Conceitos de Mecânica Quântica

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Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos 
 
1 
 
 
Instituto de Física - UFRJ 
Curso de Física Médica 
Conceitos de Mecânica Quântica 
Professor Antônio Carlos F. dos Santos (toni@if.ufrj.br) 
 
Bibliografia: 
Griffits D. J. ,Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall (1995). 
 
Programa: 
 
Parte 1 (tópicos para a P1- aula 1 até aula 10) 
[1] -A função de onda (capítulo 1); 
[2]- A Equação de Schrodinger (capitulo 2); 
 
Parte 2 (tópicos para a P2- aula 11 até aula 20) 
[3]- Formalismo (capítulo 3); 
 
Parte 3 (tópicos para a P3- aula 21 até aula 28 ) 
[4]-Mecânica Quântica em três dimensões (capítulo 4); 
[5]- Partículas idênticas (capítulo 5); 
 
Avaliação: 
 
3 provas (Pi, i= 1,2,3) + listas em sala de aula (Li), onde Li é a média entre as 75% maiores notas daquele 
período correspondente, uma prova de segunda chamada (S) e um exame final (E). A cada prova será 
atribuída uma nota (Ni, i=1,2,3) onde Ni = 0,7*Pi + 0,3*Li 
 
Cálculo da Média (M) e grau final (G) 
 
Presente às provas parciais: 
 
M = (N1 + N2 + N3)/3 
Se M < 3,0, então reprovado com grau igual à M (G=M) 
Se M > ou igual a 7,0, então aprovado com grau igual à M (G=M) 
Se 7,0 > M > ou igual a 3,0, então G = (M + E)/2 ; 
 
Ausente em uma das provas 
 
Fará o exame final obrigatóriamente. M será calculado como anteriormente, com E substituindo a nota 
da prova não realizada. 
Se M < 3,0, então reprovado com grau igual à M (G=M) 
Se M > ou igual a 7,0, então aprovado com grau igual à M (G=M) 
Se 7,0 > M > ou igual a 3,0, então realizará a segunda chamada e G = (M + S)/2 ; 
 
Dicas para um bom aproveitamento desta disciplina: 
 
Assiduidade, pontualidade e disciplina para trabalhar nos exercícios propostos! 
 
 
 
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Avaliação de aprendizagem - Aula 1 – Equação de Schrödinger , Interpretação Estatística, 
probabilidade, normalização 
Nome:______________________________________________________________________ 
1- Considere a seguinte distribuição proveniente de uma série de medidas da posição de 
uma partícula: 
 Posição x (nm) Número de 
medidas 
1 1 
2 0 
3 6 
4 5 
5 7 
6 4 
7 1 
8 0 
9 1 
 
a) Calcule <x> 
 
b) Calcule <x2> 
 
 
c) Calcule <x>2 
 
 
d) Calcule a variância σ2 e o desvio 
padrão: 
 
 
 
 
 
2- Verdadeiro ou falso? 
a- A densidade de probabilidade não pode nunca ser negativa 
b- A função de estado ψ não pode nunca ser negativa 
c- Se z = z* (complexo conjugado), então z deve ser um número real. 
d- A função de onda ψ deve ser uma função real 
e- ∫
+∞
∞−
=Ψ 1dx 
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3- Considere uma partícula cuja função de onda normalizada é : 




<
>
=
−
00
02
)(
x
xxe
x
xααα
ψ 
a- Esboce ψ(x). Para qual valor de x, P(x) = |ψ(x)|2 é máximo ? 
 
 
 
 
 
b- Calcule <x> 
 
 
 
