EEL420-Modulo10

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Circuitos Elétricos I – EEL 420
Módulo 10
Drawing of Michael Faraday's 1831 experiment showing electromagnetic induction
between coils of wire, using 19th century apparatus, from an 1892 textbook on
electricity.
Conteúdo
10 - Elementos de Acoplamento Magnético...............................................................................1
10.1 - Indutores acoplados......................................................................................................1
10.1.1 - Caracterização da indutância mútua.....................................................................2
10.1.2 - Energia armazenada..............................................................................................2
10.1.3 - Coeficiente de acoplamento.................................................................................4
10.1.4 - Enrolamentos múltiplos e matriz de indutância...................................................4
10.1.5 - Ligações série e paralela de indutores acoplados.................................................6
10.2 - Transformadores ideais................................................................................................9
10.2.1 - Transformador de impedância............................................................................11
10.3 - Acoplamento magnético e fontes controladas............................................................12
10.4 - Exercícios...................................................................................................................12
10.5 - Soluções.....................................................................................................................18
Circuitos Elétricos – EEL420 – UFRJ 2
10 Elementos de Acoplamento Magnético
10.1 Indutores acoplados
Quando mais de uma bobina são colocadas próximas o campo magnético de uma
interage com o campo magnético da outra criando um acoplamento entre elas. Assim, cria-se
indutores acoplados que podem ser descritos como
1= f 1i1, i 2
2= f 2i1, i2
v1=
∂1
∂ t
=
∂ f 1
∂ i1
⋅
∂ i1
∂ t

∂ f 1
∂ i2
⋅
∂ i 2
∂ t
v2=
∂2
∂ t
=
∂ f 2
∂ i 1
⋅
∂ i1
∂ t

∂ f 2
∂ i 2
⋅
∂ i2
∂ t
assim, se os indutores forem lineares e invariantes
v1t =L11⋅
di1t 
dt
M 12⋅
di2t 
dt
v2(t )=M 21⋅
di1(t)
dt
+L22⋅
di2(t )
dt
ou
1t =L11⋅i1t M 12⋅i2t 
Circuitos Elétricos – EEL420 – UFRJ 1
1t =M 21⋅i 1t L22⋅i 2t 
onde L11 e L22 são as auto indutâncias de cada indutor separadamente e M12 e M21 são as
chamadas indutâncias mútuas dos indutores acoplados e medidas em Henrys.
Estas relações também são válidas para o regime permanente senoidal
V 1= j⋅ω⋅L11⋅I 1+ j⋅ω⋅M 12⋅I 2
V 2= j⋅ω⋅M 21⋅I 1+ j⋅ω⋅L22⋅I 2
10.1.1 Caracterização da indutância mútua
Embora os sinais de L11 e L22 sejam sempre positivos, o sinal de M12 e M21 podem ser
negativos porém sempre são iguais e será chamado simplesmente M. O sinal de M depende da
forma como se dá o acoplamento entre os indutores e pode ser determinado
experimentalmente, por exemplo, se L2 for mantido em aberto e uma corrente positiva i1
circular pelo indutor L1, a tensão v2 terá o mesmo sinal de M pois
v2(t )=M 21⋅
di1(t )
dt
+L22⋅
di2(t )
dt
Quando o sinal de M é importante utiliza-se uma notação de ponto junto aos indutores
de forma que, se os sentidos de referência das correntes entram nos terminais marcados com
pontos, o acoplamento M é positivo.
