aula-12A-2-

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EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
Cap. 4 – aula #12
Tema: análise de volume de controle 
para referenciais não inerciais (NI)
Esta aula trata de acelerações não-inerciais retilíneas
(não há efeitos de rotação).
A correção a ser feita na eq. Q. movimento é adicionar
a força correspondente à aceleração linear do ref. NI em
relação ao ref. Inercial.
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O que é um Ref. Não Inercial?
Um referencial é inercial, I se ele não tiver aceleração em relação a 
um referencial ‘estacionário’.
Um referencial NI é aquele que pode apresentar aceleração linear, 
angular, centrífuga ou de coriolis em relação a um referencial 
‘estacionário’
Exemplos de referencial NI e I:
1. NI - ref. seguindo VC que acelera em relação ref. Estacionário;
2. NI - ref. seguindo VC que descreve um arco de curva;
3. I - ref. seguindo VC que se desloca com velocidade constante em 
relação a um ref. estacionário .
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A 2a Lei de Newton
Para um referencial NI é necessário relacionar a aceleração do 
referencial NI (xy) a um referencial estacionário (XY);
 
sistema
ext
XY
d mV
F
dt

 
 sistema ext rel
xy
d mV
F m a
dt
  
A variação de quantidade de movimento de um sistema é igual a 
somatória das forças externas para referencial Inercial.
• O termo arel é a aceleração relativa do ref. NI em relação ao ref. 
Inercial, e m é a massa do V.C. NI. 
• Arel tem sinal ( - ) porque m.arel somado ao termo d(mV)/dt do ref. 
NI resulta na variação de momento medida de um referencial 
Inercial!
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Posição Relativa
Relação entre a posição do sistema 
medida do ref. Inercial e do ref. NI
O problema fundamental é estabelecer a aceleração relativa, arel, do 
referencial NI a um referencial inercial. Iniciando com a posição 
relativa do sistema ao ref Inercial e NI:
X
Y
Z
y
x
z
R
P
r
sistema
Notação p/ ref. Inercial e NI:
(xy) ref. NI
(XY) ref. Inercial
P – posição sistema ref. Inercial
R – posição ref. NI
r – posição sistema ref. NI
P R r 
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Movimento Relativo (sem rotação)
A velocidade do ref. (XY) é dada pela soma das taxas de variação 
no tempo do vetor posição:
X
Y
Z
y
x
z
R
P
r
sistema dP dR dr
 
dt dt dt
 
XY ref xy
V V V 
- Vel. medida do ref. (XY) = VXY
- Vel. do ref. (xy) em relação ref. (XY) Vref
- Vel. medida do ref. (xy) = Vxy
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Aceleração linear: inercial x não-inercial
A aceleração do ref. (XY) é obtida derivando-se o vetor velocidade:
xyrefXY
dVdVdV
 
dt dt dt
 
Aceleração do 
sistema medida 
ref. (XY) Inercial
XY a 
Aceleração do sistema 
medida no ref (xy) NI
xy a 
Aceleração do ref . (xy) 
em relação ao ref. (XY)
2 2
d R dt= +
rel
a 

Note que: XY rel xy a = a a
No Apêndice I há uma dedução geral da aceleração inercial envolvendo 
a rotação do referencial. Este conteúdo está fora da ementa deste curso.
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Como fica a Eq. da Massa?
Nada muda!
Para equação da massa o que conta é a velocidade relativa da 
fronteira, Vr = Vf – Vb, que não depende se o referencial é 
inercial ou NI. 
 r
sys V.C. S.C.
dM d
d n V dA 0
dt dt
      