 
c- Qual a probabilidade de que a partícula seja encontrada entre x = 0 e x =1/α ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Avaliação de aprendizagem - Aula 2 – Momentum, principio da incerteza 
Nome:_______________________________________________________________________ 
1– calcule <x>, <x2>, e ∆x, assim como <p>, <p2>, e ∆p para o sistema descrito pela função de 
onda normalizada 
2
)( xAex −=ψ . Calcule também ∆x∆p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Avaliação de aprendizagem - Aula 3 – estados estacionários 
Nome:______________________________________________________________________ 
1- Estado estacionário significa: 
a- A função de onda não depende do tempo; 
b- A densidade de probabilidade não depende do tempo; 
c- A partícula está em repouso; 
2- O quê podemos dizer sobre o valor esperado da posição de uma partícula em um 
estado estacionário? 
a- <x> = 0 b- <x> não depende do tempo; c- ∆x = 0; 
3- O quê podemos dizer a respeito de <p> para um estado estacionário? 
b- <p> = 0; b- <p> não depende do tempo; c-∆p = 0; 
4- O quê podemos dizer a respeito da energia de um estado estacionário? 
a- ∆E = 0; b- <E> = 0; c- Não é bem definida; 
5- Se duas funções de onda diferem por uma fase, ou seja, ψ1 = e
iϕ ψ2, então: 
a- Ambas representam o mesmo estado; 
b- |ψ1|
2 =ei2ϕ|ψ2|
2; 
c- |ψ1|
2 =-|ψ2|
2; 
6- Seja {ψi }, com i = 1, 2,..N o conjunto de soluções linearmente independentes da 
equação de Schroendinger para um sistema ( cada ψi representa um estado 
estacionáio) e {Ei} as respectivas energias de cada um destes estados estacionários. 
a- Escreva a solução geral da equação de Schroendiger para este sistema; 
 
 
b- Em um determinado instante, mede-se a energia do sistema e encontramos E3. 
Qual será a função de onda para o sistema logo após a medida? 
 
 
 
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Avaliação de aprendizagem - Aula 4 – o poço de potencial infinito 
Nome:______________________________________________________________________ 
 
1- Verdadeiro (V) ou falso (F) ? 
a- O estado fundamental de uma partícula em uma caixa possui número quântico n = 
0. 
b- As funções de onda de estado estacionário de uma partícula confinada em uma 
caixa são descontínuas em certos pontos 
c- A primeira derivada dos estados estacionários de uma partícula em uma caixa é 
descontinua em certos pontos. 
d- A densidade de probabilidade para uma partícula em uma caixa é máxima no 
centro da caixa. 
e- Para o estado estacionário n=2 de uma partícula confinada em uma caixa, a 
probabilidade de encontrar a partícula no quarto à esquerda é igual a 
probabilidade de encontrar a partícula no quarto à direita. 
f- Para n=1, o estado estacionário de uma partícula em um caixa a probabilidade de 
encontrar a partícula no terço à esquerda é igual a probabilidade de encontrá-la 
no terço do meio da caixa. 
2- (GRE) Os autoestados do Hamiltoniano de uma partícula de massa m em uma caixa de 
comprimento L são funções de onda φn (x) = [2/L]
1/2sen(nπx/L) e energias En = 
(nπħ)2/2mL2, onde n = 1,2,3,...No instante t =0, a função da partícula era descrita por 
ψ=1/(14)1/2[φ1 +2φ2+3φ3]. Quais das seguintes opções é um resultado possível para 
uma medida da energia ? 
a- 2E1 b- 5E1 c-7E1 d-9E1 e-14E1 
 
 
 
 
 
 
 
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Avaliação de aprendizagem - Aula 5 – O oscilador Harmônico I 
Nome:______________________________________________________________________ 
1 –(ENADE 2008)- Do ponto de vista da Física Moderna, a respeito do espectro de energias do 
oscilador harmônico, são feitas as seguintes afirmações: 
I- O espectro de energia é contínuo; 
II- O espectro de energia é discreto: 
III- Em acordo com o principio da Correspondência de Bohr, para grandes números 
quânticos a separação de energias entre dois níveis consecutivos torna-se 
desprezível quando comparada com estas energias. 
Está(ão) correta(s) APENAS a(s) afirmação(coes) 
a- I b- II c-III d-I e II e-II e III 
2 - Escreva os operadores x e p em termos dos operadores de criação a+ e destruição a- 
 
 
 
3- As autofunções do oscilador harmônico podem ser escritas como 
h2
2
)(
xm
n
nn eaA
ω
ψ
−
+= . Obtenha ψo e ψ1 
 
 
 
 
4- O estado fundamental do oscilador harmônico é dado por ϕ (x)= Ao exp(-mωx
2/2ħ). 
Encontre Ao. Dica ∫
+∞
∞−
=− πdxx )exp( 2 
 
 
 
