GEOMETRIA EUCLIDIANA AULA 5

Prévia do material em texto

10/01/23, 13:13 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 1/23
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA EUCLIDIANA
AULA 5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10/01/23, 13:13 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 2/23
 
Prof. Elzério da Silva Júnior
CONVERSA INICIAL
Olá! Seja bem-vindo a mais uma aula!
Hoje estudaremos importantes conceitos sobre circunferência, círculo e segmentos, bem como
quadriláteros relativos a circunferência e círculo.
No Tema 1, apresentaremos as definições de circunferência e círculo, elementos necessários para
o entendimento de outros temas. No Tema 2, abordaremos as posições relativas entre circunferência
e reta e circunferência e circunferência. No Tema 3, desenvolveremos segmentos tangentes a
circunferências, quadriláteros circunscritíveis e suas propriedades. No Tema 4, é a vez de
entendermos os conceitos de ângulo central, congruência e comparação entre arcos. Finalmente, no
Tema 5, estudaremos ângulos inscritos, ângulos de segmento e suas relações com ângulo central.
Na seção Na Prática, faremos uma série de exercícios para reforçar e elevar seu nível de
conhecimento dos conteúdos abordados nesta aula.
TEMA 1 – ELEMENTOS DE CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULOS
Antes de iniciarmos as definições, gostaríamos de observar um fato pouco conhecido entre
muitos colegas de magistério. O mérito desta contribuição deve-se ao professor Alexandre Trovon,
da Universidade Federal do Paraná.
A tradução portuguesa do livro Os elementos, feita em 1774 por João Chysostomo de Faria e
Souza de Vasconcelas e Sá, baseada na tradução latina de Frederico Commandino no século XVI,
trouxe alguns problemas que até hoje carregamos no ensino de geometria. Um deles é a confusão
entre as definições de circunferência e círculo. A tradução portuguesa cita que “círculo é uma figura
plana, fechada por uma só linha, a qual se chama circunferência, de forma que todas as linhas retas,
10/01/23, 13:13 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 3/23
que de certo ponto existente no meio da figura se conduzem para a circunferência, são iguais entre
si”. O grifo são os acréscimos feitos pelo tradutor sem aviso prévio ao leitor.
Se Euclides considerou círculo como contorno e seu interior, houve contradição em sua
proposição 10 do Livro III: “um círculo não corta outro círculo em mais do que dois pontos”. Dessa
forma, haveria a possibilidade de haver uma infinidade de pontos de intersecção entre dois círculos.
No entanto, como este é um assunto de muito debate e em sua esmagadora maioria os livros
diferenciam circunferência e círculo, sem contradições utilizaremos também essas definições.
1.1 DEFINIÇÃO DE CIRCUNFERÊNCIA
Dado um plano π, uma distância r e um ponto fixo O. Circunferência é o conjunto de pontos de
π que têm distância do ponto O igual a r. O ponto dado é o centro da circunferência e a distância
dada é seu raio.
Figura 1 – Circunferência
Outra forma de definir circunferência é:
Seja um plano , um ponto  e uma distância .
 em que  é a circunferência.
1.2 DEFINIÇÃO DE CÍRCULO
Dado um plano , uma distância  e um ponto fixo . Círculo é o conjunto de pontos de  que
tem distância do ponto  menor ou igual a .
10/01/23, 13:13 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 4/23
Essa definição nos diz que círculo é a união da circunferência com seu interior. Todos os outros
elementos da circunferência são os mesmos para o círculo.
1.3 POSIÇÃO DE UM PONTO EM RELAÇÃO AO CÍRCULO
Dado um ponto , um plano  e uma circunferência . O ponto P pode ser interno, externo ou
pertencer à circunferência.
O ponto  é interno a  pois, ;
O ponto  é externo a  se ;
O ponto  se 
Se um ponto é interno, é chamado de ponto interior. Se o ponto é externo, é chamado ponto
exterior.