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Como fica a Eq. Q. Movimento N.I. ?
O vetor velocidade, Vxy, possui o subscrito ‘xy’ para indicar que o 
vetor é medido a partir do referencial (xyz): 
 r CAMPO SUP MEC rel
V.C. S.
xy
V C
x
C. . .
y
d
V d V n V dA F F F a d
dt
            
 xy xy xy r
sist. V.C. S.C.
d d
a d V d V n V dA
dt dt
         
A aceleração do sistema medida do ref. NI está relacionada c/ o T.T.R.:
Foi visto que: , 
Pergunta: onde está o termo axyz na equação acima?
XY rel xy a = a a
A equação q. movimento para o ref. NI possui um termo a mais 
devido a aceleração relativa entre os referenciais. Lembre que a 
aceleração ref. NI em relação ao ref. Inercial é dada por:
Os termos Fcampo, Fsup e Fmec são forças externas conhecidas ou 
modelas a partir de um ref. Inercial. 
2 2
rel
a d R dt 
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Aplicações para 
referenciais N.I. com 
aceleração linear 
d2R/dt2
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Projeto: foguete de água (water rocket)
Os foguetes propelidos por ar 
comprimido e água ou ‘foguetes de 
água’ são populares no ensino de física 
do 2º grau. 
O estágio de aceleração dura até a 
água armazenada acabar que por sua 
vez, depende pressão do ar , do bocal e 
e dos volumes de ar e água 
armazenados . 
Componentes: uma garrafa pet de 2L, um bocal com 1,3 cm diâmetro e 
uma pressão constante, por exemplo 5 Bar e água. 
Neste cenário tem que considerar que Vj não é constante e que a pressão 
do ar varia a medida que a água é descarregada.
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Exemplo 1 – Um foguete movido a ar comprimido 
que empurra uma coluna de água com massa inicial 
M0 descarrega uma vazão de água m com velocidade 
Vj constante, relativa ao bocal do foguete com área 
Aj. A velocidade do foguete é U e varia com o tempo. 
Determine: 
i) A expressão para aceleração do foguete, dU/dt;
ii) A expressão para U(t)
Considere o deslocamento na vertical apenas. 
 Faça uma pesquisa na 
web sobre: water rockets
 Assista: October Sky
.
M0.g/m.Vj=1,0
M0.g/m.Vj=0,1
.
Comentário 2 – t <  porque mesmo quando acabar a água há ainda o peso da fuselagem do 
foguete. Sem o peso fuselagem quando t = , U/Vj 
Comentário 1-
quanto menor 
M0g/mVj maior é a 
velocidade U porém, 
mais rápido termina a 
água. 
Determinar qual a 
maior altitude é outro 
problema! 
y
x
X
Y
Resposta:
 
 
 
 
 
xz r j
j 0
j 0
0
0
j j
v v V ; vel. medida ref. (xz)
dU
 -V m M m t g
dt
mV M m t gdU
i aceleração
dt M m t
U 1 g t
ii Ln t < M m
V 1 t V
 
 
     
 
  

 
     
       
       
;
https://www.google.com.br/search?q=water+rockets&espv=2&biw=1680&bih=920&tbm=isch&imgil=HSejZBiJAc-mBM:;NoRzIBc4wrWRKM;http://odditymall.com/water-bottle-rocket-kit&source=iu&pf=m&fir=HSejZBiJAc-mBM:,NoRzIBc4wrWR
https://pt.wikipedia.org/wiki/October_Sky
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Desafio – Considere um foguete de água uma garrafa pet de 2L de 
volume, um dado bocal e uma pressão de ar de 10 atm
manométrico. Determine o volume de água na garrafa que vai gerar 
uma altura máxima. 
Quanto mais volume de água mais tempo ele terá empuxo e 
provavelmente mais alto ele pode atingir. Por outro lado quanto 
mais volume água ele tem maior é o peso e menor é a aceleração. 
Quem empurra a água é o ar. Se o volume de ar for pequeno uma 
pequena variação de volume pode causar uma despressurização de 
forma que o jato de água terá uma quantidade de movimento menor 
e consequentemente atingirá uma altura menor. 
Este é um problema típico de otimização onde há mecanismos 
opostos e se procura um ponto ótimo!
Problema de otimização foguete de água
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Exemplo 2 – O tanque pode movimentar ao longo de uma pista horizontal 
com resistência desprezível. Ele é acelerado do repouso, U(0) = 0, por um 
jato líquido com vel. V que se choca contra uma parede curva e é defletido 
para dentro do tanque. A massa inicial do tanque é M0. 
(i) Aplique as equações da massa e da q. movimento para mostrar que, em 
qualquer instante, a massa do veículo mais a do líquido no seu interior é 
M(t) = M0V/(V – U). Dica: Como V é constante use, dU = -d(V-U).
(ii) Obtenha uma expressão geral para U/V em função do tempo.
X
Y
x
y
Referencial (x,y) 
deslocando-se com U(t)
S.C.
 
