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Rev. Mat. Estat., São Paulo, 21(1): 67-83, 2003 67 
PODER E TAXAS DE ERRO TIPO I DOS TESTES 
SCOTT-KNOTT, TUKEY E STUDENT-NEWMAN-
KEULS SOB DISTRIBUIÇÕES NORMAL E 
NÃO NORMAIS DOS RESÍDUOS 
 
Lívia Costa BORGES1 
Daniel Furtado FERREIRA1 
 
��RESUMO: O objetivo deste trabalho foi avaliar o poder e as taxas de erro 
tipo I dos testes Scott-Knott, Tukey e SNK em amplas situações experimen-
tais, em condições de normalidade e não-normalidade dos resíduos. Foram 
avaliados o poder dos testes e as taxas de erro tipo I por comparação e por 
experimento, considerando hipóteses H0 completa e parcial. As simulações 
foram feitas considerando as distribuições normal, lognormal, exponencial e 
weibull. O teste de Scott-Knott controlou as taxas de erro tipo I por compa-
ração, sob H0 completa e não controlou estas taxas de erro por experimento 
para todas as distribuições consideradas. Em situação de nulidade parcial, o 
teste de Scott-Knott não controlou as taxas de erro tipo I por comparação e 
por experimento, mesmo em situações de normalidade dos resíduos. O teste 
de Scott-Knott é mais poderoso que os demais e é robusto. Pelo fato de pos-
suir poder elevado, taxas de erro tipo I quase sempre de acordo com os 
níveis nominais em todas as distribuições consideradas e por ser robusto à 
violação de normalidade, recomenda-se a utilização do teste de Scott-Knott. 
��PALAVRAS-CHAVE: comparações múltiplas, robustez, análise de agrupa-
mento. 
 
 
 
 
1 Departamento de Ciências Exatas, Universidade Federal de Lavras, Caixa Postal 37, CEP 
37200-000, Lavras, MG, Brasil. E-mail: borgeslc@yahoo.com.br/danielff@ufla.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1 Introdução 
 
 
O objetivo de uma pesquisa se depara, em geral, com a necessi-
dade de comparar e testar médias de tratamentos. A hipótese de igual-
dade de médias de tratamentos é testada inicialmente com o teste F. A 
significância desse teste em relação a um valor nominal fixado permite 
que se infira que pelo menos um tratamento difere dos demais. O teste 
F não permite ao pesquisador, no entanto, descobrir onde estão essas 
diferenças. 
Para tratamentos cujos níveis são quantitativos recomenda-se o 
ajuste de equações de regressão. Por outro lado, se os níveis dos trata-
mentos são qualitativos, recomenda-se aplicar algum tipo de procedi-
mento de comparações múltiplas. As comparações múltiplas são lar-
gamente utilizadas devido à facilidade de aplicação por envolver ope-
rações matemáticas simples; à grande disponibilidade de recursos com-
putacionais de fácil acesso e à grande difusão de idéias desses proce-
dimentos pelos estatísticos, pesquisadores e professores. 
Os principais procedimentos de comparações múltiplas são os 
testes de Tukey, Student Newman-Keuls (SNK), t de Student (LSD), 
Duncan, entre outros. A dificuldade de utilização desses procedimentos 
é interpretar seus resultados. Todos eles apresentam a característica de 
ambigüidade nos resultados que fornecem. Essa ambigüidade é decor-
rente da possibilidade de dois níveis de tratamentos serem considerados 
iguais a um terceiro, mas diferentes entre si. O pesquisador, de uma 
forma geral, tem muita dificuldade na interpretação dos resultados e na 
recomendação do melhor tratamento. 
Uma alternativa é a aplicação do teste aglomerativo de Scott 
Knott (1974). Este teste visa a separação de médias de tratamentos em 
grupos distintos, através da minimização da variação dentro e maxi-
mização da variação entre grupos. Os resultados são facilmente inter-
pretados, devido à ausência de ambigüidade. Desta forma este proce-
dimento resulta em maior objetividade e clareza. 
Os procedimentos de comparações múltiplas têm sua teoria fun-
damentada na normalidade dos resíduos do modelo linear utilizado 
para ajustar os dados. Da mesma forma, o teste de Scott-Knott exige 
que os resíduos sejam normais. As conseqüências da violação de nor-
malidade dos resíduos não são conhecidas. Uma característica desejá-
vel é que havendo violação dessa pressuposição, os testes apresentem 
controle das taxas de erros tipo I e II. Esse tipo de característica é 
conhecido por robustez do procedimento. 
 
