adm e economia

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Renata de Moura Issa Vianna
Matemática Financeira
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Matemática Financeira
Vivemos em um mundo onde precisamos estar sempre 
capacitados para resolver os diversos tipos de problemas 
que possam surgir. Desenvolver o raciocínio de maneira 
rápida e objetiva é um dom bastante necessário para 
edificarmos uma solução para quaisquer tipos de 
dificuldades.
O estudo da Matemática Financeira o habilitará a 
encontrar, com mais facilidade, a solução para diversos 
desafi os, tanto no campo profi ssional, quanto no campo 
pessoal. Controlar as finanças é um dos maiores desafios 
de um empreendedor.
A Matemática Financeira possui ferramentas necessárias 
para a análise do cotidiano financeiro, por diversos 
pontos de vista, com o objetivo de planejar a vida 
financeira tanto de uma empresa como de um indivíduo.
MATC14
C
iê
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 C
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C
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CM
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CY
CMY
K
MATEMÁTICA FINANCEIRA
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS
CURSO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS
Renata de Moura Issa Vianna 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 
 
 
 
 
 
 
 
Salvador 
2018
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
Reitor: João Carlos Salles Pires da Silva
Vice-Reitor: Paulo César Miguez de Oliveira
Pró-Reitoria de Ensino de Graduação
Pró-Reitor: Penildon Silva Filho
Faculdade de Ciências Contábeis
Diretor: Prof. Joséilton Silveira da Rocha
Superintendência de Educação a
Distância -SEAD
Superintendente: Márcia Tereza Rebouças
Rangel
Coordenação de Tecnologias Educacionais
CTE-SEAD
Haenz Gutierrez Quintana
Coordenação de Design Educacional
CDE-SEAD
Lanara Souza 
Coordenadora Adjunta UAB 
Andréa Leitão
UAB -UFBA
Bacharelado em Ciências Contábeis
EaD 
Coordenadora:
Profª Inês Teresa Lyra Gaspar da Costa
Produção de Material Didático
Coordenação de Tecnologias Educacionais
CTE-SEAD
Núcleo de Estudos de Linguagens &
Tecnologias - NELT/UFBA
Coordenação
Prof. Haenz Gutierrez Quintana
Projeto gráfi co
Prof. Haenz Gutierrez Quintana
Projeto da Capa: Prof. Alessandro Faria
Arte da Capa: Prof. Alessandro Faria
Foto de capa: Designed by ijeab / Freepik
Equipe de Revisão: 
Edivalda Araujo
Julio Neves Pereira
Márcio Matos
Equipe Design
Supervisão
Alessandro Faria
Editoração / Ilustração
Sofi a Guimarães
Marcone Pereira
Design de Interfaces
Raissa Bomtempo
Equipe Audiovisual
Direção:
Prof. Haenz Gutierrez Quintana
Produção:
Letícia Moreira de Oliveira
Câmera 
Maria Christina Souza
Edição:
Deniere Rocha
Animação e videografi smos:
Filipe Araújo Caldas
Edição de áudio 
Pedro Queiroz
Trilha Sonora:
Pedro Queiroz
Esta obra está sob licença Creative Commons CC BY-NC-SA 4.0: esta 
licença permite que outros remixem, adaptem e criem a partir do 
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crédito e que licenciem as novas criações sob termos idênticos.
 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
 Sistema de Bibliotecas da UFBA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 V617 Vianna, Renata de Moura Issa. 
 Matemática financeira / Renata de Moura Issa Vianna. - Salvador: UFBA, Faculdade de 
Ciências Contábeis; Superintendência de Educação a Distância, 2018. 
 131 p. : il. 
 
 Esta obra é um Componente Curricular do Curso de Bacharelado em Ciências Contábeis na 
modalidade EaD da UFBA/SEAD/UAB. 
 
 ISBN: 978-85-8292-166-1 
 
 1. Matemática financeira - Estudo e ensino. 2. Contabilidade - Estudo e ensino (Superior). I. 
Universidade Federal da Bahia. Faculdade de Ciências Contábeis. II. Universidade Federal da 
Bahia. Superintendência de Educação a Distância. III. Título. 
 
 CDU: 657 
SUMÁRIO
MINICURRÍCULO DO PROFESSOR 09
CARTA DE APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA 09
UNIDADE 1 – CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTA 13
1.1 – Conceitos Fundamentais 13
1.1.1 – Calendários 
1.1.2 – Fluxo de Caixa 
1.2 – Regimes de Capitalização 17
1.2.1 – Regime de Capitalização Simples 
1.2.2 – Regime de Capitalização Composta 
1.2.3 – Regime de Capitalização Mista 
1.3 – Estudo das Taxas 26
1.3.1 – Taxas Proporcionais 
1.3.2 – Taxas Equivalentes 
1.3.3 – Taxa Nominal e Taxa Efetiva 
1.3.4 – Taxas Resultantes 
1.3.5 – Taxa Real e Taxa Aparente 
1.4 – Descontos 34
1.4.1 – Valor Nominal, Valor Descontado e Prazo de Antecipação 
1.4.2 – Desconto na Capitalização Simples 
1.4.3 – Desconto na Capitalização Composta 
1.5 – Equivalência de Capitais 45
1.5.1 – Equivalência na Capitalização Simples
1.5.2 – Equivalência na Capitalização Composta
15
16
18
21
25
35
36
42
45
50
26
27
30
32
32
SÍNTESE DA UNIDADE 53
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA UNIDADE 55
UNIDADE 2 – RENDAS CERTAS 65
2.1 – Séries Periódicas Uniformes 67
2.1.1 – Série Uniforme Postecipada 
2.1.2 – Série Uniforme Antecipada 
2.1.3 – Série Uniforme Diferida 
2.1.4 – Série Uniforme Infinita 
SÍNTESE DA UNIDADE 81
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA UNIDADE 82
UNIDADE 3 – ANÁLISE DE ALTERNATIVA DE 
INVESTIMENTOS E MÉTODOS DE DEPRECIAÇÃO 89
3.1 – Análise de Alternativa de Investimentos 89
3.1.1 – Método do Valor Presente Líquido 
3.1.2 – Método da Taxa Interna de Retorno 
3.2 – Métodos para o Cálculo do Fundo de Depreciação 94
3.2.1 – Método de Depreciação Linear 
3.2.2 – Método de Depreciação da Taxa Constante 
3.2.3 – Método de Cole 
SÍNTESE DA UNIDADE 99
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA UNIDADE 100
67
72
75
78
89
90
94
95
97
UNIDADE 4 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 104
4.1 – Sistema de Amortização Francês 106
4.2 – Sistema de Amortização Constante 109
4.3 – Sistema de Amortização Misto 110
4.4 – Sistema Americano de Amortização 114
SÍNTESE DA UNIDADE 117
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA UNIDADE 118
TABELAS FINANCEIRAS 122
REFERÊNCIAS BÁSICAS 126
8
Matemática Financeira
Renata de Moura Issa Vianna
Ilustração: Marcone da Silva
Mini Currículo da Professora
A Profa. Renata de Moura Issa Vianna é graduada em Licenciatura em Matemática 
pela Universidade Federal da Bahia, Especialista em Matemática pela AVM - Facul-
dade Integrada e Mestra em Matemática pela Universidade Federal da Bahia. Atual-
mente, é Professora do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico do Instituto Federal 
Baiano desde 2018. 
Carta de Apresentação da Disciplina 
Caro(a) estudante, 
Vivemos em um mundo onde precisamos estar sempre capacitados para resolver os 
diversos tipos de problemas que possam surgir. Desenvolver o raciocínio de maneira 
rápida e objetiva é um dom bastante necessário para edifi carmos uma solução para 
quaisquer tipos de difi culdades. O estudo da Matemática Financeira o habilitará a 
encontrar, com mais facilidade, a solução para diversos desafi os, tanto no campo 
profi ssional, quanto no campo pessoal.
Controlar as fi nanças é um dos maiores desafi os de um empreendedor. A Matemática 
Financeira possui ferramentas necessárias para a análise do cotidiano fi nanceiro, por 
diversos pontos de vista, com o objetivo de planejar a vida fi nanceira tanto de uma 
empresa como de um indivíduo. Ela tem bastante importância para a tomada de decisões 
em uma empresa e, quando bem aplicada, traz maior rentabilidade, possibilitando o 
processo de maximizaçãonos resultados. Ela também pode ser aplicada em diversas 
situações cotidianas, como fi nanciamentos de móveis e imóveis, empréstimos, aplicações 
fi nanceiras, investimentos em bolsas de valores, entre outras situações. 
%
$
=
10
Matemática Financeira
Com o objetivo de possibilitar uma compreensão gradativa e completa sobre a 
Matemática Financeira, inicialmente analisaremos as capitalizações simples e compostas. 
Depois, veremos os tipos de descontos e como encontrar capitais equivalentes. Também 
vamos verificar os vários tipos de séries e de sistemas de amortizações que são utilizados 
no mercado financeiro, além de analisar algumas alternativas de investimentos.
O módulo está organizado em quatro unidades. A 1ª unidade é introdutória e visa o 
aprendizado de conceitos e princípios importantes para a Matemática Financeira. A 2ª 
unidade define as séries de recebimentos e pagamentos. Na 3ª unidade estudaremos 
um pouco sobre a Análise de Alternativa de Investimentos. A 4ª unidade apresenta os 
sistemas de amortização mais utilizados. 
Bons estudos! 
11
Renata de Moura Issa Vianna
12
Matemática Financeira
Renata de Moura Issa Vianna
Ilustração: Marcone da Silva
UNIDADE 1 – Capitalização Simples e Composta
Considere que duas empresas de calçados, a empresa X e a empresa Y, tenham a receber 
R$200,00 cada. A empresa X deve receber seus R$200,00 em 30 dias e a empresa Y em 
360 dias. 
Será que os R$200,00 da empresa X valem o mesmo que os R$200,00 da empresa Y? 
Claro que não! Os R$200,00 da empresa X valem mais do que os R$200,00 da empresa Y, 
pois o valor do dinheiro varia no tempo. Isso é chamado “valor temporal” do dinheiro. 
A matemática fi nanceira é a ciência que estuda o valor do dinheiro no tempo. 
São em situações como essas que percebemos como a matemática fi nanceira é uma 
ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimento ou fi nanciamento 
de bens. Ela consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplifi car a 
operação fi nanceira. 
1.1 - Conceitos Fundamentais
Vamos começar com os conceitos fundamentais necessários para uma melhor 
compreensão.
1. Capital: É a quantia em dinheiro na “data zero”, ou seja, no início da aplicação. 
Pode ser o dinheiro investido em uma atividade econômica, o valor fi nanciado de 
um bem ou de um empréstimo tomado. É também chamado de valor presente, 
valor inicial, valor principal, entre outros. 
Notação: C
14
Matemática Financeira
2. Juros: É a remuneração obtida pelo uso do capital por um intervalo de tempo, 
isto é, é o custo do crédito obtido. Pode ser entendido também como sendo o alu-
guel pelo uso do dinheiro.
Notação: J
3. Prazo: É o período ao fi m do qual os juros são calculados. É também chamado 
de período de capitalização. Os mais usados são: dia, mês, bimestre, trimestre, 
semestre e ano. 
Notação: n
4. Taxa de Juros: É o coefi ciente resultante da razão entre o juro e o capital. A cada 
taxa deverá vir anexado o período a que ela se refere. Assim, elas devem estar de 
acordo com o prazo. Podem ser apresentadas de duas formas:
• Forma Unitária: a taxa refere-se à unidade do capital. Assim calculamos o ren-
dimento da aplicação de uma unidade do capital no intervalo de tempo referido 
pela taxa. Para efeito de cálculo, sempre é utilizada a taxa na forma unitária. 
Exemplo: 0,05 ao mês signifi ca que cada $1,00 de capital aplicado rende $0,05 de 
juro, a cada mês de aplicação.
• Forma Percentual: aplicada a centos do capital, ou seja, representa os rendi-
mentos de 100 unidades de capital, durante o período de tempo referido pela 
taxa. 
Exemplo: 10% ao ano signifi ca que cada $100,00 de capital aplicado rende $14,00 
de juros, a cada ano de aplicação.
Notação: i
Simbolicamente, temos que
𝒊 =
𝑱
𝑪
Atenção!
Para evitar problemas com mudanças de unidades monetárias, utilizaremos 
sempre uma unidade fi ctícia, chamada de unidade monetária, abreviada 
por u.m. ou representada por “$” antes do valor.
15
Renata de Moura Issa Vianna
Observação: Para simplifi car, utilizaremos, em alguns momentos, as seguintes 
abreviações:
ao dia: a.d.
ao mês: a.m.
ao bimestre: a.b.
ao trimestre: a.t.
ao semestre: a.s.
ao ano: a.a.
5. Montante: É a quantia em dinheiro no fi m da aplicação, sendo a soma do capital 
aplicado e o juro produzido em um determinado período. É também chamado de 
valor futuro, valor fi nal, saldo, entre outros.
Notação: M
Matematicamente, temos que
M=C+J
1.1.1 - Calendários
Com o objetivo de simplifi car o cálculo com datas, existem várias formas de calendários 
na matemática fi nanceira. Vejamos alguns exemplos.
• Calendário Civil: O ano tem 365 dias e cada mês tem o número exato de dias.
• Calendário Comercial: O ano tem 360 dias e cada mês tem 30 dias. 
 