 
0
M t M m dt
m V U A
  
  

   
 
0
2 22
dM
Eq. Massa: m e m (V U)A
dt
dU
Eq. Q. Mov: m(V U) M
dt
Substitu M t M V / V – U
na eq. Q. Mov. chega-se a:
1
in
1 1 2 A
 
V
do a identidade 
V M V1 U V


 
 
   
  
   
 
 
 
2
2
1 VA
1 2 t; 
M1 U V
1 M
1 U V ; onde 
1 2 t VA
U 1
 1 
V 1 2 t
Desenvolvendo a eq. movimento 
 
   
   
 
 
     
   
 
 
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Exemplo 3 - O carro de massa M parte do repouso propelido pelo jato (Vj, 
Aj e ). O jato atinge o carro em (1) e é defletido num ângulo de 180
o em (2).
i) Determine a velocidade U(t) e a aceleração.
ii) Inclua o arrasto aerodinâmico D = kU2 e encontre uma expressão a 
velocidade terminal do carro, isto é, quando dU/dt = 0.
Respostas: na S.C. não atua P,  e g, não há arrasto
i) (Vj-U){.[- (Vj-U)]Aj}+[- (Vj-U){+(Vj-U)]Aj}= - MdU/dt
ou 2. (Vj-U) Aj = MdU/dt eq. q. mov. simplificada
Integrando a EDO: 
ii) U/Vj = t*/(1+t*) onde t* =t/ e  = (M/2)/(AjVj)
Com arrasto e sem dU/dt a velocidade terminal é:
iii) U = Vj/{1+[K/(2 Aj)]^0,5}
1. S.C. não deformável, Vb =0, mas S.C. desloca com velocidade U(t);
2. A vel. relativa na S.C. é a mesma nos dois referenciais. 
Veja filme Mithbusters Vabs
U(t)
M
Vj
Aj

X
Z S.C.
1
2
U
x
z Vel. relativas na S.C.
Vr1= (Vj - U).n<0 e Vr2= +(Vj - U).n > 0
Vel. medida do ref. (xy):
V1 = (V j- U) > 0 e V2= - (Vj - U) < 0
Vel. medida ref. (XY): VXY = Vxy+U
V1= +(Vj- U) +U = Vj >0 e
V2= -(Vj-U) + U = 2U-Vj
Ex. semelhantes: 
118, 119, 120, 122, 123, 124, 125, 130, 131 e 133
U  Vj
https://www.youtube.com/watch?v=BLuI118nhzc
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Exemplo 3 cont.– O enunciado é o mesmo, porém use uma S.C. 
estacionária. Mostre que chega-se a mesma solução de U do exemplo 
anterior usando a eq. q. movimento, com referencial inercial com
fronteiras fixas. 
UM
Vj
Aj

