casa
Nunca indique exercícios para tarefa de casa como um subs-
tituto para a prática ou antes dos conceitos necessários terem sido 
desenvolvidos. Se você indicar um exercício para tarefa de casa, 
aqui estão algumas refl exões:
Mantenha a tarefa pequena. Os estudantes não gostam de ●
tarefa de casa para começar e um exercício de fi xação não é 
particularmente divertido.
Forneça uma dica das respostas. A partir da 3 ●
a
 série, os estu-
dantes são capazes de verifi car seu próprio trabalho. Eles não 
devem mudar suas respostas, mas repetir os exercícios em 
que erraram ou escrever uma pequena nota que indique onde 
eles tiveram difi culdade e o que eles não compreenderam. Se 
você responder a essas notas com auxílio, os alunos come-
çarão a compreender que os exercícios das tarefa de casa são 
um modo de receber auxílio.
Nunca corrija ou pontue as tarefas de casa baseado em sua ●
corretude. Ao contrário, corrija apenas o que foi, ou não, 
completado. Em vez de penalizar as respostas erradas, use 
as respostas erradas como uma oportunidade para ajudar os 
alunos e promover desenvolvimento. Essa sugestão se apli-
ca bem às tarefas de casa de prática.
Não desperdice o valioso tempo de sala de aula para revisar ●
os exercícios das tarefas de casa. Especialmente se as últi-
mas duas sugestões forem seguidas, apenas observar o que 
foi completado é tudo que é necessário.O papel do livro didático
O livro didático permanece sendo o fator mais signifi cati-
vo que infl uencia o ensino em sala de aula no EF. Para tomar 
decisões sobre o uso de um livro didático, é bom ter uma visão 
objetiva dos livros didáticos e o papel que eles podem desempe-
nhar no ensino.
Como os livros didáticos são 
desenvolvidos?
É válido relembrar que publicar livros didáticos é um co-
mércio. Se as melhores ideias de educadores matemáticos fossem 
incorporadas em um livro didático hoje, este não venderia. Esses 
excelentes livros expostos em livrarias não seriam de nenhum 
valor aos alunos e custariam milhões de reais aos editores.
A maioria dos editores alista como autores tanto educadores 
matemáticos quanto professores que sejam bastante reconheci-
dos em educação matemática. Eles também fazem uma extensa 
pesquisa de mercado para determinar o que venderá e o que os 
professores querem de um livro didático. Em geral há uma lacu-
na signifi cativa entre o que os autores pensam que seria bom e o 
que o editor determina que venderá. O compromisso entre o au-
tor e o mercado se torna a questão. Como consequência, normal-
mente há um lapso de tempo signifi cativo entre o estado da arte* 
da educação matemática e o que aparece em livros didáticos.
Com exceções encontradas em lições ocasionais, a maioria 
dos livros didáticos tradicionais permanece muito próxima de 
um modelo de “ensino expositivo”. A maioria dos professores 
ainda não adaptou o ensino para a abordagem por resolução de 
problemas descrita neste livro. Para a maioria do mercado, é es-
perado que o livro didático ensine e não simplesmente proponha 
tarefas. O livro didático popular é projetado para um professor 
que acredita que o melhor ensino é obtido seguindo o texto e que 
valoriza uma alta proporção de exercícios repetitivos.
Os currículos baseados nos Padrões do NCTM descritos no 
Capítulo 1 são muito diferentes dos textos tradicionais. O seu 
desenvolvimento foi fi nanciado principalmente pela National 
 * N. de T.: Estado da arte é o nível mais alto de desenvolvimento de uma 
área da ciência.
92 John A. Van de Walle
Science Foundation (Fundação Nacional de Ciências, EUA) de 
modo que os editores não arcassem com essa despesa. Os seus 
autores não estavam presos às preocupações do mercado. Para 
usar esses tipos de livros didáticos, os professores têm de inves-
tir uma quantidade signifi cativa de tempo lendo o material para 
professor fornecido pelos mesmos. As lições são orientadas por 
problemas e frequentemente envolvem extensas explorações 
para os alunos. Extensas listas de exercícios não são uma ca-
racterística dos mesmos. O mercado para esses programas está 
crescendo lentamente; em torno de 20% da EI à 5
a
 série e me-
nos do que isso nos anos fi nais do EF e EM. Os livros didáticos 
tradicionais mantêm uma presença dominante na maioria das 
salas de aula.