• Calendário de Dias Úteis: Retira-se do período os sábados, domingos e 
feriados. Neste tipo de calendário, usa-se a Agenda Redoma, que facilita a 
contagem dos dias úteis num período.
ATENÇÃO! 
Utiliza-se o Calendário Civil quando o prazo é dado em datas. Neste caso, 
contam-se os dias corridos acrescentando uma das extremidades. 
16
Matemática Financeira
• Calendário de Operações: O dia pode ter até 36h.
Exemplo: Considere uma aplicação na poupança feita em 07 de agosto de 2018 que 
será resgatada em 07 de janeiro de 2019. Vamos calcular o prazo.
Assim, o prazo é de 153 dias.
1.1.2 - Fluxo de Caixa
O Fluxo de Caixa é um registro de uma sequência de movimentações financeiras ao 
longo do tempo. É representado por um eixo horizontal no qual marcamos o tempo, 
seja em ano, semestre, trimestre, bimestre, mês ou dia. As entradas de recursos são 
representadas por setas orientadas para cima, perpendiculares ao eixo horizontal. Já as 
saídas de recursos são representadas da mesma forma, porém as setas serão colocadas 
para baixo.
Exemplo: Suponha que uma pessoa fez um empréstimo em um banco de $1.000,00, 
pagando, no final do período de 6 meses, $1.200,00.
Do ponto de vista do recebedor do empréstimo, teremos o seguinte fluxo de caixa: 
Agosto 25 dias (conta o primeiro dia)
Setembro 30 dias
Outubro 31 dias
Novembro 30 dias
Dezembro 31 dias
Janeiro 6 dias (não conta o último dia)
$1.000, 00
0 1 2 3 4 5 6 n
$1. 200, 00
17
Renata de Moura Issa Vianna
Do ponto de vista do banco, obtemos o seguinte fluxo de caixa:
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Um investidor aplicou $6.000,00 e resgatou $6.320,00 após 3 meses. A repre-
sentação do fluxo de caixa no ponto de vista do investidor é:
 
 
 
 
 
1.2 - Regimes de Capitalização 
Considere um capital que é aplicado a uma determinada taxa por período ou por vários 
períodos. Quando queremos calcular qual é o valor de um montante, estamos querendo 
saber o resultado da capitalização do valor atual. O montante pode ser calculado de 
acordo com os seguintes critérios:
1. Regime de Capitalização Simples;
2. Regime de Capitalização Composta;
3. Regime de Capitalização Mista.
Analisemos cada uma das capitalizações.
$1.000, 00
0 1 2 3 4 5 6 n
$1. 200, 00
$6. 000, 00
$6. 320, 00
0 1 2 3 n
18
Matemática Financeira
1.2.1 - Regime de Capitalização Simples
No Regime de Capitalização Simples, a taxa de juros incide diretamente sobre o valor 
do capital. Em cada período, o juro é obtido pelo produto do capital inicial pela taxa 
unitária. Desta forma, os juros são iguais em cada período. É também chamado de Juros 
Simples.
Exemplo: Um investidor aplica $1.000,00 por um prazo de 4 meses a uma taxa mensal 
de 10%. Encontre o valor do saldo ao final de cada período usando o Regime de Capita-
lização Simples.
Resolução:
Primeiramente, façamos o fluxo de caixa correspondente.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usando que M=C+J, calculamos o montante Mn ao final de cada mês n:
M1=1.000+1.000(0,1)=$1.100
M2=1.100+1.000(0,1)=$1.200
M3=1.200+1.000(0,1)=$1.300
M4=1.300+1.000(0,1)=$1.400
Podemos montaruma tabela com os respectivos valores de J e de M em cada período n.
n J M
0 - 1.000,00
1 100,00 1.100,00
2 100,00 1.200,00
3 100,00 1.300,00
4 100,00 1.400,00
M1
M3
M4
M2
0 1 2 3 4 n
$1.000, 00
19
Renata de Moura Issa Vianna
Observe que, a cada mês, o montante é acrescido de $100,00. Assim, podemos afirmar 
que os montantes formam uma Progressão Aritmética de razão 100.
No caso geral, para um capital C aplicado a juros simples durante n períodos a uma taxa 
unitária i referida nesse período, tem-se uma Progressão Aritmética cujo primeiro termo 
é C+Ci e a razão é Ci. Assim, lembrando que a equação que relaciona um termo qualquer 
an de uma Progressão Aritmética com o primeiro termo a1 e a razão r é dada por
an = a1 (n-1)r,
temos que o montante será dado por
M = (C+Ci) + (n-1)Ci
M = C+Ci + Cin-Ci
M = C + Cin
M = C (1+in)
Como M=C+J, temos que C+Cin=C+J. Logo,
J = Cin
Portanto, na Capitalização Simples, a cada período, aplicamos a taxa de juros sobre o 
capital e obtemos o valor do juro daquele período. Quando há mais de um período envol-
vido, basta somar todos os juros obtidos ou, de forma mais simples, multiplicar o juro de 
um período pelo número de períodos da aplicação.
Vejamos alguns exemplos envolvendo juros simples.
Exemplo: Um artigo de preço à vista igual a $700,00 pode ser adquirido com entrada de 
20% mais um pagamento para 45 dias. Se o vendedor cobra juros simples de 8% ao mês, 
qual o valor do pagamento devido? 
Resolução:
 
 
 
 
 
 
 
$ 700, 00
$140,00
0 0,5 1 1,5 n
M
20
Matemática Financeira
 
Exemplo: Um empréstimo foi efetuado a uma taxa linear de 1,8% ao mês e pago um 
montante de $5.667,20 após 20 dias. Qual é o valor do empréstimo?
Resolução:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Um investidor aplicou $4.000,00 com capitalização simples à taxa de 5% ao 
mês. O montante que ele irá receber será de $7.000,00. Determine o prazo de aplicação.
Valor à Vista: $700,00
Valor a Prazo:
 
C = $700,00 - $140,00 = $560,00
n = 45 dias = 1,5 mês
i = 0,08 ao mês
 M = ?
𝑅$140,00
 20% 𝑑𝑒 $700,00
 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
+ 𝑀
M = C(1+in)
M = 560[1+0,08(1,5)]
M = $627,20
C
0 20 n
$5.667, 20
M = $5.667,20
i = 0,018
n = 20
30 =
2
3
mês
C = ?
M = C(1+in)
C = 5.667,20
1,012
C = $5.600
5.667,20 = 𝐶 1 + 0,018
2
3
21
Renata de Moura Issa Vianna
Resolução:
1.2.2 - Regime de Capitalização Composta
No Regime de Capitalização Composta, a taxa de juros incide diretamente sobre o valor 
do montante do período anterior. É também chamado de Juros Compostos.
Exemplo: Um investidor aplica $1.000,00 por um prazo de 4 meses a uma taxa mensal 
de 10%. Encontre o valor do saldo ao final de cada período usando o Regime de Capita-
lização Composta.
Resolução:
O Fluxo de caixa correspondente:
 
 
 
 
 
 
 
Calculando o montante Mn ao final de cada mês n, obtemos:
M1 = 1.000(0,1) + 1.000 = 1.100
M2 = 1.100(0,1) + 1.100 = 1.210
M3 = 1.210(0,1) + 1.210 = 1.331
M4 = 1.331(0,1) + 1.331 = 1.464,10
C=$4.000 
i=0,05
 M=$7.000,00
 n= ?
M=C+J
7.000=4.000+J
J=$3.000
J=Cin
3.000=4.000(0,05)n
n= 3.000
200
n=15 meses
M1
M3
M4
M2
0 1 2 3 4 n
$1.000, 00
22
Matemática Financeira
Montando uma tabela com os respectivos valores de J e de M em cada período n, temos
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que, a cada mês, o montante é acrescido de 10% do seu valor. Assim, podemos 
afirmar que os montantes formam uma Progressão Geométrica de razão 1,1.
De maneira geral, para um capital C, aplicado a juros compostos durante n períodos 
a uma taxa unitária i referida nesse período, tem-se uma Progressão Geométrica cujo 
primeiro termo é C(1+i) e a razão é (1+i). Portanto, lembrando que a equação que 
relaciona um termo qualquer a_n de uma Progressão Geométrica com o primeiro termo 
a1e a razão q é dada por
an = a1.q
(n-1),
temos que o montante M será dado por
M = C(1+i)(1+i)(n-1)
M = C(1+i)n
Como podemos observar, o mesmo capital calculado sob as formas de ambos os regimes 
produz um total de juros de $400,00, na capitalização simples, e $464,10, na capitalização 
composta. Esta diferença entre as formas de cálculo é fruto da remuneração de juros 
sobre juros dos juros compostos.
 
 
 
 
 
 
n J M
0 - 1.000,00
1 100,00 1.100,00
2 110,00 1.210,00
3 121,00 1.331,00
4 133,10 1.464,10
A expressão (1+i)n é chamada de fator de capitalização ou fator de acumulação 
de capital. Antes do advento das calculadoras avançadas, este fator ocupava 
várias páginas no final dos livros.
Sabendo um pouco mais
23
Renata de Moura Issa Vianna
Essa diferença é exponencial, pois, com o transcurso do tempo, o coeficiente angular 
dos juros compostos aumenta cada vez mais, enquanto que o valor dos juros simples 
permanece o mesmo até o final da operação. O gráfico traz um comparativo entre ambos 
os sistemas de capitalização.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 1: Comparação das Capitalizações Simples e Composta
Observa-se pelo gráfico que:
• Para n > 1: Capitalização Composta > Capitalização Simples;
• Para 0<n<1: Capitalização Composta < Capitalização Simples;
• Para n=1: Capitalização Composta = Capitalização Simples.
Exemplo: Uma aplicação especial rende 1,5% ao mês em regime de juros compostos. 
Certa pessoa deseja aplicar a quantidade $620,00 durante 2 anos. Qual é o montante 
gerado por essa aplicação?
Resolução:
Juros Compostos
Juros Simples
Montante ($)
C
1
Tempo (n)
0 1 2 n
M
$620, 00
24
Matemática Financeira
 
Exemplo: Uma loja financia a venda de uma mercadoria no valor de $2.600,00 da 
seguinte forma:
Entrada: 10% de $2.600,00
Ao final de 8 meses: $3.270,00
 
Qual é a taxa exponencial mensal cobrada pela loja?
Resolução:
 
 
 
 
 
 
 
