prova p1 gab geom 2012 1 mat

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
Departamento de Me´todos Matema´ticos
Gabarito da 1a Prova de Geometria I - Matema´tica - Monica
11/04/2012
1a Questa˜o: (4 pontos) (soluc¸a˜o na folha 1)
Deˆ uma prova ou um contra-exemplo:
1. Por qualquer ponto de uma reta, passa uma u´nica perpendicular a esta reta.
2. Existe um exemplo de uma ”geometria” com 7 pontos, em que sa˜o va´lidos os dois
axiomas de incideˆncia e em que todas as retas tenham exatamente treˆs pontos.
3. Dados dois triaˆngulos ABC e EFG, se AB = EF , BC = FG e BCˆA = FGˆE enta˜o
ABC = EFG.
Soluc¸a˜o
1. Ver prova no livro.
2. Um exemplo de uma ”geometria” seria o conjunto de pontos {A,B,C,D,E, F,G}
com as retas {A,B,C}, {A,D,E}, {A,F,G}, {B,D, F}, {B,E,G}, {C,D,G}, {C,E, F}.
3. A proposic¸a˜o descrita na˜o e´ verdadeira. Um contra-exemplo pode ser construido da
seguinte forma: Construa um triaˆngulo iso´sceles AEB com AB = EB. Escolha um
ponto C na semi-reta SEA, tal que A esteja entre C e E. Ligue o ponto C ao ponto
B. Fazendo B = F e C = G, obtemos dois triaˆngulos ABC e EFG, com AB = EF ,
BC = FG e BCˆA = FGˆE. Mas ABC e EFG na˜o sa˜o congruentes pois CA e GE
na˜o sa˜o congruentes.
2a Questa˜o: (4 pontos) (soluc¸a˜o na folha 2)
Seja m uma reta, seja A um ponto de m e seja B um ponto que na˜o pertence a m.
1. Defina a semi-reta SAB.
2. Defina o semi-plano PmB.
3. Prove que se l e´ a reta determinada por A e B, enta˜o SAB ⊂ (l ∩ PmB).
4. Prove que se l e´ a reta determinada por A e B, enta˜o (l ∩ PmB) ⊂ SAB.
5. Com as mesmas hipo´teses sobre a reta m e os pontos A e B, prove o teorema a seguir:
Teorema Z : Seja C um ponto da reta m, diferente do ponto A e seja D um ponto
que na˜o pertence a PmB. Enta˜o SAB ∩ SCD = ∅.
Soluc¸a˜o
1. A semi-reta SAB e´ o conjunto dos pontos pertencentes ao segmento AB e dos pontos
da reta determinada por A e B tais que B esta´ entre A e C.
2. O semi-plano PmB e´ o conjunto dos pontos pertencentes a` reta m e dos pontos C tais
que o segmento CB na˜o intersecta a reta m.
3. Seja P um ponto em SAB. Logo, P e´ um ponto da reta l e ou P = A, P = B, P esta´
entre A e B ou B esta´ entre A e P . Se P = A, P ∈ m. Nos outros casos, o segmento
PB na˜o estara´ intersectando a reta m, provando assim que P ∈ PmB e portanto,
P ∈ l ∩ PmB.
4. Seja P um ponto em (l ∩ PmB). Como P ∈ l, existem apenas tres possibilidades: A
esta´ entre P e B, P esta´ entre A e B ou B esta´ entre A e P . Se A esta´ entre P e
B, o segmento PB corta a reta m no ponto A, mostrando que P /∈ PmB, o que vai
contra nossa hipo´tese. Portanto, P esta´ entre A e B ou B esta´ entre A e P , isto e´,
P ∈ SAB, como quer´ıamos mostrar.
5. Seja C um ponto da retam, diferente do ponto A e seja D um ponto que na˜o pertence
a PmB. Seja l
′ a reta determinada por C e D. Temos:
(a) SAB ∩ SCD = (l ∩ PmB) ∩ (l′ ∩ PmD) (pelos itens anteriores);
(b) (l ∩ PmB) ∩ (l′ ∩ PmD) = l ∩ l′ ∩m (pois PmB ∩ PmD = m;
(c) Logo: SAB ∩ SCD = l ∩ l′ ∩m = (l ∩m) ∩ ((l′ ∩m) = {A} ∩ {C} = ∅.
3a Questa˜o: (2 pontos) (soluc¸a˜o na folha 3)
Na figura abaixo, seja D o ponto me´dio do segmento BC e seja E o u´nico ponto em SAD
tal que AD = DE. Prove que a soma dos aˆngulos internos do triaˆngulo AEC e´ igual a`
soma dos aˆngulos internos do triaˆngulo ABC.
Sugesta˜o: Examine os triaˆngulos BDA e CDE e mostre que EAˆC + AEˆC = BAˆC.
Soluc¸a˜o Considere as correspondeˆncias: B ↔ C, D ↔ D e A↔ E. Temos:
1. BD = CD (pois D e´ o ponto me´dio do segmento BC);
2. AD = ED (por hipo´tese);
2
3. BDˆA = CDˆE (pois sa˜o aˆngulos opostos pelo ve´rtice).
Logo, pela congrueˆncia LAL, os triaˆngulos BDA e CDE sa˜o congruentes. Em particular,
DBˆA = DCˆE. A soma dos aˆngulos do triaˆngulo ABC e´ igual a BAˆC + ACˆB + CBˆA,
que e´ igual a (EAˆC +AEˆC) + (ACˆB +BCˆE), que e´ igual a (EAˆC +AEˆC) +ACˆE, que
e´ a soma dos aˆngulos do triaˆngulo AEC.
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