Instrumentação e Controle_2

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Q1) Ex. 2/Lista 2 (Controle):
	Para o sistema aberto, temos que o sinal de entrada é igual ao erro, ou seja: 
y = e
Quando o sistema é fechado, temos que o erro será o sinal de entrada subtraído do sinal y vindo da chave fechada e que o sistema se torna de retroação unitária possuindo a seguinte função não linear:
e = r – y
y = f(e) = e2
	Se y = e2, temos que e = r - e2, que pode ser visto como uma equação de segundo grau, reajustando os termos:
- e2 - e + r = 0 
Utilizando o dado do exercício, podemos substituir o valor de r no intervalo de 0 a 4, e assim, obter resultados para uma raiz positiva e para uma raiz negativa. Como forma de exemplificar, serão demonstrados os cálculos para r = 1, que serão replicados para os outros valores do intervalo, agrupados em uma tabela (Tabela 1), para que finalmente possa ser obtida a curva de linearização do sistema. 
Assim, se r = 0:
- e2 - e + 0 = 0
Por Báskara, temos a seguinte solução:
Δ = b2 – 4 a c 
Δ = (-12) – 4 (-1) (0)
Δ = 1 
Dando continuidade na resolução, temos que:
e = - b ± 
e = - 1 ± 
e+ = - 1 + 
e+ = 0
e- = - 1 - 
e- = -1
Sabendo que y = f(e) = e2, podemos determinar y, como segue:
y+ = (0)2
y+ = 0
y- = (1)2
y- = 1
Refazendo os mesmos cálculos para os outros valores do intervalo, obtemos a Tabela 1, abaixo, bem como o Gráfico 1, com os resultados extraídos da tabela. 
Tabela 1 - Valores calculados para o sistema de retroação unitário com 0<r<4.
	r
	Sistema aberto
	e [-]
	e [+]
	Sistema fechado [-]
	Sistema fechado [+]
	0
	0
	0,00000
	-1,00000
	0,00000
	1,00000
	1
	1
	0,61803
	-1,61803
	0,38197
	2,61803
	2
	4
	1,00000
	-2,00000
	1,00000
	4,00000
	3
	9
	1,30280
	-2,30280
	1,69729
	5,30289
	4
	16
	1,56160
	-2,56160
	2,43859
	6,56179
Gráfico 1 - Valores calculados para o sistema de retroação unitário com 0 < r < 4.
	Com base no Gráfico 1, temos que as soluções utilizando a “raiz com sinal negativo” quando resolvidos pelo método de Bhaskara (curva laranja), realmente linearizam a função não linear mostrada inicialmente, mostrando que a retroação produz uma relação mais linear ao sistema em torno do ponto zero. 
Q2) Ex. 3/Lista 2. 
	Inicialmente vamos definir o sentido da força aplicada para baixo como sendo positivo e para cima como sendo negativo, para determinar as equações diferenciais que descrevem o sistema. 	
	O sistema pode ser descrito pelo diagrama de massa para o corpo livre, no qual nessa figura, o amortecedor de massa mola pode ser modelado com base na definição de que há atrito e este é linearmente proporcional à velocidade da massa, sendo classificado como um amortecimento viscoso. Para determinar as equações diferenciais que descrevem esse sistema, devemos somar as forças atuantes em cada uma das massas utilizando-se da 2ª Lei de Newton, Força Peso, Força da Mola, Força de Atrito, e Força externa aplicada caso exista, como pode ser observado abaixo: 
M y’’ + b y’ + k y (t) = r (t)
	Onde k é a constante da mola, b a constante de atrito utilizada no sistema de amortecimento, y’’ representa a derivada segunda (aceleração), y’ a primeira derivada (velocidade) de cada parâmetro em função do tempo t, r(t) a força externa, e esta é classificada como uma equação diferencial de coeficiente constante linear de segunda ordem. Assim, as forças aplicadas em cada massa serão:
Fp = M y’’ (Força peso)
Fa = - b y’ (Força de amortecimento)
Fm = - k y (t) (Força da mola)
F(t) = força externa
	Podemos analisar para cada um dos casos, dividindo o sistema em duas partes, sendo uma relativa à M1, que é afetada por todo o sistema, e outra por M2 que é afetado apenas por uma parte dele, como pode ser observado abaixo. 
	Em M1 temos a ação de uma força externa F(t) no sentido considerado positivo. A mola de constante K1 age no sentido negativo assim como o amortecedor de constante de atrito b. Finalmente, a mola de constante K12 age no sentido positivo, onde o deslocamento da fórmula será a diferença entre y1 e y2, como pode ser observado abaixo: 
Fp + (Fm12) – (Fa) – (Fm1) = F(t)
M1 y1’’ + k12 (y1 – y2) – (-b y1’) – (-k1y1) = F(t)
M1 y1’’ + k12 (y1 – y2) + b y1’ + k1y1 = F(t)
	Em M2, não há ação de força externa como observado em M1, e assim, essa força será zero. Para M2, teremos apenas a força peso no sentido positivo e a força da mola de constante K12 no sentido negativo, calculadas como mostrado acima nos cálculos para M1, entretanto a diferença de deslocamento será do y2 – y1, como observado abaixo: 
Fp + (Fm12) = 0
M2 y2’’ – (-k12 (y2 – y1)) = 0
M2 y2’’ + k12 (y2 – y1) = 0
Sistema de Retroação Unitária
Sistema aberto	0	1	2	3	4	0	1	4	9	16	Sistema fechado [-	]	0	1	2	3	4	0	0.38196601125010521	1	1.69728784	2.4385945600000003	Sistema fechado [+	]	0	1	2	3	4	1	2.6180339887498949	4	5.3028878399999995	6.5617945599999992	r
y