 
C = $620
n = 2 anos = 24 meses
i= 0,015
M = ?
M = C(1+i)n
M = 620(1+0,015)24
M = 620(1,015)24
M = 620(1,4295)
M = $886,29
$2. 600,00
$260, 00
0 2 4 6 8 n
$3. 270, 00
M = $3.270
C = $2.600 - = $2.340
 
n = 8 meses
i = ?
M = C(1+i)n
3.270 = 2.340(1+i)8
 
 
(1,3974)(1/8) = 1+i
i = 1,0427-1
i = 0,0427
i = 4,27% ao mês
$260
10% de $2.600
25
Renata de Moura Issa Vianna
Exemplo: Determine o tempo necessário para o capital de $20.000,00 gerar um montante 
de $28.142,00 quando aplicado à taxa composta de 5% ao mês. 
Resolução:
 
1.2.3 - Regime de Capitalização Mista
Quando o período de pagamento da dívida for não inteiro, utiliza-se a capitalização 
composta na parte inteira e a capitalização simples para a não inteira. Isto é o que 
chamamos de Capitalização Mista ou Convenção Linear.
Observação: Mesmo o prazo não sendo um número inteiro, é possível utilizar a 
capitalização composta em todo período. Neste caso, chamamos esse tipo de capitalização 
de Convenção Exponencial. 
Segundo Belo (2008, p.25), “A adoção de uma dessas hipóteses dependerá exclusivamente 
do que for acordado entre as partes interessadas.”
Exemplo: Um capital de $35.000,00 foi emprestado por 2 anos e 7 meses a uma taxa 
bimestral de 12%. Calcule o valor pago no final desse período usando:
a) Convenção Linear;
b) Convenção Exponencial.
M = $28.142
C = $20.000
i = 0,05 ao mês
n = ?
M = C(1+i)n
28.142=20.000(1+0,05)n
28.142
20.000
 = (1,05)n
1.4071 = (1,05)n
log(1.4071) = log(1,05)n
𝑛 =
log ( 1.4071)
log(1,05)
n ≈ 7 meses
26
Matemática Financeira
Resolução: 
Veja que o montante é maior na convenção linear. Isto se deve ao fato de que o juro 
simples é maior que o juro composto quando calculado num tempo menor do que um 
período de capitalização.
1.3 - Estudo das Taxas
1.3.1 - Taxas Proporcionais
As taxas i1 e i2 são ditas proporcionais se, com relação aos períodos n1 e n2, expressosna 
mesma unidade de tempo, ocorrer 𝑖1
𝑛1
=
𝑖2
𝑛2
.
Exemplo: As taxas 48% ao ano, 24% ao semestre, 12% ao trimestre são proporcionais, 
pois, se tomarmos meses como unidade de tempo, teremos 48% 
12 =
24%
6 =
12%
3 =
4%
1
.
a) 
C = $35.000
i = 0,12
n = 2 anos e 7 meses = 15 bimestres 
e 1 mês
M = ?
 
 
 
 
b)
 
C = $35.000
i = 0,12
n = 2 anos e 7 meses = 15 bimestres 
e 1 mês
M = ?
M1 = C(1+i)
n
M1 = 35.000(1+0,12)
15
M1 = 35.000(5,4736)
15
M1 = $191.576
M = C(1+in)
M = 191.576[1+0,12(0,5)]
M = $203.070,56
M = C(1+i)n
M = 35.000(1+0,12)15,5
M = $202.743,71
27
Renata de Moura Issa Vianna
1.3.2 - Taxas Equivalentes
Taxas equivalentes são taxas que são dadas em referências temporais diferentes, mas 
produzem o mesmo montante se aplicadas ao mesmo capital, em um mesmo período. 
Observação: Esta definição vale para qualquer tipo de capitalização.
A juros simples, duas taxas equivalentes são também proporcionais. Porém, isso não 
acontece quanto se trata de juros compostos.
Taxas Equivalentes na Capitalização Simples
Considere que um capital C é aplicado por 1 ano a taxas equivalentes nas referências des-
critas na tabela abaixo.
Utilizando a fórmula dos Juros Simples, M=C(1+in), temos que
C[1+ia (1)] = C[1+is (2)] = C[1+it (4)] = C[1+ib (6)]=C[1+im (12)] = C[1+id (360)]
Daí, 
ia=2is=4it=6ib=12im=360id
 
Portanto, na capitalização simples, taxas equivalentes são proporcionais.
Exemplo: Na capitalização simples, qual é a taxa equivalente mensal à taxa 12% ao ano?
Resolução: 
Período Taxa
Ano ia
Semestre is
Trimestre it
Bimestre ib
Mês im
Dia id
ia = 12im
0,12 = 12im
im = 0,12/12
im = 0,01
im = 1% ao mês
28
Matemática Financeira
Exemplo: Na capitalização simples, qual é a taxa equivalente semestral à taxa 2% ao mês?
Resolução:
 
Exemplo: Na capitalização simples, qual é a taxa equivalente mensal à taxa 0,5% ao dia?
Resolução:
 
Taxas Equivalentes na Capitalização Composta
Considere que um capital C é aplicado por 1 ano a taxas equivalentes nas referências 
descritas na tabela abaixo.
Utilizando a fórmula dos Juros Compostos, M = C(1+i)n, temos que
C(1+ia)
1 = C(1+is)
2 = C(1+it)
4 = C(1+ib)
6 = C(1+im)
12 = C(1+id)
360.
Daí, 
(1+ia) = (1+is)
2 = (1+it)
4 = (1+ib)
6 = (1+im)
12 = (1+id)
360
2is = 12im
2is =12(0,02)
is=0,12
im=12% ao semestre
12im = 360id
12im = 360(0,005)
im = 0,15
im =15% ao mês
Período Taxa
Ano ia
Semestre is
Trimestre it
Bimestre ib
Mês im
Dia id
29
Renata de Moura Issa Vianna
Portanto, na capitalização composta, taxas equivalentes não são proporcionais.
Exemplo: Na capitalização composta, qual é a taxa equivalente mensal à taxa 12% ao 
ano?
Resolução:
Exemplo: Na capitalização composta, qual é a taxa equivalente semestral à taxa 20% ao 
ano?
Resolução:
Exemplo: Um corretor de títulos propõe a seu cliente uma aplicação cuja rentabilidade é 
40% de ao ano. Se o investidor souber de outra alternativa onde é possível ganhar 9% ao 
trimestre, qual é a melhor escolha?
Resolução:
Para comparar as duas alternativas, vamos verificar se suas taxas são equivalentes. É 
possível calcular, por exemplo, a taxa anual equivalente a ao trimestre.
(1 + 𝑖𝑎) = (1 + 𝑖𝑚)12
(1 + 0,12) = (1 + 𝑖𝑚)12
1 + 𝑖𝑚 = 1,009489
𝑖𝑚 = 0,009489
𝑖𝑚 = 0,95% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠
(1 + 𝑖𝑎) = (1 + 𝑖𝑠)2
(1 + 0,2) = (1 + 𝑖𝑠)2
1 + 𝑖𝑠 = 1,095445
𝑖𝑚 = 0,0954445
𝑖𝑚 = 9,54% 𝑎𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒
30
Matemática Financeira
 
Portanto, aplicar a ao trimestre é melhor do que aplicar a 40% ao ano.
1.3.3 - Taxa Nominal e Taxa Efetiva
Taxa nominal é aquela que está definida em período de tempo diferente do período de 
capitalização.
Exemplo: Considere que uma quantia qualquer é emprestada e paga a juros compostos 
de 12% ao ano, capitalizados mensalmente. 
Já vimos que 12% ao ano é equivalente a 0,95% ao mês. Porém, quando aparece a 
expressão “capitalizados mensalmente”, a taxa acima é a Taxa Nominal.
A taxa nominal não representa a taxa de juros que efetivamente está sendo utilizada na 
operação.
Taxa efetiva é aquela utilizada no cálculo dos juros.
Há a seguinte convenção no mercado financeiro:
“A Taxa Efetiva por período de capitalização é proporcional à taxa nominal.”
Assim, a Taxa Efetiva usada na operação é a proporcional à Taxa Nominal, sendo adqui-
rida através da divisão da taxa pelo número de capitalizações para um período da taxa 
nominal.
No exemplo acima, 12%
12 = 1%
 ao mês. Esta é a Taxa Efetiva. Para saber qual é a Taxa Efe-
tiva anual, usamos a equivalência entre taxas.
(1 + 𝑖𝑎) = (1 + 𝑖𝑡)4
(1 + 𝑖𝑎) = (1 + 0,09)4
1 + 𝑖𝑎 = 1,411582
𝑖𝑎 = 0,411582
𝑖𝑎 = 41,16% 𝑎𝑜 𝑎𝑛𝑜
1 + 𝑖𝑎 = (1 + 𝑖𝑚)12
1 + 𝑖𝑎 = (1 + 0,01)12
𝑖𝑎 = (1,01)12−1
𝑖𝑎 = 0,126825
𝑖𝑎 = 12,68% 𝑎𝑜 𝑎𝑛𝑜
31
Renata de Moura Issa Vianna
Exemplo: Encontre a taxa efetiva no mesmo período da taxa nominal 36% ao ano, 
capitalizada mensalmente.
Resolução:
Taxa nominal: 36% ao ano, capitalizados mensalmente
Taxa efetiva mensal: 36%
12 = 3%
 ao mês
Exemplo: Qual é a taxa efetiva no mesmo período da taxa nominal ao mês, capitalizada 
diariamente?
Resolução:
Taxa nominal:30% ao mês, capitalizados diariamente
Taxa efetiva diária: 30%30 = 1% ao dia
Exemplo: Qual é o montante pago por um empréstimo de R$6.000,00 durante 3 meses, 
sendo que a taxa utilizada de operação foi de 60% ao ano, capitalizados diariamente.
Resolução:
1 + 𝑖𝑎 = (1 + 𝑖𝑚)12
1 + 𝑖𝑎 = (1 + 0,03)12
𝑖𝑎 = (1,03)12−1
𝑖𝑎 = 0,425761
𝑖𝑎 = 42,58% 𝑎𝑜 𝑎𝑛𝑜
1 + 𝑖𝑚 = (1 + 𝑖𝑑)30
1 + 𝑖𝑚 = (1 + 0,01)30
𝑖𝑚 = 0,347849
𝑖𝑎 = 34,79% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠
C = $6.000
n = 3 meses = 90 dias
Taxa nominal: 60% a.a.,capitalizados 
diariamente
Taxa efetiva: 60%
360 =
1
6%
ao dia 
 
