Prova de Mestrado em Engenharia Civil

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Mestrado em Engenharia Civil 
ESTRUTURAS PRÉ-ESFORÇADAS 
Prova de avaliação – Época Recurso 
10/julho/2018 
Prova teórica – Cotação: 8 valores; Duração: 1h00m 
 
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NOME: ____________________________________________________________ Nº ___________ 
 
 
 
1. (3,0 val.) Defina, quantificando em função das excentricidades indicadas para cada caso, a carga 
equivalente de pré-esforço para as situações abaixo representadas: 
 
 
 
 
 
2. (1,0 val) Um cabo com 8 metros de comprimento é esticado a 0,75 fpuk a partir de uma extremidade. 
Atendendo ao pequeno comprimento, as perdas por atrito são desprezáveis. Determine o valor da 
perda por entrada das cunhas, cujo valor de escorregamento se estima em 4 mm. 
Materiais: Ep = 190 GPa; fpuk = 1860MPa 
 
 
 
 
Nº______________ 
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3. A figura 1 representa o alçado de uma laje com 0,40 m de espessura, pré-esforçada por meio de 
cordões não aderentes, com o traçado esquemático indicado (duas parábolas sem concordância no 
apoio central). Para além do seu peso próprio, a laje está submetida às seguintes ações: 
 
 - restantes cargas permanentes: 2 kN/m2 
 - sobrecarga (1=0,6; 2=0,4): 3 kN/m2 
 
Figura 1 – Traçado do cabo 
 
a) (2,0 val) Determine a força de pré-esforço de forma a equilibrar as cargas permanentes. 
 
b) (2,0 val.) Determine o diagrama dos momentos hiperestáticos de pré-esforço. 
 
NOTA: 
O valor do momento na secção do apoio central devido a cargas uniformemente distribuídas é −
∙
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mestrado em Engenharia Civil 
ESTRUTURAS PRÉ-ESFORÇADAS 
Prova de avaliação – Época Recurso 
10/julho/2018 
Prova prática – Com Consulta Cotação: 12 valores; Duração: 2h30m 
 
NOME: ____________________________________________________________ Nº ___________ 
 
1. (6 val.) A figura representa uma viga de secção 2,00 m de largura por 0,80 m de altura, que suporta 
lajes pré-fabricadas de cada lado com vãos de 6,0 m. A viga tem um vão de 20 m. A viga é igualmente 
pré-fabricada, mas é pré-esforçada por pós–tensão após a sua colocação no local e montagem 
das lajes. A viga tem um funcionamento estrutural independente das lajes, havendo uma folha de 
neoprene a separar os elementos. 
 
Figura 1 – Secção transversal da viga 
 
Para além do seu peso próprio, a viga encontra-se submetida aos seguintes esforços: 
Peso próprio das lajes: 4 kN/m2 
Restante carga permanente: 3 kN/m2 
Sobrecarga: 10 kN/m2 (ψ1 = 0,4; ψ2 = 0,2) 
Nos cálculos seguintes considere que as tensões nas armaduras de pré-esforço são σp∞ = 1000 MPa e 
σpo = 1200 MPa. 
 
a) (1,5 val.) Determine o valor da força de pós-tensão a aplicar à viga por forma a garantir a 
verificação do estado limite de descompressão para a aplicação das cargas relativas à combinação 
de ações frequentes. Determine o número de cordões. 
b) (1,5 val.) Efetue a verificação de segurança em relação ao estado limite último de resistência, 
calculando, caso necessário, as armaduras ordinárias. 
c) Determine o estado de tensão na viga, para as seguintes situações: 
(0,5 val.) i – Aplicação da pós-tensão. 
(0,5 val.) ii – Instalação das restantes cargas permanentes. 
(0,5 val.) iii – Combinação de ações frequentes. 
(1,5 val.) iv – Combinação de ações raras. Na eventualidade de a secção se encontrar fendilhada, 
determine as tensões corretas. 
Para cada caso comente os resultados à luz do estipulado no EC2. 
Na eventualidade de a regulamentação não ser cumprida, efetue as modificações que entenda 
necessárias para passar a respeitá-la. 
 
Materiais: 
Betão: C40/50 (não pode ser alterado) 
Armadura de pré-esforço: fpuk=1860 MPa; Ep=190 GPa; Ap1cordão=1,5 cm2 
Armadura ordinária: A500 
 
 
 
Nº______________ 
2. (6 val.) Considere a figura seguinte que representa o alçado de um apoio de um viaduto. O tabuleiro 
é materializado por um conjunto de longarinas que apoiam nas carlingas, as quais, por seu lado, 
apoiam em 3 pontos sobre as travessas que coroam os pilares. As carlingas recebem de cada lado um 
conjunto de seis longarinas, simplesmente apoiadas, com 14 m de comprimento. As carlingas e as 
travessas apresentam uma dimensão fora do plano (espessura) de 0.50m. O tabuleiro apresenta um 
recobrimento em asfalto betuminoso com 0.10m de espessura (peso específico 20kN/m3). Sobre as 
longarinas deve ainda ser considerada uma sobrecarga de 5kN/m2 (ψ1 = 0,6; ψ2 = 0,4). Considere 
para as tensões nas armaduras de pré-esforço σp∞ = 1100 MPa e σpo = 1250 MPa. 
a) (1,0 val.) Determine o valor das acções transmitidas pelas longarinas a cada carlinga 
(separe em cargas permanentes e sobrecargas) e a carga total descarregada pela carlinga na 
travessa. Determine os valores das reacções de apoio da carlinga, sabendo que os apoios laterais 
(sobre os pilares) recebem 35.5% da carga total e que o apoio central recebe apenas 29.0%. 
b) (1,0 val.) Para a TRAVESSA, determine uma solução de pré-esforço por pós-tensão que verifique 
o estado limite de descompressão para as combinações de acções frequentes, constituída por 
cabos bilineares com a configuração representada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) (1,5 val.) Admitindo que a solução de pré-esforço adoptada é de 2 cabos de 12 cordões cada e 
que o faseamento construtivo é o seguinte: construção dos pilares  betonagem das travessas  
colocação de apoios de neoprene  betonagem das carlingas  colocação in-situ das longarinas 
pré-fabricadas  aplicação do asfalto, determine a partir de que fase é possível aplicar pré-esforço 
nas travessas, garantindo as disposições regulamentares preconizadas no EC2. 
d) (0,5 val.) Verifique se as disposições regulamentares estão verificadas para as combinações de 
acções raras ou características. 
e) (2,0 val.) Admitindo a solução descrita nas alíneas b) e c) e que a tensão de puxe é de 0.75fpuk, 
calcule as perdas instantâneas ao longo do cabo. 
 
Materiais: 
Betão: C45/55 (não pode ser alterado) 
Armadura de pré-esforço: fpuk=1860 MPa; Ep=190 GPa; Ap1cordão=1,5 cm2 
 Muito baixa relaxação (4%); =0.18; k=0.005m-1; s=4mm 
8 m
Betuminoso (0.10m)
1 
m
Longarinas
Carlinga
TRAVESSA
Pilares
0.
75
12 m
2 m
0.40
0.25
0.
6
8 m
0.
37
5
10