Prova_Unidade_III

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IFPB

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José Filho

06/01/2023

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Álgebra

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JOSÉ RUFINO RODRIGUES FILHO AVALIAÇÃO DA UNIDADE III
1. O polinômio caracteŕıstico de A é dado por
p(λ) = det(A− λI) = λ(λ− 2).
Do Teorema de Cayley-Hamilton sabemos que
p(A) = A(A− 2I) = 0,
ou seja, o polinômio caracteŕıstico anula a matriz A.
Com isso, temos que
A(A− 2I) = 0 ⇒ A2 − 2IA = 0 ⇒ A2 = 2IA ⇒ A2 = 2A
Isto é,
A2 = 2A
Logo,
A11 = (A2)5 · A
= (2A)5 · A
= 25 · A5 · A
= 25 · A4 · A2
= 25 · (A2)2 · 2A
= 26 · (2A)2 · A
= 26 · 22 · A2 · A
= 28 · 2A · A
= 29 · A2
= 29 · 2A
= 210 · A.
Portanto,
A11 = 1024 ·
[
1 1
1 1
]
=
[
1024 1024
1024 1024
]
2. Para encontrarmos todos os candidatos a polinômio minimal, precisamos, apenas, fazer
uma combinação dos graus (3, 2) do polinômio caracteŕıstico. Desse modo,
m1(x) = (x− 3)(x− 2)
m2(x) = (x− 3)(x− 2)2
m3(x) = (x− 3)2(x− 2)
m4(x) = (x− 3)2(x− 2)2
m5(x) = (x− 3)3(x− 2)
m6(x) = (x− 3)3(x− 2)2
1
JOSÉ RUFINO RODRIGUES FILHO AVALIAÇÃO DA UNIDADE III
3. Sabemos que um operador T é nilpotente quando existe um número natural n tal que
T n = 0.
Desse modo, tomamos um polinômio arbitrário pm(t), de grau m, isto é,
pm(t) = a0 + a1t+ a2t
2 + · · ·+ am−1tm−1 + amtm
Aplicando o o operador derivação D, temos
D(pm(t)) = a1 + 2a2t+ 3a3t
2 + · · ·+ (m− 1)am−1tm−2 +mamtm−1
Note que, quando aplicamos o operador, as constantes somem e o grau do polinômio
diminue 1. Logo, se aplicarmos o operador derivação m + 1 vezes em um polinômio de
grau m chegaremos ao número zero, isto é, Dm+1(pm(t)) = 0.
Portanto, D é nilpotente com ı́ndice m+ 1.
4.1
A =

3 0 1 0
3 −3 −7 −1
0 0 4 0
0 0 −4 3

Sabemos que o polinômio caracteŕıstico de A é dado por pA(x) = det(A− xI). Assim,
pA(λ) = (λ+ 3)(λ− 4)(λ− 3)2.
Cujos candidatos ao polinômio minimal m(x) de A são:
m1(λ) = (λ+ 3)(λ− 4)(λ− 3)
m2(λ) = (λ+ 3)(λ− 4)(λ− 3)2.
Como m1(A) = 0, decorre que
m1(λ) = (λ+ 3)(λ− 4)(λ− 3)
é o polinômio minimal de A.
Logo, −3, 4 e 3 são autovalores de A, este último com multiplicidade algébrica 2. Impli-
cando que a diagonal da forma canônica de Jordan J de A é constitúıda de dois elementos
iguais a 3, um igual a −3 e um igual a 4. Como o expoente do fator (x+3) no polinômio
mı́nimal é 1, então o primeiro, e único, bloco de Jordan associado ao autovalor −3 de A
é de ordem 1 e é dado por
JA(−3) =
[
−3
]
.
Analogamente,
JA(4) =
[
4
]
Note que teremos dois blocos de Jordan associados ao autovalor 3 de ordem 1. Ou seja,
dois blocos de Jordan da forma
JA(3) =
[
3
]
.
Portanto, a forma canônica de Jordan para A é
J =