10.1.2 Energia armazenada
A energia armazenada na indutância mútua pode ser calculada como
ε(i 1( t) , i2( t))=∫
0
t
[v1(t ' )⋅i1(t ')+v2(t ' )⋅i2(t ' )]⋅dt '
ε(i1(t ) , i2(t))=∫
0
t [ L11⋅i1⋅di1dt ' ±M⋅(i1⋅di2dt ' +i2⋅di1dt ' )+L22⋅i 2⋅di2dt ' ]⋅dt '
Circuitos Elétricos – EEL420 – UFRJ 2
Para obter a energia armazenada nestes indutores acoplados é necessário integrar i1
com relação a i2 e i2 com relação a i1. O problema que aparentemente é simples, na verdade,
esconde a interação entre i1 e i2, o que impede o cálculo direto desta integral. Uma solução
alternativa consiste em levar a corrente i1 para o seu valor final enquanto i2=0 e, depois, levar
a corrente i2 para seu valor final enquanto i1 é mantida constante. Calculando a energia, assim,
por partes, obtemos como resultado
ε(i1(t ) , i2(t)=0)=
1
2
⋅L11⋅i1
2
ε(i1(t )=cte ,i 2(t))=±M⋅i1⋅i2+
1
2
⋅L22⋅i 2
2
ε(i1(t ) , i2(t))=
1
2
⋅L11⋅i1
2±M⋅i1⋅i 2+
1
2
⋅L22⋅i2
2
ε(i1(t ) , i2(t))=ε(i 1( t) ,0)±M⋅i1⋅i2+ε(0, i2(t ))
ou seja, considerando as correntes positivas, a energia total acumulada pode ser maior
que a soma das energias de cada autoindutância, se M for positivo, mas pode ser menor caso o
M seja negativo. Se M for negativo, entretanto, a energia armazenada não pode ser negativa.
Esta situação de energia zero nos leva a um valor limite para M que pode ser calculado
resolvendo a equação da energia considerando uma corrente fixa (i2, por exemplo) e a outra
variando. Para facilitar a análise, a equação da energia
ε(i1(t ) , i2(t))=
1
2
⋅L11⋅i1
2−M⋅i1⋅i2+
1
2
⋅L22⋅i2
2 ,
pode ser reescrita na forma padrão de uma parábola
ε(i1(t ) , i2(t ))=
1
2 [(√L11⋅i1+ M√L11⋅i 2)
2
+(L22−M 2L11 )⋅i 22] ,
ε(i1(t ) , i2(t ))=
1
2 [(√L11⋅i1+ M√L11⋅i 2)
2
+( L22⋅L11−M 2L11 )⋅i22]
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com vértice em i1=−(M /L11)⋅i2 e energia mínima em ε=(L11⋅L22−M
2) /(2⋅L11)⋅i 2
2 .
Assim para que a energia seja sempre maior ou igual a zero √L11⋅L22≥M .
10.1.3 Coeficiente de acoplamento
A corrente i1 que passa por um indutor produz um fluxo magnético igual a
φ=c1⋅N1⋅i1
onde c1 é uma constante que depende das propriedades magnéticas e da geometria do
núcleo e N 1 é o número de espiras do enrolamento. Assim, 
v1=N1⋅
d φ
dt
=c1⋅N 1
2 di1
dt
 e L1=c1⋅N 1
2 .
Este mesmo fluxo também passa pelo segundo enrolamento induzindo uma tensão
v2=N 2⋅
d φ
dt
=cM⋅N1⋅N 2⋅
di1
dt
onde N 2 é o número de espiras do segundo enrolamento e cM⋅N 1⋅N 2 é a indutância
mútua. Então
L1⋅L2=(c1⋅N1
2)⋅(c2⋅N2
2)=c1⋅c2⋅(N 1⋅N 2)
2=( cM⋅N1⋅N2k )
2
=M
2
k2
onde k=cM /√(c1⋅c2) é chamado de coeficiente de acoplamento e depende de
características geométricas e magnéticas do núcleo. O fator de acoplamento é mais
comumente expresso como
k= |M|
√L11⋅L22
≤1
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10.1.4 Enrolamentos múltiplos e matriz de indutância
Se mais de dois indutores lineares invariantes são acoplados, com sentidos de
referência passivo adotado para cada indutor, a relação entre eles é dada por um sistema de
equações lineares
1=L11⋅i1L12⋅i 2L13⋅i3
2=L21⋅i1L22⋅i2L23⋅i3
3=L31⋅i1L32⋅i 2L33⋅i 3
que pode ser reescrito utilizando uma notação matricial, tal que
=L⋅i
e
v=L⋅d i
dt
e a matriz de indutância L é quadrada e simétrica, de forma que L12=L21, L13=L31,.... e
desta forma também é possível definir a matriz indutância inversa
=L−1
OBS.: Se a matriz de indutâncias for uma matriz 2x2 a sua inversa pode ser facilmente
calculada pelas fórmulas
11=
L22
det L
, 22=
L11
det L
, 12=21=
−L12
detL
O uso desta matriz inversa da indutância facilita cálculos quando se utiliza análise de
correntes de nó
i⋅=
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ou seja
i1=11⋅112⋅2
i2=21⋅122⋅2
e
i1=11⋅∫
0
t
v1t ' ⋅dt '12⋅∫
0
t
v2t ' ⋅dt 'i10
i2=21⋅∫
0
t
v1t ' ⋅dt '22⋅∫
0
t
v2t ' ⋅dt 'i20
do ponto de vista de fasores
I 1=
11
j⋅
⋅V 1
12
j⋅
⋅V 2
I 2=
21
j⋅
⋅V 1
22
j⋅
⋅V 2
10.1.5 Ligações série e paralela de indutores acoplados
Parao circuito entre os pontos A e B.