As edições de professor
As edições do professor dão aos autores consideravelmente 
mais liberdade. As edições do professor quase sempre sugerem 
atividades alternativas ou adicionais completamente separadas 
das apresentadas nas páginas do livro do estudante. Os profes-
sores devem tirar proveito dessa informação. Muitos professores 
interpretam o currículo do livro didático como “carregar os alu-
nos pelas suas páginas” quando de fato os reais objetivos reque-
rem um âmbito muito mais amplo apresentado nas edições do 
professor. As páginas dos livros são apenas uma ferramenta para 
o ensino, não o objetivo, nem o currículo.
A lição em formato de duas páginas
A lição típica de livro didático no livro do aluno é apresenta-
da em duas páginas ou, nas séries mais avançadas, ocasionalmen-
te em quatro páginas. Um padrão observável nessas lições pode 
ser visto em quase toda série de livros didáticos populares. Uma 
parte da primeira página consiste em fi guras e ilustrações que 
descrevem os conceitos para aquela lição. O professor deve usar 
essa seção da página para discutir os conceitos com os alunos. 
Em seguida, temos exemplos “bem-explicados” ou um exercício 
guiado pelo texto para os alunos seguirem. Finalmente, a lição 
termina com uma série de exercícios ou atividades repetitivos, 
normalmente chamados de exercícios de aplicação ou de fi xação. 
Assim, muitas lições mudam quase imediatamente do desenvol-
vimento conceitual para atividades simbólicas ou processuais.
Essa caracterização em três partes de uma lição de livro di-
dático é erroneamente simplifi cada demais. No ciclo da EI à 2
a
 
série onde as crianças escrevem diretamente em fi chas de traba-
lho descartáveis, o que o estudante escreve de todo ou na maioria 
das duas páginas pode estar restrito e bem próximo às fi guras 
signifi cativas ou até mesmo a modelos manipulativos simples. A 
clara adesão às lições de “duas páginas” nem sempre é evidente 
nos textos para 7
a
 e 8
a
 série.
O formato de duas páginas transmite uma mensagem clara 
aos alunos de que as imagens, os conceitos e a parte de discussão 
de uma lição podem ser ignorados. Eles começam a ignorar até 
o professor explicar como fazer os exercícios. Seguir página por 
página e indicar exercícios processuais em todas as lições pode 
negar todos os outros esforços para comunicar a importância do 
raciocínio, do elaborar e testar conjeturas, do justifi car resulta-
dos, em suma, do fazer matemática. Até o mercado (isso inclui 
você) demandar uma abordagem diferente, o método de mostrar 
e dizer (expositivo) dominará os livros didáticos populares.
Sugestões para uso do livro didático
Nossa tarefa como professores é ajudar as crianças a cons-
truir relações e ideias, e não conseguir que eles “preencham pági-
nas”. Deveríamos olhar o livro didático simplesmente como uma 
dentre uma variedade de recursos pedagógicos disponíveis em 
sala de aula. O livro didático não é o objeto de ensino.
Se um professor considerar as limitações do meio impresso 
e compreender que os autores e editores tiveram de fazer esco-
lhas, o livro didático pode ser uma fonte de ideias para elaborar 
lições em vez de prescrições para o que cada lição deve ser. Aqui 
estão algumas sugestões:
Ensine as ideias ou conceitos importantes, não as páginas. ●
Considere mais os objetivos do capítulo do que as atividades 
da lição. O capítulo ou ponto de vista da unidade ajudará a 
enfocar as ideias importantes em vez da atividade necessária 
para completar uma página.
Pense nas partes conceituais das lições como ideias ou ins- ●
pirações para planejar mais atividades baseadas em resolu-
ção de problemas. Os estudantes não têm de preencher as 
páginas de fato. Nem têm de abrir o livro se isso ajudar a 
apresentar a tarefa. (O Capítulo 4 fornece dois exemplos.)
Deixe o ritmo de suas lições para uma unidade ser determi- ●
nada pelo desempenho e compreensão dos alunos em vez da 
norma artifi cial de duas páginas por dia.