 
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Avaliação de aprendizagem - Aula 6 - O oscilador Harmônico II 
Nome:______________________________________________________________________ 
1 – A equação diferencial de Hermite surge em vários problemas de física: y” -2xy’ +2ny = 0 
com n= 0,1,2,3,.. e admite soluções na forma de polinômios, chamados de polinômios de 
Hermite, dados pela fórmula e Rodrigues ).()1()(
22 x
n
n
xn
n e
dxd
exH −−= Obtenha os 
primeiros polinômios: Ho (x) = 1, H1 (x) = 2x, H2 (x) = 4x
2 -2 , H3 (x) = 8x
3 -12x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 - A função geratriz dos polinômios de Hermite é ∑
∞
=
− =
0
2
!
)(2
n
n
nttx
n
txH
e . Expandindo o lado 
esquerdo da função geratriz e comparando a duas séries, obtenha Hn (x) (n=0,1,2, e 3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3 - Derivando a função geratriz, prove que Hn
’(x) = 2nHn-1 (x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 – Os polinômios de Hermite são mutualmente ortogonais em relaçõ a função peso exp(-x2), 
ou seja, 





=↔
≠↔
=∫
+∞
∞−
−
)(!2
)(0
)()(
2
nmn
nm
dxxHxHe
nnm
x
π
.Utilize esta relação para mostrar 
que 0)()( 32
2
=∫
+∞
∞−
− dxxHxHe x e π8|)(| 2
2
=∫
+∞
∞−
− dxxHe m
x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5 – Calcule dxxHex n
x )(
22∫
+∞
∞−
− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 - Se ∑
∞
=
=
0
)()(
k
Kk xHAxf , mostre que ∫
+∞
∞−
−= dxxHxfe
k
A k
x
kk
)()(
!2
1 2
π
(dica: 
multiplique ambos os lados por exp(-x2) Hn(x) e integre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7 – Desenvolva x3 em série de polinômios de Hermite. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Avaliação de aprendizagem - Aula 7 – A partícula livre 
Nome:______________________________________________________________________ 
 
1- Para ondas em águas rasas, a relação entre a freqüência e o comprimento de onda é 
dado por 
2/1
3
2






=
ρλ
π
ν
T
, onde T é a tensão superficial e ρ a densidade. Qual é a 
velocidade de grupo das ondas, e a sua relação com a velocidade de fase, definida 
como vfase=λν ? Para ondas de gravidade (águas profundas), a relação é dada por 
2/1
2





=
πλ
ν
g
. Qual é a velocidade de grupo ? e a de fase ? 
 
 
 
 
 
2- Considere um pacote de onda definido por ∫
+∞
∞−
= dkekgxf ikx)()( , com g(k) dado por 





<
<<−
−<
=
kK
KkKN
Kk
kg
2/0
2/2/
2/0
)( . 
a- Encontre a forma de f(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b- Encontre o valor de N para o qual f(x) é normalizada 
 
 
 
 
 
 
c- Como isto está relacionada com a escolha de N para que ∫
+∞
∞−
=
π2
1
)(
2
dkkg 
 
 
 
 
 
 
d- Mostre que uma definição razoável para ∆x para sua resposta do item a) resulta 
∆x∆k>1 
 
3-GRE 
 
 
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Avaliação de aprendizagem - Aula 8 – o potencial delta 
Nome:______________________________________________________________________ 
 
1- Calcule as seguintes integrais: 
a- ( )∫
+
−
=+−+−
1
3
23 )2(123 dxxxxx δ 
b- [ ]∫
+∞
=−+
0
)(2)3cos( dxxx πδ 
c- 
[ ]
∫
+
−
+ =−
1
1
3
)2( dxxe
x δ 
2- Considere o potencial delta duplo: V(x)= α[δ(x+a)+δ(x-a)], onde a e α são 
constantes positivas. 
a- Esboce este potencial 
 
 
 
 
b- Quantos estados ligados possui? Encontre as energias permitidas para α= 
ħ2/ma e α= ħ2/4ma, e esboce as autofunções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Avaliação de aprendizagem - Aula 9 – o poço de potencial finito 
Nome:______________________________________________________________________ 
1- Normalize a função de onda: ψ(x) = Fe-kx (para x>a); ψ(x) = Dcos(lx) (para 0< x<a); ψ(-
x)= ψ(x) (para x<0) para determinar as constantes D e F. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- A energia da maioria das estrelas resulta da fusão do núcleo de hidrogênio com o 
núcleo do hélio. O interior do sol (uma estrela típica) está a 15×106 K. A esta 
temperatura, praticamente nenhum núcleo tem energia suficiente para atravessar a 
repulsão eletrostática entre os núcleos e se aproximar o suficiente para que a fusão 
ocorra. No entanto, quando Eddington propôs em 1920 que a fusão nuclear é a fonte 
de energia estelar, foi rejeitada. Explique por quê a fusão ocorre em estrelas, a 
despeito da dificuldade aparência citada acima. 
 
