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Humanas / Sociais

Aprendendo na Facul
24/01/2023
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Olimṕıada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estat́ıstica e Computação Cient́ıfica
Universidade Estadual de Campinas
Sugestões de Questões para a OMU
32
Olimṕıada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estat́ıstica e Computação Cient́ıfica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 141 Um tanque de combust́ıvel, cuja capacidade é de 2000 litros, tinha 600 litros de
uma mistura homogênea formada por 25% de álcool e 75% de gasolina. Considerando que
foram utilizados 20% dessa mistura, quantos litros de gasolina devem ser colocados no referido
tanque de modo que a mistura resultante tenha 90% de gasolina?
Questão 142 Existem três números pares consecutivos de modo que o produto de dois deles seja
igual a quatro vezes a soma desses três números pares?
Questão 143 Um determinado carro 0 km é comprado hoje por R$ 60.000, 00. Considerando
que esse carro sofre uma desvalorização anual de 10%, qual será o valor desse carro daqui a 4
anos? Determine uma expressão para o valor do carro em função dos anos de utilização.
Questão 144 Ao chegar a um aeroporto um turista informou–se sobre locação de automóveis e
organizou as informações apresentadas na tabela abaixo.
Opções Diária Preço por km rodado
Locadora A R$ 90, 00 R$ 0, 80
Locadora B R$ 60, 00 R$ 1, 30
Locadora C R$ 190, 00 quilometragem livre
Faça uma análise de qual locadora é a mais adequada em função da quantidade de quilômetros que
o cliente pretende utilizar diariamente. Inicialmente faça uma representação gráfica da situação
descrita no problema.
Questão 145 Analise se a seguinte afirmação é falsa ou verdadeira.
“Podemos determinar com toda certeza as idades dos nossos colegas Marcelo e Laura conhecendo
a soma de suas idades e conhecendo a diferença de idade entre eles”
Justifique sua resposta.
Questão 146 (a) Determine a decomposição do número natural 2016 em seus fatores primos
positivos.
(b) Se posśıvel, determine números naturais m e n tais que 2016 = 2m − 2n.
Questão 147 Os centros de três circunferências tangentes externamente duas a duas são os
vértices de um triângulo cujos lados medem 6 cm, 8 cm e 10 cm. Determine o raio de cada
uma das três circunferências e a área do triângulo.
Questão 148 As áreas das três faces distintas de um paraleleṕıpedo são 6 cm2, 8 cm2 e 12 cm2.
Determine as dimensões e o volume desse paraleleṕıpedo.
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Questão 149 Determine a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, cujo gráfico está repre-
sentado na figura abaixo, isto é, f(0) = −1
2
, e os ponto
(
−1
2
, f
(
−1
2
))
e
(
1
2
, f
(
1
2
))
pertencem à circunferência de centro C = (0, 0) e raio r = 1.
Questão 150 Na ilustração da figura abaixo, temos duas circunferências com o mesmo raio e
cujos centros estão sobre um dos diâmetro da circunferência maior, que se tangenciam duas a
duas. Considerando que o diâmetro da circunferência maior mede 20 cm, determine o raio da
circunferência menor, que tangencia as duas circunferências de mesmo raio e a circunferência
maior.
Questão 151 A nossa colega Laura fez uma lista com todas as combinações formadas pelas cinco
letras do seu nome: “L”, “A”, “U”, “R”, “A”. Quantas possibilidades diferentes possui essa lista?
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Questão 152 Uma bola, confeccionada com uma borracha muito especial, foi solta na vertical de
uma altura de 12m. Cada vez que a bola bate no chão ela volta
2
3
da altura anterior.
(a) Quando metros a bola percorre na sexta vez em que bateu no chão?
(b) Determine uma expressão para quantidade de metros que a bola percorre em função do
número de vezes em que ela bate no chão.
Questão 153 Considere no plano cartesiano os seguintes pontos:
A = (0, 4) , B = (4, 1) e C = (4, 4) .
Determine a distância do ponto C a reta que passa pelos pontos A e B. Inicialmente faça uma
representação gráfica da situação descrita no problema.