X
Z
S.C. 
estacionária
1
2
UM
Vj
Aj

X
Z
1
2
S.C. 
estacionária
Carro no instante t1,
Carro no instante t2 > t1
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Exemplo 4 – Um carro c/ massa inicial M0 é feito por um tubo de área A
com comprimento horizontal L. Água preenche o comprimento L e a 
altura h0. Na extremidade tem uma válvula de abertura rápida. 
i) Determine a equação para movimento do carro ao abrir a válvula.
ii) Faça uma análise do movimento considerando que após os instantes 
iniciais de abertura da válvula o nível de água varia linearmente com o 
tempo (observação experimental)
x
2
V 0
22
02
d dh dh dU
Resposta : AL A M(t).
dt dt dt dt
d h dh dU dh
 AL A M(t). onde M(t) M A
d
Observ
t
e que dh / dt 0 porque o nivel diminui!Apos inst
dt
ant
d
e
tdt

   
         
   
 
       


 
s iniciais, dh/dt = constante e dU/dt < 0, carro desloca p/ esquerda!
V
L
h(t)
h0
Y
X
y
x
U
A solução deste problema necessita do acoplamento com a equação da energia para poder 
resolver h(t) e U(t). 
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Exemplo 5 – A aceleração do 
exemplo (3) é dada por:
V
L
h(t)
h0
Resposta: MdU/dt = ALd2h/dt2
22
2
d h dh dU
AL A M(t).
dt dtdt
 
    
 
Se a descarga passa a ser na vertical, como indicado na figura, qual 
termo do lado direito da equação acima tem que ser deletado?
Dica: identifique a origem dos termos na formulação
22
2
dU d h dh
 M(t). AL A
dt dtdt
 
     
 
Fluxo q. mov. que cruza S.C. na dir. x,
Aceleração dentro do V.C. na dir. x
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Exercícios recomendados
(1) Assume incompressible flow, neglect friction, and derive a
differential equation for dV/dt when the stopper is opened.
Consider D<< h and D << L .
Hint: Combine two control volumes, one for each leg of the tube.
(2) According to Torricelli’s theorem, the velocity of a fluid
draining from a hole in a tank is V (2gh)1/2, where h is the depth
of water above the hole. Let the hole have area Ao and the
cylindrical tank have cross section area Ab >> Ao. Derive a
formula for the time to drain the tank completely from an initial
depth ho.
Hint: If the orifice is much smaller than the tank implies that the
level change slowly. Under this scenario one can consider a ‘quasi
steady state’ and the use of Torricelli applies.
(3) Um carrinho, com uma pá defletora fixa, está livre para rolar
sobre uma superfície nivelada. A massa do conjunto carrinho/pá é
M = 5 kg e sua velocidade inicial é U0 = 5 m/s. Em t = 0, a pá é
atingida por um jato de água em sentido oposto ao movimento do
carrinho, conforme mostrado. Despreze quaisquer forças externas
decorrentes de resistência do ar e de rolamento. Determine a
velocidade do jato V requerida para levar o carrinho ao repouso
em (a) 1 s e (b) 2 s. Em cada caso, encontre a distância total
percorrida.
2
o
0 0 b
Ah g
1 t
h 2h A
  
     
  
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(4) Um veículo foguete, pesando 44.500 N e viajando a 960 km/h,
deve ser freado pelo abaixamento de uma concha para dentro de um
reservatório de água. A concha tem 150 mm de largura. Determine o
tempo necessário (após o abaixamento da concha até uma
profundidade de 75 mm na água), para reduzir a velocidade do
veículo a 32 km/L. Trace um gráfico da velocidade do veículo em
função do tempo. Acesse veja a história de John Strapp que pilotou
um carro foguete similar: http://en.wikipedia.org/wiki/John_Stapp
(5) Um jato vertical de água atinge um disco horizontal conforme
mostrado. O peso do disco é igual a 30 kg. No instante em que o
disco encontrasse a 3 m acima da saída do bocal, o seu movimento é
para cima com velocidade U = 5 m/s. Calcule a aceleração vertical do
disco nesse instante.
http://en.wikipedia.org/wiki/John_Stapp
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FIM
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Apêndice I ) – Tópico extra 
(não está na ementa do curso) 
Assunto: 
Análise de volume de controle para referenciais 
não inerciais (NI):
aceleração de translação entre referenciais e efeito 
de rotação do referencial (NI)
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O que é um Ref. Não Inercial?
Um referencial é inercial se ele não tiver aceleração em relação a 
um referencial ‘estacionário’.
Um referencial NI é aquele que pode apresentar aceleração linear, 
angular, centrífuga ou de coriolis em relação a um referencial 
‘estacionário’
Exemplos de referencial NI e I:
1. ref. seguindo VC que acelera em relação ref. estacionário
2. ref. seguindo VC que descreve um arco de curva
3. ref. Seguindo VC que se desloca com velocidade 
constante em relação a um ref. Estacionário , este é 
Inercial!
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A 2a Lei de Newton
Para um referencial NI é necessário relacionar a aceleração do 
referencial NI (xyz) a um referencial estacionário (XYZ);
 
