Cálculo I - Aplicações de Derivadas

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MA-111 Cálculo I- 5a Lista (Aplicações de derivadas)
1. Sejam f, g : R → R, duas funções reais tais que g é cont́ınua em 0 e
f pode ser escrita (fatora-se) como f(x) = xg(x). Sem assumir que g
seja derivável em 0, mostre, pela definição, que f é derivável em 0. Dê
um exemplo de f deste tipo onde, de fato g só é cont́ınua mas não é
derivável em 0.
2. Deduza a fórmula de derivada da função inversa, e use essa fórmula
para calcular a derivada de arcsecx.
3. Calcule a derivada de f(x) = e
−xarctg ex
tg x
.
4. Verifique que as derivadas satisfazem
a)
d
dx
[
xarctg x− 1
2
ln(1 + x2)
]
= arctg x
b)
d
dx
[
x3
3
arcsenx +
x2 + 2
9
√
1− x2
]
= x2arcsenx
c)
d
dx
[
(x + 1)arctg
√
x−
√
x
]
= arctg
√
x
d)
d
dx
[
−1
2
arcsen
(
2− x
x
√
2
)]
=
1
x
√
x2 + 4x− 4
5. Prove que o polinômio x3 − 3x2 + 6 tem uma única raiz real.
6. Prove que o polinômio x3 + x2 − 5x + 1 tem três única raiz real.
7. Determine todos os valores de a para que a equação x3+3x2−9x+a = 0
tenha uma única solução real.
8. Esboçar os gráficos das funções
1
2
9.
3
10. .
4