Questão 154 Considere um triângulo isósceles inscrito no retângulo ABCD, como mostra a
figura abaixo. Sabendo que o peŕımetro do triângulo retângulo ADE é igual a 30 cm, e que o
triângulo isósceles tem peŕımetro igual a 50 cm e área igual a 60 cm2, determine o peŕımetro do
retângulo ABCD.
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Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
ZZ
Ar Br
C
r
D
r
Er
Questão 155 As idades do Petronio, da Claudina e do Marcelo são três números pares consecu-
tivos. Sabendo que a soma destas idades é igual a 156, qual é a idade do mais velho?
Questão 156 Determine todos os números naturais de quatro algarismos terminados em 15 que
são múltiplos de 15. Justifique sua resposta.
Questão 157 Mostre que se p é um número real positivo, com p > 1, então
p ,
p2 − 1
2
e
p2 + 1
2
são as medidas dos lados de um triângulo retângulo. Mostre também que se p é um número
natural ı́mpar, as medidas dos lados e a área desse triângulo retângulo são números naturais.
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Questão 158 O retângulo ABCD é formado por três triângulos isósceles, como mostra a figura
abaixo. Sabendo que AE = AD = x, determine o peŕımetro e a área do triângulo isósceles
CDE, em função do parâmetro x.
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Ar Br
C
r
D
r
Er
x
x
Questão 159 Considere a circunferência circunscrita no quadrado de lado L, como mostra a
figura abaixo. Determine a porcentagem de aumento na área do ćırculo, limitado pela circun-
ferência, quando o lado do quadrado tem um aumento de 25%.
L
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Questão 160 Verifique se a igualdade
1324n + 791n = 1961n
é posśıvel para algum número natural n. Justifique sua resposta.
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Questão 161 Considere um jardim como sendo a região limitada pela curva definida por três
lados de um quadrado e pela semi–circunferência com centro no pontomédio do lado ausente do
quadrado, como mostra a figura abaixo. Considere que o lado do quadrado tem comprimento L.
Em toda volta externa desse jardim foi constrúıda uma calçada com 2m de largura.
L
L
2
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(a) Determine a área do jardim, em função do comprimento do lado do quadrado.
(b) Determine a área da calçada, em função do comprimento do lado do quadrado.
(c) Se o comprimento do lado do quadrado tem um aumento de 25%, determine a porcentagem
de aumento da área da calçada.
Questão 162 Mostre que 1154 − 1144 é diviśıvel por 229. De um modo geral, mostre que se
n é um número natural, então (n+ 1)4 − n4 é diviśıvel por 2n + 1.
Questão 163 Dividindo–se 5168 por n, obtém–se resto 23. Dividindo–se 8133 por n,
obtém–se resto 13. Determine o número natural n.
Questão 164 Sejam f , g : IR −→ IR duas funções decrescentes, e a função h : IR −→ IR
definida da forma:
h(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)) ,
isto é, h é a função composta de uma função g decrescente com uma função f decrescente.
Podemos afirmar que a função h é crescente? Justifique sua resposta.
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Questão 165 Faça a representação gráfica e determine a área da região do plano cartesiano cujos
pontos satisfazem simultaneamente as seguintes desigualdades
x2 + y2 ≤ 9
x2 + y2 ≥ 1
x + y ≥ −3
x − y ≤ 3
Utilize o sistema de coordenadas da Figura 165 para fazer a representação da região.
-
6
0
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Questão 166 Considere a situação representada na figura abaixo, onde a circunferência da es-
querda, que possui raio r, girou sobre o plano horizontal, sem deslizar, até atingir a posição da
circunferência da direita. Sabendo que
PQ =
3πr
4
,
determine a distância do ponto P ′ ao plano horizontal.
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P
u
Q
u
P ′u
Questão 167 Determine as soluções reais da seguinte equação algébrica
( 1 + x )2 = 4 |x − 1 | ,
e interprete geometricamente o significado da equação algébrica.
Questão 168 Determine as soluções reais da seguinte equação algébrica
( 1 + x )4 = 16x2 ,
e interprete geometricamente o significado da equação algébrica.