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O presente trabalho teve por objetivo avaliar o poder e as taxas 
de erro tipo I do teste proposto por Scott e Knott (1974), em amplas si-
tuações experimentais com relação à precisão, número de tratamentos, 
número de repetições e nível de significância adotado, por meio de si-
mulação Monte Carlo em condições de não normalidade do resíduo. 
2 Metodologia 
 
Para avaliar a taxa de erro tipo I e o poder do teste de Scott e 
Knott, foi utilizada simulação Monte Carlo. Os dados do experimento 
(yij, i = 1, 2, ..., p e j = 1, 2, ...r) foram simulados utilizando um 
algoritmo em Pascal, implementado em Delphi 5.0, para a inversão da 
função de distribuição dos modelos normal, exponencial, lognormal e 
weibull. O delineamento inteiramente casualizado, foi escolhido por ser 
o mais simples de todos os delineamentos e por ser o mais utilizado na 
literatura para esse fim. O modelo linear geral adotado é: 
 
Yij = µ + τi +εij, 
 
com i = 1,...p e j = 1,2,. . .r; 
em que Yij é o valor simulado na j-ésima repetição do tratamento i; µ é 
uma constante geral fixada para se ter o valor determinado de 
coeficiente de variação; τi é o efeito paramétrico do tratamento i, 
estipulados de tal forma que 
p
i
i=1
� = 0� e εij é o erro aleatório, com 
variância σ2 gerado independentemente com distribuições normal, 
exponencial, lognormal e weibull. 
Foram gerados 2.000 experimentos para cada situação e foram 
avaliadas as taxas de erro tipo I por comparação e por experimento, 
considerando hipóteses H0 completa e parcial. As simulações foram 
feitas para as combinações entre o número de tratamentos p = 5, 10, 20 
e 80, para H0 completa e p = 5, 10, 20, 40 e 96 para H0 parcial, o 
número de repetições r = 4, 10 e 20, o valor nominal de significância α, 
igual a 5% e 1%, e os coeficientes de variação iguais a 1%, 10%, 20% 
e 30%, considerando as distribuições normal, lognormal, exponencial e 
weibull. 
Ao se considerar H0 parcial, simulações adicionais foram feitas, 
estabelecendo-se diferenças entre grupos de médias em função do erro 
padrão paramétrico de uma média de tratamento ( X� ). Foram consi-
derados k grupos, com k variando de 3 a 20, dependendo do número de 
tratamentos usados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Para decidir se as taxas de erro eram semelhantes aos valores 
nominais estabelecidos, calculou-se um limite máximo e um limite mí-
nimo, baseado no intervalo de confiança (IC) para as taxas empíricas do 
erro tipo I. Os intervalos de 99% de confiança para os valores nominais 
foram, em porcentagem, [0,6119; 1,5402] para o valor nominal 1% e 
[3,8282; 6,3914] para o valor nominal 5%. Assim, valores que não per-
tencem a este intervalo, não são considerados iguais aos valores nominais 
de significância. 
O poder dos testes foi avaliado, sendo as simulações feitas para 
as diversas combinações entre o número de tratamentos (p = 5, 10, 20, 
40 e 96), o número de repetições (r = 4, 10 e 20), o nível nominal de 
significância α igual a 5% e 1%, e admitindo uma diferença entre 
grupos adjacentes igual a � erro padrão da média ( � σ x ). Foram 
considerados os mesmos coeficientes de variação e as mesmas 
distribuições utilizadas para medir a taxa de erro tipo I. Para medir o 
poder dos testes, os resultados significativos foram computados para os 
contrastes, envolvendo diferenças de � = ½, 1, 2, 4, 6, 8 e 10 erros 
padrão da média, em todas as situações especificadas. 
3 Resultados e discussão 
Ao se considerar a taxa de erro tipo I por comparação (TPC) e 
hipótese H0 completa, todos ostestes apresentam controle desta taxa de 
erro, sendo que o aumento do número de tratamentos, proporciona uma 
diminuição nesta taxa de erro. 
O coeficiente de variação não teve efeito nas taxas de erro tipo I 
por comparação e nenhum valor excedeu o limite inferior do IC 
(3,8282%) para α = 5%, para os testes considerados, independente das 
distribuições ou valor de CV considerados. 
Ao avaliar as TPC em função do número de repetições, verificou-
se que o aumento do número de repetições provocou um aumento 
dessas taxas de erro do teste de Scott e Knott, em todas as dis-
tribuições, sendo que estas taxas passam a ficar mais próximas do 
limite inferior do IC. O número de repetições não influencia as TPC 
dos testes de Tukey e SNK, os quais não diferem entre si, exceto na 
distribuição lognormal, em que o teste SNK apresentou taxas de erro 
superiores às do Tukey. 
O teste de Scott e Knott não apresentou controle das taxas de erro 
tipo I por experimento em todas as distribuições consideradas, ao se 
considerar hipótese H0 completa. Nas situações em que a distribuição é 
normal ou exponencial (Figura 1), todos os testes apresentaram taxa de 
 