Figura 2 – Posição de um ponto em relação ao círculo
1.4 DEFINIÇÕES DE CORDA, DIÂMETRO E RAIO
Corda é um segmento com extremidades na circunferência.
Diâmetro é uma corda que passa pelo seu centro da circunferência.
Raio é a distância do centro até um ponto da circunferência.
Figura 3 – Corda, diâmetro e raio
10/01/23, 13:13 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 5/23
1.5 DEFINIÇÕES DE ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA
Seja uma circunferência   de centro   e dois pontos   e   pertencentes a   (que não sejam
extremidades de um diâmetro). Temos, dessa forma, dois arcos determinados por  e : arco menor
e arco maior.
Figura 4 – Arco de circunferência
Arco menor  é o conjunto da reunião dos pontos  e  com os pontos pertencentes à  e
interiores ao ângulo .
Arco maior   é o conjunto da reunião dos pontos  e   com os pontos pertencentes à   e
exteriores ao ângulo .
Quando citarmos o arco , estaremos nos referindo ao arco menor. Para citar o arco maior,
marcaremos um ponto X neste arco e denotaremos como .
Uma observação importante é que a semicircunferência é o arco cujas extremidades são as
extremidades de um diâmetro e os dois arcos são congruentes.
10/01/23, 13:13 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 6/23
Da mesma forma em que se tem arco menor e arco maior, temos também setor circular maior e
setor circular maior. Portanto, dado um círculo de centro   e dois pontos   e   incidentes na
circunferência (que não sejam extremidades de um diâmetro), definimos como setor circular.
1.6 SETOR CIRCULAR
Setor circular menor  é a união do conjunto de pontos dos raios  e  e todos os pontos
do círculo que estão no interior do ângulo .
Figura 5 – Setor circular
Setor circular maior  é a união do conjunto de pontos dos raios  e  e todos os pontos
do círculo que estão no exterior do ângulo .
Quando citarmos o setor circular , estaremos nos referindo ao arco menor. Quando for
necessário, será deixado bem claro que nos referimos ao setor circular maior.
1.7 SEGMENTO CIRCULAR
Segmento circular menor  é a intersecção entre o círculo e o semiplano com origem na reta
 que não contém o centro.
Segmento circular maior  é a intersecção entre o círculo e o semiplano com origem na reta
 que contém o centro.
Figura 6 – Segmento circular
10/01/23, 13:13 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 7/23
Da mesma forma que setor e segmento, quando citarmos o segmento circular  será sempre o
menor.
Um semicírculo será um setor circular ou segmento circular com extremidades num diâmetro.
TEMA 2 – POSIÇÕES RELATIVAS
No estudo de retas e circunferências ou círculos, é importante conhecer a posição que uma
ocupa em relação à outra. Estão juntas? De que forma estão juntas? Estão distantes? Quão distantes?
Interceptam? Neste tema, estudaremos a posição que retas e circunferências se relacionam.
2.1 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE UMA RETA E UMA CIRCUNFERÊNCIA
Considerando uma circunferência de centro  e raio , uma reta t e  a distância entre o centro
da circunferência e a reta . Se , a reta é exterior à circunferência; se , a reta é secante à
circunferência; e se , a reta é tangente à circunferência.
Figura 7 – Posições relativas entre uma reta e uma circunferência
10/01/23, 13:13 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 8/23
2.2 DEFINIÇÃO DE RETA EXTERIOR A UMA CIRCUNFERÊNCIA
Uma reta é exterior a uma circunferência se não acontecer intersecção entre elas. Nesse caso,
não há ponto comum entre reta e circunferência.
Figura 8 – Reta exterior a uma circunferência
2.3 DEFINIÇÃO DE RETA TANGENTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA
Uma reta é tangente a uma circunferência se a intersecção acontecer em um apenas um ponto.
O ponto comum é o ponto de tangência. Diz-se que a reta e a circunferência são tangentes.
Figura 9 – Reta tangente a uma circunferência
2.4 DEFINIÇÃO DE RETA SECANTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA
Uma reta é secante a uma circunferência se a intersecção acontecer em dois pontos.