M= ?
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛
𝑀 = $6.970,13
32
Matemática Financeira
1.3.4 - Taxas Resultantes
Na Capitalização Composta, se em um determinado período tivermos 𝑘, 𝑘 ∈ ℝ, taxas 
distintas e sucessivas, então a taxa resultante ir, no período total, é dada por
M = C(1+ir)
1 = C(1+i1 )(1+i2 )(1+i3 )…(1+ik)
ir = (1+i1 )(1+i2 )(1+i3 )…(1+ik ) - 1
Exemplo: Um capital foi aplicado da seguinte forma:
Inicialmente, durante um trimestre, rendendo 8% nesse período. Em seguida, por 
um bimestre, com rendimento de 5% no período. Finalmente, por mais um mês, com 
rendimento mensal de 1%. Calcule a taxa de juros total da operação.
Resolução:
1.3.5 - Taxa Real e Taxa Aparente
Os rendimentos financeiros fazem a correção de capitais investidos perante uma 
determinada taxa de juros. As taxas de juros são corrigidas pelo governo de acordo 
com os índices inflacionários referentes a um período. O objetivo disso é corrigir a 
desvalorização dos capitais aplicados durante uma crescente alta da inflação.
Se um capital C é aplicado durante certo prazo, à taxa i por período, o capital acumulado 
será M1 = C(1+i). A taxa i é chamada de taxa de juros aparente, que é o índice responsável 
pelas operações correntes. Se no mesmo período a taxa de inflação (desvalorização da 
moeda) for j, o capital corrigido pela inflação será M2 = C(1+j). Note que se M1 = M2, a 
taxa de juros i apenas recompôs o poder aquisitivo do capital C, criando uma estabilidade. 
Se M1 > M2, houve um ganho real. Se M1< M2, ocorreu uma perda real. É chamado de 
valor real a diferença M1 - M2, que poderá ser positiva (ganho real), nula ou negativa 
(perda real).
Chama-se taxa real de juros, sendo indicada por r, aquela que, aplicada ao montante M2, 
produzirá o montante M1. Ela reflete com maior precisão o ganho real de um investimento 
por considerar a perda com a desvalorização causada pela inflação do período. Podemos 
então escrever que 
M1 = M2 (1+r)
𝑖𝑟 = 1 + 𝑖1 1 + 𝑖2 1 + 𝑖3 − 1
𝑖𝑟 = 1 + 0,08 1 + 0,05 1 + 0.01 − 1
𝑖𝑟 = 14,53% 𝑎𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒
33
Renata de Moura Issa Vianna
substituindo e , encontramos a fórmula da Taxa Real de Juros.
𝐶 1 + 𝑖 = 𝐶(1 + 𝑗)(1 + 𝑟)
1 + 𝑖 = (1 + 𝑗)(1 + 𝑟)
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Um capital aplicado por umano rendeu 20% ao ano. No mesmo período, a 
taxa de inflação foi de 5%. Qual é a taxa real de juros?
Resolução:
Exemplo: Uma pessoa comprou um imóvel por $120.000,00, vendendo 6 meses depois 
por $180.000,00. Se a inflação desse semestre foi de 20%, encontre:
a) a rentabilidade aparente;
b) a rentabilidade real.
𝑟 =
𝑖 − 𝑗
1 + 𝑗
Um aspecto interessante sobre a taxa real de juros é que ela pode ser, inclusive, 
negativa, no caso que j>i.
Sabendo um pouco mais
i=0,2 ao ano
j=0,05 ao ano 
r=?
𝑟 = 0,142857
𝑟 = 14,29% 𝑎𝑜 𝑎𝑛𝑜
34
Matemática Financeira
Resolução:
Exemplo: Pedro deposita em uma conta poupança uma certa quantia em dinheiro a 
juros de 6% ao ano, com uma inflação estimada em 7,8% ao ano. Calcular a taxa real do 
investimento.
Resolução:
 
Com a taxa de inflação maior que os rendimentos da poupança no período, a taxa real 
ficou negativa em 1,67%, ocasionando uma depreciação do capital investido por Pedro.
1.4 – Descontos
No sistema financeiro, as operações de empréstimo são muito utilizadas pelas pessoas. 
Essas movimentações geram ao credor um título de crédito, que é a justificativa da dívida. 
Os títulos possuem datas de vencimento, mas o devedor tem o direito de antecipar o 
pagamento. Este abatimento é chamado de desconto. Assim, os descontos, como o 
C = $120.000
M = $180.000
n = 6 meses
j = 0,2 ao ano 
a)is = ?
b)r = ?
a) 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛
180.000 = 120.000(1 + 𝑖𝑠)1
18 = 12 + 12𝑖𝑠
𝑖𝑠 = 0,5
𝑖𝑠 = 50% 𝑎𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒
b) 𝑟 = 𝑖−𝑗(1+𝑗)
𝑟 = 0,25
𝑟 = 25% 𝑎𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒
i = 0,06 ao ano
j = 0,078 ao ano 
r = ?
r = -0,016697
r = -1,67% ao ano
35
Renata de Moura Issa Vianna
próprio nome diz, é um desconto cedido a alguém ou uma instituição, por quitar sua dívida 
antecipadamente. O conceito de desconto é o antônimo de juro, enquanto o juro é dado 
para estender o prazo para pagamento, o desconto é dado por antecipação desse prazo.
Existem vários produtos utilizados nas operações financeiras. 
Vejamos alguns exemplos:
Nota promissória: título que comprova uma aplicação com vencimento determi-
nado. Este produto é muito utilizado entre pessoas físicas e ou pessoas físicas e ins-
tituições financeiras credenciadas. 
Duplicata: papel emitido por pessoas jurídicas contra clientes físicos ou jurídicos, 
especificando vendas de mercadorias com prazo ou prestação de serviços a serem 
pagos mediante contrato firmado entre as partes. 
Letra de câmbio: como a promissória, é um título que comprova uma aplicação 
com estabelecimento prévio do vencimento. No caso da letra, o título ao portador 
somente é emitido por uma instituição financeira credenciada. 
1.4.1 - Valor Nominal, Valor Descontado e Prazo de Antecipação
O valor nominal (ou futuro) de um compromisso é quanto ele vale na data de vencimento, 
enquanto valor descontado (ou atual) é o valor que ele adquire numa data que antecede 
o seu vencimento. O intervalo de tempo entre a data em que o título é negociado e a data 
de vencimento do mesmo é o prazo de antecipação.
Notações: 
• FV: Valor Nominal ou Futuro;
• PV: Valor Descontado ou Atual;
• n: Prazo de Antecipação.
Assim, o Desconto pode ser definido como a diferença entre o valor nominal de um título 
e seu valor descontado, isto é, o abatimento a que o devedor faz jus quando antecipa o 
pagamento de um título.
Matematicamente:
D = FV - PV
Existem basicamente dois tipos de desconto: o desconto racional e o desconto comercial. 
Os dois tipos podem ser aplicados em operações de juros simples (desconto simples) e de 
juros compostos (desconto composto).
36
Matemática Financeira
Inicialmente, analisemos os descontos racional e comercial.
Desconto Racional (“Por Dentro”)
No desconto racional, que também é chamado de desconto “por dentro”, o cálculo é 
realizado com os mesmos critérios do cálculo de juros. A diferença é que o desconto 
corresponde a uma operação de descapitalização, ou seja, é necessário retroceder a 
capitalização calculada para o período de antecipação. Nele, o valor de referência para o 
cálculo percentual do desconto é o valor atual.
Desconto Comercial (“Por Fora”)
O desconto comercial, também chamado “desconto por fora”, difere do desconto racional 
principalmente por que se trata de uma taxa aplicada ao valor nominal do título. Em seu 
cálculo, não ocorre uma descapitalização, como no caso do desconto racional.
1.4.2 - Desconto na Capitalização Simples
Desconto Racional Simples
Como a base do desconto racional é o valor atual PV, considerando a taxa de desconto dr, 
o prazo de antecipação n e usando a Capitalização Simples, temos que o desconto D será 
dado por 
D = PVdr n
Além disso, D = FV - PV. 
Então,
PVdr n = FV - PV
FV = PV(1+dr n)
Exemplo: Um título no valor nominal de $6.500,00 foi descontado 45 dias antes de 
seu vencimento a uma taxa mensal de 1,3%. Encontre o valor descontado e o desconto 
utilizando o Desconto Racional Simples.
Resolução:
𝐹𝑉 = $6.500
𝑑𝑟 = 0,013 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 
𝑃𝑉 = ?
𝐷 = ?
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉(1 + 𝑑𝑟𝑛)
6.500 = 1,0195𝑃𝑉
𝑃𝑉 = $6.375,67
𝐷 = 𝐹𝑉 − 𝑃𝑉
𝐷 = 6.500 − 6.375,67
𝐷 = $124,33
37
Renata de Moura Issa Vianna
Exemplo: Um título com valor nominal de foi resgatado dois meses antes do seu 
vencimento, sendo-lhe por isso concedido um Desconto Racional Simples à taxa de ao 
60% mês. Nesse caso, qual foi o valor pago pelo título?
Resolução:
Exemplo: Determine o valor nominal de uma letra, descontada por dentro, à taxa 
linear de 8% ao mês, um mês e quinze dias antes de seu vencimento, e que apresentou o 
desconto de R$ 400,00.
Resolução:
Desconto Comercial Simples
Como a base do desconto comercial é o valor nominal FV, considerando a taxa de 
desconto d, o prazo de antecipação n e utilizando a Capitalização Simples, temos que o 
desconto D será dado por 
D = FVdc n
Ademais D = FV - PV. Logo,
FVdn = FV - PV
PV = FV(1 - dc n)
FV = $8.800
n = 2 meses
dr = 0,6 ao mês 
PV = ?
FV = PV(1+dr n)
8.800 = PV[1+0,6(2)]
8.800 = 2,2PV
PV = $4.000,00
D = $400
n = 1 mês e 15 dias = 1 + 1530 meses
dr = 0,08 ao mês 
FV = ?
𝐷 = 𝑃𝑉𝑑𝑟𝑛
𝑃𝑉 = $3.333,33
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉(1 + 𝑑𝑟𝑛)
𝐹𝑉 = $3.733,33
38
Matemática Financeira
Exemplo: Um título no valor nominal de $6.500,00 foi descontado 45 dias antes de seu 
vencimento a uma taxa mensal de 1,3%. Encontre o valor descontado e o desconto utili-
zando o Desconto Comercial Simples.
Resolução:
Observação: De acordo com Belo (2008), do ponto de vista da instituição financeira, foi 
feito um investimento na operação de desconto comercial simples. Ela antecipa o paga-
mento do título mediante um desconto, para recebr no vencimento o seu valor de 
nominal. Isto quer dizer que o desconto dado é o juro recebido pela instituição financeira 
na operação. Assim, a taxa de juros efetiva da operação será dada por 
A taxa efetiva de juros é calculada com base no valor que será creditado ao cliente (PV), 
enquanto a taxa de desconto é encontrada a partir do valor do título no seu vencimento 
(FV). Portanto, numa operação de desconto comercial, a taxa de desconto é sempre 
menor que a taxa efetiva de juros, considerando um mesmo prazo.
Exemplo: Uma letra de valor nominal igual a $2.400,00 sofre um Desconto Comercial 
Simples à taxa de ao mês, cem dias antes do seu vencimento. Determine o desconto, o 
valor descontado e a taxa efetiva da operação.
𝐹𝑉 = $6.500
𝑑𝑐 = 0,013 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 
𝑃𝑉 = ?
𝐷 = ?
𝑃𝑉 = 𝐹𝑉(1 − 𝑑𝑐𝑛)
𝑃𝑉 = $6.373,25
𝐷 = 𝐹𝑉 − 𝑃𝑉
𝐷 = 6.500 − 6.373,25
𝐷 = $126,75
𝑖 =
𝐷
𝑃𝑉
39
Renata de Moura Issa Vianna
Resolução:
Observação: Outra forma de determinar a taxa efetiva:
No exemplo anterior, a instituição financeira aplicou $1.920,00 em 100 dias e recebeu um 
montante $2.400,00. Portanto, a taxa linear i dessa operação será dada por
2.400 = 1.920(1+100i)
i = 0,0025 ao dia
im = 30id
im = 0,075
im = 7,5% ao mês
 