 
 
 
 
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Avaliação de aprendizagem - Aula 10 – matriz de espalhamento 
Nome:______________________________________________________________________ 
1- Construa a matriz S para o potencial delta V(x)=αδ(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Avaliação de aprendizagem - Aula 11 – álgebra linear I 
Nome:______________________________________________________________________ 
1- Considere os vetores |α > = ( 2, i, -1, 0) e |β > = ( i, - i , 1, 2). 
a- Calcule || |α > || e || |β > || 
 
 
 
 
b- Normalize |α > e |β > 
 
 
 
 
c- Calcule <α |β > e <β |α > 
 
 
 
 
d- Calcule o ângulo entre |α > e |β > 
 
 
 
 
 
 
 
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Avaliação de aprendizagem - Aula 12 – álgebra linear II 
Nome:______________________________________________________________________ 
1- Seja 
i
iA
−
=
00
00
101
ˆ e 
1
0
1
−
=α , calcule A|α> 
 
 
 
 
2- Calcule At (transposta) , A-1 (inversa), A* (complexo conjugado), A† (conjugado 
hermitiano). A é hermitiana? 
 
 
 
 
 
3- Seja 
i
B
−
−
=
01
000
101
ˆ , calcule [A,B] 
4- Considere: 
 
 
 
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Avaliação de aprendizagem - Aula 13 – álgebra linear III 
Nome:______________________________________________________________________ 
1- Calcule os autovalores e auto-vetores normalizados do operador 










−=
010
100
001
A .A 
é Hermitiano? Calcule o Tr(A) e det(A). 
 
 
 
 
 
 
 
2- Os autovalores de um operador Hermitiano são sempre 
a- Reais; 
b- Imaginários; 
c- Degenerados; 
d- Lineares; 
e- Positivos; 
3- Realize as transformações Hermitianas de: 
a- 〈ψA φ〉 
b- 〈ψ(2i φ〉) 
c- 
01
2 ii
A
−
= 
d- 
1
2i
i
−=ψ 
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Avaliação de aprendizagem - Aula 14 – espaços de funções 
Nome:______________________________________________________________________ 
1- Quais das seguintes funções são autofunções dos operadores a) d/dx e b) d2/dx2 ? 
i- exp(ax2) 
ii- x 
iii- x2 
iv- ax+b 
v- sen(x) 
2- Ortonormalize as potências de x P(x)= ao + a1x + a2x
2 +... no intervalo -1≤x≤1 para obter 
os quatro primeiros polinômios de Legendre 
 
Dica: Processo de ortogonalização de i) normalize o primeiro vetor (função) ( 
|1’〉=|1〉/||1||); ii)Encontre a projeção do segundo ao longo do primeiro e 
subtraia(|2〉 - 〈1’|2〉|1’〉); iii) normalize o segundo; iv) subtraia do terceiro as suas 
componentes na direção do primeiro e do segundo (|3〉 - 〈1’|3〉|1’〉-〈2’|3〉|2’〉 
;v)normalize o terceiro e assim por diante 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Avaliação de aprendizagem - Aula 15 – Interpretação estatística generalizada 
Nome:______________________________________________________________________ 
1- Um operador A possui autofunções f1, f2, ..fn, com os correspondentes autovalores a1, 
a2, .., an. O estado do sistema é descrito pela função normalizada |ψ 〉= (1/2)|f1 〉–
(3/8)1/2 |f2 〉+ (3i/8)
1/2 |f3〉 
a- Quais os possíveis resultados para a medida de A e suas respectivas 
probabilidades? 
 
 
b- Qual o valor esperado de A? 
 
 
c- Se ao medirmos A encontramos a2, qual é o estado do sistema logo após a 
medida? 
 
 
2- Um determinado observável é descrito como 
22
21
ˆ =A . 
a- Quais os possíveis resultados para a medida de A? 
 
 
 
 
 
b- O estado do sistema em t = 0 era |ψ〉 = (25)1/2 [3 |1〉+4|2〉],onde |1〉 e |2〉 são os 
autovetores de A correspondentes aos autovalores menor e maior, 
respectivamente. Escreva o estado para t>0 
 
 
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c- Qual a probabilidade de medir cada um dos autovalores de A? 
 