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erro igual ao valor nominal adotado, independente do número de 
tratamentos considerados. Quando se considera a distribuição log-
normal (Figura 2), os testes de Tukey e SNK tenderam a apresentar 
taxas de erro por experimento bastante altas em situações de maior nú-
mero de tratamentos (em torno de 55% quando se considera 80 trata-
mentos). Já o teste de Scott-Knott apresenta taxa de erro muito menor 
para esta situação (em torno de 13%), sendo menos afetado pela mu-
dança da distribuição. Nas distribuições weibull 1,5 e 5,0 (Figura 3), 
algumas TPE ultrapassaram o limite superior do IC para o teste de 
Scott-Knott, diferindo, portanto do valor nominal de significância pré-
estabelecido de 5%. 
Os testes de Tukey e SNK quase não diferem entre si em relação 
as TPE em todas as distribuições consideradas. A distribuição lognor-
mal provocou um grande efeito nestes testes, considerando grande nú-
mero de tratamentos e também provocou efeito significativo no teste de 
Scott-Knott, mas de magnitude muito inferior. O teste de Scott e Knott 
apresenta uma certa robustez no controle da taxa de erro tipo I por 
experimento sob H0 completa. Mesmo nas situações em que o valor 
nominal foi ultrapassado de forma significativa, o viés positivo na taxa 
de controle do erro foi muito pequeno. 
 
 
 
FIGURA 1 – Taxa de erro tipo I por experimento dos testes de Tukey, SNK e Scott-
Knott, em função do número de tratamentos, considerando-se as distribuições normal e 
exponencial, hipótese H0 completa, r = 20 e CV 30%, para α = 5%, sendo as linhas 
pontilhadas os limites superior e inferior do IC exato com 99% de confiança. 
Tukey (N)
SNK (N)
Scott Knott (N)
Tukey (E)
SNK (E)
Scott Knott (E)
Limite inferior
Limite Superior
Taxa de erro tipo I por experimento
r=20 e cv=30
Número de tratamentos
Ta
xa
 d
e 
er
ro
 p
or
 e
xp
er
im
en
to
3.6
4.2
4.8
5.4
6.0
6.6
5 10 20 80
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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FIGURA 2 – Taxa de erro tipo I por experimento dos testes de Tukey, SNK e Scott e 
Knott, em função do número de tratamentos, considerando-se as distribuições lognormal 
e weibull 3,6, hipótese H0 completa, r = 20 e CV 30%, para α = 5%, sendo as linhas 
pontilhadas os limites superior e inferior do IC exato com 99% de confiança. 
 