vTOT=v1v2
logo
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d 
dt
=
d 1
dt

d 2
dt
se as condições iniciais são nulas
tot=12
tot=L11⋅i1M⋅i 2M⋅i 1L22⋅i 2=L11L222⋅M ⋅i
logo 
LEQ=L11L222⋅M
Por analogia, para o circuito entre os pontos a e b:
LEQ=L11L22−2⋅M
Ligações em paralela podem ser deduzidas de forma semelhante. Por simplicidade
utiliza-se a matriz inversa da indutância.
 EQ= 11 22±2⋅∣ 12∣
Exemplo: Calcular a função de rede H  j⋅ω =
V 2
I s
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A matriz de impedância é
L=[ L MM L ]=L⋅[1 kk 1 ]
=L−1= 1
1−k 2 ⋅L
⋅[1 kk 1 ]
( ) ( )j ts Si t I e w× ×= Â ×
( ) ( )2 2 j tv t V e w× ×=Â ×
( ) 2
s
VH j
I
w× =
1 1 2 1 2V j L I j M I j L I j L k Iw w w w= × × × + × × × = × × × + × × × ×
2 1 2 1 2V j M I j L I j L k I j L Iw w w w= × × × + × × × = × × × × + × × ×
I 1=
Γ 11
j⋅ω
⋅V 1
Γ 12
j⋅ω
⋅V 2=
1
j⋅ω⋅L1−k 2
⋅V 1−k⋅V 2
I 2=
Γ 12
j⋅ω
⋅V 1
Γ 22
j⋅ω
⋅V 2=
1
j⋅ω⋅L 1−k 2 
⋅−k⋅V 1V 2
Equacionando as correntes do nó 1 temos
1R C SI I I I+ + =
( ) ( )1 22 2
1
1 1 S
kG j C V V I
j L k j L k
w
w w
é ù
ê ú+ × × + × - × =
× × - × × -ê úë û
Equacionando as correntes do nó 2 temos
2 0C RI I I+ + =
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( ) ( )1 22 2
1 0
1 1
k V G j C V
j L k j L k
w
w w
é ù
ê ú- × + + × × + × =
× × - × × -ê úë û
Somando as duas equações e trabalhando as parcelas podemos chegar a
( ) ( )1 2
1
1 2
SIG j C V V
j L k
w
w
é ù
+ × × + × + =ê ú× × +ë û
Subtraindo as duas equações e trabalhando as parcelas podemos chegar a
( ) ( )1 2
1
1 2
SIG j C V V
j L k
w
w
é ù
+ × × + × - =ê ú× × -ë û
as equações acima descrevem dois circuitos RLC paralelo, ressonantes, separados,
com indutâncias iguais a L(1+k) e L(1-k) respectivamente e com fasores de tensão (V1+V2) e
(V1-V2). A tensão de saída V2 pode ser obtida pela subtração dos dois fasores de tensão. Então
podemos resolver cada circuito separadamente e depois subtrair as tensões
( )
2
1
1
1L C k
w =
× × + , ( )
2
2
1
1L C k
w =
× × -
1 1Q C Rw= × × , 2 2Q C Rw= × ×
( )1 1 1 1
1 1
2 1 / /S
V I R
j Q w w w w
= × × ×
+ × × -
( )2 2 2 2
1 1
2 1 / /S
V I R
j Q w w w w
= × × ×
+ × × -
( ) ( )2 1 1 1 2 2 2
1 1 1
2 1 / / 1 / /S
V I R
j Q j Qw w w w w w w w
é ù
= × × × -ê ú+ × × - + × × -ë û
e a função de rede é
( ) ( ) ( )
2
1 1 1 2 2 2
1 1 1
2 1 / / 1 / /S
VH j R
I j Q j Q
w
w w w w w w w w
é ù
× = = × × -ê ú+ × × - + × × -ë û
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10.2 Transformadores ideais
Os transformadores são elementos de circuito obtidos com ao menos duas bobinas
construídas sobre um núcleo magnético de permeabilidade elevada. Nesta idealização
considera-se que a dissipação de energia é nula em cada bobina, as indutâncias próprias são
infinitas e os acoplamentos magnéticos são unitários (veja exercício resolvido no fim do
módulo). O núcleo apresenta permeabilidade infinita, não existem capacitâncias parasitas.