sistema
ext
XYZ
d mV
F
dt

 
 sistema ext rel
xyz
d mV
F m a
dt
  
A variação de quantidade de movimento de um sistema é igual a 
somatória das forças externas desde que o referencial seja Inercial.
De tal modo que a soma entre o 1o e 3o termos da equação equivale a 
força medida do referencial inercial.
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Conteúdo desta Aula
Nesta aula será dado enfoque ao efeito de rotação do 
referencial NI.
Considera-se inicialmente que não há aceleração de translação 
entre referenciais. Este efeito foi estudado aula passada!
Ao final da análise do efeito de rotação será acrescentado o 
termo d2R/dt2.
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Posição
Considere:
(Z,Y,Z) referencial FIXO ou inercial
(x,y,z) referencial não inercial, NI (girando e transladando)
A posição do sistema, ponto P, é definida por:
X
Y
Z
y
x
z
R
r’
r
w
sistema
r` R r 
P
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Relações entre velocidades
A velocidade absoluta, ref (XYZ), é dada pela soma de:
velocidade de translação do ref. (xyz) -> dR/dt
velocidade de translação sistema em relação ao ref (xyz) -> dr/dt
velocidade de rotação do ref (xyz) -> wxr
X
Y
Z
y
x
z
R
r’
r
w
sistema
dr` dR dr
r
dt dt dt
   w
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O efeito de rotação do ref. NI (x,y,z)
Considere que R não varia com o tempo, o ref. NI somente gira com w.
Neste caso especial,a vel. ref. FIXO e NI estão relacionadas por:
X
Y
Z
y
x
z
R
r’
r
w
sistema
NIFIXO
dr` dr
r
dt dt
  w
Note que r’ = R + r porém dr’/dt = dr/dt uma 
vez que R é constante, logo:
FIXO NI
dr dr
r
dt dt
  w
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As relações entre velocidades
Vel. ref. FIXO,--------------------------------
Vel. translação do ref. NI------------------
Vel. rel. . eixos rotativos, ref. NI ---------
Vel. angular dos eixos rotativos---------
Vel. devido a rotação dos eixos---------
XYZ
Re f
xyz
V dr` dt
V dR dt
V dr dt
r



w
w
XYZ Ref xyz
0 componentes associadas
a rotacao do referencial
V V V r

w
   w
X
Y
Z
y
x
z
R
r’
r
w
sistema
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Relação entre derivadas para sistemas com rotação
•Para um sistema sem deslocamento linear, dR/dt =0 
então a relação das velocidades passa a ser:
NIFIXO
dr` dr
r
dt dt
  w
• A expressão é generalizada para qualquer vetor 
q que relaciona a medida do ref. Inercial com 
aquela do ref. Não Inercial, I NI
dq dq
 q
dt dt
  w
• O vetor q pode variar o módulo e/ou direção p/ causar um dq/dt. O 1º 
e 2º termos aplicam-se ao módulo e direção.
• Veja mais detalhes em Classical Dynamics, 5th ed, Thornton 
and Mario, Thomson books
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Cálculo da aceleração
As derivadas dos termos associados à rotação do referencial são 
calculados pela relação:
I NI
dq dq
 q
dt dt
  w
xyzXYZ rf
II I I
dVdV dV d r
 
