EXERCICIOS-I

Prévia do material em texto

EXERCÍCIOS 
 
São 8 exercícios numerados de acordo com o número dos grupos 
 
G1- Os dados da Tabela abaixo são a média amostral ( x ) e a amplitude amostral (R) de 24 
amostras de tamanho 5, referentes a um processo. 
a- Determine os limites de controle para os gráficos da amplitude e da média. 
b- Qual a probabilidade de alarme falso no gráfico de x ? Quando o processo está em 
controle, quantas amostras em média são observadas até a ocorrência de um alarme falso? 
 
 
 
 
 
 
Uma máquina produz uma peça cujo diâmetro médio pode ser representado por uma variável 
aleatória x com distribuição normal. Sabe-se, por dados do processo, que a média de x = 50 e 
seu desvio padrão é igual a 2,0. O tamanho da amostra é n = 4. 
a- Calcule os limites de controle para o gráfico de x , de tal modo que a probabilidade do erro 
tipo I seja α = 0,004 (0,002 para cada lado). 
b- Considerando os limites calculados no item anterior, suponha agora que a média mude 
bruscamente para 52, permanecendo o desvio-padrão igual a 2. Calcule a probabilidade de 
que esta mudança seja detectada na primeira amostra após a sua ocorrência. 
G2-Os dados da Tabela abaixo são a média amostral ( x ) e a amplitude amostral (R) de 30 
amostras de tamanho 5, referentes a um processo. 
a- Calcule os limites de controle para os gráficos da amplitude e da média. 
b- Se a média do processo for deslocada para 7,5, qual a probabilidade de que descubramos 
tal mudança no gráfico de x , na primeira amostra após a mudança? 
c- Se a média do processo se desloca para 7,5, qual a probabilidade de que descubramos tal 
mudança no gráfico de x , antes da quarta amostra após a mudança? 
d- Se o desvio-padrão do processo muda para 3,61, qual a probabilidade de que descubramos 
tal mudança com o gráfico da amplitude, na primeira amostra após a mudança? 
e- Se o desvio-padrão do processo muda para 3,61, qual a probabilidade de que descubramos 
tal mudança com o gráfico da média, na primeira amostra após a mudança 
 
 
G3- Os dados da tabela a seguir correspondem a um mês de amostras, cada uma com n = 6, 
de um processo d produção de anéis de vedação . As medidas correspondem aos últimos três 
dígitos . Por exemplo, x = 297 significa 1,4297 cm e R = 16 significa 0,0016 cm. 
 
Calcule x e R . 
a- Calcule os limites de controle para os gráficos de x e R que você passará a usar para 
monitorar o processo. 
b- É retirada uma amostra por dia. Suponha que ocorra alteração da média do processo para 
1,4268 cm. Qual a probabilidade de que passem quatro dias seguidos sem que o gráfico 
sinalize essa alteração ocorrida? (suponha que o desvio-padrão do processo não se altere; 
apenas a média). 
c- Para melhorar o desempenho dos gráficos, o supervisor decidiu que, daqui para frente, as 
amostras passarão a ser de 12 unidades. Quais devem ser os novos limites para os gráficos? 
d- Algumas pessoas criticaram a decisão do supervisor, dizendo que seria melhor manter as 6 
unidades cada uma, passando porém a retirar 2 amostras por dia, em vez de apenas uma. Qual 
das duas alternativas (uma amostra de 12 unidades por dia, ou 2 amostras de 6 unidades por 
dia) leva ao menor tempo médio de detecção pelo gráfico de x , de eventuais alterações da 
média do processo para 1,4268 cm? 
 
 
 
G4- Os dados da Tabela abaixo são valores da média amostral ( x ) e da amplitude amostral 
(R) para 25 amostras de tamanho n = 5, referentes a um processo de produção de agulhas de 
injeção. As medidas correspondem ao diâmetro interno da agulha, em centésimos de 
milímetro. 
 
a- Construa gráficos de x e R para esse processo. 
b- Calcule para o gráfico de x , o número médio de amsotras até o sinal (NMA) quando 
ocorre um deslocamento da média µ de 0,75σ. 
c- Para detectar um deslocamento na média de magnitude de 1,0σ, qual a melhor opção: 
tomar amostras de tamanho 5 a cada meia hora ou tomar amostras de tamanho 6 a cada 45 
minutos? 
 
 
G5- Os volumes em centímetros cúbicos de três garrafas de coca-cola foram medidos a cada 
meia hora de produção durante 15 horas. Os volumes estão na Tabela abaixo. 
 
 
Calcule x e R . 
 
a- Construa gráficos de x e R para esse processo. 
b- Caso a média do processo aumente para 250,8, qual a probabilidade de o gráfico da média 
sinalizar tal desajuste? (supor que o desvio-padrão do processo não se alterou), e qual a 
probabilidade do gráfico da amplitude sinalizar tal desajuste? 
c- Caso o desvio-padrão do processo aumente para 30%, qual a probabilidade de o gráfico da 
média sinalizar tal desajuste? ((supor que a média do processo não se altera e que o risco α 
foi fixado em 0,1%). 
 
G6- Os dados da Tabela abaixo fornecem a média amostral ( x ) e a amplitude amostral (R) 
de 25 amostras de tamanho 4, referentes a um processo. 
a- Determine os limites de controle para os gráficos da amplitude e da média. 
b- Qual a probabilidade de alarme falso no gráfico de x ? Quando o processo está em 
controle, quantas amostras em média são observadas até a ocorrência de um alarme falso? 
c- Se a média do processo aumenta para 10,1 cm, qual o número esperado de amostras 
necessárias para detectar esse aumento? 
Se o desvio padrão do processo duiplica, qual q probabilidade de o gráfico da amplitude 
sinalizar tal alteração, em cada amostra? 
 
 
 
 
 
 
G7- Determine o número médio de amostras até o sinal (NMA) para os segui tes casos: 
 
CASO Gráficos 
em uso 
Tamanho da 
amostra 
Deslocamento da média 
(em desvios-padrão) 
Aumento no 
desvio-padrão 
α x αR
A x 4 0,75 Nenhum 0,2% 
B x 5 0,75 Dobra 0,2% 
C x e R 5 0,75 Dobra 0,1% 0,1% 
 
Discuta seus resultados 
 
G8- Os dados da Tabela abaixo são valores da média amostral ( x ) e da amplitude amostral 
(R) de 25 amostras de tamanho n = 3, referentes ao volume de leite em saquinhos plásticos. 
 
 
a- Construa gráficos de x e R para esse processo. 
b- Se a média do processo se desloca para 1004,0, qual a probabilidade de descobrir tal 
mudança com o gráfico de x : 
 b1- na primeira amostra após a mudança? 
 b1- somente na quinta amostra após a mudança? 
c- Se o desvio padrão muda para 8,0 qual a probabilidade de descobrir tal mudança na 
primeira amostra após a mudança? (para α = 0,005) 
d- Qual deve ser o tamanho da amostra, de modo que a probabilidade de detectar uma 
mudança para 1004,0 até a segunda amostra após a mudança seja de pelo menos 99%? 
(Suponha que a variância do processo não se altera)