Questão 169 Determine quantas soluções inteiras possui a equação
x + y + z = 11 ,
considerando as restrições
x > 0 , y > 2 e z > 5 .
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Questão 170 Se posśıvel, determine dois números naturais diviśıveis por 11, de modo que quando
dividimos o maior deles pelo menor obtemos resto 17.
Questão 171 Se posśıvel, determine dois números naturais diviśıveis por 11, de modo que quando
dividimos o maior deles pelo menor obtemos resto 33.
Questão 172 Determine a diferença entre a soma dos 60 primeiros números naturais pares e
a soma dos 60 primeiros números naturais ı́mpares.
Questão 173 Determine a diferença entre a soma dos 60 primeiros números inteiros pares não
negativos e a soma dos 60 primeiros números inteiros ı́mpares positivos.
Questão 174 Uma colônia de vampiros escolheu como residência um castelo nos Cárpatos. Uma
noite de lua cheia, o conde Drácula capturou 100, mordeu suas orelhas e depois os largou. Na
noite seguinte, ele capturou 100 ao acaso. Doze tinham uma mordida na orelha. Denote por A
o evento “há doze vampiros mordidos entre os 100 capturados”, e por Bn o evento
“há n vampiros no castelo”. Considere a seqüência (un) definida para os números inteiros
n maiores que 100 da forma:
un =
P (A|Bn)
P (A|Bn+1)
.
(a) Compare un e 1.
(b) Mostre que a função f definida para os inteiros maiores que 100, por f(n) = P (A|Bn)
alcança o máximo sobre [100,+∞). O máximo da verossimilhança, m, é o valor de n
correspondente a este máximo. Determine m.
Questão 175 O Pŕıncipe Feliz percorreu o reino de seu pai em sua Harley para reencontrar a
eleita de seu coração que poderá calçar sapatinho de cristal de tamanho 34. Cinderela e a fada
Carabosse calçam 34. Ele visita catorze cabanas de forma aleatória, aquela onde está Cinderela
é a sexta da lista, aquela onde está a fada tem posição desconhecida. Qualquer outra das cabanas
visitadas tem 17% de chance de ter, quando a fada não estiver nela, uma jovem donzela que
consiga calçar o famoso sapatinho. As meio–irmãs de Cinderela calçam 45.
(a) Supondo que o tamanho dos pés das donzelas do reino não dependado tamanho dos pés das
vizinhas, e supondo que em nenhuma cabana habita mais de uma donzela com pés pequenos,
calcule a probabilidade de que o Pŕıncipe se case com Cinderela.
(b) Calcule a probabilidade de que o Pŕıncipe se encontre cara–a–cara com a fada Carabosse.
(Não leve em conta a desordem que isto introduzirá nos contos de fada.)
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Questão 176 Em Palermo, o chefe do serviço de repressão à fraude fiscal está em poder de um
dossiê quent́ıssimo sobre o chefão da máfia local. Seus três subordinados e ele mesmo não querem
correr o risco de fazê-lo desaparecer, e menos ainda de chegar a um acordo. Quando o chefe o
tem em suas mãos, ele o entrega no dia seguinte a um dos subordinados ao acaso. Quando um
subordinado o recebe, no dia seguinte, ele o passa adiante a seu chefe com uma probabilidade de
0.5, ou a um de seus colegas ao acaso.
(a) Calcule a probabilidade de que o dossiê tenha passado por todas as mãos no quarto dia.
(b) Calcule a probabilidade de que o chefe tenha o dossiê no terceiro dia. Seja pn a probabilidade
de que o chefe receba o dossiê no n–ésimo dia.
(c) Expresse pn+1 em função de pn. Para n > 0, defina un = pn −
1
3
.
(d) Mostre que a seqüência (un) é geométrica.
(e) Expresse un e depois pn em função de n. Qual é o limite da seqüência (pn) quando
n tende a infinito? Sejam qn e rn as probabilidades respectivas dos eventos “o primeiro
subordinado recebe o dossiê no n–ésimo dia” e “o segundo subordinado recebe o dossiê no
n–ésimo dia”.