dt dt dt dt
w
  
 
 xyz
I II
d r d dr d
q r r V r
dt dt dt dt
w w w
    w    w  w
xyz xyz xyz
xyz xyz
I NI
dV dV dV
q + V = + V
dt dt dt
  w w
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A 2ª lei de Newton
F = ma é válida somente para um referencial FIXO:
FIXO NI
dq dt dq dt q  w
 xyzXYZ Ref
FIXO
FIXO FIXO FIXO
dVdV dV d
 r
dt dt dt dt
   w
 
FIXO
xyzXYZ Ref
xyz xyz
FIXO FIXO NI dr dt
dVdV dV d
V r V r
dt dt dt dt

 
  w     w    w  w
  
    
 
2
XYZ xyz xyz2
d R d
a a r r 2 V
dtdt
w
     w w  w
A taxa de variação de um vetor entre 
referenciais é dada pela relação
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A aceleração Inercial é composta por duas parcelas: 
(1) acel. linear do sistema medida do referencial N.I. 
(2) termo de aceleração relativa, arel:
XYZ xyz rel a a a  
Aceleração Inercial x Não-Inercial
 
2
rel xyz2
aceleracao devido rotacao referencial NI
d R d
a r r 2 V
dtdt
w
    w w  w
O termo (1) é simplesmente a aceleração medida do referencial N.I. Se 
o referencial estiver com velocidade linear constante então aXYZ = axyz
O termo (2) compõe com a axyz a aceleração inercial! Ele tem duas 
parcelas: (i) aceleração linear do referencial e (ii) aceleração devido a 
rotação do referencial:
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Como fica a Eq. da Massa?
Nada muda!
Lembre-se porém que pode ser mais simples de realizar a análise a 
partir do referencial inercial móvel (xyz).
 r
sys V.C. S.C
dM d
d n V dA 0
dt dt
      
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Como fica a Eq. da Q. Movimento?
As velocidades são medidas do referencial (xyz), 
onde a aceleração relativa, arel na sua forma mais geral é,
 xyz r xyz CAMPO SUP MEC rel
V.C. S.C. V.C.
d
V d n V V dA F F F a d
dt
            
 
2
rel xyz2
d R d
a r 2 V r 
dt dt
w
    w  w w
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Casos Especiais de arel
2. Sistemas Não-Inerciais com deslocamento linear apenas (w = 0):
1. Sistemas Não-Inerciais caso Geral:
 
rel
2
XYZ xyz xyz2
a
d R d
a a r r 2 V 
dtdt
w
     w w  w
3. Sistemas Não-Inerciais com rotação constante apenas:
 rel xyza 2 V r  w  w w
2 2
rela d R dt 
EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
Alguns devaneios 
sobre os efeitos do 
termo de aceleração 
de Coriolis…
EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
A aceleração de Coriolis
Enquanto que os termos de aceleração retilínea, rotação e 
centrífugo são relativamente familiares aos alunos, o mesmo não é 
verdade para o termo de Coriolis!
O termo de Coriolis faz surgir uma força perpendicular ao plano 
definido pelos vetores velocidade e rotação
2w V
2 V w
. .
Filme 1
Filme 2
Link you tube
Link you tube
The_Coriolis_Force.avi
Visualization_of_the_Coriolis_and_centrifugal_forces.avi
https://www.youtube.com/watch?v=_36MiCUS1ro
https://www.youtube.com/watch?v=49JwbrXcPjc
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Efeito da rotação da terra no movimento de 
um pendulo - Foucalt
Assista animação: Link you tube
Veja demonstração do pendulo de Foucalt no Pantheon em Paris 
Veja vídeo do pendulo no Pantheon: https://www.youtube.com/watch?v=59phxpjaefA
https://www.youtube.com/watch?v=49JwbrXcPjc
https://www.youtube.com/watch?v=59phxpjaefA
EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
A aceleração de Coriolis
Um jato de líquido num vaso cilíndrico sem e com rotação descreverá 
trajetórias diferentes devido ao termo de Coriolis (caso equivalente ao 
carousel)
Sem rotação: trajetória retilínea Com rotação: trajetória curva, para 
referencial que se move com o vaso
2w
V
2w
V
2 V w
Vista lateral tanque, fluido em 
rotação de corpo rígido
Assita ‘Rotating Flows’ (Shapiro) at 3’20
http://www.youtube.com/watch?v=Ans3tnvMyTk&list=PL0EC6527BE871ABA3&index=19&feature=plpp_video
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APLICAÇÃO EM 
ESTÁTICA DOS FLUIDOS
Estática dos Fluidos trata do estado de forças atuantes no fluido na 
ausência de movimento relativo entre as partículas.
EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
Exemplo: Superfície livre 
em rotação de corpo rígido 
2
2
ˆa= r a rr
p g a 0; 
ˆg gk 
O grad pressão: p gk rr
    