Figura 10 – Reta secante a uma circunferência
10/01/23, 13:13 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 9/23
2.5 PROPOSIÇÃO 4
Seja uma circunferência , uma corda  em , não passando pelo centro,  é o ponto médio
de se, e somente se,  éperpendicular a .
Demonstração da primeira parte ( )
Hipótese: M é médio de AB não passando pelo centro.
Tese: .
Figura 11 – Proposição 4
Podemos afirmar que os triângulos  e  são congruentes pelo caso LLL, pois 
 (ambos são raios da circunferência) e  é comum e . Assim, os ângulos homólogos são
congruentes e, em particular os ângulos  e  são congruentes e . Mas
estes ângulos também formam um par linear. Logo . Então,
 e finalmente , ou seja, .
Demonstração da recíproca ( )
Hipótese: .
10/01/23, 13:13 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 10/23
Tese: M é médio de AB não passando pelo centro.
Podemos afirmar que os triângulos   e   são congruentes pelo caso especial de
triângulo retângulo cateto hipotenusa, pois   (ambos são raios da circunferência) e   é
comum. Assim, os lados homólogos são congruentes e, em especial, . Assim, M é ponto
médio do segmento .
2.6 PROPOSIÇÃO 5
A mediatriz de uma corda passa pelo centro da circunferência.
Demonstração:
Hipótese:  é mediatriz de .
Tese: r passa pelo centro O.
Supor que r passe por O’ interior de . Então, os triângulos  e   são congruentes
pelo caso LAL, pois ,   e   é ângulo reto pela proposição
anterior. Então, seus lados homólogos são congruentes, em especial . Logo, pela definição
de circunferência, O’ é centro da circunferência.
Figura 12 – Proposição 5
2.7 PROPOSIÇÃO 6
Se a reta t é perpendicular a um raio na sua extremidade da circunferência, então é tangente à
circunferência.
10/01/23, 13:13 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 11/23
Demonstração:
Hipótese: .
Tese: t é tangente a .
Figura 13 – Proposição 6
Supor que t seja secante a   Então, t passa pelo ponto B, distinto de A e incidente à
circunferência. Como , a reta  é oblíqua. Assim, temos o triângulo retângulo  com 
  sendo hipotenusa. Então, . Pela definição de ponto externo, B é ponto externo e A é
único de intersecção entre reta e circunferência, portanto, tangente.
2.8 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
Dadas duas circunferências  e  com  e definamos  como distância entre
os centros das circunferências. Existem cinco possibilidades de posições entre estas circunferências.
Observe as posições.
Figura 14 – Posições relativas entre duas circunferências
10/01/23, 13:13 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 12/23
TEMA 3 – SEGMENTOS TANGENTES E QUADRILÁTEROS
CIRCUNSCRITÍVEIS
3.1 TEOREMA 37
Seja uma circunferência  e um ponto P exterior. Se por P forem conduzidas duas tangentes à
circunferência com interceptos em A e B, então os segmentos  e  são congruentes.
Demonstração:
Hipótese:  e    são tangentes a .
Tese: .
Considerando o ponto   como centro da circunferência e que a tangente e o raio são
perpendiculares, temos o caso “cateto hipotenusa” de congruência de triângulos retângulos. Então,
os lados homólogos do triângulo são congruentes, em especial, 
10/01/23, 13:13 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 13/23
Figura 15 – Teorema 37
Outra conclusão dessa congruência é que como os ângulos homólogos são congruentes, o
segmento  é bissetriz do ângulo .
3.2 DEFINIÇÃO DE QUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO
Quadrilátero circunscrito a uma circunferência é aquele que tem todos seus lados tangentes à
circunferência.
Figura 16 – Quadrilátero circunscrito
3.3 TEOREMA 38
Um quadrilátero convexo ABCD é circunscritível se a soma das medidas de dois lados opostos é
igual a soma das medidas dos outros dois lados.