Uma representação mais precisa do transformador real pode ser obtida com a associação de
elementos RLC e o transformador ideal ou indutância mútua.
v1=L11⋅
di1
dt
+M⋅
di 2
dt
 e v2=M⋅
di1
dt
+L22⋅
di2
dt
como k=1, M=√L11⋅L22
v1=L11⋅
di1
dt
+√L11⋅L22⋅
di2
dt
v2=√L11⋅L22⋅
di1
dt
+L22⋅
di 2
dt
v2=√L11⋅L22⋅
di1
dt
+
L22⋅v1
√L11⋅L22
−
L22⋅L11
√L11⋅L22
⋅
di 1
dt
v1
v2
=√ L11L22
Como v1=n1⋅
d 1
dt
, v2=n2⋅
d2
dt
 e 1=2= , então
Circuitos Elétricos – EEL420 – UFRJ 10
1 1
2 2
v n
v n
= .
Como as perdas no transformador ideal são nulas a potência de entrada é transferida
para a saída. Em outras palavras a energia não é armazenada nem dissipada no transformador.
p1=−p2
logo
v1⋅i1=−v2⋅i2
e 
v1
v2
=−
i2
i1
=
n1
n2
.
10.2.1 Transformador de impedância
Os efeitos das impedâncias conectadas a um dos enrolamentos de um transformador
aparecem nos demais enrolamentos. Está relação é chamada de transformação de impedância.
Por exemplo, em um transformador de dois enrolamentos onde uma resistência é conectada
em paralelo com o segundo enrolamento, a impedância de entrada do circuito, vista pelo lado
do primeiro enrolamento é
RE=
v1
i1
=
(n1/n2)⋅v2
−(n2/ n1)⋅i2
=(n1n2)
2
⋅( v2−i 2)
como
v2=−RL⋅i2
então
RE=( n1n2)
2
⋅RL
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Esta relação de transformação de impedâncias vale para qualquer impedância
complexa em uma análise de regime permanente senoidal. Isto significa que um
transformador pode ser utilizado para uma função chamada casamento de impedância, para,
por exemplo, maximizar a transferência de potência entre dois sistemas de impedâncias
distintas. Por exemplo, casar a impedância de um alto falante de 8 com a impedância de
saída de um amplificador valvulado de 800. Usar um transformador com relação de espiras
de 10:1.
10.3 Acoplamento magnético e fontes controladas
Os acoplamentos magnéticos estudados neste módulo podem ser descritos por fontes
controladas associadas a indutores desacoplados. Neste caso, o acoplamento entre as
diferentes partes do circuito é deixado a cargo das fontes controladas. A figura abaixo mostra
como fazer as substituições para indutores acoplados e transformadores ideais.
10.4 Exercícios
1) Calcular as indutâncias equivalentes para as redes abaixo. Considere que a
indutância mútua de cada rede vale M.
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LEQ=
L11⋅L22−M
2
L11L22∓2⋅M
2) Um circuito com três indutâncias mutuas, funcionando em regime permanente, é
mostrado na figura abaixo. Determinar a tensão vo(t).
3) Encontre a expressão para Vo(jw). Considere o circuito em regime permanente
senoidal.
