Resumo de polinômios

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POLINÔMIOS
INTRODUÇÃO AOS POLINÔMIOS
polinômio é qual expressão na forma:
𝑎
𝑛
𝑥𝑛 + 𝑎
𝑛−1
𝑥𝑛−1 + 𝑎
𝑛−2
𝑥𝑛−2 +... + 𝑎
1
𝑥 + 𝑎
0
(onde são constantes reais, podendo valer zero, as𝑎
potências de são sempre naturais).𝑥
● ordem do polinômio
○ é igual ao expoente da potência
mais alta com coeficiente não nulo
do polinômio, ou seja, ,𝑥2 + 2𝑥 + 1
é um polinômio de grau ou ordem
dois.
● nomenclatura
○ monômio: 𝑥2
○ binômio: 𝑥3 + 1
○ polinômio: 𝑥2 + 2𝑥 + 1
● valor numérico
○ basta substituir o valor no nosso
polinômio.
𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 1, 𝑥 = 1
𝑃(1) = 2
● igualdade de polinômios
○ dois polinômios são iguais quando
todos os seus coeficientes são
iguais.
𝑥2 + 2𝑥 + 1 ≠ 𝑥2 + 2𝑥
PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO
● fator comum em evidência
no polinômio tem o como fator2𝑥 + 2𝑦 2
comum, por isso, vamos colocar o em evidência,2
ou seja, .2(𝑥 + 𝑦)
● agrupamento
usando o fator comum na soma
temos ,2𝑥 + 2𝑦 + 𝑥2 + 𝑥𝑦 2(𝑥 + 𝑦) + 𝑥(𝑥 + 𝑦)
note que o se repete dentro do parênteses,𝑥 + 𝑦
por isso, colocamos em evidência, logo,
.(𝑥 + 𝑦)(2 + 𝑥)
● diferença de quadrados
𝑥2 − 𝑎2 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 + 𝑎)
um exemplo de diferença dos quadrados é
que na forma fatorada fica𝑥2 − 9 = 𝑥2 − 32
, logo, a subtração de dois termos(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)
vira o produto de outros dois.
● quadrados perfeitos
𝑥2 + 2𝑦𝑥 + 𝑦2 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)2
o mesmo vale para
.𝑥2 − 2𝑦𝑥 + 𝑦2 = (𝑥 − 𝑦)2
● cubo perfeito
quando temos ,𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑏2𝑎 + 𝑏3
fazemos a mesma ideia do quadrado perfeito, ou
seja, , o mesmo vale para a subtração(𝑎 + 𝑏)3
.𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑏2𝑎 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)3
(𝑎 ± 𝑏)𝑛 ≠ 𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛
RAÍZES
raízes são os valores da variável que
fazem com que o polinômio seja igual a zero, ou
seja, .𝑃(𝑥) = 0
● polinômio de:
○ grau um: uma raiz.
○ grau dois: duas raízes.
○ grau três: três raízes.
● teorema das raízes racionais
dado o polinômio geral
, se𝑎
𝑛
𝑥𝑛 + 𝑎
𝑛−1
𝑥𝑛−1 + 𝑎
𝑛−2
𝑥𝑛−2 +... + 𝑎
1
𝑥 + 𝑎
0
pudermos representar as raízes do polinômio na
forma , então, garantimos que é divisível por𝑝𝑞 𝑎𝑛 𝑞
e é divisível por . o primeiro coeficiente é𝑎
0
𝑝
divisível pelo denominador e o último é divisível𝑞
pelo numerador .𝑝
REDUÇÃO DE GRAU: BRIOT-RUFFINI
● divisão de polinômio por briot-ru�ni
dado o exemplo , podemos2𝑥
5−3𝑥2−2𝑥−3
𝑥−1
escrever (onde𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥)𝐷(𝑥) + 𝑅(𝑥)
e , é o quociente𝑃(𝑥) = 2𝑥5 − 3𝑥2 − 2𝑥 − 3 𝐷(𝑥) = 𝑥 − 1 𝑄(𝑥)
@raysantori 1
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que vamos encontrar e vai ser o resto que vamos𝑅(𝑥)
encontrar).
○ armando o quadro
na parte superior esquerda,
colocamos o valor no qual o
denominador zero, ou seja:
na parte superior direita,
colocamos os coeficientes do
polinômio no numerador, não
esquecendo dos zeros, ou seja,
.2𝑥5 + 0𝑥4 + 0𝑥3 − 3𝑥2 − 2𝑥 − 3
○ multiplique e some
repita o primeiro coeficiente da
parte superior direita na parte de
baixo.
multiplique o número pelo
coeficiente na parte superior
esquerda.
some, então, o resultado com o
coeficiente a direita e posicione o
resultado logo abaixo, deste.
1. 2 + 0 = 2
○ repita
o último termo é o da divisão.𝑅(𝑥) =− 6
para montar o resultado pegue cada um
dos coeficientes da parte inferior direita com
exceção do último e monte o polinômio de um
grau a menos que o que dividimos, ou seja:
.𝑄(𝑥) = 2𝑥4 + 2𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 3
prova real:
2𝑥5 − 3𝑥2 − 2𝑥 − 3 = (𝑥 − 1)(2𝑥4 + 2𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 3) + (− 6)
.
● teorema do resto
considerando a divisão , o resto𝑃(𝑥)𝑥−𝑎 𝑅(𝑥)
da divisão será .𝑅(𝑥) = 𝑃(𝑎)
BINÔMIO DE NEWTON
● números binomiais
o número binomial será da seguinte forma:
(onde e ). (onde𝑛 ∈ ℵ 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛
).𝑥! = 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)... 3. 2. 1
● termo geral
se for , ficará dessa forma:(𝑎 − 𝑏)𝑛
● triângulo de pascal
○ é usado para pegar os coeficientes
das potências.
○ as linhas os coeficientes de cada
desenvolvimento binomial que
fizemos. sempre vão começar
com um e terminar com um. além
disso, o número de baixo sempre
será formado pelo número de cima
ou seu antecessor.
● soma dos coeficientes
se substituirmos na forma geral dos𝑥 = 1
polinômios, temos a soma dos coeficientes
.𝑃(1) = 𝑎
𝑛
+ 𝑎
𝑛−1
+... + 𝑎
2
+ 𝑎
1
+ 𝑎
0
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