Demonstração:
Hipótese:  é quadrilátero convexo e circunscritível.
Figura 17 – Teorema 38
10/01/23, 13:13 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 14/23
Tese: .
Se o quadrilátero ABCD é circunscritível, seus lados tangenciam a circunferência em quatro
pontos E, F, G e H. Pelo teorema anterior, temos:
      e . Portanto, ),  
 e .
Então,
TEMA 4 – CONGRUÊNCIA E COMPARAÇÃO DE ARCOS
4.1 DEFINIÇÃO DE CIRCUNFERÊNCIAS CONGRUENTES
Circunferências congruentes são aquelas em que seus raios são congruentes.
Figura 18 – Circunferências congruentes
4.2 DEFINIÇÃO DE ÂNGULO CENTRAL
10/01/23, 13:13 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 15/23
Ângulo central é aquele em que o vértice é o centro da circunferência e seus lados, o raio da
circunferência.
Figura 19 – Ângulo central
4.3 DEFINIÇÃO DE ARCOS CONGRUENTES
Dois arcos são congruentes se seus respectivos ângulos centrais e raios das circunferências
forem congruentes.
Figura 20 – Arcos congruentes
4.4 DEFINIÇÃO DE ADIÇÃO DE ARCOS
Dada a circunferência  e os pontos A, B e C incidentes em  de forma que o ponto B esteja
entre A e C, temos então os ângulos ,  e  e .
Figura 21 – Adição de arcos
10/01/23, 13:13 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 16/23
Se numa circunferência   a soma dos ângulos ,   e   for
, então a soma dos arcos será .
4.5 COMPARAÇÃO DE ARCOS
Se numa circunferência   comparando os ângulos centrais   e   tivermos ,
então, em relação aos arcos, 
Figura 22 – Comparação de arcos
4.6 DEFINIÇÃO DE UNIDADE DE ARCO
A medida da unidade de um arco de circunferência é igual à medida de ângulo central de um
ângulo unitário.
Figura 23 – Unidade de arco
TEMA 5 – ÂNGULOS INSCRITO E DE SEGMENTO
5.1 DEFINIÇÃO DE ÂNGULO INSCRITO
10/01/23, 13:13 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 17/23
Um ângulo é inscrito a uma circunferência se seu vértice incide na circunferência e seus lados
são secantes a ela.
Na figura, o ângulo  é um ângulo inscrito na circunferência  e o ângulo  é seu ângulo
central.
Figura 24 – Ângulo inscrito
Dizemos que o arco  é arco subentendido dos ângulos central  e ângulo inscrito .
5.2 TEOREMA 39
A medida do ângulo inscrito é a metade da medida do ângulo central correspondente. Para
provar tal teorema, devemos considerar e provar três situações em que os ângulos central e inscritos
podem formar.
Demonstração do caso 1:
Hipótese:
 é ângulo central e
 é ângulo inscrito na circunferência
.
Tese:
.
Figura 25 – Teorema 39
10/01/23, 13:13 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 18/23
Demonstração do caso 1:
O ângulo  = , pois é ângulo externo referente ao ângulo . Mas o triângulo
  é isósceles, pois   e   são raios da circunferência. Então, temos . Mas
 Assim, =  e concluímos que 
Demonstração do caso 2:
Temos as somas  e . Do  o ângulo
pois é ângulo externo referente ao ângulo . Do   o ângulo
pois é ângulo externo referente ao ângulo . Mas os triângulos  e 
 são isósceles, pois ,  e  são raios da circunferência. Então, temos  e .
Assim, =  e = . (II)
De (I) e (II), temos   e concluímos
que 
Demonstração do caso 3:
Do , temos que é isósceles, pois  e  são raios da circunferência e, portanto, 
Assim, = . Temos também que   é ângulo externo e, portanto,
Do , temos que é isósceles, pois  e  são raios da circunferência e, portanto, 
Assim, = . Temos também que   é ângulo externo e, portanto,
Pela soma e subtração de ângulos, temos:
 e concluímos que .