4) Sabendo que o circuito ao lado está em regime permanente senoidal, calcule: a) a 
impedância de entrada Zin(jw); b) a potência média fornecida pela fonte de corrente; a 
potência média dissipada no resistor.
Circuitos Elétricos – EEL420 – UFRJ 13
5) Determine o que é necessário para que a associação de indutâncias do primeiro
circuito seja equivalente aos indutores acoplados do segundo circuito.
6) Para o circuito abaixo e para as condições de regime permanente determine: a) A
expressão de iR1(t); b) A potência média fornecida pela fonte.
7) No circuito abaixo, determine a expressão para a corrente i em função dos
elementos RLC. vo é a tensão sobre o capacitor (positivo em cima).
Circuitos Elétricos – EEL420 – UFRJ 14
8) Considerando o circuito abaixo, onde os elementos são lineares e invariantes: a)
Qual a impedância Z(jw) para o circuito RLC paralelo? b) Qual o valor de R que maximiza
sua dissipação de energia? c) Nesta situação qual a potência entregue pela fonte? d) se
VC(0=2V e IL(0)=1A, qual o valor de IS(t) em regime permanente?
9) Determinar a tensão sobre L9.
10) Sabendo que V1 é uma fonte cossenoidal com ∣V 1∣=0,707V RMS e 79,577 Hz
calcule a potência média dissipada em R8.
Circuitos Elétricos – EEL420 – UFRJ 15
11) Determine o que é necessário para que as duas redes sejam equivalentes.
12) O circuito abaixo está em regime permanente. Determine o valor de ZL para a
máxima transferência de energia. Qual a potência média sobre ZL.
13) Determinar V1 para que I=1∢0o
Circuitos Elétricos – EEL420 – UFRJ 16
14) Calcule o equivalente Thèvenin entre os terminais A e B do circuito abaixo.
15) Calcule a corrente I. Considere que Zc é resistiva com potência de 43,9W para220V nominais.
16) Calcular as correntes A1, A2 e as tensões V1 e V2. Considere que
V 4=60⋅√2∢−90 .
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10.5 Soluções
1) Calcular as indutâncias equivalentes para as redes abaixo. Considere que a
indutância mútua de cada rede vale M.
LEQ=
L11⋅L22−M
2
L11L22∓2⋅M
2) Um circuito com três indutâncias mutuas, funcionando em regime permanente, é
mostrado na figura abaixo. Determinar a tensão vo(t).
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I 1⋅R1R2 j⋅⋅[L1L3 – 2⋅M 13 ]−I 2⋅R2 j⋅⋅[L3−M 23−M 13M 12] =V 1
−I 1⋅R2 j⋅⋅[L3−M 13M 12−M 23 ]I 2⋅R2R3 1j⋅⋅C1 j⋅⋅[L2L3−2⋅M 23 ]=0
V O=
1
j⋅⋅C1
⋅I 2
3) Encontre a expressão para Vo(jw). Considere o circuito em regime permanente
senoidal.
4) Sabendo que o circuito ao lado está em regime permanente senoidal, calcule: a) a 
impedância de entrada Zin(jw); b) a potência média fornecida pela fonte de corrente; a 
potência média dissipada no resistor.
V 1=L1⋅j⋅⋅I 1M⋅ j⋅⋅I 2= j⋅I 1 j⋅0,5⋅I 2
V 2=M⋅j⋅⋅I 1L2⋅ j⋅⋅I 2= j⋅0,5⋅I 1 j⋅2⋅I 2
V 2=−R⋅I 2=−8⋅I 2= j⋅0,5⋅I1 j⋅2⋅I 2
I 2=−
j⋅0,5
8 j⋅2
⋅I 1
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V 1= j⋅I 1 j⋅0,5⋅I 2= j⋅I 1 j⋅0,5⋅
− j⋅0,5
8 j⋅2
⋅I 1= j 0,258 j⋅2⋅I 1
V 1
I 1
=Z 1= j
0,25
8 j⋅2
= 1340,99⋅ j
P Fonte=
1
2
⋅∣I 1
2∣⋅ℜ{Zin}=1
2
⋅22⋅ 1
34
=0,059W
PR=
1
2
⋅∣I 2
2∣⋅R=1
2
⋅∣2⋅− j⋅0,58+ j⋅2 ∣
2
⋅8=0,059 W
5) Determine o que é necessário para que a associação de indutâncias do primeiro
circuito seja equivalente aos indutores acoplados do segundo circuito.