    
 
    
Isobáricas são 
ortogonais ao gradP!
 rela r   
EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
APLICAÇÃO EM 
MÁQUINAS DE FLUXO RADIAL
BERNOULLI MODIFICADO
Máquinas de fluxo radial referem-se a bombas e compressores que 
operam pela ação da força centrífuga para gerar um campo de 
pressão...
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Turbomachines
Demour’s centrifugal pump - 1730
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Representação esquemática de um tubo de 
corrente cujo eixo de rotação é paralelo ao 
eixo Z. 
Observador registra um fluxo de massa e 
Q.M. radiais!
S é a direção tangente ao vetor velocidade 
V, que é paralela a direção radial. 
O elemento de área é A, a vazão mássica 
é m que cruza A
s

n
s
 A A
 V V
   
 
A
m V A  
x
y
w
 rel xyza 2 V r  w  w w
2
n s
Q
a = 2 e a r
A
w  w
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Equação Integral dir. S (radial)
     
s
2
s r s s
C.S. C.S. C.V. C.V.
a
V n V dA n P dA g d r d          w    
Hipóteses:
Plano XY, tubo de corrente na direção radial
Escoamento incompressível, r = constante;
Escoamento sem atrito, m = 0;
Escoamento em regime permanente;
Observe que os três primeiros termos resultam, para um V.C.
infinitezimal, a equação de Bernoulli. 
Nesta formulação há um termo extra: a aceleração relativa do 
referencial na direção radial. Reconhecendo que: dV = Adr
   
2 22 2 2 2
0
2 2 2 2
     
               
     
S SV Vr rP gz P gz C
 w w
  
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ou
Utilizando Bernoulli pode-se relacionar a pressão entre a entrada e 
saída de um rotor centrífugo:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
n nV P r V P rw w
 
      
                   
   
 
2 2 2
2 21 1
2 1 2 12
2
2 2
1 1
2
2 21
2 12
1 2
1 0
2 2
1
2 2
n
n v
v
V A
P P r r
A
mas V Q A entao P c Q c
A
 onde c = e c r r
A A
w
w
 w
w
 
 
      
 
 
   
    
            
Para um escoamento ‘ideal’, o efeito de rotação causa um aumento de 
pressão proporcional a diferençados quadrados dos raios de entrada e 
saída
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Demour’s centrifugal pump - 1730
   
2 2 2
22 2
3 2 32
3
1 0
2 2
 
     
 
