sol-homogena

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Comportamento natural das plantasComportamento natural das plantas
Solução homogênea
Polinômio característico
Raízes do polinômio característico
Sistemas de primeira ordem
Sistemas de segunda ordem
Solução da Equação DiferencialSolução da Equação Diferencial
● Solução da equação homogênea
● Solução da equação particular
● Solução completa
D p y t N p u t( ) ( ) ( ) ( )=
Solução da Equação HomogêneaSolução da Equação Homogênea
● Excitação nula
● Polinômio
 característico
● Resposta natural
D p y t( ) ( ) = 0
0... 01
1
1 =++++
−
− apapap
n
n
n
D p y t N p u t( ) ( ) ( ) ( )= E.D.G.
 depende das raízes do
polinômio característico
)(tyh
ir
Solução do Polinômio CaracterísticoSolução do Polinômio Característico
A solução complementar é uma soma de funções
que satisfazem a equação homogênea e
dependem das raízes do PC. Podem existir
● Raízes reais simples
● Raízes reais múltiplas
● Raízes complexas simples
● Raízes complexas múltiplas
∑=
i
ih tfty )()(
Solução do Polinômio CaracterísticoSolução do Polinômio Característico
● Raízes reais simples
● Raízes reais múltiplas
● Raízes complexas simples
● Raízes complexas múltiplas
n funções do
tipo Aert
Solução do Polinômio CaracterísticoSolução do Polinômio Característico
● Raízes reais simples
● Raízes reais
de multiplicidade m
● Raízes complexas simples
● Raízes complexas múltiplas
Funções do tipo
Aert
Atert
At2ert
...
Atm-1ert
Solução do Polinômio CaracterísticoSolução do Polinômio Característico
● Raízes reais simples
● Raízes reais múltiplas
● Raízes complexas simples
● Raízes complexas múltiplas
Raízes a±bj
Funções do tipo
ou
)cos()sen( btBebtAe atat +
)sen( φ+btAeat
Solução do Polinômio CaracterísticoSolução do Polinômio Característico
● Raízes reais simples
● Raízes reais múltiplas
● Raízes complexas simples
● Raízes complexas
de multiplicidade m
Raízes a±bj
Funções do tipo
1 1
2 2
1
sen( )
sen( )
sen( )
at
at
m at
m m
A e bt
A te bt
A t e bt
φ
φ
φ−
+
+
+
�
Exemplo 1.1 Solução HomogêneaExemplo 1.1 Solução Homogênea
a) 034214
2
2
3
3
=+++ y
dt
dy
dt
yd
dt
yd
P.C. 034214 23 =+++ ppp
raízes
jr
r
41
2
2
1
±−=
−=
S.H. teAteAeAty ttt 4sen4cos)( 32
2
1
−−− ++=
Solução usando MatlabSolução usando Matlab
Para encontrar a resposta natural do problema anterior
usando Matlab adote a seguinte seqüência (admitindo
constantes unitárias):
– Definir o polinômio
– Encontrar as raízes
– Determinar o vetor do tempo
– Encontrar a solução no tempo acima
– Plotar a resposta natural no tempo
Solução do exemploSolução do exemplo
● Definir o polinômio: p = [1 4 21 34];
● Encontrar as raízes:
 r = roots(p); r1 = r(3); a = real(r(1)); b =abs(imag(r(1)));
● Determinando o tempo: t = 0:0.05:4;
● Encontrando a resposta para C.Is. y0=2 ; y’0=2
y=exp(r1*t)+exp(a*t).*sin(b*t) +exp(a*t).*cos(b*t)
● Fazendo o gráfico: plot(t,y), grid
Solução do exemplo usandoSolução do exemplo usando MatLab MatLab
%
% Primeiro exemplo usando Matlab
% Solução da equação homogênea
% p^3 + 4p^2 + 21p + 34 = 0
% com condições iniciais y_0=2; dy/dt_0=1; d2y/dt2_0=-19;
%
p=[1 4 21 34];
r=roots(p)
r1=r(3)
a=real(r(1))
b=imag(r(1))
t=0:0.05:4;
y=exp(r1*t)+exp(a*t).*sin(b*t)+exp(a*t).*cos(b*t);
plot(t,y), grid
title('Resposta natural da planta')
xlabel('Tempo (s)')
ylabel('Saída y')
Exemplo 1.1Exemplo 1.1
Solução da equação homogênea
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Re s pos ta na tura l da pla nta
Te m po (s )
S
aí
da
 y
Exemplo de solução homogêneaExemplo de solução homogênea
b)
P.C. 012167 23 =+++ ppp
raízes
3
2
3
2,1
−=
−=
r
r
S.H.
ttt eAteAeAty 33
2
2
2
1)(
−−− ++=
d y
dt
d y
dt
dy
dt
y
3
3
2
2
7 16 12 0+ + + =
Sistemas de primeira ordemSistemas de primeira ordem
Solução da equação homogêneaSolução da equação homogênea
)(
)(
)(
)(
010 tubdt
tdu
btya
dt
tdy +=+
)(...
)(
)(...
