p3-calculo3-2014-2

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Departamento de Métodos Matemáticos
3a Prova de Cálculo III - MAA- 2014/02
1a Questão: (valor 3,0 pontos) Considere o parabolóide S1, com equação z = 2 − x2 − y2, o cone
S2, com equação z =
√
x2 + y2 e o cone S3, com equação z =
1√
3
√
x2 + y2.
(a) Esboce a superf́ıcie S, que é a parte de S1, limitada por S2 e S3.
(b) Determine uma expressão para a área de S, em duas integrais iteradas com coordenadas
polares (NÃO É PARA RESOLVER).
(c) Esboce o sólido Ω, limitado pelas superf́ıcies S1, S2 e S3.
(d) Determine uma expressão para o volume de Ω, em três integrais iteradas com coordenadas
ciĺındricas (NÃO É PARA RESOLVER).
2a Questão: (valor 3,0 pontos) Seja F⃗ (x, y, z) = (3yz , 2x+8y , 8y+ ecos (1−z
2) ) e considere a curva
C = S1 ∩ S2, onde S1 é o cilindro x2 + z2 = 2 e S2 é o plano y + z = 3.
(a) Esboce S1, S2 e C.
(b) Verifique se F⃗ (x, y, z) é conservativo nos pontos (x, y, z) de alguma região conexa W ⊂ IR3
que contenha a curva C.
(c) Calcule
∫
C F⃗ · d⃗l. Especifique geometricamente o sentido de C, consistente com os cálculos
algébricos.
3a Questão: (valor 3,0 pontos) Seja F⃗ (x, y, z) = (4x+ 1
y2+z2
, z5x−2y , z). Considere as superf́ıcies
S1, que é o cilindro (x− 1)2 + (y − 4)2 = a2, sendo −1 ≤ z ≤ 2 e a uma constante real positiva,
S2 que é o plano z = −1 e S3, que é o plano z = 2. Seja Ω o sólido limitado por S1, S2 e S3. Seja
S a superf́ıcie do sólido Ω.
(a) Esboce a superf́ıcie S1 e oriente-a com a normal exterior.
(b) Esboce o sólido Ω e a superf́ıcie S e oriente-a com a normal exterior.
(c) Determine o valor de
∫
S1
F⃗ · d⃗S e o valor de
∫
S F⃗ · d⃗S (os resultados ficarão em função da
constante a).
(d) Determine o valor da constante a, de modo que
∫
S1
F⃗ · d⃗S = 24π.
ATENÇÃO:
Utilize o(s) teorema(s) e propriedade(s) que facilitem ao máximo posśıvel as resoluções, justifique
porque podem ser utilizados, checando por escrito todas as hipóteses. A redação inconsistente pulando
etapas e explicações será bastante penalizada; resultados utilizados sem serem válidos levarão a zerar
a questão/item onde ocorrerem.