(f) Expresse qn e rn em função de n. Quais são os limites das seqüências (qn) e (rn)
quando n tende a infinito?
Questão 177 Qual é a probabilidade de serem obtidas exatamente cinco caras em dez lançamentos
de uma moeda não–tendenciosa?
Questão 178 Em um armário há cinco pares de sapatos. Escolhem–se quatro pés de sapatos.
Determine a probabilidade de se formar exatamente um par de sapatos.
Questão 179 O conjunto A possui três elementos e o conjunto B possui cinco elementos.
(a) Quantas funções f : A −→ B podemos definir?
(b) Quantas funções injetoras f : A −→ B podemos definir?
Questão 180 De quantas maneiras podemos decompor o número natural 260 em um produto de
dois inteiros positivos?
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Questão 181 Considere a região R do plano definida pelo triângulo retângulo OAB, com
0A = 0B = a, do qual retiramos um quarto de um ćırculo, de centro 0 e raio igual a r, como
mostra a figura abaixo.
(a) Determine a área da região R.
(b) Determine o volume do sólido obtido girando a região R em torno do eixo horizontal.
Eixo de Rotação@
@
@
@
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R
0
r
A r
B
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C
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Questão 182 Determine os números naturais n de modo que 10n − n é um número natural
diviśıvel por 3.
Questão 183 Mostre que se a, b e c são números naturais não diviśıveis por 3, então
a2 + b2 + c2 é um número natural diviśıvel por 3.
Questão 184 Mostre que para quaisquer números naturais m e n
m2 + n2 + m + n
2
é um número natural.
Questão 185 Sejam a e b números reais positivos. Mostre que se
√
a +
√
b =
√
a + b ,
então a = 0 ou b = 0.
Questão 186 De quantas maneiras podemos escrever o número natural 11 como soma de quatro
números inteiros positivos?
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Questão 187 Determine o número de divisores do número natural 2050.
Questão 188 Uma esfera de raio r está inscrita em um cilindro circular reto com área da
superf́ıcie igual a 150 π cm2.
(a) Faça um desenho representando o cilindro e a esfera inscrita.
(b) Dê as dimensões do cilindro.
(c) Determine a área e o volume da esfera.
Questão 189 Considere um triângulo qualquer ABC e outro A′B′C ′, sendo que os vertices do
triângulo A′B′C ′ foram obtidos dividindo–se cada lado do triângulo ABC em três segmentos
congruentes, como mostra a figura abaixo. Determine a relação entre as áreas dos triângulos
ABC e A′B′C ′.
Questão 190 Considere um triângulo ABC com ângulos A e C agudos, como mostra a figura
abaixo. Descreva um método para construir um quadrado inscrito no triângulo ABC, tendo um
lado sobre o lado AC do triângulo e os outros dois vértices estando cada um em um dos outros
dois lados do triângulo.
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Questão 191 Sejam x e y números naturais de modo que
xy + x + y = 71
x2y + xy2 = 880
Determine o valor numérico de x2 + y2.
Questão 192 Sejam a, b e c números reais positivos tais que a + b + c = 1. Prove que
a2 + b2 + c2 ≥ 1
3
.
Questão 193 Mostre que a equação
x2 − y2 + x − y = 1
não possui solução inteira, isto é, não existem números inteiros x e y que satisfazem essa
equação.
Questão 194 Determine as soluções da seguinte equação algébrica
x4 − x2 + 4x − 4 = 0 .
Questão 195 O conjunto A possui cinco elementos e o conjunto B possui cinco elementos.
(a) Quantas funções f : A −→ B podemos definir?
(b) Quantas funções bijetoras f : A −→ B podemos definir?
Questão 196 Sabendo que o sistema linear[
−3 4
−1 2
] [
x
y
]
= λ
[
x
y
]
possui soluções não–nulas, isto é, [
x
y
]
6=
[
0
0
]
,
determine os valores do parâmetro λ.
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Questão 197 Determine a área do trapézio ABCD inscrito em uma circunferência de raio
r = 3 cm de modo que AB = 6 cm e AB é paralelo a CD, e o ângulo entre suas diagonais
mede 60o, como mostra a figura abaixo.