Use as ideias da edição do professor. ●
Lembre-se de que não há lei que diga que toda página deve ●
ser feita ou todo exercício completado. Selecione atividades 
adequadas às suas metas instrucionais em vez de elaborar 
um ensino para acompanhar um texto. Sinta-se livre para 
omitir páginas e atividades que você acredita impróprias às 
necessidades de seus alunos e às suas metas educacionais.
O texto normalmente é um bom guia geral para visualizar 
a extensão e a sequência didática. Não há razão para que, como 
professor, lhe seja exigido ser um projetista curricular. Se as 
tarefas e atividades forem adaptadas de páginas que cobrem o 
objetivo que você está ensinando, você pode estar razoavelmen-
te seguro de que eles foram projetados para funcionar bem para 
aquele objetivo. Não é fácil preparar boas tarefas para toda lição. 
Aproveite os textos disponíveis.
Os livros didáticos e outros materiais adicionais (auxiliares) 
normalmente fornecidos pelos editores incluem instrumentos de 
avaliação que podem ser usados para diagnóstico,para guiar o 
ritmo de seu ensino ou para avaliação. No momento, tais tes-
tes são mais prováveis de avaliar habilidades computacionais do 
que compreensão conceitual, resolução de problemas ou outros 
objetivos processuais. Porém, há um claro esforço por parte dos 
editores para desenvolver avaliações melhores para essas habili-
dades de ordem superior.
Áreas fi xadas Baseada na atividade 20.12, p. 415
Nível: 4a ou 5a série.
Objetivos matemáticos
Ajudar a confrontar os conceitos de área e de perímetro. ●
Desenvolver a relação entre área e perímetro em formas di- ●
ferentes quando a área é fi xada.
Comparar e contrastar as unidades usadas para medir perí- ●
metro e aquelas usadas para medir área.
Pensando nos estudantes
Os estudantes trabalharam com as ideias de área e de períme-
tro. Alguns podem determinar a área e o perímetro de algumas 
fi guras e até mesmo declarar as fórmulas para encontrar o perí-
metro e a área de um retângulo. Porém, eles normalmente estão 
confusos sobre qual fórmula usar.
Materiais e preparação
Cada estudante precisará de 36 ladrilhos quadrados tais como ●
“Color Tiles”*, pelo menos duas folhas de papel quadricula-
do de um ou meio centímetro e uma folha com colunas para 
registrar as dimensões, a área e o perímetro de retângulos. 
Fazer uma transparência disso também seria interessante.
Esta atividade pode ser feita em duplas. Se as duplas foram ●
formadas, forneça a cada um 36 ladrilhos quadrados, pois pre-
cisam explorar como os retângulos podem ser construídos.
Ladrilhos para retroprojetor e uma transparência do papel ●
quadriculado e quadro de registro serão úteis para introduzir 
a atividade, bem como para compartilhar as ideias dos alu-
nos posteriormente. Se ladrilhos para retroprojetor não esti-
verem disponíveis, os ladrilhos coloridos servirão, embora 
sejam opacos e tornem mais difícil a visualização.
LIÇÃO
Antes
Comece com uma versão mais simples da tarefa:
Peça que os estudantes construam um retângulo que use 12 ladrilhos em suas mesas. Explique que o retân- ●
gulo deve ser preenchido e não apenas fazer a borda. Depois de deduzir alguns conceitos, peça a um aluno 
que venha ao retroprojetor (ou quadro-negro) e faça um retângulo.
Faça um modelo que esboce o retângulo na transparência quadriculada. Registre as dimensões do retângu- ●
lo no quadro de registro, por exemplo, “2 por 6”.
Pergunte: O que queremos dizer com perímetro? Como medimos o perímetro? Depois de ajudar os alunos ●
a defi nir o perímetro e descrever como é medido, peça que meçam o perímetro desse retângulo. Peça a um 
estudante que venha ao retroprojetor (ou quadro-negro) para medir o perímetro do retângulo. (Ou use o 
retângulo feito de ladrilhos ou aquele esboçado no papel quadriculado.) Enfatize que as unidades usadas 
para medir perímetro são unidimensionais, ou lineares, e que o perímetro é apenas a distância ao redor de 
um objeto. Registre o perímetro no quadro.