Exemplo: Uma duplicata no valor de $6.800,00 é descontada por fora, por um banco, 
gerando um crédito de $6.000,00 na conta do cliente. Sabendo-seque a taxa cobrada pelo 
banco é de 3,2% ao mês, determine o prazo de vencimento em dias da duplicata.
Resolução:
𝐹𝑉 = $2.400
𝑑𝑐 = 0,06 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 
𝑃𝑉 = ?
𝐷 = ?
𝑃𝑉 = 𝐹𝑉(1 − 𝑑𝑐𝑛)
𝑃𝑉 = $1.920,00
𝐷 = 𝐹𝑉 − 𝑃𝑉
𝐷 = 2.400 − 1.920
𝐷 = $480,00
𝑖 = 0,25 𝑒𝑚 100 𝑑𝑖𝑎𝑠
0,25 − 100 𝑑𝑖𝑎𝑠 
𝑥 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 − 30 𝑑𝑖𝑎𝑠
𝑥 = 0,075 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠
𝑥 = 7,5% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠
𝐹𝑉 = $6.800
𝑃𝑉 = $6.000
𝑑𝑐 = 0,032 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 
𝑛 = ?
𝐷 = 6.800 − 6.000
𝐷 = $800,00
𝐷 = 𝐹𝑉𝑑𝑐𝑛
800 = 6.800(0,032)𝑛
𝑛 = 3,676471 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
1 𝑚ê𝑠 − 30 𝑑𝑖𝑎𝑠 
3,676471 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 − 𝑥 𝑑𝑖𝑎𝑠
𝑥 ≈ 110 𝑑𝑖𝑎𝑠
40
Matemática Financeira
Observação: Se consideradas as mesmas condições, isto é, o mesmo valor nominal FV, 
o mesmo prazo de antecipação n e a mesma taxa de desconto dc, o desconto comercial é 
sempre maior do que o desconto racional, ou seja, o valor atual racional é sempre maior 
do que o valor atual comercial.
Desconto Comercial Bancário
Segundo Assaf Neto,
[...] em operações de desconto com bancos comerciais são geralmente cobradas taxas 
adicionais de desconto a pretexto de cobrir certas despesas administrativas e operacionais 
incorridas pela instituição financeira. Estas taxas são geralmente prefixadas e incidem sobre 
o valor nominal do título uma única vez no momento do desconto. (2000, p. 41)
Assim, no Desconto Comercial, o banco cobra uma taxa de serviços (taxa administrativa 
ou bancária) que incide sobre o valor nominal. Denotaremos esta taxa por h. Assim,
D = FVdcn + FVh
Substituindo em D = FV - PV, obtemos
FVdc n + FVh = FV - PV
PV = FV(1 - dcn - h)
Este desconto é chamado de Desconto Comercial Bancário.
Além disso, o IOF(Imposto sobre Operações Financeiras) é repassado e calculado sobre 
o valor nominal FV. Então,
PV = FV(1 - dcn - h - IOF.n)
Exemplo: Um título de $100.000,00 é descontado em um banco, seis meses antes do 
vencimento, à taxa de desconto comercial de 5% ao mês. O banco cobra uma taxa de 
2% sobre o valor nominal do título com despesas administrativas e 1,5% ao ano de IOF. 
Calcule o valor líquido a ser recebido pelo proprietário do título e a taxa de juros efetiva 
mensal da operação.
Resolução:
𝐹𝑉 = $100.000
𝑑𝑐 = 0,05 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 
ℎ = 0,02
𝑃𝑉 = 𝐹𝑉(1− 𝑑𝑐𝑛− ℎ − 𝐼𝑂𝐹.𝑛)
𝑃𝑉 = 100.000(0,6725)
𝑃𝑉 = $67.250,00
41
Renata de Moura Issa Vianna
 
Observe que a taxa de juros efetiva da operação é muito superior à taxa de desconto, o 
que é amplamente favorável ao banco.
Exemplo: Uma duplicata de valor nominal de $60.000,00 foi descontada num banco dois 
meses antes do vencimento. A taxa de desconto comercial simples usada na operação 
foi de 2,8% ao mês. Sabe-se ainda que o banco cobra uma taxa de 1,5% sobre o valor 
nominal do título para cobrir despesas administrativas, descontadas e pagas integral-
mente no momento da liberação dos recursos administrativos. Determine o desconto, o 
valor descontado e a taxa efetiva da operação.
Resolução:
𝑛 = 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
𝑃𝑉 = ?
𝑖 = ?
𝐷 = 𝐹𝑉 − 𝑃𝑉
𝐷 = 100.000 − 67.250
𝐷 = $32.750,00
𝑖 = 0,486989
𝑖 = 48,7% 𝑒𝑚 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
6 𝑚ê𝑠 − 0,486989 
1 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 − 𝑥 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 
𝑥 = 0,081165
𝑥 = 8,12% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠
𝐹𝑉 = $60.000
𝑑𝑐 = 0,028 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 
ℎ = 0,015
𝑛 = 2 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
𝐷 = ?
𝑃𝑉 = ?
𝑖 = ?
𝑃𝑉 = 𝐹𝑉(1 − 𝑑𝑐𝑛 − ℎ)
𝑃𝑉 = 60.000 1 − 0,028 2 − 0,015
𝑃𝑉 = 60.000(0,929)
𝑃𝑉 = $55.740,00
𝐷 = 𝐹𝑉 − 𝑃𝑉
𝐷 = 60.000 − 55.740
𝐷 = $4.260,00
Do ponto de vista do banco, esta foi uma operação de um empréstimo 
de $55.740,00 que renderá, com juros simples em dois meses, um 
montante de $60.000,00, isto é, um juro de $4.260,00. Logo, a taxa de 
juros simples mensal i dessa operação será obtida por
 
4.260 = 55.740(2)i
i = 0,038213
i = 3,82% ao mês
42
Matemática Financeira
1.4.3 - Desconto na Capitalização Composta
Desconto Racional Composto
Como a base do desconto racional é o valor atual PV, considerando a taxa de desconto dr, 
o prazo de antecipação n e usando a Capitalização Composta, temos que
FV = PV(1+dr)
n
e
D = FV - PV
Observação: Fazendo algumas substituições, podemos encontrar fórmulas para 
encontrar o valor atual e o valor nominal a partir do desconto.
D + PV = PV(1+dr)
n
PV[(1+dr )
n - 1] = D 
 𝑃𝑉 =
𝐷
1 + 𝑑𝑟 𝑛 − 1 
FV = (FV - D)(1+dr)
n
FV = FV(1+dr)
n -D(1+dr)
n
Porém apenas as fórmulas e são suficientes para resolver os problemas.
Exemplo: Antecipando em dois meses o pagamento de um título, obtive um desconto 
racional composto que foi calculado com base na taxa de 4% ao mês. Sendo $5.408,00 o 
valor nominal do título, quanto pagarei por ele?
Resolução:
Exemplo: Uma duplicata de valor nominal de foi resgatada meses antes do seu 
vencimento, tendo sido contratada à taxa de ao ano, capitalizados mensalmente. Qual foi 
o desconto racional composto concedido?
𝐹𝑉 = $5.408
𝑑𝑟 = 0,04 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 
𝑛 = 2 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
𝑃𝑉 = ?
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉(1 + 𝑑𝑟)𝑛
5.408 = 𝑃𝑉(1 + 0,04)2
𝑃𝑉 = $5.000,00
43
Renata de Moura Issa Vianna
Resolução:
Desconto Comercial Composto
Como a base do desconto comercial é o valor nominal FV, considerando a taxa de 
desconto d, o prazo de antecipação n e utilizando a Capitalização Composta, temos que
PV = FV(1 - dc)
n
e
D = FV - PV
Observação: Analogamente, fazendo algumas substituições, podemos encontrar fór-
mulas para encontrar o valor atual e o valor nominal a partir do desconto.
PV = (D + PV)(1+dc)n
PV[1 - (1 + dc )
n] = D(1+dc)
n
𝑃𝑉 =
𝐷 1 + 𝑑𝑐 𝑛
1− 1 + 𝑑𝑐 𝑛
 
Podemos encontrar o valor nominal em função do desconto.
FV - D = FV(1+dc)
n
𝐹𝑉 =
𝐷
1− 1 + 𝑑𝑐 𝑛
Porém apenas as fórmulas PV = FV(1 - dc)
n e D = FV - PV são suficientes para resolver os 
problemas.
𝐹𝑉 = $300.000
𝑛 = 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
𝐷 = ?
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉(1 + 𝑑𝑟)𝑛
300.000 = 𝑃𝑉(1 + 0,02)3
𝑃𝑉 = $282.696.70
𝐷 = 300.000 − 282.696.70
𝐷 = $17.303,30
44
Matemática Financeira
Exemplo: Uma duplicata de valor nominal de $10.000,00 foi resgatada 3 meses antes do 
seu vencimento, pelo regime de desconto comercial composto. Tendo sido contratada à 
10% taxa de ao mês, qual é valor atual do título na época do resgate e qual foi o desconto 
comercial composto concedido?
Resolução:
Exemplo: Um título de $2.000,00 será resgatado três anos antes do vencimento pelo cri-
tério do desconto comercial composto à taxa de ao ano com capitalizações semestrais. 
Qual será o valor líquido e o desconto?
Resolução:
Relação entre as taxas de desconto racional e comercial
Duas taxas de descontos são equivalentes se produzirem descontos iguais para um 
mesmo prazo de antecipação a um mesmo título.
Sendo dr a taxa de desconto racional composto e dc a taxa de desconto comercial composto, 
para um mesmo período de capitalização n, teremos que, se elas forem equivalentes, os 
descontos serão iguais. Logo, os valores atuais também serão iguais. Assim,
𝐹𝑉
1 + 𝑑𝑟 𝑛
= 𝐹𝑉 1 − 𝑑𝑐 𝑛
 
(1 + dr)
n(1 - dc)
n = 1
(1 + dr)(1 - dc) = 1
𝐹𝑉 = $10.000
𝑑𝑐 = 0,1 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠
𝑛 = 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
𝑃𝑉 = ?
𝐷 = ?
𝑃𝑉 = 𝐹𝑉 1 − 𝑑𝑐 𝑛
𝑃𝑉 = 10.000(1− 0,1)3
𝑃𝑉 = $7.290,00
𝐷 = 𝐹𝑉 − 𝑃𝑉
𝐷 = 10.000 − 7.290
𝐷 = $2.710,00
𝐹𝑉 = $2.000
𝑛 = 3 𝑎𝑛𝑜𝑠 = 6 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠
𝑃𝑉 = ?
𝐷 = ?
𝑃𝑉 = 𝐹𝑉 1 − 𝑑𝑐 𝑛
𝑃𝑉 = 2.000(1 − 0,1)6
𝑃𝑉 = $1.062,88
𝐷 = 𝐹𝑉 − 𝑃𝑉
𝐷 = 2.000 − 1.062,88
𝐷 = $937,12
45
Renata de Moura Issa Vianna
Exemplo: Determinar a taxa mensal de desconto racional equivalente à taxa de desconto 
comercial de ao mês.
Resolução:
(1 + dr)(1 - 0,2) = 1
(1 + dr) = 1,25
dr = 0,25
dr = 25% ao mês
 