 
 
FIGURA 3 – Taxa de erro tipo I por experimento dos testes de Tukey, SNK e Scott-
Knott, em função do número de tratamentos, considerando-se a distribuição weibull com 
parâmetros 1,5 e 5,0, hipótese H0 completa , r = 20 e CV 30%, para α = 5%, sendo as 
linhas pontilhadas os limites superior e inferior do IC exato com 99% de confiança. 
Tukey (L)
SNK (L)
Scott Knott (L)
Tukey (W3.6)
SNK (W3.6)
Scott Knott (W3.6)
Limite inferior
Limite Superior
Taxa de erro tipo I por experimento
r=20 e CV=30%
Número de tratamentos
Ta
xa
 d
e 
er
ro
 p
or
 e
xp
er
im
en
to
-5
5
15
25
35
45
55
65
5 10 20 80
Tukey (W1.5)
SNK (W1.5)
Scott Knott (W1.5)
Tukey (W5.0)
SNK (W5.0)
Scott Knott (W5.0)
Limite inferior
Limite superior
Taxa de erro tipo I por experimento
r=20 e CV=30%
Número de tratamentos
Ta
xa
 d
e 
er
ro
 p
or
 e
xp
er
im
en
to
3.6
4.2
4.8
5.4
6.0
6.6
7.2
5 10 20 80
 
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O coeficiente de variação teve efeito nas taxas de erro tipo I por 
experimento, para os diferentes testes e distribuições (Tabela 1). 
Verifica-se que o teste de Scott-Knott apresenta TPE igual ao valor 
nominal 5% (taxas de erro menores que o limite superior do IC, 
6,3914%), a partir do CV=20% para a distribuição normal e CV=10% 
para a exponencial, considerando número de tratamentos igual a 10 e 
20 repetições. Isso sugere que o teste de Scott-Knott com alta precisão 
e experimentos com poucos graus de liberdade para o resíduo seja 
muito afetado, ou seja, apresente TPE elevados (maiores que o valor 
nominal adotado). Se for feita uma especulação para isso, pode-se 
apontar a derivação assintótica do teste de Scott-Knott como causa 
desse efeito. Ao se considerar um número maior de tratamentos (p = 
80), o teste de Scott-Knott passa a controlar essa TPE para qualquer 
CV, nas distribuições normal e exponencial. Na distribuição lognormal, 
os testes de Scott-Knott e SNK tendem a apresentar um aumento da 
TPE à medida que se aumenta o CV, sendo que com CV superior a 
10% estas taxas já diferem do valor nominal adotado, sendo esse efeito 
mais pronunciado no teste SNK. 
Ao se considerar o efeito do número de repetições nas taxas de 
erro tipo I por experimento, observou-se que para um maior número de 
repetições (r=20), o teste de Scott-Knott apresenta TPE acima do limite 
superior nas distribuições normal e weibull 5,0. Na distribuição 
lognormal, verifica-se que os testes de Scott-Knott e SNK apresentam 
TPE maiores que o limite superior do IC para qualquer número de re-
petição, sendo que para o teste de SNK estas taxas tendem a diminuir e 
se tornarem mais próximas do valor nominal com o aumento do nú-
mero de repetições, enquanto que para o teste de Scott-Knott estas 
taxas de erro permanecem em torno de 7% independente do número de 
repetições. Os testes de Tukey e SNK apresentam taxas de erro seme-
lhantes ao valor nominal para a maioria das situações. 
Os testes de Tukey e SNK, em geral, apresentam controle da taxa 
de erro por comparação, sendo estas taxas muito menores do que o 
valor nominal e, ainda, menores do que aquelas apresentadas pelo teste 
de Scott-Knott. Com isso era esperado um maior controle das TPE des-
ses testes. Com exceção do caso da distribuição lognormal, com gran-
des valores de p, em que os testes de Tukey e SNK apresentam eleva-
díssimas TPE, houve um controle desse tipo de erro. O teste de Scott-
Knott, por sua vez, apresenta alguns problemas no controle da taxa de 
erro tipo I por experimento, exceto sob normalidade. Embora possa 
parecer uma grande desvantagem, os valores da TPE superestimam o 
valor de α em uma magnitude não muito expressiva. É esperado que o 
teste de Scott-Knott tenha esse tipo de comportamento devido a sua 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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própria natureza teórica que faz com que esse teste nunca apresente 
resultados de ambigüidade, o que não se pode dizer para os testes de 
Tukey ou SNK, principalmente com elevados valores de p. Se for consi-
derado que o teste de Scott-Knott não apresenta ambigüidade e controla 
as taxas de erro tipo I por experimento e por comparação para a maioria 
das situações, este pode ser considerado robusto e deve ser indicado. 
 