Pergunte: O que queremos dizer com área? Como medimos área? Depois de ajudar os alunos a defi nir ●
área e descrever como é medida, pergunte qual a área desse retângulo. Aqui você quer explicitar que as 
unidades de medida de área são bidimensionais e, então, cobrem uma região. Depois de contar os ladrilhos, 
registre a área no quadro.
Desafi e os alunos a construir um retângulo diferente que tenha 12 ladrilhos em suas mesas e registre o pe- ●
rímetro e a área como antes. Os estudantes precisarão decidir o que signifi ca “ser diferente”. Um retângulo 
“2 por 6” é diferente de um retângulo “6 por 2”? Embora sejam congruentes (propriedade intrínseca), eles 
podem querer considerar esses dois retângulos diferentes, considerando a orientação (propriedade extrín-
seca) como um elemento de diferença. Isso pode ser feito nesta atividade.
A tarefa
Descubra quantos retângulos diferentes podem ser feitos com 36 ladrilhos. Determine e registre o perí-
metro e a área para cada retângulo construído.
LIÇÃO EXPANDIDA
 * N. de T.: Color tiles (ladrilhos coloridos) é um produto didático comercializado nos EUA.
Estabeleça expectativas
Escreva as orientações no quadro-negro:
Encontre um retângulo que use ● todos os 36 ladrilhos.
Desenhe o retângulo no papel quadriculado. ●
Meça e registre o perímetro e a área do retângulo na tabela de registro. ●
Encontre um novo retângulo que use ● todos os 36 ladrilhos e repita os passos 2-4.
Durante
Questione os alunos para verifi car se todos eles compreenderam a tarefa e o signifi cado de área e de perí- ●
metro. Procure se há alguém confundindo esses termos.
Verifi que se eles estão desenhando e registrando os retângulos adequadamente na tabela. ●
Depois
Pergunte aos alunos o que eles descobriram sobre perímetro e área. Pergunte: O perímetro permaneceu o ●
mesmo? Isso é o que você esperava? Quando o perímetro é grande e quando é pequeno?
Pergunte aos estudantes como eles podem ter certeza de terem obtido todos os possíveis retângulos. Como ●
a turma, escolha um método sistemático de registrar os retângulos na tabela de registro. Por exemplo, co-
mece com um lado de 1 unidade, então 2 unidades, e assim por diante. Depois de todos terem tido tempo 
para considerar a informação na tabela, peça que os estudantes descrevam o que acontece ao perímetro 
quando o comprimento e a largura mudam. (O perímetro fi ca menor quando o retângulo fi ca mais “gordo”. 
O quadrado possui o menor perímetro.)
NOTAS DE AVALIAÇÃO
Eles estão confundindo perímetro e área? ●
Quando os alunos formam retângulos novos, eles estão conscientes de que a área não muda porque eles ●
estão usando o mesmo número de ladrilhos o tempo todo? Esses alunos podem não saber o que é área, ou 
podem estar confundindo-a com o perímetro.
Estão procurando por padrões de como o perímetro se modifi ca antes de você os orientar para essa ideia? ●
Dois a mais que / dois a menos que Baseada na Atividade 9.11, p. 150
Nível: fi nal da educação infantil e 1a série.
Objetivos matemáticos
Ajudar os alunos a desenvolver as relações conjuntas de “dois ●
a mais que” e “dois a menos que” para números até 12.
Fornecer padrões contínuos de pontos tipo dominó com o ●
objetivo de reconhecimento imediato.
Pensando nos estudantes
Os alunos devem conseguir contar um conjunto com exatidão 
e compreender que contar informa a “quantidade”. Eles podem 
ou não reconhecer conjuntos padronizados ou serem capazes de 
contar para a frente e para trás a partir de um determinado nú-
mero. Para os que ainda têm difi culdade em associar o número 
correto ao conjunto, o componente escrito da atividade pode ser 
omitido.
Materiais e preparação
Esta será uma atividade para centro de trabalho. (Como al- ●
ternativa, os alunos podem fazer a atividade em suas cadei-
ras.) Cada estudante que fi zer a atividade ao mesmo tempo 
precisará dos materiais descritos.