Nas indutâncias acopladas (considerando I2 saindo do ponto)
V 1=L1⋅j⋅⋅I 1−M⋅ j⋅⋅I 2
V 2=M⋅j⋅⋅I 1−L2⋅ j⋅⋅I 2
Nos indutores ligados em T:
V 1=La⋅ j⋅⋅I 1Lb⋅j⋅⋅ I 1−I2
Circuitos Elétricos – EEL420 – UFRJ 20
V 2=Lb⋅ j⋅⋅ I 1− I2−Lc⋅ j⋅⋅I2
Manipulando as equações dos indutores acoplados:
V 1=L1⋅ j⋅⋅I 1−M⋅j⋅⋅I 2M⋅ j⋅⋅I 1−M⋅ j⋅⋅I 1
V 1=L1−M ⋅j⋅⋅I 1M⋅ j⋅⋅ I 1−I 2
V 2=−L2⋅ j⋅⋅I 1M⋅ j⋅⋅I 2M⋅j⋅⋅I 2−M⋅ j⋅⋅I 2
V 2=−L2−M ⋅ j⋅⋅I 2M⋅ j⋅⋅ I 1−I 2
La=L1−M , Lb=M , Lc=L2−M
6) Para o circuito abaixo e para as condições de regime permanente determine: a) A
expressão de iR1(t); b) A potência média fornecida pela fonte.
As equações de malhas são:
I 1⋅(R1+ L1⋅ j⋅ω+ L2⋅ j⋅ω+2⋅M⋅ j⋅ω) – I 2⋅(L2⋅ j⋅ω+M⋅ j⋅ω )−V 1=0
−I 1⋅L2⋅j⋅M⋅ j⋅ I 2⋅L2⋅ j⋅R2=0
7) No circuito abaixo, determine a expressão para a corrente i em função dos
elementos RLC. vo é a tensão sobre o capacitor (positivo em cima).
Circuitos Elétricos – EEL420 – UFRJ 21
Equacionando as tensões de nós:
V B1 – vg1
R1 j⋅X L1
– 0,1⋅vo
V B1−vo
R2
=0
vo
j⋅X C3

vo – V B1
R2

1
2
⋅
vo
2
−vg2
R3 j⋅X L2
=0
8) Considerando o circuito abaixo, onde os elementos são lineares e invariantes: a)
Qual a impedância Z(jw) para o circuito RLC paralelo? b) Qual o valor de R que maximiza
sua dissipação de energia? c) Nesta situação qual a potência entregue pela fonte? d) se
VC(0=2V e IL(0)=1A, qual o valor de IS(t) em regime permanente?
9) Determinar a tensão sobre L9.
Circuitos Elétricos – EEL420 – UFRJ 22
LEQ=
L11⋅L10 – M
2
L11L10−2⋅M
=∞
Observe que k=−1 significa que o acoplamento se dá em sentido contrário ao
indicado. Para facilitar as contas é possível inverter a marca no indutor L4 e considerar k e M
positivos.
M=k⋅L8⋅L9=1
Restam três malhas. Supondo suas correntes em sentido horário
I M1⋅ 1j⋅⋅C1 j⋅⋅L8R8−I M2⋅ j⋅⋅L8− j⋅⋅M −I 1⋅ 1j⋅⋅C1=0
−I M1⋅ j⋅⋅L8− j⋅⋅M  I M2⋅ j⋅⋅L9 j⋅⋅L8R7 – 2⋅ j⋅⋅M −I 1⋅R7=0
VL9 com o positivo para o lado esquerdo da figura, pode se determinado por
V L9=I M2⋅ j⋅⋅L9 j⋅⋅M⋅ I M1−I M2
e
=1
10) Sabendo que V1 é uma fonte cossenoidal com ∣V 1∣=0,707V RMS e 79,577 Hz
calcule a potência média dissipada em R8.