Tabela 1 – Taxas de erro tipo I por experimento (%), para os testes de 
Tukey, SNK e Scott Knott, para diferentesCV e distribui-
ções, considerando número de tratamentos (p) igual a 10 e 
20 repetições, para os níveis nominais de significância de 
1% e 5% 
Testes 
Tukey SNK Scott-Knott Distribuições CV(%) 
α=1% α=5% α=1% α=5% α=1% α=5% 
1 1,20 5,70 1,20 5,70 0,90 6,35 
10 1,15 5,05 1,15 5,10 1,25 6,90 
20 1,30 4,60 1,30 4,60 1,20 6,20 
Normal 
30 1,00 4,75 1,00 4,80 1,45 6,00 
1 1,15 4,80 1,20 5,05 1,45 5,30 
10 0,60 3,80 1,20 6,50 2,00 7,10 
20 0,85 4,15 1,55 8,70 2,35 8,15 
Lognormal 
30 0,35 3,55 0,90 9,25 1,65 7,15 
1 0,95 5,00 0,95 5,05 1,45 7,25 
10 1,00 5,35 1,10 5,40 1,30 6,35 
20 0,85 4,35 0,85 4,40 1,45 6,10 
Exponencial 
30 1,30 5,20 1,35 5,45 1,95 6,00 
1 1,25 5,50 1,25 5,55 1,70 6,25 
10 0,70 4,35 0,70 4,35 1,10 5,75 
20 0,60 4,05 0,60 4,85 1,30 5,80 
Weibull 3,6 
30 1,00 4,80 1,00 4,90 1,60 6,60 
 
O teste de Scott e Knott, assim como os demais, controlou as 
taxas de erro tipo I por comparação, independente do CV, do número 
de tratamentos, do número de repetições e das distribuições considera-
das, sob H0 completa. 
Ao se considerar a taxa de erro tipo I por experimento, ainda sob H0 
completa, verifica-se que o teste de Scott e Knott não controlou essa taxa de 
 
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erro para todas as distribuições. Na distribuição lognormal, não houve 
controle desta taxa de erro para maiores coeficientes de variação e maiores 
números de tratamentos, mas apresentou taxas de erro menores que as de 
Tukey e SNK, quando se considera um maior número de tratamentos. 
Pode se destacar que na maioria das distribuições consideradas, o 
CV e o número de repetições não influenciaram a taxa de erro por ex-
perimento. Isso é devido ao sistema de simulação adotado, porque os 
parâmetros dos tratamentos estão vinculados ao número de repetições e 
a diferença entre médias é sempre preservada em termos de erro pa-
drão, o qual está relacionado com o CV e com o número de repetições. 
Uma outra maneira de se medir a taxa de erro tipo I, é através da 
etapa em que as simulações foram realizadas, levando-se em conta a 
situação de nulidade parcial (Tabela 2). O teste de Scott e Knott não 
controlou as taxas de erro tipo I por comparação e por experimento 
para qualquer diferença entre grupos considerada, e esse resultado foi 
verificado para todas as distribuições consideradas, inclusive para a 
distribuição normal. Estas taxas de erro tiveram uma tendência de au-
mentar com o aumento do número de tratamentos. O teste de Tukey, 
por sua vez, controla as taxas de erro tipo I por comparação e por ex-
perimento na distribuição normal, o que está de acordo com sua de-
rivação teórica apresentada na literatura (Hochberg e Tamhane, 1987). 
O SNK controla somente as taxas de erro por comparação, sendo que 
por experimento, as taxas de erro estão acima do valor nominal quando 
se considera uma diferença de médias entre grupos consecutivos de 
4 Xσ e estas taxas tendem a aumentar com o aumento do número de 
tratamentos. Nas distribuições exponencial e weibull, verifica-se a 
mesma tendência observada na distribuição normal. Na distribuição 
lognormal, o teste de Tukey passa a não controlar as taxas de erro tipo 
I por experimento em situações de maior número de tratamentos (p > 
20). O teste SNK não controla essas taxas de erro para p maior que 10 
e verifica-se um aumento nessas taxas de erro quando a diferença entre 
médias de grupos consecutivos passa de 0,5 Xσ para 4 Xσ . Para esta 
distribuição, o teste de Scott-Knott continua não controlando os dois 
tipos de taxas de erro tipo I consideradas. 
Em situação de nulidade parcial, o teste de Scott e Knott não 
controlou as taxas de erro tipo I por comparação e por experimento, 
mesmo em situações de normalidade dos resíduos. Observa-se a mesma 
tendência para as demais distribuições consideradas. Os testes de 
Tukey e SNK controlaram a TPC, mas com relação a TPE, o teste de 
SNK passa a ter baixo controle ao se considerar um maior diferença 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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entre grupos. O teste de Tukey na distribuição lognormal passou a não 
controlar a TPE, tendo esse efeito mais pronunciado com o aumento do 
número de tratamentos. 
Nas Figuras 4 e 5, estão apresentadas as percentagens de decisões 
corretas dos testes de Tukey, SNK e Scott Knott (poder dos testes em 
detectar reais diferenças), em função do número de tratamentos, para o 
valor nominal de significância α=5%, considerando diferença real entre 
médias de 0,5 Xσ . Ao se considerar um pequeno número de trata-
mentos (p=5), o teste de Scott e Knott é superior aos demais testes em 
todas as distribuições consideradas. O poder dos testes de Tukey e 
SNK é próximo de zero para pequeno número de tratamentos e tem 
uma tendência de ainda diminuir com o aumento do número de trata-
mentos. O teste de Scott-Knott, ao contrário dos demais, apresenta um 
aumento do poder com o aumento do número de tratamentos, sendo 
que para p = 96, apresenta em torno de 35% de poder para detectar 
pequenas diferenças, exceto na distribuição lognormal (poder em torno 
de 25%), enquanto os testes de Tukey e SNK apresentam poder 
próximo a 0% para esta situação. 
 
