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Relatório Final AM091
Uma reflexão sobre o Teorema
de Gauss-Bonnet
Autor: Felipe Carvalho Silva;
Professor Responsável: Prof. Dr. Ricardo Miranda Martins;
Disciplina: AM091 - Atividades de Matemática I;
Instituição: IMECC-Unicamp;
Data: 15/01/2021.
Sumário
1 Contextualização 2
2 Descrição do problema 3
3 Comentários e Aplicações 5
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1 Contextualização
Em resposta a falha de Edward Waring em prover uma demonstração para o
teorema de Wilson 1, que segundo esse se dava a ausência de notações para
expressar números primos, o grande matemático do século XIX, Johann Carl
Friedrich Gauss, enfatizou a máxima: precisamos de noções, não notações;
junta da demonstração do teorema. Dessa maneira, ainda que notações e
śımbulos sejam necessários para criação de uma linguagem precisa e exata,
o que defini a matemática em sua essência são seus conceitos e noções. Mais
precisamente, matemática, do grego máthēma, ciência, estudo ou conhe-
cimento, é a ciência responsável pelo estudo dos objetos abstratos, como
números, funções, polinômios, espaços, conjuntos e operações.
Dividida em diversos ramos, um que se destaca pela sua antiguidade e
presença em diversas culturas históricas é a geometria, que busca estudar
as figuras em suas formas e tamanhos. Desse modo, pretende-se estabelecer
relações entre ângulos, comprimentos, e volumes. Por outro lado, a topolo-
gia proporciona uma outra perspectiva para o estudo desses objetos. Sem
distinguir os comprimentos e os ângulos, a topologia busca entender as figu-
ras apartir de propriedades que não se modificam sobre certas deformações.
Essas deformações são chamadas de homeomorfismos 2 e representam visu-
almente distorções que não rasgam, nem colam objetos.
Embora parecam, a primeira vista, áreas muito distintas, a junção das
abordagem pode oferecer uma ferramenta de extremo valor para inúmeros
1Postulado por John Wilson, o teorema afirma que p ∈ Z é um número primo se, e
somente se, (p − 1)! ≡ −1 (mod p). Isto é, p divide (p − 1).(p − 2). · · · .3.2.1 + 1 se, e
somente se, é um número primo.
2Formalmente, um homeomorfismo é uma função entre espaços topológicos cont́ınua,
invert́ıvel e com inversa cont́ınua.
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problemas. Em vista disso, é indubitável a importância do teorema de Gauss-
Bonnet para a matemática. Meio que estabelece uma relação entre uma pro-
priedade geométrica local, a curvatura gaussiana, e um invariante topológico,
a caracteŕıstica de Euler.
2 Descrição do problema
Um dos primeiros resultados de geometria espacial estudado nos ńıveis básicos
de ensino é a relação de Euler para poliedros convexos: o número de vértices
(V ) subtráıdo do número de arestas (A) e acrescentado ao número de faces
(F ) é igual a 2 para poliedros convexos. Efetivamente, essa relação se estente
para alguns poliedros não-convexos e, no caso geral, dizemos que o número
obtido através dessa relação é a caracteŕıstica de Euler do poliedro em
questão, denotado por χ. Isto é, se P é um poliedro e V ,A e F são como
definidos acima, então χ(P ) = V − A + F . Esse é um importante conceito
matemático, pois superf́ıcies topologicamente equivalentes compartilham a
mesma caracteŕıstica de Euler. Em outras palavras, a caracteŕıstica de Euler
é um invariante topológico.
Contudo, não é uma tarefa trivial determinar a caracteŕıstica de Eu-
ler de uma esfera através de seu número de vértices, arestas e faces. Para
isso, consideramos antes um processo que pode ser aplicado a qualquer su-
perf́ıcie: a triangulação, que consiste em decompor a superf́ıcie em pequenos
triângulos. Dessa forma, é posśıvel contar o total de vértices, arestas e faces
de uma triângulação e definir esse valor para superf́ıcie. De fato, numa mesma
superf́ıcie, qualquer duas triangulações fornecerão a mesma caracteŕıtica de
Euler.