1.5 - Equivalência de Capitais
Considere que temos a necessidade de substituir um título financeiro ou mais por outros 
com vencimento diferente, sem prejuízo para ambas as partes do contrato. Esse problema 
está ligado à equivalência de capitais. 
Dois ou mais capitais com datas de vencimentos distintas são ditos capitais equivalentes 
quando, transportados para uma mesma data, a uma mesma taxa, produzirem valores 
iguais. Esta dataque é considerada como base para comparação dos capitais é chamada 
de data focal ou data de referência.
Observação: para determinar a equação de equivalência de capitais, é preciso saber 
se a capitalização é simples ou composta. Além disso, é necessário saber se o desconto 
que será utilizado é racional ou comercial. Todas essas condições são estipuladas pelas 
partes envolvidas no contrato. Caso o problema não especifique o tipo de capitalização 
e de desconto, deverão ser utilizados os juros compostos e o desconto racional, 
respectivamente.
1.5.1 - Equivalência na Capitalização Simples
Considere dois conjuntos de capitais, como na tabela abaixo, referidos a uma mesma taxa 
de juros simples , com seus respectivos prazos contados a partir da mesma data de origem.
1o Conjunto 2o Conjunto
Capital Data de 
Vencimento
Capital Data de 
Vencimento
C1 m1 C'1 m'1
C2 m2 C'2 m'2 ... ... ... ...
Cn mn C'p m'p
46
Matemática Financeira
Esses dois conjuntos de capitais são equivalentes considerando a capitalização simples, 
desconto racional e fixada uma data focal. No nosso caso, considerando a data zero como 
data focal, se
𝐶1
1 + 𝑖𝑚1
+
𝐶2
1 + 𝑖𝑚2
+ ⋯+
𝐶𝑛
1 + 𝑖𝑚𝑛
=
𝐶′1
1 + 𝑖𝑚′1
+
𝐶′2
1 + 𝑖𝑚′2
+ ⋯+
𝐶′𝑝
1 + 𝑖𝑚′𝑝
Já considerando a capitalização simples, o desconto comercial e fixando a data zero como 
data focal, obtemos
𝐶1 1 − 𝑖𝑚1 + 𝐶2 1 − 𝑖𝑚2 + ⋯+ 𝐶𝑛 1 − 𝑖𝑚𝑛 =
= 𝐶′1 1 − 𝑖𝑚′1 + 𝐶′2 1− 𝑖𝑚′2 + ⋯+ 𝐶′𝑛 1 − 𝑖𝑚′𝑛
Observação: Segundo Belo (2008), para resolver os problemas de equivalência de capi-
tais, iremos utilizar a equação que relaciona o valor nominal de um título e seu valor 
atual. Isso dependerá do critério de desconto a ser utilizado, racional ou comercial. Se 
o capital for deslocado para o futuro, o problema dará o valor atual e devemos encon-
trar o valor nominal. Se o capital for deslocado para o passado, o problema dará o valor 
nominal e será necessário determinar o valor atual.
Exemplo: Um título com valor nominal de $7.200,00 vence 120 em dias. Para uma taxa 
de 31,2% juros linear de ao ano, calcule o valor deste título:
a) hoje;
b) dois meses antes do vencimento;
c) um mês após o seu vencimento.
Resolução:
Como a taxa de juros é linear, estamos diante do regime de capitalização simples. Além 
disso, o problema não especifica o tipo de desconto. Logo, usaremos o desconto racional. 
a) Para a data de hoje, estamos deslocando o capital para o passado. Assim, o problema 
nos dá o valor nominal e vamos encontrar o valor atual.
C = ?0 $7.200,00
0 1 2 3 4 5 6 n
b) Analogamente, para dois meses antes do vencimento, estamos deslocando o capital 
para o passado. Então,
c) Para um mês depois do vencimento, estamos deslocando o capital para o futuro. 
Portanto, o problema nos dá o valor atual e vamos encontrar o valor nominal.
Exemplo: Uma dívida no valor de vence daqui a seis meses. O devedor pretende resgatar 
a dívida pagando hoje, de hoje a dois meses, e o restante um mês após a data de venci-
mento. Sendo o momento deste último pagamento definido como a data focal da ope-
ração, e sabendo-se ainda que é de ao ano a taxa linear de juros adotada nessa operação, 
determinar o valor do último pagamento, se for adotado o critério do:
a) desconto racional;
b) desconto comercial.
Resolução:
𝐶0 = $6.521,74
C = ?0
0 1 2 3 4 5 6 n
$7.200, 00
𝐶2 = $6.844,74
𝐶5 = $7.387,20
0 1 2 3 4 5 6 7 n
 $14. 400,00 x
$4. 800, 00
$48. 000, 00
47
Renata de Moura Issa Vianna
b) Analogamente, para dois meses antes do vencimento, estamos deslocando o capital 
para o passado. Então,
c) Para um mês depois do vencimento, estamos deslocando o capital para o futuro. 
Portanto, o problema nos dá o valor atual e vamos encontrar o valor nominal.
Exemplo: Uma dívida no valor de vence daqui a seis meses. O devedor pretende resgatar 
a dívida pagando hoje, de hoje a dois meses, e o restante um mês após a data de venci-
mento. Sendo o momento deste último pagamento definido como a data focal da ope-
ração, e sabendo-se ainda que é de ao ano a taxa linear de juros adotada nessa operação, 
determinar o valor do último pagamento, se for adotado o critério do:
a) desconto racional;
b) desconto comercial.
Resolução:
𝐶0 = $6.521,74
C = ?0
0 1 2 3 4 5 6 n
$7.200, 00
𝐶2 = $6.844,74
𝐶5 = $7.387,20
0 1 2 3 4 5 6 7 n
 $14. 400,00 x
$4. 800, 00
$48. 000, 00
C = ?0
0 1 2 3 4 5 6 n
$7.200, 00
48
Matemática Financeira
No fluxo acima, a seta para cima representa o conjunto do capital da dívida original e as 
setas para baixo representam o conjunto de capitais da nova proposta de pagamento. Para 
que não ocorra prejuízo para nenhuma das partes, é necessário que os dois conjuntos 
sejam equivalentes. Dois ou mais capitais com vencimentos em datas diferentes são 
equivalentes, em uma data focal, quando a soma dos seus valores nessa data é o mesmo 
valor. No exemplo, a data focal é n = 7. 
Na capitalização simples, as taxas equivalentes são proporcionais. Logo,
34,8% 𝑎𝑜 𝑎𝑛𝑜 =
34,8%
12 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 = 2,9% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠
a) No desconto racional simples, sabemos que
FV = PV(1 + drn)
Assim, a equação de equivalência será dada por 
48.000[(1 + 0,029(1)] = 4.800[(1 + 0,029(7)] + 14.000[(1 + 0,029(5)] + x
49.392 = 5.774,40 + 16.030 + x
49.392 = 21.804,40 + x
x = $27.587,60
b) No desconto comercial simples
PV = FV(1 - dcn)
Portanto, a equação de equivalência será dada por
𝑥 = $27.036,72
 