 
Tabela 2 – Taxas de erro tipo I por comparação e por experimento(%), 
sob H0 parcial, dos testes Tukey, SNK e Scott-Knott em 
função do número de tratamentos, para as distribuições nor-
mal, e lognormal considerando α = 5%, CV=10%, r=10 e 
diferença entre médias de grupos consecutivos de 0,5 Xσ e 
4 Xσ 
Tukey SNK Scott-Knott 
0,5 Xσ 4,0 Xσ 0,5 Xσ 4,0 Xσ 0,5 Xσ 4,0 Xσ 
 
Trat 
CW EW CW EW CW EW CW EW CW EW CW EW 
Distribuição Normal 
05 0,85 2,25 0,50 1,40 1,38 3,05 2,38 5,30 4,40 6,60 6,67 10,00 
10 1,56 1,35 0,19 1,60 0,32 2,35 2,56 18,75 6,54 17,80 10,10 42,05 
20 0,04 1,55 0,03 1,15 0,06 2,00 0,75 17,00 8,89 23,85 9,58 61,00 
40 0,01 0,70 0,01 0,35 0,03 1,50 1,27 41,25 23,06 99,85 18,57 98,35 
96 0,00 0,60 0,00 0,35 0,01 2,85 0,50 63,40 22,94 100,00 16,67 100,00 
Distribuição Lognormal 
5 0,40 1,00 0,40 1,00 2,07 4,10 2,18 4,55 7,37 11,05 3,67 5,50 
10 0,24 1,70 0,34 2,25 1,52 8,10 3,77 25,05 9,32 3,76 6,38 32,55 
20 0,34 6,20 0,28 4,75 1,04 14,80 2,88 39,00 10,93 46,65 7,74 61,30 
40 0,54 15,70 0,64 18,15 1,24 30,35 4,15 82,25 21,37 96,65 10,26 94,35 
96 0,70 44,05 0,71 43,35 1,44 63,95 2,56 98,20 13,27 99,90 6,41 99,90 
 
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FIGURA 4 – Poder dos testes de Tukey, SNK e Scott e Knott, para detectar uma 
diferença entre médias de 0,5 Xσ , em função do número de tratamentos, considerando-
se as distribuições normal e exponencial, r = 20 e CV 20%, para α = 5%. 
 