Do mesmo modo, o conceito de triângulo no plano precisa ser generalizado
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para se adaptar a superf́ıcies. Como sabemos, triângulo é a figura geométrica
formada por três pontos não colineares, chamados de vértices, unidos por
segmentos de retas. Porém, retomando o mesmo exemplo, a noção de reta no
plano não se encaixa com superf́ıcies como a esfera. Precisamos determinar
o equivalente à reta em superf́ıcies mais gerais.
Essa questão se resolve com uma curva excepcionalmente conhecida quando
se trata da superf́ıcies do planeta, a curva geodésica, que representa fisi-
camente a trajetória percorrido por um objeto que se move sem aceleração
centŕıpeta ou sem fazer curvas além daquelas intŕınsecas à superf́ıcie. Do
mesmo mode que um carro que se move para frente sobre uma lombada.
Sendo assim, podemos definir um triângulo como a figura obtida pela ligação
de três pontos por geodésicas. Formalmente, a curvatura que entendemos
como intŕınseca a superf́ıcie é chamada de curvatura Gaussiana e é ob-
tida, em cada ponto, pelo produto das curvaturas nas direções em que a
superf́ıcie mais se desvia de um plano e menos se desvia.
Isso posto, o teorema de Gauss-Bonnet enuncia, de forma simplificada,
que a integral da curvatura Gaussiana numa superf́ıcie é igual a 2π vezes a
caracteŕıstica de Euler da superf́ıcie. Isto é, se S é uma superf́ıcie, então:∫
S
KdA = 2πχ(S),
onde K é a curvatura Gaussiana da superf́ıcie e a integral de K sobre a
superf́ıcie S,
∫
S
KdA, pode ser entendida como o equivalente a K vezes a
área da superf́ıcie. Esse, de fato, é o caso quando a curvatura Gaussiana é
constante. Caso contrário, a integral representa uma soma infinitesimal de
aproximações dessa forma.
Outra forma de enunciar o teorema é: se T é um triângulo geodésico,
com ângulos internos α, β e γ, e K é a curvatura gaussiana do interior do
triângulo, então a soma dos ângulos internos desse triângulo esse π radianos
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em exatamente
∫
T
KdA.
α + β + γ = π +
∫
T
KdA.
A versão anterior pode ser obtida aplicando essa forma em uma triangulação
da superf́ıcie. Além disso, assim como sabemos, a soma dos ângulos internos
de um triângulo no plano é π radianos. Por outro lado, numa esfera esse
valor aumenta em proporção com a área do triângulo.
3 Comentários e Aplicações
O estudo da geometria e topologia nos permite entender os fundamentos de
inúmeros fenômenos espaciais que tangem nosso mundo. Por outro lado,
a negação da ciência e a tentativa de descredibilização das instituições ci-
ent́ıficas proveniente do conspiracionismo desafiam séculos de desenvolvi-
mento humanista. O terraplanismo, crença de que o forma do planeta Terra
é um disco em oposição a uma esfera, é um exemplo que ganhou destaque
na atualidade. Uma das alegações comumente usadas pelos defensores dessa
crença é a de que ao se alinhar uma régua com o horizonte é posśıvel consta-
tar a ausência da curvatura do mesmo. Entretanto, podemos verificar que a
curvatura de uma esfera de raio R é, em cada ponto, igual a 1
R2
e, por isso,
observando de uma perspectiva próxima, a curvatura da Terra é quase nula.
A diferença entre pequenas e grandse escalas podem ser notada na cons-
trução de um triangulo na superf́ıcie do planeta. Como é visto na figura 1,
na escala de uma cidade a soma dos ângulos internos de um triângulo é ex-
tremamente próxima de 180o, mas, num contexto global, podemos construir
facilmente um triângulo com soma de seus ângulos internos maior que 180o.
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Figura 1: Triângulos na superf́ıcies do planeta.
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