−3 0 0 0
0 4 0 0
0 0 3 0
0 0 0 3
 .
2
JOSÉ RUFINO RODRIGUES FILHO AVALIAÇÃO DA UNIDADE III
4.2 Para encontrar a matriz M precisamos, primeiro, determinar os autovetores associados
aos autovalores de A.
Considere X = [x, y, z, w]T . Assim,
� para λ = −3, temos
(A+ 3I)X = 0 ⇒

6 0 1 0
3 0 −7 −1
0 0 7 0
0 0 −4 6


x
y
z
w
 =

0
0
0
0
 ⇒ x = y = z = w = 0 e y ∈ R
Logo, (x, y, z, w) ∈ V (−3) ⇔ (0, y, 0, 0) = x(0, 1, 0, 0) e assim
V (−3) = [(0, 1, 0, 0)]
� para λ = 4, temos
(A− 4I)X = 0 ⇒

−1 0 1 0
3 −7 −7 −1
0 0 0 0
0 0 −4 −1


x
y
z
w
 =

0
0
0
0
 ⇒ z = x, w = −4z e y = 0
Logo, (x, y, z, w) ∈ V (4) ⇔ (x, 0, x,−4x) = x(1, 0, 1,−4) e assim
V (4) = [(1, 0, 1,−4)]
� para λ = 3, temos
(A− 3I)X = 0 ⇒

0 0 1 0
3 −6 −7 −1
0 0 1 0
0 0 −4 0


x
y
z
w
 =

0
0
0
0
 ⇒ z = 0 e w = 3x− 6y.
Logo, (x, y, z, w) ∈ V (3) ⇔ (x, y, 0, 3x− 6y) = x(1, 0, 0, 3) + y(0, 1, 0,−6) e assim
V (3) = [(1, 0, 0, 3), (0, 1, 0,−6)]
Assim, tomamos
M =

0 1 1 0
1 0 0 1
0 1 0 0
0 −4 3 −6
 ,
onde
M−1 =

−1/2 1 7/6 1/6
0 0 1 0
1 0 −1 0
1/2 0 −7/6 −1/6
 .
M é uma matriz invert́ıvel tal que M−1AM = J.
3
JOSÉ RUFINO RODRIGUES FILHO AVALIAÇÃO DA UNIDADE III
5. Os candidatos ao polinômio minimal m(x) são:
m1(x) = (x− 2)(x− 5)
m2(x) = (x− 2)(x− 5)2
m3(x) = (x− 2)2(x− 5)
m4(x) = (x− 2)2(x− 5)2
m5(x) = (x− 2)3(x− 5)
m6(x) = (x− 2)3(x− 5)2
Ao polinômio minimal m1(x) = (x−2)(x−5) temos a seguinte forma canônica de Jordan
associada: 
2 0 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 2 0 0
0 0 0 5 0
0 0 0 0 5
 .
Analogamente, ao polinômio minimal m2(x) = (x− 2)(x− 5)2:
2 0 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 2 0 0
0 0 0 5 1
0 0 0 0 5
 ,
ao polinômio minimal m3(x) = (x− 2)2(x− 5):
2 1 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 2 0 0
0 0 0 5 0
0 0 0 0 5
 ,
ao polinômio minimal m4(x) = (x− 2)2(x− 5)2:
2 1 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 2 0 0
0 0 0 5 1
0 0 0 0 5
 ,
ao polinômio minimal m5(x) = (x− 2)3(x− 5):
2 1 0 0 0
0 2 1 0 0
0 0 2 0 0
0 0 0 5 0
0 0 0 0 5

e ao polinômio minimal m6(x) = (x− 2)3(x− 5)2:
2 1 0 0 0
0 2 1 0 0
0 0 2 0 0
0 0 0 5 1
0 0 0 0 5
 .
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