FIGURA 5 – Poder dos testes de Tukey, SNK e Scott e Knott, para detectar uma 
diferença entre médias de 0,5 Xσ , em função do número de tratamentos, considerando-
se as distribuições lognormal e weibull, r = 20 e CV 20%, para α = 5%. 
Tukey (N)
SNK (N)
Scott-Knott (N)
Tukey (E)
SNK (E)
Scott-Knott (E)
Poder dos testes para diferença de 0,5 erro padrão da média
r=20 e CV=20%
Número de tratamentos
%
 d
e 
de
ci
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es
 c
or
re
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s
0
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10
15
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25
30
35
40
5 10 20 40 96
Tukey (L)
SNK (L)
Scott-Knott (L)
Tukey (W3.6)
SNK (W3.6)
Scott-Knott (W3.6)
Poder dos testes para diferença de 0,5 erro padrão da média
r=20 e CV=20%
Número de tratamentos
%
 d
e 
de
ci
sõ
es
 c
or
re
ta
s
0
5
10
15
20
25
30
35
40
5 10 20 40 96
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
78 Rev. Mat. Estat., São Paulo, 21(1): 67-83, 2002 
Ao se considerar uma diferença maior entre médias consecutivas 
a ser detectada (4 Xσ ), ocorre um aumento do poder, como já era es-
perado. Em situações de pequeno número de tratamentos (p = 5), o 
teste de Scott-Knott apresenta poder em torno de 80%, em todas as dis-
tribuições consideradas, exceto na lognormal, em que esse poder é su-
perior (em torno de 90%), enquanto os testes SNKe Tukey apresentam 
poderes inferiores (em torno de 60% e 50%, respectivamente), exceto 
na distribuição lognormal em que estes testes apresentam poder pró-
ximo a 90%. 
Com o aumento do número de tratamentos, o poder do teste de 
Scott-Knott aumenta, sendo que para p maior que 40, para detectar uma 
diferença de 4 Xσ , esse poder já está em torno de 95%. Os demais 
testes apresentam uma queda de alta magnitude no poder à medida que 
o valor de p aumenta. É interessante observar que o teste SNK tende a 
ter poder ligeiramente superior ao Tukey em todas as distribuições e 
números de tratamentos considerados. 
Como era de se esperar, à medida que a magnitude da diferença 
entre médias consecutivas aumenta, a percentagem de decisões corretas 
cresce rapidamente. Nas Figuras 6 e 7, para p=5, o teste de Scott-Knott 
apresenta baixo poder para detectar diferença de 0,5 Xσ , mas apesar 
de baixo, é superior ao poder dos demais testes para esta situação. Para 
uma diferença de 6 Xσ , o poder do teste de Scott-Knott já é próximo a 
99%. Para todas as situações o teste de Scott-Knott apresenta maior 
poder, sendo que para detectar maiores diferenças, os poderes dos testes 
em questão se tornam similares, independente da distribuição 
considerada. O teste SNK apresenta poder ligeiramente superior ao 
Tukey e bem inferior ao Scott-Knott, em todas as situações consideradas. 
Ao se considerar um número maior de tratamentos (p = 96), 
observa-se uma maior magnitude na diferença entre poder do teste de 
Scott-Knott e o poder dos demais testes. Para detectar diferenças em 
torno de 2 Xσ , o teste de Scott-Knott apresenta poder superior a 60% 
em todas as distribuições, enquanto nos demais testes o poder está pró-
ximo a 0%. 
À medida que aumenta a diferença a ser detectada, os poderes 
dos três testes tendem a ficar iguais, sendo que para detectar diferença 
de 10 Xσ todos os testes apresentam praticamente 100% de poder em 
todas as distribuições. No que se refere ao teste de Scott-Knott, pode-se 
dizer que se trata de um procedimento de poder elevado, pois seu poder 
 
Rev. Mat. Estat., São Paulo, 21(1): 67-83, 2003 79 
supera os dos demais testes em todas as situações. Quando comparado 
ao Tukey, teste amplamente utilizado por pesquisadores nas mais 
diversas áreas, foi indiscutivelmente melhor. 
 
FIGURA 6 – Poder dos testes de Tukey, SNK e Scott e Knott, para detectar diferenças 
entre médias de 0,5 Xσ a 6 Xσ , considerando-se as distribuições normal e 
exponencial, 5 tratamentos, 20 repetições e CV 20%, para α = 5%. 
 