)()(
001
1
1 tubdt
tud
btya
dt
tyd
a
dt
tyd
m
m
mn
n
nn
n
++=+++ −
−
−
primeira ordem
Equação
 Homogênea
0)(
)(
0 =+ tyadt
tdy
Sistemas de primeira ordemSistemas de primeira ordem
Solução da equação homogêneaSolução da equação homogênea
● O polinômio característico será portanto:
00 =+ap
taeyty 0)0()( −=
● A solução da equação diferencial é:
0ar −=
Exercício 1.1Exercício 1.1
Obter a resposta natural de um sistema de primeira
ordem cujo polinômio característico
0=+ ap
fazendo a assumir os valores -5, 0 e 5,
para condição inicial unitária positiva e negativa.
Sistemas de primeira ordemSistemas de primeira ordem
Solução da equação homogêneaSolução da equação homogênea
λ >
λ = 
λ < 
0
0
0
0>r
0=r
0<r
Sistemas de segunda ordemSistemas de segunda ordem
Solução da equação homogêneaSolução da equação homogênea
● A equação diferencial geral é:
● O polinômio característico é:
d y t
dt
a
dy t
dt
a y t
2
2 1 0
0
( ) ( )
( )+ + =
p a p a2 1 0 0+ + =
Sistemas de segunda ordemSistemas de segunda ordem
Solução da equação homogêneaSolução da equação homogênea
● O polinômio característico pode ser escrito:
p pn n
2 22 0+ + =ζω ω
ζ = fator de amortecimento
ωn = frequência natural
2
2,1 1 ζωζω −±−= nn jr
● onde
● cujas raízes
 são
Sistemas de segunda ordemSistemas de segunda ordem
Variação do fator de amortecimentoVariação do fator de amortecimento
● ζ > 1: as raízes são reais simples
● ζ = 1: raízes reais duplas
● ζ < 1: raízes complexas conjugadas
)1( 22,1 −±−= ζζωnr trtr BeAety 21)( +=
nr ω−=2,1 trtr BteAety 21)( +=
y t Ae t Be tn nt d
t
d( ) sin( ) cos( )= +
− −ζω ζωω ω
)1( 22,1 ζζω −±−= jr n ω ω ζd n= −1
2
Sistemas de segunda ordemSistemas de segunda ordem
Relações geométricas das raízesRelações geométricas das raízes
ζ = const . ℑ
ω ζn 1
2−
−ζωn
θα
ωσλ i+=
cosα ζ=ωn const= .
•
nω
ωσλ i−= 21 ζω −− n
ℜ
Exemplo 1.2 Sistema de segunda ordemExemplo 1.2 Sistema de segunda ordem
Encontrar a freqüência natural e o fator de
amortecimento de uma planta cujo polinômio
característico é
Achar a resposta natural e apresentar o seu gráfico
usando Matlab. Varie o fator de amortecimento e
obtenha novas respostas.
0222 =++ pp
SoluçãoSolução
● Determine o polinômio
● Calcule as raízes
● Encontre a freq. natural (módulo da raiz): wn=abs(r(1))
● Encontre o fator de amortecimento: zeta=real(r(1))/wn
● Encontre a resposta natural no tempo
● Mantenha a freq. natural e faça o fator de
amortecimento 1.0, 0.4 e 0.1, plotando a nova resposta
natural p/ cada caso.
Solução do exemplo usandoSolução do exemplo usando MatLab MatLab
% Segundo exemplo usando Matlab
% Solução da equação homogênea
% de um sistema de segunda ordem
% p^2 + 2p + 2 = 0
% variando o fator de amortecimento
% C.I.: y_0=1; dy/dt_0=0
yo=2; dyo=0;
p=[1 2 2];
r=roots(p)
a=real(r(1))
b=imag(r(1))
wn=abs(r(1))
zeta=a/wn
t=0:0.01:10;
y=(dyo-a*yo)/b*exp(a*t).*sin(b*t)+...
 yo*exp(a*t).*cos(b*t);
plot(t,y,'r'), grid
title('Resposta natural')
xlabel('Tempo (s)')
ylabel('Saída y')
%Variando zeta com C.I.: y_0=1;dy/dt_0=0
yo=2; dyo=0;
t=0:0.01:10;
zeta=0.4;
p=[1 2*zeta*wn wn^2];
r=roots(p);a=real(r(1));b=imag(r(1))
y1=(dyo-a*yo)/b*exp(a*t).*sin(b*t)+yo*exp(a*t).*cos(b*t);
zeta=0.1;
p=[1 2*zeta*wn wn^2];
r=roots(p);a=real(r(1));b=imag(r(1))
y2=(dyo-a*yo)/b*exp(a*t).*sin(b*t)+yo*exp(a*t).*cos(b*t);
zeta=0.99999999;
p=[1 2*zeta*wn wn^2];
r=roots(p);a=real(r(1));b=imag(r(1))
y3=(dyo-a*yo)/b*exp(a*t).*sin(b*t)+yo*exp(a*t).*cos(b*t);
plot(t,y1,t,y2,t,y3)
title('Resposta natural variando o amortecimento')
xlabel('Tempo (s)')
ylabel('Saída y')
Gráfico das respostas naturaisGráfico das respostas naturais
 Variando o fator de
 amortecimento obtém-se: