SINAIS E SISTEMAS 11

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Sinais 
Transformações da variável independente 
A variável independente em tempo contínuo é 𝑡 medido em segundos, em tempo 
discreto é 𝑛 que é número da amostra (número adimensional) sendo que o tempo entre cada 
amostra é igual ao período de amostragem do sinal em tempo contínuo. 
Tempo contínuo: 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), etc. 
Tempo discreto: 𝑥[𝑛], 𝑦[𝑛], etc. 
Trabalhando com a variável independente podemos: 
 Atrasar o sinal. 
 Adiantar o sinal. 
 Inverter o sinal no tempo. 
 Comprimir o sinal. 
 Expandir o sinal. 
1. O sinal de entrada de um sistema é 𝑥[𝑛] = [7 5 1 0 3 − 2] onde o número marcado 
corresponde à amostra em 𝑛 = 0, calcular a saída 𝑦[𝑛] de acordo com as equações a 
seguir: 
a. 𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛 − 3] 
b. 𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛 + 1] 
c. 𝑦[𝑛] = 𝑥[2𝑛] 
d. 𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛/2] 
e. 𝑦[𝑛] = 𝑥[−𝑛 − 3] 
Resolução 
A forma mais fácil de calcular este sinal de saída é escolher o número de amostra da 
mesma e substituir no número de amostra do sinal de entrada. Em tempo contínuo se 
procede da mesma forma, só que com o tempo em segundos. Os sinais discretos podem 
ser escritos da seguinte maneira: 
 Vetorial indicando a posição da amostra zero: 𝑥[𝑛] = [7 5 1 0 3 − 2] 
 Equação: 𝑥[𝑛] = 7𝛿(𝑛 + 3) + 5𝛿[𝑛 + 2] + 𝛿[𝑛 + 1] + 0𝛿[𝑛] + 3𝛿[𝑛 − 1] − 2𝛿[𝑛 − 2] =
7𝛿(𝑛 + 3) + 5𝛿[𝑛 + 2] + 𝛿[𝑛 + 1] + 3𝛿[𝑛 − 1] − 2𝛿[𝑛 − 2] 
 Forma gráfica: 
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a. 𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛 − 3] 
𝑦[−1] = 𝑥[−1 − 3] = 𝑥[−4] = 0 
𝑦[0] = 𝑥[0 − 3] = 𝑥[−3] = 7 
𝑦[1] = 𝑥[1 − 3] = 𝑥[−2] = 5 
𝑦[2] = 𝑥[2 − 3] = 𝑥[−1] = 1 
𝑦[3] = 𝑥[3 − 3] = 𝑥[0] = 0 
𝑦[4] = 𝑥[4 − 3] = 𝑥[1] = 3 
𝑦[5] = 𝑥[5 − 3] = 𝑥[2] = −2 
O sinal deslocou 3 amostras para a direita, portanto o sinal de saída está atrasado em 
3 amostras em relação ao sinal de entrada. 
𝒚[𝒏] = [𝟕 𝟓 𝟏 𝟎 𝟑 − 𝟐] 
𝒚[𝒏] = 𝟕𝜹[𝒏] + 𝟓𝜹[𝒏 − 𝟏] + 𝜹[𝒏 − 𝟐] + 𝟑𝜹[𝒏 − 𝟒] − 𝟐𝜹[𝒏 − 𝟓] 
 
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b. 𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛 + 1] 
𝑦[−5] = 𝑥[−5 + 1] = 𝑥[−4] = 0 
𝑦[−4] = 𝑥[−4 + 1] = 𝑥[−3] = 7 
𝑦[−3] = 𝑥[−3 + 1] = 𝑥[−2] = 5 
𝑦[−2] = 𝑥[−2 + 1] = 𝑥[−1] = 1 
𝑦[−1] = 𝑥[−1 + 1] = 𝑥[0] = 0 
𝑦[0] = 𝑥[0 + 1] = 𝑥[1] = 3 
𝑦[1] = 𝑥[1 + 1] = 𝑥[2] = −2 
O sinal deslocou 1 amostra para a esquerda, portanto o sinal de saída está adiantado 
em 1 amostra e relação ao sinal de entrada. 
𝒚[𝒏] = [𝟕 𝟓 𝟏 𝟎 𝟑 − 𝟐] 
𝒚[𝒏] = 𝟕𝜹[𝒏 + 𝟒] + 𝟓𝜹[𝒏 + 𝟑] + 𝜹[𝒏 + 𝟐] + 𝟑𝜹[𝒏] − 𝟐𝜹[𝒏 − 𝟏] 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c. 𝑦[𝑛] = 𝑥[2𝑛] 
𝑦[−2] = 𝑥[−2.2] = 𝑥[−4] = 0 
𝑦[−1] = 𝑥[−1.2] = 𝑥[−2] = 5 
𝑦[0] = 𝑥[0.2] = 𝑥[0] = 0 
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𝑦[1] = 𝑥[1.2] = 𝑥[2] = −2 
𝑦[2] = 𝑥[2.2] = 𝑥[4] = 0 
O sinal de saída foi comprimido (tiradas as amostras de 𝑛 ímpar) em relação ao sinal 
de entrada. 
𝒚[𝒏] = [𝟓 𝟎 − 𝟐] 
𝒚[𝒏] = 𝟓𝜹[𝒏 + 𝟏] − 𝟐𝜹[𝒏 − 𝟏] 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
d. 𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛/2] 
𝑦[−6] = 𝑥[−6/2] = 𝑥[−3] = 7 
𝑦[−5] = 𝑥[−5/2] = 𝑥[−2,5] = 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 = 0 
𝑦[−4] = 𝑥[−4/2] = 𝑥[−2] = 5 
𝑦[−3] = 𝑥[−3/2] = 𝑥[−1,5] = 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 = 0 
𝑦[−2] = 𝑥[−2/2] = 𝑥[−1] = 1 
𝑦[−1] = 𝑥[1/2] = 𝑥[−0,5] = 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 = 0 
𝑦[0] = 𝑥[0/2] = 𝑥[0] = 0 
𝑦[1] = 𝑥[1/2] == 𝑥[0,5] = 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 = 0 
𝑦[2] = 𝑥[2/2] = 𝑥[1] = 3 
𝑦[3] = 𝑥[3/2] = 𝑥[1,5] = 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 = 0 
𝑦[4] = 𝑥[4/2] = 𝑥[2] = −2 
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O sinal de saída foi expandido (preenchido com zeros) em relação ao sinal de entrada. 
𝒚[𝒏] = [𝟕 𝟎 𝟓 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟑 𝟎 − 𝟐] 
𝒚[𝒏] = 𝟕𝜹[𝒏 + 𝟔] + 𝟓𝜹[𝒏 + 𝟒] + 𝜹[𝒏 + 𝟐] + 𝟑𝜹[𝒏 − 𝟐] − 𝟐𝜹[𝒏 − 𝟒] 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
e. 𝑦[𝑛] = 𝑥[−𝑛 − 3] 
𝑦[−5] = 𝑥[5 − 3] = 𝑥[2] = −2 
𝑦[−4] = 𝑥[4 − 3] = 𝑥[1] = 3 
𝑦[−3] = 𝑥[3 − 3] = 𝑥[0] = 0 
𝑦[−2] = 𝑥[2 − 3] = 𝑥[−1] = 1 
𝑦[−1] = 𝑥[1 − 3] = 𝑥[−2] = 5 
𝑦[0] = 𝑥[0 − 3] = 𝑥[−3] = 7 
𝑦[1] = 𝑥[−1 − 3] = 𝑥[−4] = 0 
O sinal foi deslocado 3 amostras para a direita e depois invertido no tempo, portanto o 
sinal de saída foi atrasado e posteriormente invertido. 
𝒚[𝒏] = [−𝟐 𝟑 𝟎 𝟏 𝟓 𝟕] 
𝒚[𝒏] = −𝟐𝜹[𝒏 + 𝟓] + 𝟑𝜹[𝒏 + 𝟒] + 𝜹[𝒏 + 𝟐] + 𝟓𝜹[𝒏 + 𝟏] + 𝟕𝜹[𝒏] 
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Exemplo em tempo contínuo: 
𝑥(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋𝑡
10
) + 2𝑠𝑒𝑛 (
𝜋𝑡
30
) 
𝑦(𝑡) = 𝑥(−𝑡 − 20) 
 
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Sistemas 
Propriedades dos sistemas 
Os sistemas de processamento de sinais têm as seguintes características: 
 Linearidade: um sistema é linear se a saída responde linearmente às variações do sinal 
de entrada, caso contrário é não linear. 
 Invariância no tempo: o sistema é invariante no tempo se um atraso ou avanço de 
tempo na entrada provoca deslocamento idêntico na saída. 