 
 
d- Escreva o operador que projeta na direção do autovetor correspondente ao menor 
autovalor de A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Avaliação de aprendizagem - Aula 16 – O principio da incerteza 
Nome:______________________________________________________________________ 
1 – Mostre que [A,BC] = B[A,C]+[A,B]C 
 
 
2 – Mostre que [AB,C] = A[B,C]+[A,C]B 
 
 
3 – O Hamiltoniano de um sistema é dado por 
20
01
=H
)
 .Nesta mesma base, um operador A 
é expresso como : 
11
11
=A
)
. O sistema encontra-se no estado 
it
it
e
e
t
2
2
1
)( =ψ . Calcule 
d<A>/dt. 
 
 
 
 
4 – Um operador é dado por: 
t
B
1
01
=
)
. Calcule ∂ <B>/dt para um sistema onde 
it
it
e
e
t
2
2
1
)( =ψ 
 
 
 
3 – Mostre por indução que [xn, px ] =iħnx
n-1 e que [x, px
n] = iħnpx
n-1 
 
 
 
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Avaliação de aprendizagem - Aula 17 – Equação de Schrodinger em coordenadas esféricas 
Nome:______________________________________________________________________ 
 
1- Encontre Po(x), P1 (x) e P2 (x) usando a fórmula de Rodrigues: 
l
l
l
ll
x
dx
d
l
xP )1(
!2
1
)( 2 −





= 
 
 
2- Expresse cada um dos polinômios a seguir como combinações lineares de plinôminos 
de Legendre (dica: comece com a maior potência de x): 
a- 5-2x 
b- 3x2 + x -1 
c- x4 
 
3- Calcule os seguintes valores para a função de Legendre associada: 
a- P1
1 (cosθ) 
b- P14 (cosθ) 
 
4- Dado um vetor de módulo r e coordenadas x, y, z em coordenadas cartesianas. Mostre 
que Y1
0 = (3/4π)1/2 (z/r), Y1
±1 = (3/8π)1/2 (x±iy)/r 
 
 
5- Inverta as equações do exercícios anterior para obter x,y e z em termos de Y1
m. 
 
 
 
 
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Avaliação de aprendizagem - Aula 18 – A equação radial 
Nome:______________________________________________________________________ 
1- A partir da relação de recurrência (d/dx) jn = njn(x)/x – jn+1(x) obtenha j1(x) a partir 
de jo(x) = (senx)/x 
 
 
 
 
 
 
 
2- Utilize a relação de recurrência para a função de Bessel esférica jn-1(x) + jn+1(x) = 
(2n+1)jn(x)/x para calcule j2(x), a partir de jo(x) = (senx)/x e j1(x) = (senx)/x
2 – 
(cosx)/x2 
 
 
 
 
 
 
3- Esboce Veff = V (r) + (ħ
2/2m)l(l+1)/r2 em função de r para l =0,1 onde V(r) é o poço 
de potencial quadrado V ( r ) = - Vo para r < ao e V (r ) = 0 para r> ao, onde ao é o 
raio de Bohr . Para facilitar as contas, utilize unidades atômicas: ħ =1, m = 1 (massa 
do elétron) e ao = 1. Considere também Vo = 1 
 
 
 
 
 
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Avaliação de aprendizagem - Aula 19 – o átomo de hidrogênio 
Nome:______________________________________________________________________ 
1- Considere o átomo de hidrogênio cuja função de onda em t = 0 é a superposição das 
autofunções do Hamiltoniano: ψ (r,θ,ϕ, t =0) = (14)-1/2[2ψ100 (r) -3ψ200 (r ) + ψ322 (r)] 
a- Escreva ψ (r,θ,ϕ,, t ) 
 
b- Qual a probabilidade de encontrar o sistema no estado fundamental? 
 
2- Calcule <r> para no estado fundamental 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Avaliação de aprendizagem - Aula 20 – o espectro do hidrogênio 
Nome:______________________________________________________________________ 
1- Considere o modelo de Bohr para o átomo de hidrogenóide, sendo este constituído de um 
núcleo (q= +Ze) e um elétron (q’=-e). Suponha que o núcleo permanece em repouso enquanto 
o elétron (de massa m) orbita circularmente à sua volta. 
a- Partindo da quantização do módulo do momentum angular, L= nħ, com n = 1,2,3,..., determine 
o módulo da velocidade do elétron nas possíveis órbitas, em função de seu raior r. 
 