 
O teste de Scott e Knott apresentou poder superior aos demais 
testes, em todas as situações consideradas e, além disso, apresentou po-
deres semelhantes nas situações de normalidade e não normalidade dos 
resíduos. Sob H0 parcial esse efeito tem pouco valor, devido às 
elevadas taxas de erro tipo I por experimento e por comparação 
observadas. As elevadas taxas de erro tipo I, observadas sob H0 parcial 
é uma característica desse teste que já tinha sido apontada por Silva, 
Ferreira e Bearzoti (1999) e por Santos (2000). É conveniente ob-
servar, que as distribuições residuais têm pouco efeito, sob H0 parcial e 
completa, mostrando a robustez do teste. 
 
 
 
 
Tukey (N)
SNK (N)
Scott-Knott (N)
Tukey (E)
SNK (E)
Scott-Knott (E)
Poder dos testes para t=5
CV=20% e r=20
Diferença real entre médias 
%
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20
40
60
80
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0.5 1 1.5 2 4 6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
80 Rev. Mat. Estat., São Paulo, 21(1): 67-83, 2002 
 
FIGURA 7 – Poder dos testes de Tukey, SNK e Scott e Knott, para detectar diferenças 
entre médias de 0,5 Xσ a 6 Xσ , considerando-se as distribuições lognormal e 
weibull, 5 tratamentos, 20 repetições e CV 20%, para α = 5%. 
 
Conclusões 
O teste de Scott-Knott controla as taxas de erro tipo I por com-
paração, quando são considerados os resultados obtidos na situação de 
nulidade completa. A taxa de erro tipo I por experimento do teste de 
Scott e Knott, ainda em situação de nulidade completa, esteve acima do 
valor nominal adotado para algumas situações. Para a distribuição 
lognormal, com um maior número de tratamentos, os testes de Tukey e 
SNK apresentaram altas taxas de erro, enquanto o teste de Scott e 
Knott foi mais robusto para esta situação. 
Quando se considerou situação de nulidade parcial, o teste de 
Scott-Knott não controlou as taxas de erro tipo I por experimento e por 
comparação, independente das distribuições. Os testes de Tukey e 
SNK, na distribuição lognormal, não controlaram as taxas de erro tipo I 
por experimento, sendo esse efeito mais pronunciado com maior nú-
mero de tratamentos. 
O teste de Scott-Knott é mais poderoso que os demais e além 
disso apresenta poderes semelhantes nas distribuições normais e não 
Tukey (L)
SNK (L)
Scott-Knott (L)
Tukey (W3.6)
SNK (W3.6)
Scott-Knott (W3.6)
Poder dos testes para t=5
CV=20% e r=20
Diferença real entre médias
%
 d
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de
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40
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0.5 1 1.5 2 4 6
 
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normais dos resíduos. Pelo fato de possuir poder elevado, taxas de erro 
tipo I quase sempre de acordo com os níveis nominais em todas as 
distribuições consideradas e por ser robusto à violação de normalidade, 
recomenda-se a utilização do teste de Scott e Knott. 
 
 
BORGES, L. C., FERREIRA, D. F. Power and type I error rates of 
Scott-Knott, Tukey and Student-Newman-Keuls’s tests under residual 
normal and non normal distributions. Rev. Mat. Estat. (São Paulo), 
v.21, n.1, p.67-83, 2003. 
 
��ABSTRACT: This work proposed to evaluate the power and the type I error 
rates of the Scott-Knott, Tukey and SNK test, in a wide of experimental 
situations, in conditions of normality and non-normality error distribution. 
Power and type I comparisonwise and experimentwise error rates were eva-
luated, considering complete and partial null hypotheses. The simulations 
were made considering the normal, lognormal, exponential and weibull 
distributions. Scott-Knott's test controlled the comparisonwise type I error 
rates, under complete H0 and it did not control the experimentwise type I 
error rate in all distributions. In situation of partial nullity, Scott-Knott's 
test did not control the type I comparisonwise and experimentwise error 
rates, even in normality situations. Scott-Knott's test is more powerful than 
the others and it is robust. Due to the high power, type I error rates almost 
always in agreement with the nominal levels for all distributions and for 
being robust to the normality violation, the Scott-Knott test is recommended. 
��KEYWORDS: Multiple comparisons, robustness, cluster analysis. 
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Recebido em 15.07.2002. 
Aprovado após revisão em 13.10.2002.