 Sem memória: o sistema é sem memória se a saída depende exclusivamente da 
amostra atual do sinal de entrada (não depende de amostras nem passadas nem 
futuras). 
 Causalidade: o sistema é causal se a saída depende de amostras presentes e ou 
passadas do sinal de entrada. É não causal de depende de amostras passadas, 
presentes e futuras ou de amostras presentes e futuras (somente sinais digitais). É 
anticausal de depende somente de amostras futuras (somente sinais digitais). 
 Estabilidade: o sistema é estável quando a amplitude do sinal de saída não tende a 
infinito para nenhum sinal de entrada (disciplinas de Controle Contínuo e Discreto). 
2. Para os seguintes sistemas verificar se são lineares, invariantes no tempo, sem 
memória, causais e estáveis. 
a. 𝑇{𝑥[𝑛]} = 𝑥[𝑛 + 3] + 2 
b. 𝑇{𝑥(𝑡)} = cos(𝑡)𝑥(𝑡 − 2) 
c. 𝑇{𝑥[𝑛]} = 𝑛𝑥[𝑛] 
d. 𝑇{𝑥(𝑡)} = 𝑥(𝑡 − 1) + 𝑥(𝑡 + 1) 
Resolução 
a. 𝑇{𝑥[𝑛]} = 𝑥[𝑛 + 3] + 2 
Linearidade: 
 𝑇{𝑎𝑥1[𝑛] + 𝑏𝑥2[𝑛]} = 𝑎𝑥1[𝑛 + 3] + 𝑏𝑥2[𝑛 + 3] + 2 (1) 
𝑦1[𝑛] = 𝑥1[𝑛 + 3] + 2 
𝑦2[𝑛] = 𝑥2[𝑛 + 3] + 2 
 𝑦[𝑛] = 𝑎𝑦1[𝑛] + 𝑏𝑦2[𝑛] = 𝑎𝑥1[𝑛 + 3] + 2𝑎 + 𝑏𝑥2[𝑛 + 3] + 2𝑏 (2) 
Como a equação (1) não é igual à equação (2) o sistema não é linear. 
Invariância no tempo: 
 𝑇{𝑥[𝑛 − 𝑛0]} = 𝑥[𝑛 − 𝑛0 + 3] + 2 (3) 
𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛 + 3] + 2 
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 𝑦[𝑛 − 𝑛0] = 𝑥[𝑛 − 𝑛0 + 3] + 2 (4) 
Como a equação (3) é igual à equação (4) o sistema é invariante no tempo. 
Sem memória: o sistema é com memória porque a saída depende de amostras futuras de 
𝑥[𝑛]. 𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛 + 3] 
Causalidade: o sistema é anticausal porque depende somente de amostras futuras de 𝑥[𝑛]. 
Estabilidade: o sistema por ele mesmo é estável, qualquer instabilidade que possa 
apresentar será devida a instabilidades do sinal de entrada. 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------b. 𝑇{𝑥(𝑡)} = 𝑐𝑜𝑠(𝑡)𝑥(𝑡 − 2) 
Linearidade: 
 𝑇{𝑎𝑥1(𝑡) + 𝑏𝑥2(𝑡)} = 𝑎 𝑐𝑜𝑠(𝑡)𝑥1(𝑡 − 2) + 𝑏 𝑐𝑜𝑠(𝑡)𝑥2(𝑡 − 2) (5) 
𝑦1(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(𝑡)𝑥1(𝑡 − 2) 
𝑦2(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(𝑡)𝑥2(𝑡 − 2) 
 𝑦(𝑡) = 𝑎𝑦1(𝑡) + 𝑏𝑦2(𝑡) = 𝑎 𝑐𝑜𝑠(𝑡)𝑥1(𝑡 − 2) + 𝑏 𝑐𝑜𝑠(𝑡)𝑥2(𝑡 − 2) (6) 
Como a equação (5) é igual à equação (6) o sistema é linear. Cumpre com as propriedades 
de homogeneidade e aditividade. 
Invariância no tempo: 
 𝑇{𝑥(𝑡 − 𝑡0)} = 𝑐𝑜𝑠(𝑡)𝑥(𝑡 − 𝑡0 − 2) (7) 
𝑦(𝑡) = cos(𝑡)𝑥(𝑡 − 2) 
 𝑦(𝑡 − 𝑡0) = 𝑐𝑜𝑠(𝑡 − 𝑡0)𝑥(𝑡 − 𝑡0 − 2) (8) 
Como a equação (7) é diferente da equação (8) o sistema não é invariante no tempo. 