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A r Br
CrD r
Questão 198 Considere um copo no formato de um cilindro circular reto, com altura L e raio
da base r, e um copo no formato de um paraleleṕıpedo com uma base quadrada e altura L, como
na figura abaixo.
(a) Determine a área da base do copo no formato de um paraleleṕıpedo de modo que tenha o
mesmo volume do copo ciĺındrico.
(b) Considerando o caso em que os dois copos tem o mesmo volume, determine o copo que tem
a área da superf́ıcie menor. Justifique sua resposta.
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Questão 199 Sejam f : IR −→ IR uma função par, isto é, f(−x) = f(x), g : IR −→ IR uma
função ı́mpar, isto é, g(−x) = −g(x), e a função h : IR −→ IR definida da forma:
h(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)) ,
ou seja, h é a composta de uma função ı́mpar com uma função par. Podemos afirmar que o
gráfico da função h é simétrico em relação ao eixo das ordenadas?. Justifique sua resposta.
Questão 200 Uma colomba Pascal está embalada numa requintada lata ornamentada. O peso
total desse produto, isto é, a soma do peso da colomba Pascal e o peso da Lata, é igual a 800
gramas. Depois de terem sido consumidos 60% da colomba Pascal, o peso total passa a ser igual
a 416 gramas. Determine o peso da lata.
Questão 201 Analise se a seguinte afirmação é falsa ou verdadeira.
“A área do semićırculo constrúıdo sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma
das áreas dos semićırculos constrúıdos sobre os catetos”
Justifique sua resposta.
Questão 202 Analise se a seguinte afirmação é falsa ou verdadeira.
“Sejam três números inteiros positivos e consecutivos, então o produto deles é múltiplo de 3”
Justifique sua resposta.
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Questão 203 Considere um trabalhador que hoje recebe um salário de R$ 1.200, 00. Determine
em quantos anos receberá um salário maior que R$ 6.000, 00 tendo 20% de aumento anual.
Caso necessário, utilize as seguintes aproximações:
log10(5) ≈ 0, 7 e log10(1, 2) ≈ 0, 08 .
Questão 204 Dois tipos de velas têm o mesmo comprimento e são feitas de materiais diferentes,
uma queima completamente em 3 horas e a outra em 4 horas. Considere que as velas queimam
de maneira uniforme. A que horas as velas devem ser acesas de modo que às 16 horas, o
comprimento de uma seja o dobro do comprimento da outra?
Questão 205 Sabendo que o número natural 248 − 1 possui dois divisores naturais entre 60 e
70, determine esses divisores.
Questão 206 Em uma reunião social participam dez amigo, que trocam cumprimentos entre si.
determine quantos cumprimentos foram trocados.
Questão 207 Considere um retângulo inscrito numa circunferência de diâmetro d = 5 cm,
como mostra a figura abaixo. Sabendo que um dos lados do retângulo mede 3 cm, determine a
área do retângulo.
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Questão 208 As pessoas que participaram de uma reunião apertaram–se as mãos. Uma delas
notou que no total foram 120 cumprimentos. Quantas pessoas participaram dessa reunião?
Questão 209 Quarenta e cinco pessoas, entre rapazes e moças, compareceram a um baile. Maria
dançou com 8 rapazes; Teresa dançou com 10 rapazes; Mara dançou com 12 rapazes, e assim
por diante, até Célia que dançou com todos os rapazes. Determine quantos rapazes e quantas
moças compareceram ao baile.
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Questão 210 Faça a representação gráfica e determine a área da região do plano cartesiano cujos
pontos satisfazem simultaneamente as seguintes desigualdades
x + y ≥ 4
0 ≤ x ≤ 5
0 ≤ y ≤ 6
Utilize o sistema de coordenadas abaixo para fazer a representação da região.
-
6
0
6
4
2
4 62
Questão 211 Um casal de coelhos recém–nascidos começa a reprodução com a idade de um mês
e, a partir de então, produz um casal de coelhos por mês. Considere que iniciamos uma criação
com um casal de coelhos recém–nascidos e que nenhum dos coelhos que nasceram a partir desse
casal morreu.