Coloque quatro cartões de pontos, mostrando de três a dez ●
pontos cada, em um saco plástico.
Cada saco também deve ter pelo menos 12 contadores e um ●
lápis.
Faça uma fi cha de registro de dois lados para cada aluno ●
como mostrado aqui. O verso da fi cha é igual à frente, po-
rém com o título “dois a menos que” no topo.
Nome
dois a mais que
LIÇÃO
Antes
A tarefa
Para cada cartão de pontos, a tarefa é fazer um conjunto que tenha dois contadores a mais que os pontos ●
no cartão. De modo semelhante, os alunos farão conjuntos com dois contadores a menos que os pontos no 
cartão. A tarefa é completada com os contadores.
Estabeleça expectativas
Mostre à turma (ou a um pequeno grupo) um saco de cartões e contadores. Esvazie os contadores e selecio- ●
ne um cartão. Peça que um aluno conte os pontos no cartão. Peça que um segundo use os contadores sobre 
o retroprojetor (ou no chão, em um ambiente de roda). Diga: Faça um conjunto que tenha dois contadores 
a mais que os pontos neste cartão.
Discuta com os alunos como eles podem decidir se o conjunto de fato tem dois contadores a mais. Aceite ●
e experimente (teste)as ideias deles. Por exemplo, eles poderiam dizer: Conte cada conjunto. Retire um 
contador para cada ponto. Coloque os contadores em um padrão idêntico ao do cartão de pontos.
Mostre a eles a folha de registro. Mostre os títulos “dois a mais que” e “dois a menos que” no topo. Expli- ●
que que eles registrarão os seus conjuntos de “dois a mais que” na face “dois a mais que”. Demonstre como 
desenhar o mesmo número de pontos primeiro como está no cartão de pontos. Em seguida, mostre como 
desenhar pontos na forma oval para mostrar o número de contadores que eles fi zeram para os seus conjun-
tos de “dois a mais que”. Ao lado de cada conjunto eles devem escrever o número correspondente.
LIÇÃO EXPANDIDA
Se os estudantes estiverem prontos, peça que eles digam como pensam que a face “dois a menos que” deve ●
ser completada. (Você pode escolher fazer apenas uma face da folha de cada vez.)
Explique que os sacos com os contadores e pontos estarão em centros de trabalho ou distribua os sacos ●
neste momento para cada um. Os sacos serão diferentes, assim os papéis de cada estudante também serão 
diferentes.
Durante
Observe os métodos que os alunos usam para contar os pontos nos cartões e criar seus conjuntos. ●
Desafi e-os a explicar como sabem que o conjunto está correto. ●
Focalize os contadores e cartões de pontos reais em vez de as folhas de registro porque essas são menos ●
importantes.
Tarefa-desafi o para os alunos que terminam rápido: Faça conjuntos e registre os números para conjun- ●
tos que sejam “10 a mais que” os determinados conjuntos. Procure pela compreensão dos números das 
dezenas.
Depois (quando todos completarem o centro de trabalho)
Mostre aos estudantes uma folha de papel com seis pontos em um arranjo moldado. Pergunte: Quantos ●
pontos? Como nós podemos dizer quantos pontos são dois a mais que isso? As sugestões dos alunos devem 
estar condicionadas aos métodos que usaram na atividade. Alguns podem saber imediatamente que 8 são 
dois a mais que 6. Comece com aqueles que provavelmente ainda estão desenvolvendo esse raciocínio. 
Faça diferentes estudantes explicarem como fi zeram a atividade.
NOTAS DE AVALIAÇÃO
Como os alunos contam ou sabem quantos pontos estão nos cartões? Eles reconhecem os conjuntos mol- ●
dados ou contam cada ponto? Que padrões eles conhecem?
Como os estudantes criam os conjuntos “dois a mais que”? Há uma indicação da relação dois a mais que ●
estar se desenvolvendo ou já ter sido desenvolvida? Se os alunos trabalharem em ambas as faces do papel, 
procure por conceitos semelhantes para “dois a menos que”.
Procure por facilidade ou difi culdades ao registrar. Os estudantes escrevem os números corretamente com ●
os conjuntos?