Sem memória: o sistema é com memória porque a saída depende de amostras passadas 
de 𝑥(𝑡). 
Causalidade: o sistema é causal porque depende de amostras passadas de 𝑥(𝑡). 
Estabilidade: o sistema por ele mesmo é estável, qualquer instabilidade que possa 
apresentar será devida a instabilidades do sinal de entrada. 
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c. 𝑇{𝑥[𝑛]} = 𝑛𝑥[𝑛] 
Linearidade: 
 𝑇{𝑎𝑥1[𝑛] + 𝑏𝑥2[𝑛]} = 𝑎𝑛𝑥1[𝑛] + 𝑏𝑛𝑥2[𝑛] (9) 
𝑦1[𝑛] = 𝑛𝑥1[𝑛] 
𝑦2[𝑛] = 𝑛𝑥2[𝑛] 
 𝑦[𝑛] = 𝑎𝑦1[𝑛] + 𝑏𝑦2[𝑛] = 𝑎𝑛𝑥1[𝑛] + 𝑏𝑛𝑥2[𝑛] (10) 
Como a equação (9) é igual à equação (10) o sistema é linear. 
Invariância no tempo: 
 𝑇{𝑥[𝑛 − 𝑛0]} = 𝑛𝑥[𝑛 − 𝑛0] (11) 
𝑦[𝑛] = 𝑛𝑥[𝑛] 
 𝑦[𝑛 − 𝑛0] = [𝑛 − 𝑛0]𝑥[𝑛 − 𝑛0] (12) 
Como a equação (11) é igual à equação (12) o sistema não é invariante no tempo. 
Sem memória: o sistema é sem memória porque a saída depende de amostras somente de 
amostras presentes de 𝑥[𝑛]. 
Causalidade: o sistema é causal porque depende de amostras presentes de 𝑥[𝑛]. 
Estabilidade: o sistema é instável, quando 𝑛 → ∞ a amplitude do sinal de saída tenderá a 
infinito. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
d. 𝑇{𝑥(𝑡)} = 𝑥(𝑡 − 1) + 𝑥(𝑡 + 1) 
Linearidade: 
 
𝑇{𝑎𝑥1(𝑡) + 𝑏𝑥2(𝑡)} = 
𝑎(𝑥1(𝑡 − 1) + 𝑥1(𝑡 + 1)) + 𝑏(𝑥2(𝑡 − 1) + 𝑥2(𝑡 + 1)) 
(13) 
𝑦1(𝑡) = 𝑥1(𝑡 − 1) + 𝑥1(𝑡 + 1) 
𝑦2(𝑡) = 𝑥2(𝑡 − 1) + 𝑥2(𝑡 + 1) 
 
𝑦(𝑡) = 𝑎𝑦1(𝑡) + 𝑏𝑦2(𝑡) = 
𝑎(𝑥1(𝑡 − 1) + 𝑥1(𝑡 + 1)) + 𝑏(𝑥2(𝑡 − 1) + 𝑥2(𝑡 + 1)) 
(14) 
Como a equação (13) é igual à equação (14) o sistema é linear. 
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Invariância no tempo: 
 𝑇{𝑥(𝑡 − 𝑡0)} = 𝑥(𝑡 − 𝑡0 − 1) + 𝑥(𝑡 − 𝑡0 + 1) (15) 
𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡 − 1) + 𝑥(𝑡 + 1) 
 𝑦(𝑡 − 𝑡0) = 𝑥(𝑡 − 𝑡0 − 1) + 𝑥(𝑡 − 𝑡0 + 1) (16) 
Como a equação (15) é igual à equação (16) o sistema é invariante no tempo. 
Sem memória: o sistema é com memória porque a saída depende de amostras passadas 
e futuras de 𝑥(𝑡). 
Causalidade: o sistema é não causal porque depende de amostras passadas e futuras de 
𝑥(𝑡). 
Estabilidade: o sistema por ele mesmo é estável, qualquer instabilidade que possa 
apresentar será devida a instabilidades do sinal de entrada. 
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Referências 
OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S. Sinais e Sistemas. 2a. ed. São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 2010. 
SCILAB ENTREPRISES. Scilab. Scilab, 2017. Disponivel em: <http://www.scilab.org/>.