A definição da data focal, em problemas de substituição de pagamentos no 
regime de juros simples, deve ser decidida pelas partes.
Sabendo um pouco mais
49
Renata de Moura Issa Vianna
Observação: Na equivalência de capitais a juros simples, o saldo se altera quando a data 
focal é modificada. Isso ocorre porque não é aceito o fracionamento dos prazos. Refazendo 
a letra a) do exemplo anterior considerando a data focal como n = 0, segue que
𝑥 = $27.492,57
Exemplo: Um empresário tem os seguintes compromissos a pagar
• $3.000,00 daqui a 4 meses;
• $5.000,00 daqui a 8 meses; 
• $12.000,00 daqui a 12 meses.
O empresário propõe trocar esses débitos por dois pagamentos iguais, um para daqui a 6 
meses e outro para daqui a 9 meses. Considerando a taxa de juros simples de 5% a.m. e a 
data focal 270º no dia, calcular o valor de cada pagamento.
Resolução:
Antes
Depois
0 4 6 8 9 10 12 n
$3. 000,00
$5. 000, 00
$12. 000, 00
0 4 6 8 9 10 12 n
x x
50
Matemática Financeira
No primeiro fl uxo acima, as setas para baixo representam a forma de pagamento do com-
promisso do empresário. Já no segundo fl uxo, representam como ele se propõe a pagar. 
Como a data focal é n = 9, a equação de equivalência será dada por 
1,15𝑥 + 𝑥 = 3.750 + 5.250 + 10.434,78
2,15𝑥 = 19.434,78
𝑥 = $9.039,43
1.5.2 - Equivalência na Capitalização Composta
Considere dois conjuntos de capitais, como na tabela abaixo, referidos a uma mesma 
taxa de juros compostos i, com seus respectivos prazos contados a partir da mesma data 
de origem.
1o Conjunto 2o Conjunto
Capital Data de 
Vencimento
Capital Data de 
Vencimento
C1 m1 C'1 m'1
C2 m2 C'2 m'2... ... ... ...
Cn mn C'p m'p
Esses dois conjuntos de capitais são equivalentes considerando a capitalização composta, 
desconto racional e fi xada uma data focal. No nosso caso, considerando a data zero como 
data focal, se
𝐶1
1 + 𝑖 𝑚1 +
𝐶2
1 + 𝑖 𝑚2 + ⋯+
𝐶𝑛
1 + 𝑖 𝑚𝑛 =
𝐶′1
1 + 𝑖 𝑚′1 +
𝐶′21 + 𝑖 𝑚′2 + ⋯+
𝐶′𝑝
1 + 𝑖 𝑚′𝑝
Já considerando a capitalização composta, o desconto comercial e fi xando a data zero 
como data focal, temos que
𝐶1 1 − 𝑖 𝑚1 + 𝐶2 1− 𝑖 𝑚2 + ⋯+ 𝐶𝑛 1− 𝑖 𝑚𝑛 =
= 𝐶′1 1 − 𝑖 𝑚′1 + 𝐶′2 1− 𝑖 𝑚′2 + ⋯+ 𝐶′𝑛 1 − 𝑖 𝑚′𝑗
Atenção!
No Regime de Capitalização Composta, a solução do problema não 
depende da escolha da data focal.
51
Renata de Moura Issa Vianna
Exemplo: Uma pessoa tem uma nota promissória a receber com valor de $15.000,00, que 
vencerá em 2 anos. Além disso, possui R$20.0000,00 hoje, que irá aplicar à taxa de ao 2% 
mês, durante 2 anos. Considerando que o custo de oportunidade do capital hoje é de 2% 
ao mês, pergunta-se: 
a) quanto possui hoje? 
b) quanto possuirá daqui a um ano?
c) quanto possuirá daqui a dois anos? 
Resolução:
Como o problema não especifica o tipo de capitalização e de desconto, os juros serão 
compostos e o desconto será racional.
Considere que é a quantia na data zero, é quantia na data e é a quantia na data . Desta 
forma, resulta que
a)𝑥 = 20.000 +
15.000
1 + 0,02 24 = $29.325,82
b)𝑦 = 20.000(1 + 0,02)12+ 15.000(1+0,02)12 = $37.192,23
c)) 𝑧 = 20.000(1 + 0,02)24+15.000 = $47.168,74 
Exemplo: Uma financeira oferece a um cliente dois títulos, vencendo o primeiro em 1 
ano, no valor de $15.000,00 e o segundo em 1 ano e meio, no valor de $25.000,00. O 
cliente aceita assinando uma Nota Promissória, com vencimento para 6 meses. Saben-
do-se que a taxa de 30% juros considerada na operação foi de ao ano, qual é o valor da 
Nota Promissória em seu vencimento? 
Resolução:
0 0, 5 1 1, 5 2 n
$15. 000, 00
$25. 000, 00
x
𝑥 = $32.386,64
52
Matemática Financeira
Exemplo: Uma pessoa contraiu uma dívida, comprometendo-se a saldá-la em dois paga-
mentos: o primeiro de $2.500,00 e o segundo, seis meses após o primeiro, de $3.500,00. 
Contudo, no vencimento da primeira parcela, não dispondo de recursos, o devedor 
propôs adiamento de sua dívida. O esquema apresentado foi: pagamento de $4.000,00 
daqui a três meses e o saldo em nove meses. Se a taxa de juros considerada foi 2,5% de ao 
mês, qual é o saldo restante, sendo adotados os descontos racional e comercial?
Resolução:
a) No desconto racional composto, sabemos que
FV = PV(1 + dr)
n
Considerando a data focal n = 9, a equação de equivalência de capitais é dada por:
4.000(1 +0,025)6 + x = 2.500(1 + 0,025)9 + 3.500(1 + 0,025)3
x = $2.252,50
b) No desconto comercial composto, sabemos que
PV = FV(1 - dc)
n
Considerando a data focal n = 9, a equação de equivalência de capitais é dada por:
𝑥 = $1.496,00
0 0, 5 1 1, 5 2 n
$15. 000, 00
$25. 000, 00
x
53
Renata de Moura Issa Vianna
Síntese da Unidade
1. Regimes de Capitalização: 
• Simples: M = C(1+in) e J = Cin.
• Composta: M = C(1 + i)n.
• Mista ou Convenção Linear: utilizamos a capitalização composta na parte 
inteira e a capitalização simples para a não inteira. 
2. Estudo das Taxas de Juros: 
• Taxas Proporcionais: 
𝑖1 
 𝑛1
=
𝑖2 
𝑛2
;
• Taxas Equivalentes: 
a) Na Capitalização Simples:
ia = 2is = 4it = 6ib =12im =360id
b) Na Capitalização Composta:
(1 + ia) = (1 + is)
2 = (1 + it)
4 = (1 + ib)
6 = (1 + im)
12 = (1 + id)
360
• Taxa Nominal: é aquela que está definida em período de tempo diferente do 
período de capitalização.
• Taxa Efetiva é aquela utilizada no cálculo dos juros. A Taxa Efetiva usada na 
operação é a proporcional à Taxa Nominal, sendo adquirida através da divisão 
da taxa pelo número de capitalizações para um período da taxa nominal.
• Taxas Resultantes: ir = (1 + i1 )(1 + i2 )(1 + i3 )…(1 + ik ) - 1
• Taxa Aparente (i), Taxa Real (r) e Taxa de Inflação (j): 𝑟 = 𝑖 − 𝑗1 + 𝑗
3. Desconto na Capitalização Simples:
• Desconto Racional Simples: FV = PV(1 + drn) e D = F.V - PV.
• Desconto Comercial Simples: PV = FV(1 - dcn) e D = FV - PV.
• Taxa Efetiva da operação: 𝑖 = 𝐷𝑃𝑉
• Desconto Comercial Bancário: PV = FV(1 - dcn - h - IOF.n) e D = FV - PV.
54
Matemática Financeira
4. Desconto na Capitalização Composta:
• Desconto Racional Composto: FV = PV(1 + dr)
n e D = FV - PV.
• Desconto Comercial Composto: PV = FV(1 - dc)n e D = FV - PV.
• Relação entre as taxas de desconto racional e comercial: 
(1 + dr)
n (1 - dc)
n = 1
5. Equivalência de Capitais: dependerá do critério de desconto a ser utilizado, racional 
ou comercial. Se o capital for deslocado para o futuro, o problema dará o valor atual 
e devemos encontrar o valor nominal. Se o capital for deslocado para o passado, o 
problema dará o valor nominal e será necessário determinar o valor atual.
55
Renata de Moura Issa Vianna
Exercícios de Fixação da Unidade
1. Represente um fluxo de caixa de uma compra a prazo cujo valor à vista é de $1.420,00 e 
será adquirido com entrada de 10% do preço à vista, seguido de 6 parcelas mensais iguais 
a R&250,00 cada.
2. Determine os montantes ao final de 12 dias, a partir de um principal de $1.000,00, no 
regime de juros simples, com as seguintes taxas de juros: 
a) 8% ao mês; 
Resp.: $1.032,00.
b) 0,4% ao dia. 
Resp.: $1.048,00.
3. Uma empresa utilizou $4.000,00 do seu limite do cheque especial, do dia 15/06/2018 
ao dia 21/06/2018, e pagou juros de $42,00. Qual foi a taxa mensal de juros dessa ope-
ração, considerando as capitalizações simples e composta? 
Resp.: 4,50% e 4,58%.
4. Qual o montante produzido pela aplicação de $58.000,00, a uma taxa de juros com-
postos de 125% ao ano, pelo prazo de 220 dias? 
Resp.: $1.194,05.
5. Determine o capital, ao final de 18 meses, resultante da aplicação de uma quantia de 
$1.000,00 à taxa exponencial de 3% ao trimestre. 
Resp.: $1.194,05.
6. Uma pessoa recebe uma proposta de investir hoje uma quantia de $1.000,00 para 
receber $1.343,92 daqui a 10 meses. Calcular as taxas de juros compostos mensal e anual 
desse investimento. 
Resp.: 3% ao mês e 42,58% ao ano.
7. Por quanto tempo devo aplicar a quantia de $245.966,88 para que, a juros compostos 
de 3% ao trimestre, eu resgate $500.000,00? 
Resp.: 6 anos.
56
Matemática Financeira
8. Um imóvel está sendo vendido por $60.000,00 à vista ou 30% de entrada mais 
uma parcela de $50.000,00 ao final de 6 meses. Sabendo-se que a taxa média de juros 
compostos para aplicações prefixadas gira em torno de 3,5% ao mês, com o imposto de 
renda já computado, determinar a melhor opção para o interessado que possua recursos 
disponíveis para comprá-lo à vista. 
Resp.: A prazo.
9. Que taxa de juros mensal fará um capital triplicar em 1 ano,
a) no regime de capitalização composta? 
Resp.: ~ 9,59% ao mês. 
b) no regime de capitalização simples? 
Resp.:~ 16,67% ao mês.
10. Em quanto tempo um capital, aplicado à taxa de 5% ao mês, duplica seu valor, 
a) no regime de capitalização composta? 
Resp.: 14,21 meses.
b) no regime de capitalização simples? 
Resp.: 20 meses.
11. Um capital de $1.000,00 é emprestado a uma taxa de juros de 18% ao ano, pelo prazo 
de 2 anos e 4 meses. Calcule o montante, utilizando a convenção linear. 
Resp.: $1.475,94. 
12. Qual o valor futuro de uma quantia de $2.000,00, emprestado por 1 ano e 8 meses, à 
taxa de 8% ao semestre, considerando a capitalização mista. 
Resp.: $2.586,61..
13. A aplicação de um capital, à taxa de 10% ao ano, pela convenção exponencial, gerou 
um montante de $1.689,12 ao final de 5 anos e 6 meses. Calcule o valor dos juros 
Resp.: $689,12..
14. Qual o valor do capital, que aplicado à taxa exponencial de 15% ao trimestre, durante 
21 dias, produziu um montante de $6.000,00? 
Resp.: $5.807,49 .
57
Renata de Moura Issa Vianna
15. Uma aplicação de $280.000,00 proporcionou um rendimento de $120.000,00 no final 
de 202 dias. Determine: 
a) a taxa diária de juros compostos da operação; 
Resp.: a) 0,17673% ao dia.
b) as taxas mensal, trimestral e anual equivalentes. 
Resp.: b) 5,44% a.m.,17,22% a.t., 88,83% a.a.
16. Se uma instituição financeira cobra 65%ao ano de juros compostos numa operação, 
quanto cobrará para uma operação em 183 dias? 
Resp.: 28,99%.
17. Qual o montante de uma aplicação de $4.000,00 durante 91 dias, a uma taxa nominal 
de 60% ao ano, capitalizada diariamente? 
Resp.: $4.654,50.
18. Numa venda a prazo, uma loja exige 30% do valor da mercadoria como entrada e o 
restante a ser liquidado em 3 meses, com o acréscimo de 10% do valor da mercadoria a 
título de despesas administrativas. Qual a taxa de juros compostos anual dessa loja? 
Resp.: 70,6% a.a. 
19. Um banco propõe a um cliente a taxa de juros de 40% ao ano, sendo a capitalização 
anual. O cliente, entretanto, opta pelo financiamento em outro banco, com taxa de 36,5% 
ao ano e capitalização diária. O cliente fez a melhor escolha? 
Resp.: Não, pois a taxa efetiva anual paga foi de 44,02%.
20. Um capital de $1.000,00 é emprestado a uma taxa de juros de 24% ao ano, capita-
lizados trimestralmente, pelo prazo de 2 anos e 4 meses. Determine o montante desse 
empréstimo considerando a convenção linear. 
Resp.: $1.723,27.
21. Dado um capital de $900,00, determinar o valor futuro, adotando a convenção expo-
nencial e considerando a taxa de 24% ao ano, com capitalização semestral, no prazo de 2 
anos e 2 meses. 
Resp.: $1.470,69.
58
Matemática Financeira
22. Alguém compra um aparelho pagando $400,00 de entrada mais uma prestação 
mensal de $200,00. Sabendo-se que a taxa de juros exponencial usada foi de 25% ao ano, 
quanto custaria o aparelho à vista? 
Resp.: $596,32.
23. Um capital foi aplicado da seguinte forma: inicialmente durante um trimestre, ren-
dendo 10% nesse período; em seguida por um bimestre com rendimento de 6% no 
período; e, finalmente, por mais um mês com rendimento mensal de 1,5%. Calcular a 
taxa de juros semestral da operação. 
Resp.: 18,35% ao semestre.
24. Um capital de $4.000,00 foi aplicado por 12 meses. Nos primeiros 3 meses à taxa de 
24% ao ano, capitalizada mensalmente e, nos meses restantes, à taxa de 36% ao semestre, 
capitalizada trimestralmente. Calcular a taxa efetiva anual e o rendimento da aplicação. 
Resp.: 74,36% ao ano e $2.974,39.
25. Um capital de $1.000,00, aplicado por um certo prazo, rende juros de $340,10. Caso 
o mesmo capital fosse aplicado por mais 4 meses, mantendo-se a mesma taxa, o juro 
obtido seria de $628,90. Determine a taxa de juros mensal da operação. 
Resp.: 5% ao mês.
26. Um capital foi aplicado, por um ano, à taxa de juros de 22% ao ano. No mesmo 
período, a taxa de inflação foi de 12%. Qual a taxa real de juros do período? 
Resp.: 8,93% a. a.
27. Um título, com valor de face igual a $1.000,00, será descontado 2 meses antes do ven-
cimento. Sabendo-se que a taxa de desconto simples racional é de 4% ao mês, calcule o 
desconto e o valor descontado. 
Resp.: $74,07 e $925,93.
28. Determinar o valor nominal de um título que, descontado 250 dias antes do ven-
cimento, à taxa de desconto simples comercial de 37% ao ano, proporcionou um valor 
atual de $928,82. 
Resp.: $1.250,00.
59
Renata de Moura Issa Vianna
29. O desconto comercial de uma duplicata no valor de $22.000,00, com vencimento em 
4 meses e 12 dias, gerou um crédito de $19.822,00. Determinar a taxa anual de desconto. 
Resp.: 27% ao ano.
