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5a Lista de Exercícios
MA673-Elementos de Álgebra - 10 - Semestre-2012
Nesta lista denotaremos os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, respec-
tivamente, por: N , Z ,Q , R e C.
1. Verifique se a ∈ K é raiz de f(X) ∈ K[X] nos seguintes casos.
a) K = Z13, a = 6 e f(X) = 12X3 + 2X + 9
b) K = Z11, a = 3 e f(X) = 2X4 + 2X2 + 3
c) K = Q, a = 23 e f(X) = X
3 +X + 1
2. Calcular a multiplicidade de a ∈ K como raiz de f(X) ∈ K[X] nos seguintes casos.
a) K = Z31, a = 15 e f(X) = 2X3 + 16X2 + 7X + 1
b) K = Z5, a = 3 e f(X) = X5 + 4X
c) K = Q, a = −1 e f(X) = X4 + 5X3 + 9X2 + 7X + 2
c) K = Q, a = 23 e f(X) = X
3 +X + 1
3. Usar o algoritmo de Euclides para dividir o polinômio f(X) por g(X) em K[X] nos seguintes casos:
a) K = Q, f(X) = X4 +X2 −X − 1 e g(X) = X2 − 3X + 2.
b) K = Z17, f(X) = 9X4 + 3X3 + 2X + 1 e g(X) = 4X2 +X + 1.
c) K = Z23, f(X) = 3)X4 + 7X3 + 2X2 + 1 e g(X) = 6X2 +X + 1.
4.Calcular o mdc(f(X), g(X)), em K[X] nos seguintes casos:
a) K = Q, f(X) = X4 +X3 + 2X2 +X + 1 e g(X) = X3 + 4X2 + 4X + 3.
b) K = Z7, f(X) = 9)X5 + 7X3 + 2X2 + 1 e g(X) = 3X3 +X + 1.
c) K = Z11, f(X) = X4 + 2X3 + 2X2 + 3 e g(X) = X2 + 2X + 1.
5. Dados um corpo K, a ∈ K e f(X) ∈ K[X] um polinômio de grau n ≥ 1. Mostre que:
mdc(f(X), X − a) = 1 ou mdc(f(X), X − a) = X − a (ie, a é raíz de f(X))
6. Seja f(X) = Xn + an−1Xn−1 + · · ·+ a1X + a0 ∈ Z[X], ie, ai ∈ Z. Tome α ∈ Q e mostre que:
a) Se f(α) = 0 então α ∈ Z e α divide a0. (Sugestão:Escreva α = ab com mdc(a, b) = 1 e desnvolva f(α) = 0
eliminando os denominadores)
b) O polinômio f(X) = X5 + 3X3 + 2X2 + 1 não tem raizes racionais.
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7.Sejam K um corpo e f(X) ∈ K[X], com gr(f(X)) ≥ 2.
a)Mostre que: Se gr(f(X)) ≤ 3 então: f(X) é irredutível em K[X] se e só se f(X) não tem raíz em K.
b)Mostre que: f(X) = X3 + 2X2 + 1 é irredutível em Q[X], mas não é em R[X].
c) Dê um exemplo de que a) não é verdadeira se gr(f(X)) ≥ 4.
8. Neste exercício vamos assumir o teorema fundamental da álgebra,ie, todo polinômio não constante de
C[X] tem uma raíz em C (C= corpo dos complexos e R=corpo dos reais). Mostre que:
a) Se f(X) ∈ R[X] tem grau impar então f(X)tem uma raíz em R.
b) Se f(X) ∈ R[X] e α = a+ bi ∈ C é raíz de f(X) então α = a− bi também é raíz de f(X).
c) Se f(X) ∈ R[X] é irredutível sobre R então f(X) = aX + b, com a 6= 0 ou f(X) = aX2 + bX + c, com
a 6= 0 e ∆ = b2 − 4ac < 0.
d) Se g(X) ∈ R[X] tem grau n ≥ 1 e mônico então g(X) é produto finito único de polinômios do tipo
f(X) = X − a e do tipo h(X) = X2 + bX + c, onde a, b, c ∈ R e b2 − 4c < 0.
9. Dado m ∈ N, para f(X) = anXn + an−1 +Xn−1 + · · ·+ a1X + a0 ∈ Z[X] considere
f(X) = anX
n + · · ·+ a1X + a0 ∈ Zm[X]. Sabendo que:
(f + g)(X) = f(X) + g(X) e que (fg)(X) = f(X)g(X),
mostre que:
a) Se f(X) é mônico e f(X) é irredutível em Zm[X] então f(X) é irredutível em Z[X].
b) f(X) = X3 − 14X2 + 21X − 30 é irredutível em Z[X]
c) Se a ∈ Z é raiz de f(X) então a é raiz de f(X) em Zm.
d) Se f(X) = X4 + 3X3 + 3X2 + 1 então f(X) não tem raízes em Z, mas tem raiz em Z2.
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