M E XI Grupo

Prévia do material em texto

19
	
Cássimo Lourenço Caiza
Fulgêncio Andrade Machaule
João Francisco Magaia
Mónica Florinda Mabunda
Matemática Escolar
(Equações e inequações irracionais) 
Universidade Pedagógica
Faculdade de Ciências Naturais e Matemática
Maputo
2020
3
			
	
	 
Cássimo Lourenço Caiza
Fulgêncio Andrade Machaule
João Francisco Magaia
Mónica Florinda Mabunda
Matemática Escolar
(Equações e inequações irracionais) 
	· Equações irracionais
· Inequações irracionais
Resolução analítica e gráfica.
 Trabalho por apresentar no Departamento de Matemática para ser analisado pelo Docente Salomão Munguambe. 
Universidade Pedagógica
Faculdade de Ciências Naturais e Matemática
Curso de Licenciatura em Ensino de Matemática 
Maputo
Maio de 2020	
Índice										 Páginas
1.	Introdução	4
2.	Objectivos	4
2.1.	Geral	4
2.2.	Específicos	4
3.	Equação e inequação irracional	5
3.1.	Equação irracional	5
3.1.1.	Resolução de equações irracionais	5
a)	Radicando Linear	5
b)	Radicando Quadrático ()	6
c)	Igualdade de expressões irracionais	9
i)	Radicais com mesmo índice:	9
ii)	Radicais com índices diferentes	9
d)	Produto e quociente de equações irracionais	10
i)	Produto de equações irracionais	10
ii)	Quociente de equações irracionais	12
3.2.	Inequações irracionais	13
a)	Radicando Linear	13
b)	Radicando quadrático	14
c)	Expressões irracionais simples (Comparação entre radicais)	15
d)	Expressões irracionais fraccionárias	16
4.	Conclusão	18
	Referências bibliográficas	19
			
	
1. Introdução
Ao relacionar a diagonal e o lado de um pentágono, “símbolo da magna escola pitagórica” um dos discípulos de Pitágoras, trouxe ao mundo o 1o número irracional, o que levou a queda daquela instituição mas, trouxe ao mundo o estudo para esses números. No presente trabalho, desenrolar-se-á mecanismos e critérios de resolução de equações e inequações irracionais, não só, como também as resoluções analítica e gráfica.
2. Objectivos
2.1. Geral 
· Conhecer equações e inequações irracionais.
2.2. Específicos 
· Identificar equações e inequações irracionais; 
· Distinguir uma equação da inequação irracional;
· Resolver equações e inequações irracionais.
3. Equação e inequação irracional 
3.1. Equação irracional
Toda a expressão algébrica sujeita a um radical e a operações matemáticas, com variável e que figura igualdade na sua estrutura.
Exemplo: 
3.1.1. Resolução de equações irracionais
As equações irracionais, por figurarem radical na sua estrutura, exigem na sua resolução o domínio de existência.
a) Radicando Linear
;
Regras: 	
Achar o domínio de existência:
Sendo um radical de índice par “2” o seu radicando deve ser maior ou igual a zero;
 
 	
 Cabe a solução da respectiva equação pertencer a este domínio para a sua validação.
Elevar os dois membros à potência igual ao índice do radical, neste caso 2.
 Reduzindo o radical com a potência se tem:
; , então, 1 é solução da equação dada.
b) Radicando Quadrático ()
i) 
;
 
 
 
 
 
ii) (anulamento do produto)
Sendo um radical de índice impar, o seu radicando admite qualquer valor dentro do conjunto ;
; 
; , são números reiais, então são solução da equação.
iii) ; (isolamento discreto do C) 
Resolução: 
 
; os dois valores são solução da equação irracional dada.
iv) (Caso notável) 
v) Completa 
Quando a expressão quadrática é completa usa-se a fórmula resolvente ou caso notável da diferença de quadrados.
;
Fórmula resolvente 
Uso de caso notável:
.
c) Igualdade de expressões irracionais 
i) Radicais com mesmo índice:
;
;
É notável que a solução desta equação (embora exista), não satisfazem a equação; assim:
Elevando os dois membros à potência igual ao índice se tem:
;
Essas soluções não satisfazem a equação, uma vez que não satisfazem o domínio de existência da equação.
ii) Radicais com índices diferentes
Neste contexto, procura se ter o mesmo índice entre radicais, fazendo ;
O valor do do índice afecta o radicando;
Tendo o mesmo índice, iguala se os radicandos e resolve se normalmente.
; ;
; neste caso o de 2 e 3 é 6, então:
São soluções reais.
d) Produto e quociente de equações irracionais 
i) Produto de equações irracionais
; 
Neste caso, voltamos ao critério do ;
Chegado ao mesmo índice, multiplica se os radicandos.
;
Chegado neste ponto, resta-nos decompor o polinómio usando os métodos matemáticos conhecidos. Por exemplo o algoritmo da divisão ou o uso da regra de Ruffin.
Para 
i) Algoritmo da divisão:
	
 
	
	
)
	
	 
 
	
	 
 
	
	 
 
	
	 
	
Valores superiores a 2 não podem ser solução dessa equação.	
ii) Quociente de equações irracionais
Os dois valores são solução da equação irracional dada.
3.2. Inequações irracionais 
Toda a expressão algébrica sujeita a um radical e a operações matemáticas, com variável e que figura desigualdade na sua estrutura.
Exemplo: 
Tal como nas equações irracionais, as inequações irracionais carecem de domínio de existência onde este deve se anuir ao conjunto solução da inequação.
Exemplos:
a) Radicando Linear
;
;
O conjunto solução final é a intersecção dos conjuntos obtidos no domínio de existência e na resolução.
 
Solução: 
b) Radicando quadrático 
Toda inequação com expoente maior ou igual a 2, passa pela equação para se calcular as suas raízes e depois usa se o método gráfico ou analítico para se ler sua solução.
;
	Sol: 
;
	
Sol: 
Assim, o conjunto solução final será a intersecção entre o conjunto do domínio de existência e a solução da resolução.
Solução final: 
 .
c) Expressões irracionais simples (Comparação entre radicais)
;
 Sol: 
;
 de 2 e 4 é igual a 4.
;
;
Sol: 
Nesse caso, a solução final será:
 Solução: 
Solução final: 
d) Expressões irracionais fraccionárias 
Sol: 
Resolvendo: 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Solução final: 
4. Conclusão
No estudo de equações e inequações irracionais deve se observar na íntegra o domínio de existência dessa equação ou inequação, porque nem sempre a solução obtida satisfaz a equação dada dai que a solução da equação deve pertencer ao domínio de existência dessa, e quanto às inequações irracionais a solução final dessa é a intersecção dos conjuntos analíticos obtidos desde o domínio de existência até à solução da resolução. Caso não haja intersecção entre o domínio de existência e a resolução, a solução dessa expressão é o conjunto vazio. Se uma expressão irracional é igualada a uma racional, o domínio de existência não só deve ser para a irracional mas também para a racional sendo essa resultado duma irracional principalmente quando o índice do radical é par.
5. Referências Bibliográficas 
GOMES, DE SÁ.J, renovar as práticas do primeiro ciclo pela vida das ciências naturais. Porto ed itora Ltd. 1994 
DUARTE, Stela, et a l. Manual de Supervisão de Práticas pedagógicas, Editora: Educar Up, Maputo, 2008. 
LIBÂNEO, J. C. Didáctica. São Paulo, Cortez Editor a, 2006. Maputo, 2008. 
KARNAL, Leandro (org.) História na sala de aula: conceitos, práticas e proposta. São Paulo: Contexto, 2003.