Circuitos Elétricos – EEL420 – UFRJ 23
−V 1
I M1
j⋅⋅C3
I M1⋅R6 I M1−I M2⋅L1⋅j⋅
I M1 –
I M1
N
j⋅⋅C4
V 2=0
I M1
N
– I M1
j⋅⋅C 4
−
I M1
N
– I M1
2

I M1
N
⋅R8N⋅V 2=0
I M2⋅j⋅⋅L1
I M2
j⋅⋅C5
I M2⋅R7
I M1
N
– I M1
2
=0
11) Determine o que é necessário para que as duas redes sejam equivalentes.
Para as tensões apenas (vale se houver uma fonte de tensão em V 1 ou V 2 )
V 2=L3⋅ j⋅ω⋅I 2+√L2⋅L3⋅j⋅ω⋅I 1
V 1=L2⋅ j⋅ω⋅I 1+√ L2⋅L3⋅ j⋅ω⋅I 2
Circuitos Elétricos – EEL420 – UFRJ 24
I 1=
V 1 – √L2⋅L3⋅ j⋅ω⋅I 2
L2⋅ j⋅ω
V 2=L3⋅ j⋅ω⋅I 2+√L2⋅L3⋅j⋅ω⋅[V 1 – √L2⋅L3⋅j⋅ω⋅I 2L2⋅ j⋅ω ]
V 2=L3⋅ j⋅ω⋅I 2+
√L2⋅L3⋅ j⋅ω⋅V 1
L2⋅ j⋅ω
–
L2⋅L3⋅ j⋅ω
2⋅I 2
L2⋅j⋅ω
V 2=L3⋅ j⋅ω⋅I 2+√ L3L2⋅V 1 – L3⋅ j⋅ω⋅I 2
V 2=N⋅V 1= L3L2⋅V 1
N=√ L3L2
Levando em conta a impedância
V 1=L2⋅ j⋅ω⋅I 1+√ L2⋅L3⋅ j⋅ω⋅I 2
V 2=L3⋅ j⋅ω⋅I 2+√L2⋅L3⋅j⋅ω⋅I 1
se houver uma carga no secundário então
V 2=−I 2⋅Z x
−I 2⋅Zx=L3⋅ j⋅ω⋅I 2+√ L2⋅L3⋅j⋅ω⋅I 1
I 2=
−√ L2⋅L3⋅ j⋅ω⋅I 1
L3⋅ j⋅ω+Z x
V 1=L2⋅ j⋅ω⋅I 1+
(√L2⋅L3⋅ j⋅ω)⋅(−√L2⋅L3⋅ j⋅ω⋅I 1)
L3⋅ j⋅ω+Z x
Circuitos Elétricos – EEL420 – UFRJ 25
V 1= I 1⋅( L2⋅j⋅ω⋅Z xL3⋅j⋅ω+Z x)
V 1
I 1
= 1
N 2
=( L2⋅ j⋅ω⋅Z xL3⋅ j⋅ω+Z x )
Se L2→∞ e L3→∞
V 1
I 1
= 1
N 2
=( L2⋅j⋅ω⋅Z xL3⋅j⋅ω )= L2L3⋅Z x
Portanto, as condições necessárias para a igualdade são: 
N= L3L2 , L2→∞ e L3→∞ .
12) O circuito abaixo está em regime permanente. Determine o valor de ZL para a
máxima transferência de energia. Qual a potência média sobre ZL.