30. Uma duplicata no valor de $20.000,00 foi descontada hoje à taxa de 28% ao ano. Se o 
desconto comercial foi de $3.733,33, quantos dias faltam para o seu vencimento? 
Resp.: 240 dias.
31. Se o valor de face de um título é igual a 15 vezes o desconto comercial, considerando 
uma taxa de desconto de 30% ao ano, qual o prazo de antecipação em dias? 
Resp.: 80 dias.
32. Uma pessoa tomou emprestado $6.000,00 para pagar em um ano, com taxa de juros 
compostos de 30% ao ano. Três meses antes do vencimento do empréstimo essa pessoa 
resolveu pagar a dívida, propondo um desconto comercial à taxa de 34% ao ano. Qual o 
valor líquido que o devedor se propõe a pagar? 
Resp.: $7.137,00.
33. Se uma instituição financeira deseja ganhar efetivamente 36% ao ano de juros com-
postos, que taxa de desconto comercial simples anual deverá aplicar para operações com 
prazo de 3 meses? 
Resp.: 29,6% ao ano.
34. João possui um título com valor nominal de $23.000,00 e vencimento em 3 meses e 
propõe vendê-lo a Pedro. Quanto Pedro oferecerá pelo título, se quer ganhar uma taxa 
exponencial de juros de 39,5% ao ano? Qual a taxa de desconto comercial simples anual 
dessa operação? 
Resp.: $21.163,34 e 31,94% ao ano.
35. Uma empresa desconta uma duplicata no valor de $25.000,00, com 72 dias de prazo 
até o vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial é de 6,2% ao mês, cal-
cular o valor a ser creditado na conta da empresa e a taxa mensal de juros compostos 
utilizada na operação. 
Resp.: $21.280,00 e 6,94% ao mês.
60
Matemática Financeira
36. No desconto de um a duplicata no valor de $7.200,00 e vencimento para 7 meses, o 
banco cobra uma taxa de desconto comercial de 24% ao ano e uma taxa de serviços de 
0,05%. Determinar o valor líquido recebido e a taxa efetiva mensal de juros compostos 
da operação. 
Resp.: $6.188,40 e 2,19% ao mês.
37. Um título, com valor nominal $10.000,00 e vencimento em 13/06/2018, foi descon-
tado no dia 05/03/2018. Considerando o valor descontado igual a $9.100,00 e taxa de 
serviço bancário de 2%, qual a taxa de desconto anual adotada? 
Resp.: 25,2% ao ano.
38. Aplicando uma taxa de desconto racional simples de 20% ao ano, um título sofreu 
um desconto de $250,00, três meses antes do vencimento. Caso fosse descontado comer-
cialmente, mantendo-se as mesmas condições, qual seria o valor do desconto? 
Resp.: $262,50.
39. Necessitando de capital de giro, um comerciante pode descontar comercialmente 
uma duplicata, com vencimento para daqui a 4 meses, a uma taxa de 34% ao ano, 
pagando uma taxa de serviços bancários de 0,5% e IOF anual de 1,8% aplicado sobre o 
valor nominal. Desse modo, receberá um valor descontado de $13.135,00. Outra alter-
nativa para levantar recursos é tomar um empréstimo neste valor, pelo mesmo prazo, a 
uma taxa de juro exponencial mensal de 4%. Qual a melhor opção para o comerciante? 
Resp.: descontar a duplicata.
40. Um comerciante tem duas opções para conseguir recursos junto a um banco. A pri-
meira é descontar comercialmente uma duplicata, com vencimento em 60 dias, a uma 
taxa de 3,8% ao mês, pagando uma taxa de serviços bancários de 0,4% e IOF anual de 
1,6% aplicado sobre o valor nominal. A segunda opção é tomar um empréstimo, no 
mesmo prazo, a uma taxa de juro exponencial mensal de 4,2%. Em qual das duas opera-
ções a taxa de juros é melhor para o comerciante? 
Resp.: tomar o empréstimo.
41. Ana tomou um empréstimo no valor de $6.000,00 para pagar no prazo de 3 meses, 
a uma taxa de juros de 6,12% no período. Passados 2 meses, resolveu quitar a dívida e 
nesta época foi cobrada uma taxa exponencial mensal 10% menor que a taxa exponen-
cial mensal do empréstimo. Calcule o valor pago para quitar a dívida. 
Resp.: $6.254,62.
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Renata de Moura Issa Vianna
42. Uma pessoa tomou emprestada certa quantia à taxa exponencial de 28,8% ao ano e os 
juros previstos eram de $648,00. A dívida foi saldada 2 meses antes do seu vencimento, 
pelo valor de $2.061,42. Sabendo-se que nesta data a taxa de juros compostos de mer-
cado era de 25,2% ao ano, determine o valor do empréstimo e o prazo inicial. 
Resp.: $1.492,10; 17 meses e 3 dias. 
43. Um fornecedor oferece 3 meses de prazo em suas vendas. O cliente que optar pelo 
pagamento à vista receberá um desconto de 10% sobre o valor nominal. Que taxa de 
juros compostos mensal está sendo cobrada? 
Resp.: 3,57% ao mês. 
44. Um desconto de 20% para pagamento à vista de um produto, cujo preço é dado para 
pagamento em 4 meses, corresponde a que taxa efetiva de juros no período? 
Resp.: 25%.
45. Determine a que taxa mensal devem ser descontados comercialmente 3 títulos, no 
valor de $6.000,00 cada um, com vencimentos para 30, 60 e 90 dias, para que se tenha um 
valor atual global de $16.524,00.Resp.: 4,1% ao mês. 
46. Calcular o valor líquido correspondente ao desconto bancário de 12 títulos, no valor 
de $1.680,00 cada um, com vencimentos mensais, o primeiro em 30 dias, sendo a taxa de 
desconto de 2,5% ao mês. 
Resp.: $16.884,00. 
47. Um título no valor nominal de $8.500,00, com vencimento para 5 meses, é trocado 
por outro de $7.934,84, com vencimento para 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros 
compostos do mercado é de 3,5% a.m., pergunta-se: a substituição foi vantajosa? 
Resp.: Não, títulos equivalentes. 
48. João irá receber $6.600,00 dentro de 1 ano, como parte de seus direitos na venda de 
um barco. Contudo, necessitando de dinheiro, transfere seus direitos a um amigo que os 
compra, entregando-lhe uma Nota Promissória no valor de $6.000,00, com vencimento 
para 6 meses. Considerando uma taxa exponencial de 20% ao ano, João fez um bom 
negócio? 
Resp.: Não. 
62
Matemática Financeira
49. A que taxa anual de juros, o capital de $2.000,00 hoje é equivalente a $2.300,00 daqui 
a 1 ano? 
Resp.: 15% ao ano. 
50. Uma pessoa tomou emprestado $50.000,00 para pagamento no prazo de 3 meses 
a juros compostos de 6% ao mês e $15.000,00 para pagamento no prazo de 9 meses a 
juros compostos de 8% ao mês. Se a taxa corrente do mercado é de 10% ao mês, qual o 
pagamento único efetuado ao fim de 6 meses que liquidaria seus débitos? 
Resp.: $101.790,30.
51. Uma empresa comprou uma máquina nas seguintes condições: $2.000,00 três meses 
após a compra e mais 2 prestações mensais no valor de $1.500,00 cada uma. Sabendo-se 
que a taxa de juros exponencial mensal usada foi de 4%, qual o valor à vista da máquina? 
Resp.: $4.293,09.
52. Uma pessoa deve 3 prestações de $3.500,00 a vencer daqui a 1 mês, 2 meses e 3 meses, 
respectivamente. Se resolvesse pagar a dívida com um único pagamento para 60 dias, qual 
seria o valor desse pagamento considerando uma taxa de juros compostos de 12% ao mês? 
Resp.: $10.545,00.
53. Uma financeira oferece a um cliente dois títulos, vencendo o primeiro em 1 ano, no 
valor de $15.000,00, e o segundo em 1 ano e meio, no valor de $25.000,00. O cliente 
aceita assinando uma nota promissória, com vencimento para 6 meses. Sabendo-se que a 
taxa de juros efetiva considerada na operação foi de 30% ao ano, qual o valor nominal da 
nota promissória? 
Resp.: $32.386,64. 
54. Na compra de um bem, um cliente pagaria $1.500,00 de entrada, $1.000,00 em 30 
dias e $500,00 em 60 dias. Propõe outra forma de pagamento, em três prestações iguais, 
nas mesmas datas anteriores. Calcular o valor das prestações, considerando a taxa de 
juros compostos de 5% ao mês. 
Resp.: $1.016,25.
55. Oferta para venda de um aparelho de TV: à vista $399,00 ou duas vezes (1+1) de 
$210,79. Determinar os juros e a taxa de juros compostos mensal do pagamento a prazo. 
Resp.: $22,58 e 12% ao mês. 
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Renata de Moura Issa Vianna
56. Oferta para venda de aparelho de som: à vista $780,00 ou dois cheques pré-datados 
de $413,00 para 30 e 60 dias. Determinar a taxa de juros compostos mensal. 
Resp.: 3,91% ao mês. 
57. Na compra de um eletrodoméstico cujo valor à vista é de $200,00, o comprador deve 
pagar uma entrada, seguida de duas prestações mensais iguais no valor de $80,00 Qual 
deverá ser o valor da entrada se a loja cobra juros compostos de 5% ao mês? 
Resp.: $51,25.
58. O valor da compra de um bem à vista é $20.000,00. Para pagamento a prazo, o valor da 
compra tem um acréscimo de 4%, devendo o comprador pagar uma entrada que repre-
senta 2% deste valor majorado, mais 2 prestações mensais iguais no valor de $10.580,00 
cada uma. Qual a taxa exponencial mensal cobrada pela loja? 
Resp. 5,32% ao mês. 
59. Uma compra pode ser paga à vista por $1.400,00 ou financiada por meio de uma 
entrada de 30% do valor à vista mais dois pagamentos mensais, sendo o segundo 50% 
maior que o primeiro. Sabendo-se que o início dos pagamentos será no quarto mês e que 
a taxa de juros efetiva é de 5% ao mês, calcular o valor dos pagamentos mensais. 
Resp.: $490,49 e $735,74.
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Matemática Financeira
Renata de Moura Issa Vianna
Ilustração: Marcone da Silva
UNIDADE 2 - Rendas Certas
Renda é todo valor utilizado sucessivamente para compor um capital ou pagar uma 
dívida. O objetivo de constituir um capital em uma data futura leva ao processo de 
capitalização. Caso contrário, quando queremos pagar uma dívida, temos um processo 
de amortização. Pode ocorrer também o caso em que tenhamos realizado o pagamento 
pelo uso, sem que tenhamos amortização: é o caso dos aluguéis. 
Estas situações caracterizam a existência de rendas, que podem ser de dois tipos:
1. Rendas Certas ou Determinísticas: Defi ne-se anuidade, renda certa ou série, a 
uma sucessão de pagamentos ou recebimentos exigíveis em épocas pré-determi-
nadas, destinada a extinguir uma dívida ou constituir um capital.
2. Rendas Aleatórias ou Probabilísticas: Os valores e/ou as datas de pagamentos 
ou de recebimentos podem ser variáveis aleatórias. É o que ocorre, por exemplo, 
com os seguros de vida: os valores de pagamentos (mensalidades) são certos, sendo 
aleatório o valor do seguro a receber e a data de recebimento. Rendas com essas 
características são estudadas pela Matemática Atuarial.
As rendas certas são estudadas pela Matemática Financeira. Assim, neste módulo, será 
abordado apenas este tipo de renda.
Defi nições Importantes
• Chamamos de renda certa, de série de pagamentos ou recebimentos, série de 
prestações ou anuidades, toda sequência fi nita ou infi nita de pagamentos ou 
recebimentos em datas previamente estipuladas;
• Cada um destes pagamentos ou recebimentos, referidos a uma mesma taxa de 
juros compostos, será chamado de termo da série ou termo da anuidade;
66
Matemática Financeira
• O intervalo de tempo entre dois termos chama-se período, e a soma dos 
períodos define a duração da série de pagamentos ou anuidades;
• O valor atual ou valor presente de uma série de pagamentos ou anuidades é a 
soma dos valores atuais dos seus termos, soma esta realizada para uma mesma 
data e à mesma taxa de juros compostos; 
• Analogamente, o montante ou valor futuro de uma série de pagamentos ou anu-
idades é a soma dos montantes ou valores futuros de seus termos, consideradas 
uma dada taxa de juros compostos e uma data.
Classificação das Séries
Quanto à periodicidade:
• Periódica: se todos os períodos são iguais;
• Não periódica: se os períodos não são iguais entre si.
Quanto ao prazo:
• Temporárias: quando a duração for limitada; 
• Perpétuas: quando a duração for ilimitada.
Quanto ao valor dos termos:
• Uniforme ou Constante: se todos os termos são iguais;
• Variável: se os termos não são iguais entre si.
Quanto à forma de pagamento ou recebimento:
• Imediatas: quando os termos são exigíveis a partir do primeiro período.
 1. Postecipadas ou Vencidas: quando os termos ocorrerem ao final de 
cada período;
 2. Antecipadas: quando os termos ocorrerem no início de cada período;
• Diferidas: se os termos forem exigíveis a partir de uma data que não seja o pri-
meiro período e a este prazo damos o nome de prazo de diferimento ou prazo 
de carência. 
 1. Postecipadas ou Vencidas: se os termos são exigíveis no fim dos 
períodos; 
 2. Antecipadas: se os termos são exigíveis no início dos períodos.
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Renata de Moura Issa Vianna
2.1 - Séries Periódicas Uniformes
Notações que serão adotadas:
PV: Valor presente, capital no dia de hoje (principal);
FV: Valor futuro, capital no fim do período n (montante);
i: Taxa de juros por período de capitalização;
n: Número de períodos de capitalização (número de pagamentos);
R: Cada um dos termos da série de pagamento ou recebimento.
2.1.1 - Série Uniforme Postecipada
Nas séries uniformes com termos postecipados, os pagamentos ou recebimentos são 
efetuados no fim de cada intervalo de tempo a que se refere a taxa de juros considerada. 
Segue abaixo o fluxo de caixa desse tipo de operação.
Fator de Acumulação de Capitais
Vamos determinar o montante FV a