(a) Determine o número de casais de coelhos que teremos no ińıcio do sexto mês.
(b) Determine uma expressão para o número de casais de coelhos no ińıcio do n–ésimo mês.
(c) Denotando por Cn, para n = 1, 2, · · · , o número de casais de coelhos no ińıcio do n–ésimo
mês, como é conhecida a seqüência (Cn)n∈IN obtida no item (b) ?
Questão 212 Um sitiante vendeu ao primeiro dos seus fregueses a metade das maçãs do seu
pomar mais meia maçã. Para o segundo freguês, vendeu a metade das maçãs restantes mais meia
maçã. Ao terceiro freguês, vendeu a metade de quantas maçãs que ficaram mais meia maçã, e
assim sucessivamente. O nono freguês comprou a metade das frutas restantes mais meia maçã,
com isso esgotando todas as maçãs do pomar. Determine quantas maçãs tinham no pomar.
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Questão 213 Foi observado em laboratório que a quantidade de uma determinada bactéria, num
meio de cultura, a cada dia é diretamente proporcional ao número de bactérias do dia anterior
mais duas bactérias. Por simplicidade vamos denotar por K a constante de proporcionalidade e
por Q1 o número de bactérias no primeiro dia.
(a) Determine o número de bactérias no terceiro dia de cultura, considerando K = 2 e
Q1 = 10.
(b) Determine uma expressão para o número de bactérias no n–ésimo dia de cultura, em função
de K , Q1 e n.
Questão 214 Temos trinta reais para comprar vinte selos postais de três valores diferentes, a
saber: R$ 4, 50, R$ 2, 50 e R$ 0, 50. Determine de quantas maneiras podemos comprar os vinte
selos, entre cada um desses valores, gastando os trinta reais.
Questão 215 Um grupo de amigos pediram três pizzas, a saber: uma especial grande, uma comum
grande e uma comum pequena. Se cada um deles pagar R$ 9, 80, faltam R$ 7, 20 para pagar a
conta. Se cada um deles pagar R$ 11, 60, recebem R$ 3, 60 de troco.
(a) Quanto tem que pagar cada um dos amigos para que o dinheiro esteja certo?
(b) Sabendo que a relação entre o preço da pizza especial grande e o preço da pizza comum
grande é de
6
4
e que a relação entre o preço da pizza comum grande e o preço da pizza
comum pequena é de
5
4
, determine o valor de cada uma das pizzas.
Questão 216 Um jardim que possui uma forma quadrada tem em cada um de seus vértices um
poste de iluminação. Determine como podemos reformar esse jardim mantendo a sua forma
quadrada com o dobro de área do original e sem retirar os postes de iluminação de seus lugares.
Faça uma representação gráfica da situação descrita no problema.
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Questão 217 Na ilustração da figura abaixo, temos quatro circunferências com o mesmo raio
e cujos centros estão sobre o diâmetro da circunferência maior. Considerando que o diâmetro
da circunferência maior mede 20 cm, determine o raio da circunferência que tangencia as duas
circunferências de mesmo raio e a circunferência maior.
Questão 218 Seja P um ponto no interior de um triângulo equilátero. Mostre que a soma das
medidas dos três segmentos com origemem P e o ponto de intersecção da perpendicular a cada
um dos lados do triângulo é igual a medida de uma das alturas do triângulo, como ilustra a figura
abaixo.
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Questão 219 Determine o centro e o raio da circunferência passando pelos pontos A , B e C
marcados no reticulado regular da figura abaixo. Por simplicidade, considere que o lado de cada
quadrado do reticulado mede 1 cm. Justifique sua resposta.
Cu
BuAu
Questão 220 Considere o reticulado regular da figura abaixo, mostre que o ângulo ∠AOB é
igual ao ângulo ∠A′O′B′. Por simplicidade, considere que o lado de cada quadrado do reticulado
mede 1 cm.
HH
H
HH
H
HH
H
HH
H
HH
HH
HH
HH
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@
@
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A
A
A
A
A
A
A
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A
A
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A O
B
u
A′
O′
B′
u
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