10/01/23, 13:13 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 19/23
5.2.1 OBSERVAÇÕES
Do fato de uma semicircunferência ter , pode-se concluir que:
Todo ângulo reto inscrito subentende uma semicircunferência.
Um triângulo com dois vértices nas extremidades de um diâmetro é triângulo retângulo.
5.3 DEFINIÇÃO DE QUADRILÁTERO INSCRITÍVEL
Um quadrilátero é inscritível se todos os seus vértices incidem na circunferência.
5.4 TEOREMA 40
Se um quadrilátero convexo estiver inscrito numa circunferência, então, seus ângulos opostos
são suplementares.
Demonstração:
Hipótese:  é inscritível.
Tese: 
Figura 26 – Teorema 40
O ângulo  é inscrito, então, subentende o arco . Portanto,  O ângulo  é inscrito,
então subentende o arco portanto . Mas os arcos   e   somam . Então
 De forma análoga, .
10/01/23, 13:13 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 20/23
5.5 DEFINIÇÃO DE ÂNGULO DE SEGMENTO
O ângulo de segmento relativo a uma circunferência é aquele que tem vértice na circunferência,
um dos lados secantee o outro tangente à circunferência.
Na figura, o ângulo  é ângulo central e o ângulo  é inscrito.
Figura 27 – Ângulo de segmento
5.6 PROPOSIÇÃO 7
Um ângulo de segmento é a metade do ângulo central correspondente.
5.7 DEFINIÇÃO DE ARCO CAPAZ
Dados dois pontos   e   incidentes numa circunferência, o ângulo central   e um ângulo
inscrito . Arco capaz é o lugar geométrico dos vértices  dos ângulos inscritos que subentendem
o arco 
Todos os ângulos  têm a mesma medida.
Figura 28 – Arco capaz
10/01/23, 13:13 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 21/23
NA PRÁTICA
1. Considere O o centro da circunferência e determine o valor das incógnitas.
a) 
b) 
2.  As retas r, s e t são tangentes às circunferências e  nos pontos A, T e B, conforme
figura a seguir. Determine a medida do ângulo  se a medida do ângulo .
FINALIZANDO
Nesta aula, estudamos importantes conceitos de circunferência, círculo e segmentos, e
quadriláteros relativos à circunferência e ao círculo.
No Tema 1, foram apresentadas definições de circunferência, círculo e elementos necessários
para o entendimento dos outros temas. No Tema 2, foi a vez de posições relativas entre
circunferência e reta e circunferência e circunferência. No Tema 3, desenvolvemos segmentos
tangentes a circunferências, quadriláteros circunscritíveis e suas propriedades. No Tema 4, vimos os
10/01/23, 13:13 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 22/23
conceitos de ângulo central, de congruência e de comparação entre arcos. Já no Tema 5, foram
estudados ângulos inscritos, ângulos de segmento e suas relações com ângulo central.
Na seção Na Prática, apresentamos uma série de exercícios para reforçar e elevar seu nível de
conhecimento dos conteúdos abordados nesta aula.
REFERÊNCIAS
BARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana plana. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de
Matemática, 2006.
BOYER, C. B. História da matemática. São Paulo: Edgard Blucher Ltda., 1999.
DOLCE, O. Fundamentos de matemática elementar: geometria plana. 7. ed. São Paulo: Atual,
1993. v. 9.
COUCEIRO, K. C. U. S. Geometria euclidiana. Curitiba: InterSaberes, 2016.
LEVI, B. Lendo Euclides: a matemática e a geometria sob um olhar renovador. Rio de Janeiro:
Civilização Brasileira, 2008.
MANFIO, F. Fundamentos da Geometria. ICMC USP.
MOISE, E. E. Elementary geometry from an advanced stanpoint. 2. ed. Nova York: Addison-
Wesley Publishing Company, Inc.
MUNIZ NETO, A. C. Geometria. SBM, 2013. Coleção PROFMAT.
10/01/23, 13:13 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 23/23