 
 
 
 
b- Considerando que a força Coulombiana mantém o elétron preso a uma órbita em torno do 
próton, determine os raios das possíveis órbitas. 
 
 
 
 
 
c- Considerando o movimento do elétron como não relativístico, determine sua energia cinética 
numa órbita caracterizada pelo número quântico n. 
 
 
 
 
 
 
d- Determine a energia potencial do elétron em uma órbita caracterizada pelo número quântico n, 
supondo que ela seja puramente eletrostática e tomando como zero o seu valor no infinito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e- Determine o valor dos níveis de energia em função de n. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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28 
 
Avaliação de aprendizagem - Aula 21 – Momentum Angular 
Nome:______________________________________________________________________ 
1- As relações [Li, Lj] = iħLk εijk implicam que: 
a- É possível medir simultaneamente as três componentes do momentum angular; 
b- É impossível medir simultaneamente as três componentes do momentum angular; 
c- Que Lx , Ly e Lz são compatíveis; 
d- Existem uma base de autovetores comuns a Lx, Ly e Lz; 
 
2- Considere uma partícula em um potencial central V(r) . Classimente, o momentum 
angular se conserva. Podemos afirmar então que: 
a- [H,L2] =[H,Lx] = [H,Ly]= [H, Lz] =0 
b- [H,Lx] ≠ 0 
c- [H,L] ≠ 0 
 
3- Definindo L± = Lx ± iLy e lembrando que Lx e Ly são observáveis, então: 
a- L± são observáveis 
b- L± são hermitianos 
c- L± não são observáveis 
 
4- Mostre que L+L- = Lx
2 + Ly
2 + ħLz e que L-L+ = Lx
2 + Ly
2 - ħLz 
 
 
 
 
 
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29 
 
5- Mostre também que L+L- = L
2 –Lz
2 +ħLz e L-L+ = L
2 – Lz
2 - ħLz 
 
 
 
 
 
 
6- E ainda que L2 = ½ (L+L- +L-L+) + Lz
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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30 
 
Avaliação de aprendizagem - Aula 22 – Autofunções de L
2
 e Lz 
Nome:______________________________________________________________________ 
1- Considere os seguintes operadores no espaço de Hilbert: 
010
101
010
2
1
=xL ; 
00
0
00
2
1
i
ii
i
Ly −
−
= ; 
100
000
001
−
=zL 
a- Quais são os possíveis resultados se Lz é medido? 
 
b- Suponha que seja medido Lz = 1. Neste estado, calcule <Lx>, <Lx
2> e ∆Lx ? 
 
 
 
 
 
 
 
c- Encontre os autovetores normalizados de Lx e autovalores na base de Lz. 
 
 
 
d- Se a partícula tem Lz =-1, e Lx é medido, quais os possíveis resultados e suas 
respectivas probabilidades? 
 
 
 
 
 
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31 
 
e- Considere o estado 
2
1
2
1
2
1
=ψ na base se Lz. Se Lz2 é medido e encontra-se +1, 
qual o estado após a medida? Qual a probabilidade de encontrar Lz
2= +1 ? e logo 
após a medida? Se Lz é medido quais os possíveis resultados e respectivas 
probabilidades? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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32 
 
Avaliação de aprendizagem - Aula 23 – SPIN 
Nome:______________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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34 
 
Avaliação de aprendizagem - Aula 24 – elétron em um campo magnético 
Nome:______________________________________________________________________ 
1- Considere um elétron em repouso na presença de um campo magnético B = Bo k cujo 
Hamiltoniano é dado por 





−
−=
10
01
2
hoBH
γ
. Em t=0 o estado do sistema era 






−
=
1
1
2
1
)0(χ 
a- Escreva |χ(t)〉 
 
 
b- Se a componente x do spin fosse medida no tempo t, qual é a probabilidade de 
encontrar +ħ/2 ?c- O mesmo para a componente y 
 
 
 
 
d- O mesmo para a componente z 
 
 
 
 
 
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35 
 
Avaliação de aprendizagem - Aula 25 – adição de momenta angular 
Nome:______________________________________________________________________ 
1- Considere dois elétrons com momenta angular l1 = 1 e l2 = 3. 
a- Quais os possíveis valores para o spin total? 
 
 
b- Quais os possíveis valores para o momentum angular orbital total? 
 
 
c- Quais os possíveis valores para o momentum angular total J? 
 