13) Determinar V1 para que I=1∢0o
Circuitos Elétricos – EEL420 – UFRJ 26
j⋅X EQ1= j⋅X C1 j⋅X L7= j⋅3
j⋅X EQ2= j⋅X L3 // j⋅X L4
j⋅X M2=k⋅ j⋅X L3⋅ j⋅X L4= j⋅1
j⋅X EQ2=
j⋅X L3⋅ j⋅X L4 – j⋅X M2
2
j⋅X L3 j⋅X L4−2⋅ j⋅X M2
=
j⋅2⋅ j⋅2− j⋅1
j⋅2 j⋅2− j⋅2
= j⋅3
2
j⋅X EQ4= j⋅X L5 // j⋅X L6
j⋅X EQ4=
j⋅X L5⋅j⋅X L6 – j⋅X M4
2
j⋅X L5 j⋅X L6−2⋅j⋅X M4
=
j⋅1⋅j⋅3− j⋅4
j⋅1 j⋅3− j⋅4
=∞
j⋅X EQ3= j⋅X L8 j⋅X L9 j⋅X M3= j⋅2 j⋅5 j⋅2= j⋅9
Para simplificar podemos fazer o equivalente Thèvenin de V1, L1 e L2 
j⋅X M= j⋅X L1⋅ j⋅X L2
I 1=
V 1− j⋅X M⋅I 2
j⋅X L1
=
V 1
j⋅X L1
− j⋅X L2j⋅X L1⋅I 2
V 2= j⋅X M⋅I 1 j⋅X L2⋅I 2= j⋅X L2j⋅X L1⋅V 1 – j⋅X L2⋅I 2 j⋅X L2⋅I 2= j⋅X L2j⋅X L1⋅V 1=V 12
V th=V 2 , Z th=0
Circuitos Elétricos – EEL420 – UFRJ 27
14) Calcule o equivalente Thèvenin entre os terminais A e B do circuito abaixo.
Para simplificar podemos calcular a indutância equivalente entre os pontos P e Q. Por
simetria observa-se que a corrente por L10, é zero e, portanto, ele pode ser retirado do circuito.
Assim, o equivalente entre os pontos P e Q pode ser calculado como sendo
j⋅X EQ= j⋅XL11 j⋅X L12 //  j⋅X L13 j⋅X L14= j⋅20
Um dos lados do transformador esta conectado em paralelo com uma fonte de tensão,
então seu equivalente será: no primário a fonte V 2 e no secundário uma fonte de valor 2⋅V 2 .
15) Calcule a corrente I. Considere que Zc é resistiva com potência de 43,9W para
220V nominais.
Circuitos Elétricos – EEL420 – UFRJ 28
Refletindo a impedância Zc e X C2 para o primário do transformador.
Z P1=(n11n12 )
2
⋅Z S1=4⋅Z C – j⋅45
Refletindo a impedância do secundário do outro transformador.
Z P2=(n21n22)
2
⋅Z S2= j⋅5+5+
9
4
⋅Z C – j⋅5
ZC=
V 2
P
=220
2
43,9
=1102,5
Z EQ1= j⋅X L16 // Z P2=247,5 j⋅247,5
I=
V 3
Z TOT
=
V 3
Z EQ1Z 4R5 j⋅X L15
= 600
300 j⋅300
=1− j
16) Calcular as correntes A1, A2 e as tensões V1 e V2. Considere que
V 4=60⋅√2∢−90 .
Circuitos Elétricos – EEL420 – UFRJ 29
Fazendo as correntes de malha em sentido anti-horário
j⋅X M=k⋅ j⋅X L23⋅ j⋅X L24= j⋅5
−60√2⋅ j+5⋅j⋅I 1+15⋅ j⋅( I 1 – I 2)+5⋅j⋅( I 1 – I 3)+5⋅j⋅( I 3 – I 2)=0
60⋅ j⋅I 3+5⋅ j⋅( I 3 – I 1)+5⋅ j⋅( I 3 – I 2)+5⋅j⋅( I−3 – I 1)+5⋅j⋅(I 3 – I 2)=0
15⋅j⋅I 2+15⋅j⋅( I 2 – I 1)+5⋅ j⋅( I−2−I 3)– 5⋅j⋅( I 3 – I 1)=0
I 1=−3⋅√2
I 2=−√2
I 3=
−√2
2
V 1=−75⋅√2⋅ j
V 2=30⋅√2⋅ j
Circuitos Elétricos – EEL420 – UFRJ 30
	10 Elementos de Acoplamento Magnético
	10.1 Indutores acoplados
	10.1.1 Caracterização da indutância mútua
	10.1.2 Energia armazenada
	10.1.3 Coeficiente de acoplamento
	10.1.4 Enrolamentos múltiplos e matriz de indutância
	10.1.5 Ligações série e paralela de indutores acoplados
	10.2 Transformadores ideais
	10.2.1 Transformador de impedância
	10.3 Acoplamento magnético e fontes controladas
	10.4 Exercícios
	10.5 Soluções