 
V A
P P R
A
 w
Isto deve ocorrer pq a bomba 
faz sucção do líquido somente 
se P2 < Patm!
Se o tubo descarrega para 
atmosfera, P3=Patm então P2 está 
abaixo da atmosfera. Bernoulli 
entre (2) e (3)
h
R
2 3
g
1
Bernoulli entre (1) e (3)
atm 3atm 1
1
2 2 2 2
1 1 1 3 3 3 3
P z hP z 0
V 0
1 1 1
P V gz P V gz R
2 2 2
  

           w
2 2 2
3 3
1 1
V gh R 0
2 2
  w 
Relação entre elevação x vazão 
em função da rotação:
h
V
w1
w2 > w1
Parabolas
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Escoamento Secundário em Canal com 
Rotação devido a força de Coriolis
w
v
-2wxV
Assista filme ‘Secondary Flow’ Shapiro
- Escoamento secundário devido ao termo Coriolis -
w
vX
https://www.youtube.com/watch?v=yDw_7UIGCOo
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FIM
EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
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Teste aula #11 – Questão
1. (10 pts) A equação diferencial que descreve a relação entre a 
aceleração do carro, dU/dt e os parâmetros: Aj, , MC, ML,0 é: 
U
M0
Vj
Aj

Ref N.I.
Z X
R. Inercial
O carro parte do repouso propelido pelo 
jato horizontal (Aj e ) líquido que sai de 
seu reservatório a Vj constante medido 
do ref. N.I.. A pista é horizontal e não há 
atrito nas rodas nem resistência do ar ao 
movimento. A massa inicial de líquido é 
ML,0 e a massa do carro é MC . Considere 
que a massa total varia no tempo: 
M(t) = MC+ML,0 –m.t, onde m= (VjAj).
S.C.
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Teste aula #11
Assinale a alternativa correta
1. ( ) a ( ) b ( ) c ( ) d ( ) e
Alternativas questão (1)
 
 
   
   
j j c L,0 j
j j c L,0 j
j j c L,0 j
j j c L,0 j
m V M M m t dU dt (a)
m V M M m t dU dt (b)
m V U M M m t dU dt (c)
m V U M M m t dU dt (d)
n.d.a 
     
     
       
       
 (e)
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Teste aula #11
Gabarito
1) ( ) a (X) b ( ) c ( ) d
Respostas:
Tempo  tmax = MC/m e m =(VjAj)
Acel.  dU/dt = mVj/[Mc+ML,0 - m.t]
U/Vj = Ln[1-(t/tmax] 
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Ex. 4.121 – O carro parte do repouso propelido pelo jato horizontal (Vj, Aj e ) 
líquido que sai de seu reservatório a velocidade constante. A pista é horizontal e não 
há atrito nas rodas nem resistência do ar ao movimento. A massa inicial de líquido é 
ML,0 e a massa do carro é MC, considere que a massa total varia no tempo: M(t) = MC
+ ML,0 – m.t. Determine: o tempo duração do jato, dU/dt e U em função do tempo .
Respostas:
Tempo  tmax = MC/m e m =(VjAj)
Acel.  dU/dt = mVj/[Mc+ML,0 - m.t]
U/Vj = Ln[1-(t/tmax] 
Obs.: Vj é a velocidade 
do jato para um 
observador que se move 
com o carro
U
M0
Vj
Aj

Ref N.I.
Z X
R. Inercial
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Porque os furacões no hemisfério N 
giram no sentido anti-horário e no S no 
sentido horário?
Ciclone em Sta. Catarina, 
2004
Sentido: horário
Ciclone Fran, golfo do 
México, 1996
Sentido: anti- horário
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Estrutura do Furacão (Hurricane)
Próximo ao solo, devido a rotação das massas, é criado uma região 
de baixa pressão que faz com que a atmosfera seja succionada em 
direção ao ‘olho’
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Hemisfério Norte
O produto vetorial entre a velocidade e a rotação do planeta que 
produzem o sentido da rotação.
Veja também efeito rotação na trajetória de foguetes, acesse: 
https://www.youtube.com/watch?v=vL1eXdVjN74
Vxyz
w
w,N
2w
V
Vista lateral
(1)
2 V  w
2w
V
V2 V w
2 V w
 Sentido: anti- horário
https://www.youtube.com/watch?v=vL1eXdVjN74