Práticas_2_Apostila

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Convolução com o SciLab 
 
 
2018 
Convolução com o SciLab 
CHARLES WAY HUN FUNG 
 
 
 
Convolução com o SciLab 1 Eng. Charles Way Hun Fung MSc. 
Sumário 
Conceito de convolução .................................................................................................................. 2 
Exemplo: Convolução discreta em sistema linear ....................................................................... 3 
Convolução Contínua ..................................................................................................................... 5 
Convolução de sinais diferentes: ................................................................................................ 7 
Referências ..................................................................................................................................... 9 
 
 
 
 
 
Convolução com o SciLab 2 Eng. Charles Way Hun Fung MSc. 
Conceito de convolução 
Considere um sistema linear invariante no tempo, como mostrado na figura a seguir: 
 
Figura 1 – Sistema linear. 
Fonte: (Oppenheim, 2010). 
O sinal x[n] é a entrada do sistema, por este sinal ser linear pode ser considerado uma 
combinação linear de diversos sinais mais simples x[k]. Podemos definir que 
𝑥[𝑛] = 𝑥[𝑘]𝛿[𝑛 − 𝑘] 
No Scilab, por exemplo podemos escrever um sinal da seguinte forma: 
Sinal: 
𝑥[𝑛] = 𝛿[𝑛 − 1] + 2𝛿[𝑛] + 𝛿[𝑛 + 1] 
 
A saída deste sistema é y[n], que corresponde a resposta do sistema a entrada x[n]. 
Chamamos de h[n] a resposta do sistema ao impulso, ou resposta ao impulso. É a resposta 
do sistema quando x[n] é um impulso unitário δ[n]. Então podemos afirmar que: 
𝛿[𝑛] → ℎ[𝑛] 
No caso de um impulso deslocado: 
𝛿[𝑛 − 𝑘] → ℎ[𝑛 − 𝑘] 
 Logo, para calcular a saída y[n] deve-se calcular a convolução de x[n] por h[n]. 
𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛] ∗ ℎ[𝑛] 
 
 
 
Convolução com o SciLab 3 Eng. Charles Way Hun Fung MSc. 
𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑘]ℎ[𝑛 − 𝑘] 
Esta é a equação da convolução, que consiste em diversas somas de multiplicações 
geradas através do deslocamento de h[n] por x[n]. 
Exemplo: Convolução discreta em sistema linear 
Vamos considerar um sinal de entrada x[n]: 
𝑥[𝑛] = 𝛿[𝑛] + 2𝛿[𝑛 − 1] + 𝛿[𝑛 − 3] 
O sistema possui uma resposta ao impulso h[n]: 
ℎ[𝑛] = 𝛿[𝑛 + 1] + 2𝛿[𝑛 − 1] 
Inserindo estes dois sinais no SciLab: 
 
A representação gráfica destes sinais: 
 
 
 
 
 
 
Convolução com o SciLab 4 Eng. Charles Way Hun Fung MSc. 
Observação: 
O comando subplot receberá como parâmetro: 
<Quantidade de linha><quantidade de colunas><posição na janela> 
Exemplo:121 -> uma linha, duas colunas, 1ª posição. 
 
Vamos realizar a convolução x[n]*h[n] usando o SciLab, para isto usamos o comando conv. 
Sintaxe do comando: 
y = conv(<sinal1>,<sinal2>) 
Então, para o problema que estamos resolvendo teremos: 
 
Perceba que a quantidade de pontos é praticamente o dobro, na verdade a quantidade de 
pontos positivos e negativos dobrou mais o zero. Por isso devemos criar ‘n2’, que diferente de ‘n’ 
que varia de -5 a 5, esse irá variar de -10 a 10: 
 
Em seguida realizaremos a plotagem do sinal y[n]: 
 
 
 
 
 
 
Convolução com o SciLab 5 Eng. Charles Way Hun Fung MSc. 
 
Convolução Contínua 
Outro exemplo de convolução que pode ser realizada é a contínua, neste caso utilizaremos 
dois sinais semelhantes que chamaremos de pulso retangular. Que podemos descrever como uma 
diferença entre uma função degrau e outra degrau deslocado: 
𝑟𝑒𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜[𝑛 ] = 𝑢[𝑛] − 𝑢[𝑛 − 𝑛 ] 
Logo, com um exemplo numérico no Scilab: 
 
O resultado desta operação pode ser plotado no gráfico a seguir: 
 
 
 
 
 
Convolução com o SciLab 6 Eng. Charles Way Hun Fung MSc. 
Observação: 
Para plotar o gráfico de forma a não ficar nos limites da representação dos eixos, deve-se 
fazer o plot e depois configurar os limites do eixo x e y. Para isto utilize o comando: 
a = gca(); 
a.data_bounds=[X0,Y0;Xn,Yn]; 
Onde: 
X0: Limite inferior do eixo X; 
Xn: Limite superior do eixo X; 
Y0: Limite inferior do eixo Y; 
Yn: Limite superior do eixo Y; 
Exemplo: 
a.data_bounds=[-10,0;10,5]; 
Neste exemplo o eixo X varia de -10 a 10 e o eixo Y varia de 0 a 5. 
Utilizaremos o pulso retangular que acabamos de definir, para executar a operação de 
convolução, da seguinte forma: 
𝑦[𝑛] = 𝑟𝑒𝑡[𝑛] ∗ 𝑟𝑒𝑡[𝑛] 
 O cálculo da convolução é realizado no Scilab da seguinte forma: 
 
Em seguida iremos plotar o gráfico: 
 
 
 
 
 
 
Convolução com o SciLab 7 Eng. Charles Way Hun Fung MSc. 
 
Convolução de sinais diferentes: 
Iremos realizar a convolução entre os sinais: 
𝑥(𝑡) = 
1, 0 < 𝑡 < 𝑇
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
ℎ(𝑡) = 
𝑡, 0 < 𝑡 < 2𝑇
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
Para simplificar o problema faremos T=5, então: 
𝑥(𝑡) = 
1, 0 < 𝑡 < 5
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
ℎ(𝑡) = 
𝑡, 0 < 𝑡 < 10
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
 
No Scilab: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Convolução com o SciLab 8 Eng. Charles Way Hun Fung MSc. 
A convolução entre estes dois sinais é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Convolução com o SciLab 9 Eng. Charles Way Hun Fung MSc. 
 
Referências 
 
[1] F. Frederico F. Campos, Fundamentos de SCILAB, Belo Horizonte: UFMG, 2010. 
[2] A. S. W. Alan V. Oppenheim, Sinais e sistemas, São Paulo: Pearson, 2010.