 
 
 
 
 
 
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Avaliação de aprendizagem - Aula 26 – coeficiente de Clebsh-Gordan 
Nome:______________________________________________________________________ 
1 – Uma partícula de spin 1 e uma partícula de spin 2 estão em repouso em uma configuração 
que o spin total é 3, e sua componente z é 1 (ou seja, o autovalor de Sz é ħ). Se você medisse a 
componente z do momentum angular da partícula de spin 2, quais os valores que você poderia 
obter e com quais probabilidades? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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37 
 
Avaliação de aprendizagem - Aula 27 – partículas idênticas 
Nome:______________________________________________________________________ 
1– Quais as funções a seguir são simétricas (S), anti-simétricas (A) ou não tem simetria (N) ? 
a- f(1)g(2)α(1)α(2) 
b- f(1) f(2)[α(1)β(2)- β(1)α(2)] 
c- f(1) f(2) f(3) β(1) β(2) β(3) 
d- exp[-a(r1 –r2)] 
e- [f(1)g(2)-g(1)f(2)][α(1)β(2)-α(2)β(1)] 
f- r12
2 exp[-a(r1 + r2) 
 
2- Moste que os operadores simetrizador S = ½ (1+P12) e anti-simetrizador A = ½ (1-P12) 
são projetores, i. e., S2 = S e A2 = A 
 
 
 
3- Mostre também que S e A são suplementares, i.e., S + A = 1 
 
4- Indique se verdadeiro (V) ou falso (F) 
a- Bósons possuem spin semi-inteiro; 
b- Todos os férmions possuem o mesmo spin; 
c- Elétrons são distinguíveis; 
d- Férmions possuem funções de onda anti-simétricas; 
e- Duas partículas são idênticas se todas as suas propriedades intrínsecas (massa, 
carga, spin, etc..) são exatamente iguais. Nenhum experimento pode distingui-las; 
f- Prótons e elétrons são férmions; 
g- Prótons e elétrons são idênticos; 
h- Os autovalores do operador de troca são ± 1; 
i- O operador de troca é hermitiano; 
j- O operador de troca comuta com o Hamiltoniano; 
 
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Avaliação de aprendizagem - Aula 28 – sistemas com um número arbitrário de partículas 
Nome:______________________________________________________________________ 
1- Considere um sistema de três elétrons com funções de onda α, β e χ. Escreva a função 
de onda para este sistema. 
 
 
 
 
 
2- Considere três partículas distinguíveis: a primeira encontra-se no estado ψ1, a segunda 
no estado ψ2 e a terceira no estado ψ3. Escreva a função de onda total para este 
sistema 
 
 
3- Indique se verdadeiro (V) ou falso (F) 
a- Quando um sistema inclui várias partículas idênticas, somente alguns “kets” de seu 
estado podem descrever seus estados físicos; 
b- Quando um sistema inclui várias partículas distinguiveis, somente alguns “kets” de 
seu estado podem descrever seus estados físicos; 
c- Quando um sistema inclui vários férmions, somente alguns “kets” de seu estado 
podem descrever seus estados físicos; 
d- 3He é um bóson; 
e- 4He é um férmion; 
f- O Boro (Z = 5, A = 11) é um férmion; 
g- O Boro (Z=5, A= 10) é um bóson; 
 
 
 
 
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7- Dado o vetor 
















=
...
0
1
2
1
ψ , calcule com os operadores do oscilador harmônico 
( ) mnnm nHuu ωδh21+= , ( ) 1,1 ++ += nmnm nuAu δ , 1, −= nmnm nAuu δ , as 
quantidades: a) 〈H〉; b) 〈x2〉; c)〈x〉; d) 〈p2〉; e) 〈p〉; f) utilize os itens anteriores 
para calcular ∆x∆p. (nota: as expressões para p e x em termos de A e A+ podem ser obtidas de 
hh ω
ω
m
p
ix
m
A
22
+





= e 
hh ω
ω
m
p
ix
m
A
22
−





=+ ) 
 
11- Qual é o fluxo associado com a função , onde u(x) é uma função real ? 
12- Uma função de onda é representada por ikxikx BeAex −+=)(ψ . Calcule o fluxo. 
 
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